資源簡介

(共32張PPT)
人教版（2024）
八年級上冊
14.3 角的平分線
第2課時 角的平分線的判定
第十四章 · 全等三角形
角的平分線的判定
知識目標(biāo)
1.明確“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點一定在該角的平分線上”，能準(zhǔn)確表述其幾何意義及符號語言。
2.通過逆向思維關(guān)聯(lián)已學(xué)的“性質(zhì)定理”，對比兩者的區(qū)別與聯(lián)系，形成完整的知識閉環(huán)。
能力目標(biāo)
1.經(jīng)歷從直觀感知到嚴(yán)謹(jǐn)證明的過程，學(xué)會用全等三角形完成邏輯推導(dǎo)，培養(yǎng)步驟規(guī)范性。
2.體會原命題與逆命題的關(guān)系，強化數(shù)學(xué)意識，提升分析問題時雙向思考的習(xí)慣。
素質(zhì)目標(biāo)
1.在猜想—驗證—修正的過程中滲透實證精神，拒絕主觀臆斷；通過多角度證明培養(yǎng)批判性思維。
2.鼓勵嘗試非常規(guī)解法，突破定式思維局限，體驗數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。
教學(xué)難點
教學(xué)重點
解析“距離”的定義，強調(diào)“內(nèi)部”“兩邊”“相等”三個關(guān)鍵詞
判斷一個點是否在一個角的平分線上
知識講解
03
對應(yīng)練習(xí)
05
情景創(chuàng)設(shè)
01
課堂小結(jié)
07
例題講解
04
鏈接中考
06
新知探索
02
情景導(dǎo)入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習(xí)
課堂小結(jié)
情景激趣
回顧：角的平分線的性質(zhì)
角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
A
O
B
P
C
D
E
應(yīng)用定理需具備的條件：
（1）角的平分線；
（2）點在該平分線上；
（3）垂直距離.
定理的作用：
證明線段相等
情景導(dǎo)入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習(xí)
課堂小結(jié)
情景激趣
生活中常見的軸對稱圖形
剪紙 木雕
情景導(dǎo)入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習(xí)
課堂小結(jié)
情景激趣
生活中常見的軸對稱圖形
古建筑飛檐
這些圖案為何如此和諧美觀？背后是否有數(shù)學(xué)規(guī)律？
情景導(dǎo)入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習(xí)
課堂小結(jié)
列舉實例
如圖，要在 S 區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處 500 m. 這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處(在圖上標(biāo)出它的位置)？
0
200m
分析問題，尋找對應(yīng)
要在 S 區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處 500 m. 這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處.
提取數(shù)學(xué)模型
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
即求：∠AOB 內(nèi)是否存在一點到 OA、OB 的距離相等，且距離 O 點 500 m.
轉(zhuǎn)化
A
O
B
0
200m
分析問題，尋找對應(yīng)
交換“角的平分線上的點到角兩邊的距離相等” 這個性質(zhì)的已知和結(jié)論，得到的命題還成立嗎？
分組討論
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
A
O
B
P
C
D
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE，
∴點 P 在∠AOB的平分線上（OC 平分 ∠AOB）．
你能證明這個結(jié)論是否成立嗎？
分析問題，尋找對應(yīng)
已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D,E，PD=PE. 求證：點P在∠AOB的平分線上.
猜想證明
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
O
B
P
D
E
證明：
作射線OP，
∴點P在∠AOB的平分線上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的對應(yīng)角相等）.
OP=OP（公共邊），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
角的平分線的判定
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
判定定理：
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
應(yīng)用所具備的條件：
（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；
（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.
A
O
B
P
C
D
E
角的平分線的判定
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
O
B
P
C
D
E
定理的作用：判斷點是否在角平分線上.
書寫格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴點P 在∠AOB的平分線上.
角的平分線的判定
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
數(shù)學(xué)思想：
角相等
角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“線段相等”之間的一種特殊關(guān)系.
角平分線性質(zhì)
角平分線性質(zhì)定理的逆定理
線段相等
這為今后我們證明角相等，線段相等提供了一種解題思路.
角的平分線的判定
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
數(shù)學(xué)思想：
角的平分線（頂點除外）可以看成到角兩邊距離相等的所有點的集合.
