資源簡介

學習目標 1.理解和掌握對稱軸和對稱中心滿足的條件，培養數學抽象的核心素養.　2.掌握函數性質的綜合應用問題，培養邏輯推理、數學運算的核心素養.
題型一　函數圖象的對稱性
(1)函數f(x)的定義域為R，若f(x＋2)＝f(4－x)，則函數y＝f(x)的圖象(　　)
A.關于直線x＝1對稱 B.關于直線x＝2對稱
C.關于直線x＝3對稱 D.關于直線x＝4對稱
(2)定義在R上的偶函數y＝f(x)，其圖象關于點對稱，當x∈[0，1]時，f(x)＝－x＋，則f等于(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.
答案：(1)C　(2)B
解析：(1)因為函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱的充要條件是f(a＋x)＝f(b－x)(a，b為常數)，又因為f(x＋2)＝f(4－x)，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝＝3對稱.故選C.
(2)因為y＝f(x)的圖象關于點對稱，所以f＋f＝0，即f(1＋x)＋f(－x)＝0.又因為y＝f(x)為偶函數，所以f(－x)＝f(x)，所以f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)，所以f＝－f＝0.故選B.
1.函數圖象的對稱軸
y＝f(x)在定義域內恒滿足的條件 y＝f(x)的圖象的對稱軸
f(a＋x)＝f(a－x) 直線x＝a
f(x)＝f(a－x) 直線x＝
f(a＋x)＝f(b－x) 直線x＝
2.函數圖象的對稱中心
y＝f(x)在定義域內恒滿足的條件 y＝f(x)的圖象的對稱中心
f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0)
f(x)＝－f(a－x)
f(a＋x)＝－f(b－x)
f(a＋x)＋f(b－x)＝c
對點練1.(1)已知函數f(x)的定義域為R，若f(1－x)為奇函數，f(x－1)為偶函數.設f(－2)＝1，則f(2)＝(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.2
(2)已知定義域為R的函數f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，且f(x＋2)是奇函數，則f(1)，f，f(3)的大小關系是(　　)
A.f＜f(1)＜f(3) B.f(1)＜f(3)＜f
C.f(3)＜f(1)＜f D.f(3)＜f＜f(1)
答案：(1)A　(2)D
解析：(1)因為f(x－1)為偶函數，所以f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(x)圖象關于直線x＝－1對稱，所以f(0)＝f(－2)＝1；因為f(1－x)為奇函數，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)圖象關于點(1，0)對稱，所以f(2)＝－f(0)＝－1.故選A.
(2)因為f(x＋2)是奇函數，所以f(x)的圖象關于點(2，0)對稱.又f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，所以f(x)在(－∞，2)上單調遞減.又因為f(x)的定義域為R，所以f(2)＝0，所以f(x)在R上單調遞減.由于1＜＜3，所以f(3)＜f＜f(1).故選D.
題型二　抽象函數的單調性與奇偶性
已知函數f(x)對于一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1)求f(0)并證明f(x)在R上是奇函數；
(2)若f(x)在區間(－∞，0]上是減函數，解不等式f(2a2＋a＋1)＋f(－2a2＋4a－3)＞0.
解：(1)函數f(x)的定義域為R，
因為對于一切x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)在R上是奇函數.
(2)因為f(x)在區間(－∞，0]上是減函數，且f(x)在R上是奇函數，則f(x)在R上是減函數，
則不等式f(2a2＋a＋1)＋f(－2a2＋4a－3)＞0，
即f(2a2＋a＋1)＞f(2a2－4a＋3)，
所以2a2＋a＋1＜2a2－4a＋3，解得a＜，
所以不等式f(2a2＋a＋1)＋f(－2a2＋4a－3)＞0的解集為.
判斷抽象函數的奇偶性、單調性，主要是利用定義判定
1.找準方向，巧妙賦值，合理、靈活地變形配湊，找出f(－x)與f(x)的關系.
2.賦值代換，至于如何賦值，要根據解題目標來確定，一般可通過賦值－1或0或1來達到解題目的.
對點練2.已知f(x)是定義在非零實數集上的函數，且對任意非零實數x，y恒有f＝f(x)＋f(y).
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)證明：f(x)為偶函數；
(3)當0＜x＜1，f(x)＜0，證明：f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，并求不等式f≤f(2)＋f(3)的解集.
解：(1)令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，
故f(1)＝0，
令x＝y＝－1得f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝0，
故f(－1)＝0.
(2)證明：令y＝－1得f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x).
因為f(x)是定義在非零實數集上的函數，
所以f(x)為偶函數.
(3)證明：設任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1＞x2，f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f＝－f，
因為0＜＜1，所以f＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.
因為f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(x)為偶函數，所以f(x)在(－∞，0)上單調遞減，
因為f(2)＋f(3)＝f(6)，
所以f≤f(2)＋f(3)＝f(6)，
所以－6≤3－x≤6且3－x≠0，解得－3≤x≤9且x≠3，
所以不等式的解集為{x｜－3≤x＜3，或3＜x≤9}.
題型三　函數性質的綜合應用
(開放題)已知函數g(x)＝，x∈(－1，1)，從①函數f(x)＝x3－a＋2在[b－1，b＋1]上為奇函數，②函數f(x)＝ax＋b(a＞0)在[1，2]上的值域為[2，4]，這兩個條件中任選一個，解答下列問題.
(1)求a，b的值；
(2)證明：g(x)在(－1，1)上單調遞增；
(3)解關于t的不等式g(t－1)＋g(2t)＜0.
解：(1)選條件①：
因為f(x)在[b－1，b＋1]上是奇函數，
所以f(0)＝－a＋2＝0，b－1＋b＋1＝0，
