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(共19張PPT)
3.7切線長定理
北師大版.九年級數學下冊
1.理解切線長的概念，掌握切線長定理．
2.學會運用切線長定理解有關問題．
3．通過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想．
如圖，借助三角板，我們可以畫出PA是⊙O的切線.
1、圓的切線的性質定理
2、過圓外一點作圓的切線，可以作幾條？
3、過⊙O外一點P如何畫出⊙O的切線？
圓的切線垂直于過切點的半徑
O
A
B
P
2、如何用圓規和直尺作出這兩條切線呢？
.
思考：已畫出切線PA,PB，A,B為切點，則∠OAP=90°,
連接OP，可知A,B 除了在⊙O上，還在怎樣的圓上
O
·
P
A
B
O
·
O
P
A
B
經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做切線長．
①切線是直線，不能度量.
②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，是可以度量．
切線長與切線的區別：
切線長的概念
切線長PA、PB有何關系？
∠APO和∠BPO有何關系？
B
P
O
A
問題1 如圖，從圓外一點P引圓的兩條切線，切點分別為A、B，連結OP、OA、OB．
思考探究
PA=PB
∠OPA=∠OPB
已知：PA，PB與⊙O分別相切于A，B點
請證明你所發現的結論.
A
P
O
B
求證：PA=PB，∠OPA=∠OPB
證明：∵PA，PB與⊙O相切于點A，B
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
B
P
O
A
從圓外一點引圓的兩條切線，
它們的切線長相等，
圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.
∵ PA、PB分別切⊙O于A、B
∴PA = PB，
∠OPA=∠OPB
幾何語言:
切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.
切線長定理
問題2 PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，直線OP交⊙O于點D，E，交AB于點C.
B
A
P
O
C
E
（1）寫出圖中所有的垂直關系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（2）寫出圖中與∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
D
思考探究
（4）寫出圖中所有的等腰三角形
（3）寫出圖中所有的全等三角形
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP
△ABP，△AOB
.
P
B
A
O
（3）連接圓心和圓外一點
（2）連接兩切點
（1）分別連接圓心和切點
在解決有關圓的切線長問題時，往往需要我們構建基本圖形.
切線長問題輔助線添加方法
例1 △ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、
F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的長.
解:
設AF=x，則AE=x.
∴CE=CD=AC-AE=13-x，
BF=BD=AB-AF=9-x.
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得 x=4.
∴ AF=4，BD=5，CE=9.
A
C
B
E
D
F
O
例2如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA和⊙O分別相切于點L，M，N，P，
求證：AD+BC=AB+CD.
證明：由切線長定理得
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,
即AD+BC=AB+CD，
D
L
M
N
A
B
C
O
P
圓外切四邊形的性質：圓的外切四邊形的兩組對邊之和相等．
圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補．
1.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A、B，
如果AP=4，∠APB= 40°，則∠APO= ，PB= .
20°
4
B
P
O
A
2．（珠海·中考）如圖，PA,PB是⊙ O的切線，
切點分別是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等
于（ ）
A.60° B.90°
C.120° D.150°
C
3. PA、PB是⊙O的兩條切線，切點為A、B，∠P= 50°， 點C是⊙O上異于A、B的點，則∠ACB= .
65°或115°
B
P
O
A
4.已知：如圖,PA,PB是⊙O的切線，切點分別是A,B，Q為⊙O上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA,PB于E,F點，已知PA=12cm，求△PEF的周長.
【解析】易證EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
∴ PE+EQ=PA=12cm,
PF+FQ=PB=PA=12cm.
∴周長為24cm.
F
課堂小結
1.△ABC的內切圓半徑為r， △ABC的周長為c，
求△ABC的面積S.
A
C
B
E
D
F
O
r
課后必做
·
A
B
C
O
2.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°
BC＝a，AC＝b，AB＝c，
⊙O為Rt△ABC的內切圓.
求：△ABC的內切圓的半徑 r.

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