資源簡介

(共28張PPT)
3.7切線長定理
1.理解切線長的概念，掌握切線長定理．
2.學會運用切線長定理解有關問題．
3．通過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想．
B
A
1.如何過⊙O外一點P畫出⊙O的切線？
2.這樣的切線能畫出幾條？
如下左圖，借助三角板，我們可以畫出PA是⊙O的切線.
3.如果∠P=50°,求∠AOB的度數.
50°
130°
O
P
O
A
B
P
如何用圓規和直尺
作出這兩條
切線呢？
.
思考：已畫出切線PA,PB，A,B為切點，則∠OAP=90°,
連接OP，可知A,B 除了在⊙O上，還在怎樣的圓上
O
·
P
A
B
O
過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.
·
O
P
A
B
切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區別與聯系呢？
切線長概念
切線和切線長是兩個不同的概念：
1.切線是一條與圓相切的直線，不能度量；
2.切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.
O
P
A
B
比一比：
切線與切線長
O
A
B
P
1
2
思考：已知⊙O切線PA，PB，A，B為切點，把圓沿著直線OP對折,你能發現什么
折一折
請證明你所發現的結論.
A
P
O
B
PA=PB
∠OPA=∠OPB
證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
證一證
切線長定理
∵PA，PB分別切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
過圓外一點，所畫的圓的兩條切線的長相等.
幾何語言:
O
P
A
B
反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法
PA =PB
∠OPA=∠OPB
A
P
O
B
若連接兩切點A，B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結論 并給出證明.
OP垂直平分AB
M
證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線.
∴OP垂直平分AB.
試一試
A
P
O
.
B
若延長PO交⊙O于點C，連接CA，CB，你又能得出什么新的結論 并給出證明.
CA=CB
證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
又∵ PC=PC.
∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC.
C
.
P
B
A
O
（3）連接圓心和圓外一點
（2）連接兩切點
（1）分別連接圓心和切點
反思：在解決有關圓的切線長問題時，往往需要我們構建基本圖形.
想一想
探究：PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，直線OP交⊙O于點D，E，交AB于點C.
B
A
P
O
C
E
（1）寫出圖中所有的垂直關系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（2）寫出圖中與∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
D
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP
（4）寫出圖中所有的等腰三角形
△ABP，△AOB
（3）寫出圖中所有的全等三角形
B
A
P
O
C
E
D
1、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。
2、性質: 內心到三角形三邊的距離相等；
內心與頂點連線平分內角。
O
A
B
C
三角形的內切圓
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的內切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，求AF、BD和CE的長。
C
B
A
E
D
F
O
r
解：因為△ABC的內切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，由切線長定理知
AE=AF,CE=CD,BD=BF
∴AF+BD+CE= (AB+AC+BC)
∵BD+CE=
∴AF=18-9=9
BD+CD=
BC=9
=18
∴BD=AB-AF=13-9=4
∴CE=BC-BD=9-4=5
【例1】△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的長.
【解析】
設AF=x,則AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC可得
13-x+9-x=14，
解得x=4.
∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
【例題】
【例1】如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA和⊙O分別相切于點L，M，N，P，
求證：AD+BC=AB+CD.
證明：由切線長定理得
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,
即AD+BC=AB+CD，
補充：圓的外切四邊形的兩組對邊
的和相等．
D
L
M
N
A
B
C
O
P
【例題】
1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半徑OA的長.
4
2
x
x
【解析】設OA=xcm；
在Rt△OAP，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,
由勾股定理，得
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2,
整理，得x=3.
所以，半徑OA的長為3cm.
【跟蹤訓練】
A
B
C
D
E
F
2.設△ABC的邊BC=8，AC=11，AB=15，內切圓⊙I和BC,AC,AB分別相切于點D,E,F.
求AE,CD,BF的長.
.
I
x
y
z
【解析】設AE=x，BF=y，CD=z,
x
y
z
答：AE ,CD ,BF的長分別是9,2,6.
x+y=15,
y+z=8,
x+z=11,
x=9,
y=6,
z=2,
則
解得
1．（珠海·中考）如圖，PA,PB是⊙ O的切線，
切點分別是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等
于（ ）
A.60° B.90°
C.120° D.150°
C
2.（杭州·中考）如圖，正三角形的內切圓半徑為1，
那么這個正三角形的邊長為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解析】選D.如圖所示，連接OA,OB，則三角形AOB是
直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因為內切
圓半徑為1，利用勾股定理求得AB= ,那么這個正三角
形的邊長為 .
A
B
3.已知：如圖,PA,PB是⊙O的切線，切點分別是A,B，Q為⊙O上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA,PB于E,F點，已知PA=12cm，求△PEF的周長.
【解析】易證EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
∴ PE+EQ=PA=12cm,
PF+FQ=PB=PA=12cm.
∴周長為24cm.
F
切線的6個性質：
（1）切線和圓只有一個公共點.
（2）切線和圓心的距離等于圓的半徑.
（3）切線垂直于過切點的半徑.
（4）經過圓心垂直于切線的直線必過切點.
（5）經過切點垂直于切線的直線必過圓心.
（6）切線長定理.
通過本課時的學習，需要我們掌握：
我之所以比笛卡兒看得遠些， 是因為我站在巨人的肩上.
—牛頓

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