即a＝2，b＝0，
經檢驗此時函數f(x)為奇函數，所以a＝2，b＝0.
選條件②：
由a＞0，得函數f(x)在[1，2]上單調遞增，
所以函數f(x)在[1，2]上的值域為[a＋b，2a＋b]，
又函數f(x)在[1，2]上的值域為[2，4]，
所以
(2)證明：由(1)得g(x)＝，x∈(－1，1).
任取x1，x2∈(－1，1)，且－1＜x1＜x2＜1，則
g(x1)－g(x2)＝－
＝.
因為－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0，所以g(x1)－g(x2)＜0，即g(x1)＜g(x2)，
所以g(x)在(－1，1)上單調遞增.
(3)因為函數g(x)的定義域為(－1，1)，關于原點對稱，且g(－x)＝＝－g(x)，
所以g(x)為奇函數.
由g(t－1)＋g(2t)＜0，得g(2t)＜g(1－t)，
又g(x)在(－1，1)上單調遞增，
所以解得0＜t＜，
所以原不等式的解集為.
奇偶性、單調性的綜合應用
　　利用函數的奇偶性將函數式轉化，利用單調性解決常見不等式問題，在綜合型題目中，要熟練掌握奇偶性、單調性的性質及變形，適當應用解題技巧化簡求值，解題時，一定要特別注意函數的定義域.
對點練3.已知函數f(x)＝3x＋.
(1)證明：函數f(x)是奇函數；
(2)用定義證明：函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數；
(3)若關于x的不等式f＋f≥0對于任意實數x恒成立，求實數a的取值范圍.
解：(1)證明：由函數f(x)＝3x＋，可得其定義域為R，關于原點對稱，
又由f(－x)＝－3x－＝－(3x＋)＝－f(x)，
所以函數f(x)為定義域R上的奇函數.
(2)證明：當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝3x＋＝3x＋1－，
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
可得f(x1)－f(x2)＝3x1＋1－－(3x2＋1－)＝3(x1－x2)＋(－)
＝3(x1－x2)＋
＝(x1－x2)·［3＋］.
因為x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，可得x1－x2＜0，＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數.
(3)因為函數f(x)為定義域R上的奇函數，且在(0，＋∞)上是增函數，
所以函數f(x)在(－∞，0)上也是增函數，
又因為f(0)＝0，x∈(0，＋∞)時，f(x)＞0，x∈(－∞，0)時，f(x)＜0，所以函數f(x)在R上是增函數，
又由f＋f≥0，
可得f≥－f＝f(ax－1)，
因為不等式f＋f≥0對于任意實數x恒成立，
即不等式f≥f(ax－1)對于任意實數x恒成立，
可得不等式ax2＋3ax≥ax－1對于任意實數x恒成立，
即不等式ax2＋2ax＋1≥0對于任意實數x恒成立，
當a＝0時，不等式即為1≥0恒成立，符合題意；
當a≠0時，則滿足
解得0＜a≤1.
綜上可得，0≤a≤1，即實數a的取值范圍為[0，1].
1.已知定義在R上的奇函數f(x)，且當x∈[0，＋∞)時，f(x)單調遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是(　　)
A.(－∞，1) B.(－1，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，1]
答案：C
解析：因為函數f(x)是奇函數，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等價于f(2x＋1)≥f(－1).又當x≥0時，函數f(x)單調遞增，所以函數f(x)在R上為增函數，所以f(2x＋1)≥f(－1)等價于2x＋1≥－1，解得x≥－1，所以不等式的解集為[－1，＋∞).故選C.
2.(多選題)已知定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數f(x)，滿足f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)，且當x＞1時，f(x)＞2，則(　　)
A.f(－1)＝1
B.f(x)為偶函數
C.f(2 025)＞f(2 024)
D.若f(x＋2)＜2，則－3＜x＜－1
答案：BC
解析：定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數f(x)，滿足f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)，且當x＞1時，f(x)＞2，對于A，在f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝1得f(1)＋2＝f(1)＋f(1)，因此f(1)＝2，再令x＝y＝－1得f(1)＋2＝f(－1)＋f(－1)，則f(－1)＝2，故A錯誤；對于B，令y＝－1得f(－x)＋2＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，f(x)是偶函數，故B正確；對于C，設0＜x1＜x2，則t＝＞1，f(t)＞2，所以f(x2)＝f(tx1)＝f(t)＋f(x1)－2＞f(x1)，f(x)在(0，＋∞)上是增函數，從而f(2 025)＞f(2 024)，故C正確；對于D，f(x)是偶函數，則f(x＋2)＜2等價于f(｜x＋2｜)＜f(1).又f(x)在(0，＋∞)上是增函數，所以解得－3＜x＜－1且x≠－2，故D錯誤.故選BC.
3.若f(x＋1)是R上的奇函數，則f(－3)＋f(5)＝　　　　.
答案：0
解析：因為f(x＋1)是R上的奇函數，所以y＝f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，則f(5)＝－f(－3)，即f(－3)＋f(5)＝0.
4.若函數y＝f(x)在(0，2)上單調遞增，函數y＝f(x＋2)為偶函數，則f(1)，f，f的大小關系為　　　　　　　　　　.(用“＜”號連接)
答案：f＜f(1)＜f
解析：因為y＝f(x＋2)是偶函數，所以f(2－x)＝f(2＋x)，故y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以f＝f，f＝f.又f(x)在(0，2)上單調遞增，0＜＜1＜＜2，所以f＜f(1)＜f，即f＜f(1)＜f.
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重點突破4 函數性質的綜合問題
　
第二章　函數
學習目標
1.理解和掌握對稱軸和對稱中心滿足的條件，培養數學抽象的核心素養.　
2.掌握函數性質的綜合應用問題，培養邏輯推理、數學運算的核心素養.
題型一　函數圖象的對稱性
(1)函數f(x)的定義域為R，若f(x＋2)＝f(4－x)，則函數y＝f(x)的圖象
A.關于直線x＝1對稱 B.關于直線x＝2對稱
C.關于直線x＝3對稱 D.關于直線x＝4對稱
√
典例
1

