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第三章 圓
6.直線和圓的位置關(guān)系（第1課時(shí)）
點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有幾種？
（3）
知識回顧
r
（1）
d < r；
d > r.
點(diǎn)在圓外
點(diǎn)在圓內(nèi)
（2）　
d = r；
點(diǎn)在圓上
設(shè)圓的半徑為r，任意一點(diǎn)到圓心的距離為d，則：
d
d
d
“大漠孤煙直，長河落日圓” 描述了黃昏日落時(shí)分塞外特有的景象.如果我們把太陽看成一個(gè)圓，地平線看成一條直線，你能根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)想象一下，直線和圓的位置關(guān)系有幾種？
情境引入
直線與圓的位置關(guān)系
觀察三幅太陽落山的照片，地平線與太陽的位置關(guān)系是怎樣的？
如圖1，你發(fā)現(xiàn)這個(gè)自然現(xiàn)象反映出直線和圓的位置關(guān)系有哪幾種？
a（地平線）
新知講解
a（地平線）
●O
●O
●O
圖1
作一個(gè)圓，把直尺邊緣看成一條直線. 固定圓，平移直尺.
直線和圓有哪幾種位置關(guān)系？
直線和圓有唯一公共點(diǎn)（即直線和圓相切）時(shí)，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).
● O
● O
相交
● O
相切
相離
如圖2，圓心 O 到直線 l 的距離 d 與 ⊙O 的半徑 r 的大小有什么關(guān)系？
直線與圓的位置關(guān)系量化揭密
你能根據(jù) d 與 r 的大小關(guān)系確定直線與圓的位置關(guān)系嗎？
●O
●O
●O
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
圖2
l
l
l
直線與圓的位置關(guān)系量化揭密
● O
● O
● O
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
相交
d r
d r
相切
相離
d r
<
=
>
設(shè) r 表示圓的半徑，d表示圓心O到直線 l 的距離.
l
l
l
判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有____種：
（1）根據(jù)定義，由直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷；
（2）根據(jù)性質(zhì)，由圓心到直線的距離 d 與半徑 r 的關(guān)系來判斷.
兩
歸納小結(jié)
1.已知圓的直徑為 13 cm，設(shè)直線和圓心的距離為 d ：
（3）若 d =8 cm ，則直線與圓______ ，直線與圓有____個(gè)公共點(diǎn).
（2）若 d =6.5 cm ，則直線與圓______， 直線與圓有____個(gè)公共點(diǎn)；
（1）若 d =4.5 cm ，則直線與圓______，直線與圓有____個(gè)公共點(diǎn)；
相交
相切
相離
2
1
0
隨堂練習(xí)
2.如圖3，已知∠AOB= 30°，M 為 OB 上一點(diǎn)，且 OM =5 cm，若以點(diǎn) M 為圓心，r 為半徑作圓，那么：
（1）當(dāng)直線 OA 與 ⊙M 相離時(shí)，求 r 的取值范圍；
（2）當(dāng)直線 OA 與 ⊙M 相切時(shí)，求 r 的值；
（3）當(dāng)直線 OA 與 ⊙M 有公共點(diǎn)時(shí)，求 r 的取值范圍.
C
O
解：（1）0 < r < 2.5 ；
（2）r = 2.5 ；
（3）r≥2.5.
M
B
A
圖3
探索切線性質(zhì)
（1）你能舉出生活中直線與圓相交、相切、相離的實(shí)例嗎？
（2）圖4中的三個(gè)圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，你能畫出它們的對稱軸嗎？
議一議
●O
●O
相交
●O
相切
相離
圖4
（3）如圖5，直線 CD與 ⊙O 相切于點(diǎn) A，直徑 AB 與直線 CD 有怎樣
的位置關(guān)系？說說你的理由.
直徑 AB 垂直于直線 CD.
