資源簡介

2024-2025 學年上海市民辦至德實驗學校七年級（下）期末數學試卷
一、選擇題：本題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知三角形的兩條邊長分別為 7 和 3 ，則第三條邊長可以是( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 10
2.如果 > ，那么下列不等式中正確的是( )
A. < 0 B. + 6 < 6
C. 2 > 2 D. 9 + 1 <

9 + 1
3.下列說法中錯誤的個數是( )
(1)過一點有且只有一條直線與已知直線平行
(2)不相交的兩條直線叫做平行線
(3)在同一平面內，兩條直線的位置關系只有相交、平行兩種
(4)相等的角是對頂角
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
4.用一個半徑為 20，圓心角為 108°的扇形圍成一個如圖所示的圓錐，則這個圓錐的底面半徑是( )
A. 6
B. 5
C. 6
D. 5
5.如圖，在△ 中，點 在邊 上， = = ，∠ = 64°，則∠ 的度數為( )
A. 34° B. 64°
C. 29° D. 32°
6.如圖，現有一張長方形紙片 ，點 ， 在 上，點 ， 在 上，分別沿 ， 折疊，使點 和點
都落在點 處，點 的對應點為點 ′.點 對應點為點 ′.若∠ + ∠ = 132°，則∠ ′ ′的度數為( )
A. 104° B. 106° C. 96° D. 132°
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二、填空題：本題共 12 小題，每小題 2 分，共 24 分。
7. 與 2 的差小于 的 3 倍.用不等式表示關系為：______．
8.已知等腰三角形的兩邊長分別為 5，10，則它的周長是______．
9.一個圓柱和一個圓錐，體積之比是 4：3，底面半徑之比是 2：5，那么這個圓柱和圓錐的高之比是______．
10.如圖①，“二八大杠”傳統老式自行車承載了一代人的回憶，圖②是它的幾何示意圖.已知 // ， //
，當∠ = 72°，∠ = 42°時，∠ 的度數為______°.
11.如圖，將一塊直角三角板的直角頂點放在一個長方形紙片的一邊上，那么∠1 +
∠2 =______度.
12 2.如圖為 6 個邊長相等的正方形的組合圖形，則3 (∠1 + ∠3) + ∠2 = ______．
13.在△ 1中，∠ = 50°，∠ = 35°，分別以點 和點 為圓心，大于2 的長
為半徑畫弧，兩弧相交于點 ， ，作直線 ，交 于點 ，連接 ，則∠
的度數為______．
14.學校的鉛球場地，由投擲區、抵趾板和落地區組成.如圖所示，運動員推出的鉛球著地后會留下痕跡.裁
判員會按照如下步驟測量并給出成績：①將皮尺的零刻度線拉至鉛球落點；②將皮尺的另一端拉長并經過
投擲區的圓心；③將皮尺拉直，讀取皮尺上落在投擲區抵趾板內沿處的數值，作為運動員的成績.確定鉛球
比賽成績的數學公理是______．
15 + 2 > 1.關于 的不等式組 2 ≥ 1有 4 個整數解，那么 的取值范圍是______．
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16.如圖，在等邊三角形 的 ， 邊上各取一點 ， ，使 = ， ，
相交于點 ，則∠ 的度數為______．
17.如圖是一個等邊△ 紙片，點 在 邊上，點 在 邊上，沿 折疊后使點
落在 邊上的點 位置，若此時∠ = 80°，則∠ = ______°.
18.如圖，等腰三角形 底邊 的長為 5 ，面積是 12 2，腰 的垂直平分線
交 于點 ，若 為 邊上的動點， 為線段 上一動點，則 + 最小值為______．
三、解答題：本題共 8 小題，共 58 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.(本小題 6 分)
解不等式：2( 1) ≤ 10( 3) 4．
20.(本小題 6 分)
2 1 < 3
解不等式組 1 1 ≤ 0，并寫出它的非負整數解．2
21.(本小題 6 分)
如圖，已知∠ = ∠ ， 、 分別平分∠ 和∠ ，且∠1 = ∠2，試說明 // 的理由．
22.(本小題 8 分)
如圖，△ 中， 是 延長線上一點， = ，過點 作 // 且 = ，連接 并延長，分別交 ，
點 ， ．
(1)試說明：∠ = ∠ ；
(2)若∠ = 50°，∠ = 25°，求∠ 的度數．
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23.(本小題 8 分)
如圖，已知在三角形 中，點 是邊 上一點， 是線段 上一點，∠ = ∠ ，∠ = ∠ .求證：
(1) = ；
(2) ⊥ ．
24.(本小題 8 分)
一個圓柱形木塊切成四塊(如圖①)，表面積增加 72 2；切成三塊(如圖②)，表面積增加 113.04 2；削成
一個最大的圓錐(如圖③)，體積減少了多少立方厘米？( 取 3.14)
25.(本小題 8 分)
在學行線的性質后，老師請同學們證明命題：兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內角的平分
線互相垂直．
小穎根據命題畫出圖形并寫出如下的已知條件．
已知：如圖 1， // ，直線 分別交 ， 于點 ， . ∠ 的角平分線 與∠ 的角平分線 交于
點 ．
(1)直線 ， 有何位置關系？直接寫出結論______．
(2)在圖 1 的基礎上，分別作∠ 的角平分線 與∠ 的角平分線 交于點 ，得到圖 2，求∠ 的
度數．
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(3)如圖 3， // ，直線 分別交 ， 于點 ， 點 在直線 ， 之間，且在直線 右側，∠
的角平分線 與∠ 的角平分線 交于點 ，請直接寫出∠ 與∠ 滿足的數量關系______．
26.(本小題 8 分)
在綜合實踐課上，李老師以“含 30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數學活動.已知，在