√

1.函數圖象的對稱軸
規律方法
y＝f(x)在定義域內恒滿足的條件 y＝f(x)的圖象的對稱軸
f(a＋x)＝f(a－x) 直線x＝a
f(x)＝f(a－x)
f(a＋x)＝f(b－x)
2.函數圖象的對稱中心
規律方法
y＝f(x)在定義域內恒滿足的條件 y＝f(x)的圖象的對稱中心
f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0)
f(x)＝－f(a－x)
f(a＋x)＝－f(b－x)
f(a＋x)＋f(b－x)＝c
對點練1.(1)已知函數f(x)的定義域為R，若f(1－x)為奇函數，f(x－1)為偶函數.設f(－2)＝1，則f(2)＝
A.－1 B.0
C.1 D.2
√
因為f(x－1)為偶函數，所以f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(x)圖象關于直線x＝－1對稱，所以f(0)＝f(－2)＝1；因為f(1－x)為奇函數，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)圖象關于點(1，0)對稱，所以f(2)＝－f(0)＝－1.故 選A.
√
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題型二　抽象函數的單調性與奇偶性
已知函數f(x)對于一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1)求f(0)并證明f(x)在R上是奇函數；
解：函數f(x)的定義域為R，
因為對于一切x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)在R上是奇函數.
典例
2
判斷抽象函數的奇偶性、單調性，主要是利用定義判定
1.找準方向，巧妙賦值，合理、靈活地變形配湊，找出f(－x)與f(x)的關系.
2.賦值代換，至于如何賦值，要根據解題目標來確定，一般可通過賦值－1或0或1來達到解題目的.
規律方法
(2)證明：f(x)為偶函數；
解：證明：令y＝－1得f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x).
因為f(x)是定義在非零實數集上的函數，
所以f(x)為偶函數.
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題型三　函數性質的綜合應用
典例
3
奇偶性、單調性的綜合應用
　　利用函數的奇偶性將函數式轉化，利用單調性解決常見不等式問題，在綜合型題目中，要熟練掌握奇偶性、單調性的性質及變形，適當應用解題技巧化簡求值，解題時，一定要特別注意函數的定義域.
規律方法
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隨堂評價
1.已知定義在R上的奇函數f(x)，且當x∈[0，＋∞)時，f(x)單調遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是
A.(－∞，1) B.(－1，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，1]
√
因為函數f(x)是奇函數，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等價于f(2x＋1)≥f(－1).又當x≥0時，函數f(x)單調遞增，所以函數f(x)在R上為增函數，所以f(2x＋1)≥f(－1)等價于2x＋1≥－1，解得x≥－1，所以不等式的解集為[－1，＋∞).故選C.
2.(多選題)已知定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數f(x)，滿足f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)，且當x＞1時，f(x)＞2，則
A.f(－1)＝1
B.f(x)為偶函數
C.f(2 025)＞f(2 024)
D.若f(x＋2)＜2，則－3＜x＜－1
√
√

3.若f(x＋1)是R上的奇函數，則f(－3)＋f(5)＝______.
0
因為f(x＋1)是R上的奇函數，所以y＝f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，則f(5)＝－f(－3)，即f(－3)＋f(5)＝0.

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