小穎的理由是：
∵圓是軸對稱圖形，AB 是對稱軸，
∴沿直線 AB 對折圖形時(shí)，AC 與 AD 重合，
因此∠BAC=∠BAD= 90°.
C
D
B
●O
A
圖5
小亮的理由是：
直徑 AB 與直線 CD 垂直.
假設(shè) AB 與 CD 不垂直，過點(diǎn) O 作一條直徑垂直于 CD，垂足為點(diǎn) M，如圖6，
則OM < OA，即圓心到直線 CD 的距離小于 ⊙O 的半徑，
因此 CD 與 ⊙O 相交.
這與已知條件“直線與 ⊙O 相切”相矛盾.
所以 AB 與 CD 垂直.
C
D
B
●O
A
M
圖6
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.
∵如圖7，CD 是 ⊙O 的切線，A 是切點(diǎn)，OA 是 ⊙O 的半徑，
∴CD⊥OA.
提示：
切線的性質(zhì)定理是證明兩線垂直的重要根據(jù)；
作過切點(diǎn)的半徑是常用經(jīng)驗(yàn)輔助線之一.
C
D
B
●O
A
圖7
歸納小結(jié)
例 如圖8，已知 Rt△ABC 的斜邊 AB=8 cm，直角邊 AC=4 cm.
（1）以點(diǎn) C 為圓心作圓，當(dāng)半徑為多長時(shí)，AB 與 ⊙C 相切？
解：（1）過點(diǎn) C 作CD⊥AB于點(diǎn) D.
A
C
B
D
┛
∵AB=8 cm，AC=4 cm，
∴∠A=60°.
因此當(dāng)半徑長為 cm時(shí)，AB 與 ⊙C 相切.
圖8
例題講解
（2）以點(diǎn) C 為圓心，分別以 2 cm，4 cm 長為半徑作兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓與 AB 分別有怎樣的位置關(guān)系？
當(dāng) r=4 cm 時(shí)，d < r，AB 與 ⊙C 相交.
當(dāng) r=2 cm 時(shí)，d > r，AB 與 ⊙C 相離；
解：（2）由（1）可知，
圓心 C 到 AB 的距離 d= cm，所以
例 已知 Rt△ABC 的斜邊 AB=8 cm，直角邊 AC=4 cm.
1.如圖9，直線 BC 與半徑為 r 的⊙O相交，且點(diǎn) O 到直線 BC 的距離為 5，
求 r 的取值范圍.
2.如圖10，一個(gè)直徑為 d 的圓沿直線滾動(dòng)一圈.圓心經(jīng)過的距離是多少？
r
B
C
● O
圓滾動(dòng)一圈，圓心經(jīng)過的路徑是與直線平行的一條線段，其長度等于圓的周長 .
圖9
隨堂練習(xí)
r > 5
圖10
3.如圖11，點(diǎn) A 是一個(gè)半徑為 300 m 的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有 B，C 兩村莊，現(xiàn)要在 B，C 兩村莊之間修一條長為1 000 m 的筆直公路將兩村連通，現(xiàn)測得∠ABC=45°， ∠ACB=30°．問此公路是否會(huì)穿過該森林公園？請通過計(jì)算進(jìn)行說明．
D
45°
30°
A
B
C
解：過點(diǎn) A 作 AD⊥BC 于點(diǎn) D，則∠ADB =∠ADC=90°.
BD+CD = x+ =1 000 m，
解得
在Rt△ABD 中， ∠ABC=45°，則 BD =x m.
設(shè) AD 長為 x m.
在Rt△ADC 中， ∠ACB= 30°，則 CD = .
圖11
因?yàn)? ，所以公路不會(huì)穿過該森林公園.
課堂小結(jié)
直線與圓的 位置關(guān)系
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
公共點(diǎn)名稱
直線名稱
數(shù)量關(guān)系
d < r d = r d > r
割線 切線 無
交點(diǎn) 切點(diǎn) 無
2
1
0
相離
相切
相交
作業(yè)布置
習(xí)題3.7

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