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(共30張PPT)
8.3.1 完全平方公式
單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.
單項式的乘法法則：
知識回顧
知識回顧
單項式與多項式的乘法法則：
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.
n(a+b+c)
=na+nb+nc
多項式與多項式的乘法法則：
再把所得的積相加.
多項式與多項式相乘，
與另一個多項式的每一項相乘，
先用一個多項式的每一項
(a+b)(m+n) =
2
an
bm
bn
1
3
4
am
1
2
3
4
+
+
+
知識回顧
問題 1 有一個邊長為 a 的正方形廣場，現要擴建該廣場，要求將其邊長增加 b，試問擴建后這個正方形廣場的面積有多大？
b
a
a
b
方法一：擴大后正方形廣場的邊長是 ，所以它的面積是 .
(a+b)2
方法二：先算 4 塊小圖形形的面積，再求總面積，擴大后正方形廣場的面積是 .
因此，有
(a+b)2 = a2+2ab+b2
a+b
(a+b)2
a2
ab
b2
ab
a2+2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能用多項式與多項式的乘法法則來說明它成立嗎
(a+b)2 =
(a+b)
(a+b)
=a2+ab
+ab+b2
=a2+2ab+b2
創設情境
這兩個數乘積的 2 倍.
式子的左邊為兩個數的和的平方;
(a+b)2=a2+2ab+b2
思考：(1)式子的左邊具有什么特征？
(2)運算的結果有什么特征呢？
結果為
創設情境
這兩個數的平方和
加
問題 2 如果將正方形廣場的邊長縮減 b，試問縮減后的正方形面積又是多少呢？
方法一：縮減后正方形廣場的邊長是 ，所以它的面積是 .
(a-b)2
方法二：先算出原正方形廣場的面積，然后減去縮減部分的面積，縮減后正方形廣場的面積是 .
a2-2ab+b2
因此，有
(a-b)2 = a2-2ab+b2
b
a
a
b
a-b
(a-b)2
a2
ab
b2
ab
(a-b)2=a2-2ab+b2
你能用多項式與多項式的乘法法則來說明它成立嗎
創設情境
(a-b)2 =
(a-b)
(a-b)
=a2-ab
-ab+b2
=a2-2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
思考：(1)式子的左邊具有什么特征？
式子的左邊為兩個數的差的平方;
(2)運算的結果有什么特征呢？
創設情境
這兩個數乘積的 2 倍.
結果為
這兩個數的平方和
減
歸納總結
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
①
②
同學們，你能用語言敘述這兩個等式嗎？
兩個數的和(或差)的平方，
這兩個數乘積的 2 倍.
等于
這兩個數的平方和
加
(或減)
上面兩個等式，作為公式可以直接應用于運算，稱為完全平方公式
口訣：
首平方，尾平方，乘積的 2 倍放中央，符號看前方.
問題 3 觀察下面兩個完全平方公式，比一比， 回答下列問題：
1、說一說積的次數和項數.
2、兩個完全平方公式的積有相同的項嗎 與a， b有什么關系？
3、兩個完全平方公式的積中不同的是哪一項 與 a，b 有什么關系？它的符號與什么有關？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
①
②
積為二次三項式
積中相同的兩項為兩數的平方和
不同的一項是兩數積的 2 倍，
且與兩數中間的符號相同.
拓展提高
公式中的字母 a，b 可以表示具體的數，也可以表示單項式或多項式.
例 1 利用乘法公式計算：
(1) (2x+y)2
運用公式計算，要先識別 a，b 在具體式子中分別表示什么.
解：(2x+y)2=
( )2=
a2 + 2 ab + b2
(2x)2
2 2x y
+
y2
+
= 4x2+4xy+y2
a
+
b
(2) (3a-2b)2
解：(3a-2b)2=
( )2=
a2 - 2 ab + b2
(3a)2
2 3a 2b
-
(2b)2
+
= 9a2-12ab+4b2
方法一：
a
-
b
例 2 利用乘法公式計算：
(2) (3a-2b)2
解：原式=
[3a+(-2b)]2
2 3a (-2b)
(-2b)2
+
= 9a2
-12ab
+4b2
方法二：
=(3a)2
+
例 2 利用乘法公式計算：
鞏固練習
1、利用乘法公式計算：
(1) (3x+1)2
解：(3x+1)2=
( )2=
a2 + 2 ab + b2
(3x)2
2 3x 1
+
12
+
= 9x2+6x+1
a
+
b
(2)
解： =
( )2=
a2 - 2 ab + b2
a
-
b
y2
-
2 y
1
2
+
=
y2-y+
1
4
利用完全平方公式進行整式運算的基本步驟：
歸納總結
① 確定公式中的 a，b
② 確定和差關系
③ 選擇公式
④ 計算結果
鞏固練習
2、利用乘法公式計算：
(1) (-2x+3y)2
方法一：
解：原式=
2 (-2x) 3y
(3y)2
+
= 4x2
-12xy
+9y2
(-2x)2
+
鞏固練習
方法二：
(1) (-2x+3y)2
解：原式=
(3y-2x)2
2 3y 2x
(2x)2
+
=9y2
-12xy
+4x2
= (3y)2
-
2、利用乘法公式計算：
鞏固練習
(2) (-3m-4n)2
方法一：
解：原式=
2 3m 4n
(4n)2
+
=(3m)2
+
[-(3m+4n)]2
= (3m+4n)2
= 9m2
+24mn
+16n2
2、利用乘法公式計算：
鞏固練習
(2) (-3m-4n)2
方法二：
解：原式=
2 (-3m) (-4n)
(-4n)2
+
=(-3m)2
+
[(-3m)+(-4n)]2
=9m2
+24mn
+16n2
2、利用乘法公式計算：
鞏固練習
(2) (-3m-4n)2
方法三：
解：原式=
2 (-3m) 4n
(4n)2
+
=(-3m)2
-
[(-3m)-4n]2
=9m2
+24mn
+16n2
2、利用乘法公式計算：
鞏固練習
(3) (x2-2y2)2
解：原式=
2 x2 2y2
(2y2)2
+
(x2)2
-
=x4
- 4x2y2
+4y4
2、利用乘法公式計算：
鞏固練習
2、利用完全平方公式簡便計算：
(4) 5022
(5) 4992
一個數的平方，可以考慮變形為“兩數和(差)的平方”的形式.
拓展提高
鞏固練習
3、下列各式中能用完全平方公式計算的是( )
A.(2a-3b)(-2a-3b) B.(2a-3b)(2a+3b)
C.(2a-3b)(-2a+3b) D.(2a-3b)(2b-3a)
C
鞏固練習
4、計算：
(1) ( )2=4x2-12xy+9y2
(2) (x )2=x2-x+
1
4
2x-3y
-
1
2
提高練習
5、計算：
(1) (a+b+c)2
解：原式=
2 (a+b) c
c2
+
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=(a+b)2
+
[(a+b)+c]2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
拓展提高
公式中的字母 a，b 可以表示具體的數，也可以表示單項式或多項式.
鞏固練習
6、計算：
(1) (a+2b)2-(a-2b)2
(2) (2x-1)(x+2)-(x-2)2-(x+2)2
(2) (2x-1)(x+2)-(x-2)2-(x+2)2
本節課你有什么收獲？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
①
②
完全平方公式
口訣：
首平方，尾平方，乘積的 2 倍放中央，符號看前方.
完全平方公式用語言敘述是：
兩個數的和(或差)的平方，
這兩個數乘積的 2 倍.
等于
這兩個數的平方和
加
(或減)

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