所有到角兩邊距離相等的點組成這個角的平分線
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
角的平分線的判定
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
三角形的內(nèi)角平分線
分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，是否都相交于一點？
三角形的三條角平分線相交于一點.
角的平分線的判定
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
三角形的內(nèi)角平分線
分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：過交點作三角形三邊的垂線段相等.
你能證明這個結(jié)論嗎？
例題講解
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，
求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
例1
A
B
C
P
N
M
D
E
F
證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).
∵BM是△ABC的角平分線，
點P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
這說明三角形的三條角平分線相交于一點，這一點到三角形三邊的距離相等.
例題講解
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.
(1)求點O到△ABC三邊的距離和.
例2
M
E
N
A
B
C
P
O
D
B
C
A
P
解：過點O作ON⊥BC , OE⊥AB,垂足分別為點N，點E .
∵兩條角平分線相交于O
∴O到三邊的距離相等
即 ON = OE = OM = 4
由題意得， ON + OE + OM =12.
例題講解
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.
(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.
例2
M
E
N
A
B
C
P
O
D
B
C
A
P
解：連接OC.
∵ON = OE = OM = 4,△ABC的周長為32
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB
例題講解
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
歸納總結(jié)
1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：
存在角平分線
涉及距離問題
2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：
距離
面積
周長
條件
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
1.如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P.
小區(qū)C
P
A
O
B
M
N
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
2.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距離與到PF的距離相等，
∴點D在∠EPF的平分線上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
證明：過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.
E
∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵點F在∠CBD的平分線上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴點F在∠DAE的平分線上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
D
3.如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
問：到三角形三邊所在直線距離相等的點一共有幾個？
解：4個
P1
P4
P2
P3
三角形三個內(nèi)角的平分線的交點 P1；
三角形一個內(nèi)角與另外兩個角的外角的平分線的交點 P2，P3，P4.
4.如圖， 直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路， 現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站， 要求它到三條公路的距離相等， 可選擇的地址有幾處 畫出它的位置.
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
5.如圖，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分線，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分線，BF，CG 相交于點 P. 求證：
(1)點 P 到三邊 AB，BC，CA 所在直線的距離相等；
(2)點 P 在∠A 的平分線上.
C
A
B
D
E
F
G
P
J
I
H
證明：(1) 如圖，過點 P 分別作 PJ，PI，PH 垂直于三邊 AB，BC，AC 所在的直線，垂足分別為 J，I，H.
∵BF 是∠CBD 的平分線，點 P 在 BF 上，
∴PI = PJ.
同理，PH = PI，
∴PJ = PI = PH，
即點 P 到三邊 AB，BC，CA 所在直線的距離相等.
（2）由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ，得點 P 在∠A 的平分線上.
對照練習(xí)
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合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
6.如圖，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分別為 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于點 F，連接 DF. 求證：FD 平分∠BFE.
C
A
B
D
E
F
證明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°.
在△ABD 和△CED 中，
∠ADB =∠CDE，
∠ABD =∠CED，
AB = CE，
∴△ABD ≌△CED（AAS）
∴BD = ED.
又 AB⊥CD，CE⊥AD，
∴FD 平分∠BFE.
鏈接中考
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
（2021·青海·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．無法確定
[答案]A
[詳解]試題分析:如圖，過點D作DE⊥BC于點E.
∵∠A=90°
∴AD⊥AB
∵BD平分∠ABC
∴AD=DE=3.
又∵BC=5, ∴S△BCD=BC·DE=x5x3=7.5.故選A.
E
課堂小結(jié)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
我親歷了什么
我知道了什么
我會什么
理解角平分線的判定定理
通過逆向思維關(guān)聯(lián)已學(xué)的“角的平分線性質(zhì)定理”
判斷點是否在角平分線上
課堂小結(jié)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
角平分線
的判定定理
內(nèi)容
角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
作用
判斷一個點是否在角的平分線上
結(jié)論
三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點
課堂小結(jié)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：
存在角平分線
涉及距離問題
2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：
距離
面積
周長
條件
課堂小結(jié)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
課后作業(yè)
A層：P52：習(xí)題14.3：2題.
B層：P52：習(xí)題14.3：8題.
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