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2024-2025學(xué)年貴州省黔西南州頂興高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.某校羽毛球隊有名男隊員，名女隊員，現(xiàn)在需要派名男隊員，名女隊員作為一個組合參加市羽毛球混雙比賽，則不同的組合方式有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
2.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
3.為激發(fā)同學(xué)們對無人機(jī)飛行的興趣，某校無人機(jī)興趣社團(tuán)在校內(nèi)進(jìn)行選拔賽，名學(xué)生的成績依次為：，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為( )
A. B. C. D.
4.已知函數(shù)，則( )
A. B. C. D.
5.平行四邊形中，為中點，與交于，記，，，則( )
A. B. C. D.
6.有名男生和名女生去影院觀影，他們買了同一排相連的個座位，若名女生必須相鄰，則不同的坐法有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
7.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點滿足，則點到直線的最大值是( )
A. B. C. D.
8.某校提供了個興趣小組供學(xué)生選擇，現(xiàn)有名學(xué)生選擇參加興趣小組，若這名學(xué)生每人選擇一個興趣小組且每個興趣小組都有人選，則這名學(xué)生不同的選擇方法有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.滿足不等式的的值為( )
A. B. C. D.
10.已知，則( )
A. B.
C. D.
11.給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數(shù)”下列函數(shù)中在定義域上是“下凸函數(shù)”的是( )
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.曲線在點處的切線方程為 ．
13.已知，，，，則______．
14.在數(shù)列中，，數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的前項和為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知數(shù)列是首項為的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，．
求數(shù)列和的通項公式；
求數(shù)列的前項和．
16.本小題分
在的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為．
求展開式中的常數(shù)項；
求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
17.本小題分
已知拋物線：的準(zhǔn)線為，點在上，且點到直線的距離與其到軸的距離都等于．
求的方程；
設(shè)為拋物線的焦點，過的直線與交于，兩點，若的面積為，求直線的方程．
18.本小題分
如圖，平面平面，四邊形是正方形，，，，．
求證：；
求平面與平面夾角的余弦值．
19.本小題分
已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，，函數(shù)的極值點為．
求的值；
證明：對，；
已知數(shù)列的前項和，證明：．
參考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：因為數(shù)列是首項為的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
且，，
所以，解得，
所以；；
．
16.解：由于所有項的二項式系數(shù)之和為，
則，解得，
所以展開式的通項公式為：．
令，解得，
所以該二項式的展開式中的常數(shù)項為．
因為，
易知：展開式第四項二項式系數(shù)最大，
即，
所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為．
17.根據(jù)點到直線的距離與其到軸的距離都等于，那么可得，
令，那么，結(jié)合，那么，解得，
因此；
根據(jù)題設(shè)，可設(shè)：，那么到該直線的距離，
聯(lián)立直線與拋物線，可得，，
若，，所以，，
所以，故，可得，
所以，即或．
18.證明：因為，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以因為四邊形是正方形，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以；
由知平面，
又平面，所以，
又四邊形是正方形，所以，
所以，，兩兩垂直．
以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，則
令，得，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，則，
令，得，，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面的夾角的余弦值為．
19.由，得，
因為函數(shù)的極值點為，所以，解得．
若，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極值點，符合題意．
綜上，．
證明：令，，則．
易知在上單調(diào)遞增，，
所以，使得．
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以的極小值為，也是的最小值．
由，得，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，但，所以等號不成立，即．
所以，即．
證明：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，滿足上式，
所以．
由知對，，即，
取，則，所以，即．
所以．
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