等腰△ 紙片中， = = 5，∠ = 120°，將一塊含 30°角的足夠大的直角三角尺 (∠ =
90°, ∠ = 30°)按如圖所示放置，頂點 在線段 上滑動(點 不與 ， 重合)，三角尺的直角邊 始終
經過點 ，并與 的夾角∠ = ，斜邊 交 于點 ．
(1)當∠ = 100°時， = ______°；
(2)當 等于何值時，△ ≌△ ？請說明理由；
(3)在點 的滑動過程中，存在△ 是等腰三角形嗎？若存在，請求出夾角 的大小；若不存在，請說明理
由．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 2 < 3
8.25
9.25：9
10.66
11.90
12.105°
13.60°
14.圓上的點到圓心的距離相等
15. 2.5 < ≤ 2
16.60°
17.70
18.4.8
19.解：去括號得：2 2 ≤ 10 30 4，
整理得： 8 ≤ 32，
解得： ≥ 4．
20.解：由 2 1 < 3 得： < 2，
1由 2 1 ≤ 0 得： ≥ 2，
則不等式組的解集為 2 ≤ < 2，
所以不等式組的非負整數解為 0、1．
21.解： // ，
理由是：∵ 、 分別平分∠ 和∠ ，
∴ ∠ = 1 12∠ ，∠1 = 2∠ ，
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∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠1，
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠ = ∠2，
∴ / / ．
22.(1) ∵ 是 延長線上一點， // ，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ ∠ = ∠ ．
(2)解：∵ ∠ = 50°，∠ = 25°，
∴ ∠ = ∠ = 25°，∠ = ∠ + ∠ = 75°，
∴ ∠ = 180° ∠ ∠ = 80°，
∴ ∠ 的度數是 80°．
23.證明：(1) ∵ ∠ = ∠ ，
∴ 180° ∠ = 180° ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ， = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，∠ = ∠ ，
∴ 平分∠ ，
∴ = ；
(2)由(1)知 = ， 平分∠ ，
∴ ⊥ ．
24.解：該圓柱形一個底面積為 113.04 ÷ 4 = 28.26( 2)，
28.26 ÷ 3.14 = 9，9 ÷ 3 = 3，3 × 2 = 6，
∴底面半徑為 3 ，直徑為 6 ，
該圓柱形高為 72 ÷ 4 ÷ 6 = 3( )
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1
3.14 × 9 × 3 × (1 3 ) = 56.52(
2)
答：體積減少了 56.52 3．
25.解：(1)如圖 1，直線 ⊥ ，理由如下：
∵ // ，
∴ ∠ + ∠ = 180°，
∵ 平分∠ ， 平分∠ ，
∴ ∠ = 12∠ ，∠ =
1
2∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 12 (∠ + ∠ ) = 90°，
∴ ∠ = 180° 90° = 90°，
∴ ⊥ ，
故答案為： ⊥ ；
(2)如圖 2，過 // ，
∵ // ，
∴ // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ ，
同理：∠ = ∠ + ∠ ，
∵ 平分∠ ， 平分∠ ，
∴ ∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = 2(∠ + ∠ ) = 2∠ ，
由(1)知∠ = 90°，
∴ ∠ = 45°；
(3)∠ = 2∠ ，理由如下：
∵ 平分∠ ，∠ 平分∠ ，
∴ ∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 2(∠ + ∠ )，
由(2)的證明可得：∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ ，
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∴ ∠ = 2(∠ + ∠ ) = 2∠ ．
故答案為：∠ = 2∠ ．
26.解：(1) ∵ = ，∠ = 120°，
∴ ∠ = 30°，
∴ = 180° 100° 30° = 50°；
故答案為：50；
(2)當 = 5 時，△ ≌△ ；理由如下：
∵ ∠ = 120°， = ，
∴ ∠ = ∠ = 30°，
∵ ∠ 是△ 的一個外角，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 30° + ∠ ，
∵ ∠ = ∠ + ∠ = 30° + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = = 5，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ( )；
(3)存在△ 是等腰三角形；理由如下：
∵△ 是等腰三角形，
∠ = 120° ，∠ = 30°，
①當 = 時，
∴ ∠ = ∠ = 12 (180° 30°) = 75°，
即 120° = 75°，
∴ ∠ = 45°；
②當 = 時，△ 是等腰三角形，
∴ ∠ = ∠ = 30°，即 120° = 30°，
∴ = 90°；
③當 = 時，△ 是等腰三角形，
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∴ ∠ = ∠ = 30°，
∴ ∠ = 180° 2 × 30° = 120°，
即 120° = 120°，
∴ = 0°，
此時點 與點 重合，點 和 重合，
∵點 不與 ， 重合，
∴ = 0°，舍去，
綜合所述，存在△ 是等腰三角形； = 45°或 90°．
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