資源簡介 學習目標 1.掌握利用基本不等式求最值的方法. 2.能通過構造基本不等式的形式解決求代數式的最值問題. 3.通過對基本不等式的靈活應用,提升邏輯推理和數學運算的核心素養.題型一 配湊法求最值(1)已知x<1,則函數y=x+( )A.有最小值5 B.有最小值-4C.有最大值5 D.有最大值-3(2)若x>-1,則的最小值為 .答案:(1)D (2)4解析:(1)因為x<1,所以x-1<0,所以y=x+=-+1≤-2+1=-3,當且僅當1-x=,即x=-1時,等號成立,所以函數y=x+有最大值-3.故選D.(2)當x>-1時,x+1>0,則==2(x+1)+≥2=4,當且僅當2(x+1)=,即x=0時取等號,所以的最小值為4.配湊法的應用技巧 為了挖掘出題目中“積”或“和”為定值的條件,常常需要根據題設條件采取合理配式、配系數的方法,使配式與待求式相乘后可以應用基本不等式得出定值,或配以恰當的系數后,使積式中的各項之和為定值.對點練1.(1)已知x>-1,則4x+的最小值為( )A.-4 B.0 C.4 D.8(2)已知0<x<1,則x(4-3x)取得最大值時x的值為 .答案:(1)B (2)解析:(1)因為x>-1,所以x+1>0,所以4x+=4(x+1)+-4≥2-4=0,當且僅當4(x+1)=,即x=-時,等號成立,故4x+的最小值為0.故選B.(2)因為0<x<1,所以4-3x>0,3x>0,x(4-3x)=·(3x)(4-3x)≤·=,當且僅當3x=4-3x,即x=時,等號成立.題型二 “1”的代換求最值(1)已知正數a,b滿足+=4,則a+4b的最小值為( )A. B. C.8 D.9(2)若存在m∈,使不等式+≤k成立,則k的最小值是( )A.8 B.10 C.16 D.24答案:(1)B (2)A解析:(1)因為a,b均為正數,所以a+4b=(a+4b)=≥=,當且僅當=,即a=,b=時取等號.故選B.(2)因為m∈,故0<2m<1,2m+(1-2m)=1,則+=(+)[2m+(1-2m)]=++4≥2+4=8,當且僅當=,即m=時取等號,因為存在m∈,使不等式+≤k成立,所以k≥8,即k的最小值為8,故選A. 常數代換通常是指“1”的代換,“1”的代換就是指湊出“1”,使不等式通過變形后達到運用基本不等式的條件,即積為定值,湊的過程中要特別注意等價變形.對點練2.(1)若m>0,n>0,且3m+2n-1=0,則+的最小值為( )A.20 B.12C.16 D.25(2)已知正數a,b滿足a+b=1,則的最小值為 .答案:(1)D (2)25解析:(1)因為3m+2n-1=0,所以3m+2n=1,所以+=(+)×1=(+)(3m+2n)=9+++4≥13+2=13+12=25,當且僅當=,即m=n=時取等號,所以+的最小值為25.故選D.(2)因為正數a,b滿足a+b=1,所以===+=(a+b)=13++≥13+2=25,當且僅當=,聯立a+b=1,即a=,b=時等號成立.題型三 消元法求最值(1)已知正數x,y滿足x2+2xy-1=0,則3x2+4y2的最小值為( )A.1 B.2C. D.4(2)若正實數a,b滿足ab=a+b+3,則ab的最小值為 .答案:(1)B (2)9解析:(1)由x2+2xy-1=0,因為x是正數,所以y=.將y的表達式代入3x2+4y2并化簡得到3x2+4y2=3x2+4=3x2+=3x2+=3x2+-2+x2=4x2+-2,根據基本不等式得,4x2+≥2=4.所以4x2+-2≥4-2=2,當且僅當4x2=,即x=時取到最值.故選B.(2)因為ab=a+b+3,所以(a-1)·b=a+3.因為a>0,b>0,所以a-1>0,即a>1,所以b=,所以ab=a·===a-1++5.因為a>1,所以a-1+≥2=4,當且僅當a-1=,即a=3時取等號,此時b=3,所以ab≥9,所以ab的最小值為9.消元法的應用技巧 對含有多個變量的條件最值問題,若無法直接利用基本不等式求解,可嘗試減少變量的個數,即用其中一個變量表示另一個,再代入代數式中轉化為只含有一個變量的最值問題.對點練3.(1)已知正實數a,b滿足ab+2a-2=0,則4a+b的最小值是( )A.2 B.4-2C.4-2 D.6(2)設正實數x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當取得最大值時,+-的最大值為( )A.9 B.1C. D.4答案:(1)B (2)D解析:(1)由ab+2a-2=0,得a=,所以4a+b=+b=+(b+2)-2≥2-2=4-2,當且僅當a=,且=b+2,即a=,b=2-2時,等號成立,所以4a+b的最小值為4-2.故選B.(2)由題意可知,z=x2-3xy+4y2,所以==,因為x>0,y>0,所以+-3≥2-3=1,當且僅當=,即x=2y時,等號成立,此時取最大值為1,z=xy=2y2,所以+-=+-=-+=-+4,當y=時,上式取得最大值4,所以+-的最大值為4.故選D.題型四 換元法求最值(1)已知正數x,y滿足+=1,則x+y的最小值為( )A. B.C. D.(2)已知x,y為正實數,則+的最小值為 .答案:(1)A (2)8-4解析:(1)令x+3y=m,3x+y=n,則+=1,m+n=(x+3y)+(3x+y)=4(x+y),所以x+y===+++≥2+=2×+=,當且僅當=,即m=2+,n=+1時,等號成立,所以x+y的最小值為.故選A.(2)+=+,令=t>0,所以+=2t+=2+-4≥2-4=8-4,當且僅當t=2-2時取等號.所以+的最小值為8-4. 若題目中條件是含兩個分式的求最值問題,對于這類問題最常用的方法就是雙換元,分別令兩個分式的分母為兩個參數,轉化為這兩個參數的不等關系.對點練4.(1)已知a≥0,b≥0且2a+b=1,則+的最小值為( )A.4 B.6C.8 D.10(2)若x>0,y>0,且x+y=xy,則+的最小值為( )A.2+2 B.4C.3+2 D.5答案:(1)C (2)C解析:(1)因為a≥0,b≥0且2a+b=1,所以a+b>0,令a+1=x,a+b=y,則2a+b=x+y-1=1,即x+y=2(x>0,y>0),+=(x+y)×=×(10++)≥×(10+6)=8,當且僅當x=3y,即a=,b=0時取等號.故選C.(2)令x-1=m,y-1=n,則x=1+m,y=1+n,因為x+y=xy,所以mn=1,即n=且n>0,所以+=+=3++=3+n+≥3+2,當且僅當n=,即x=1+,y=+1時等號成立,所以+的最小值為3+2.故選C.1.若x>,則的最小值為( )A.10 B.12C.14 D.16答案:C解析:由題意得==x2+2+=x2-2++4.由x>,得x2-2>0,則=x2-2++4≥2+4=14,當且僅當x2-2=,即x=時,等號成立.故的最小值為14.故選C.2.已知正實數a,b滿足+=1,則a+4b-的最小值為( )A.4 B.2C.2 D.8答案:A解析:由+=1可得+=a,那么a+4b-=4b++-=4b+.由基本不等式得,4b+≥2=4,當且僅當4b=,即b=時等號成立.故a+4b-的最小值為4.故選A.3.已知p,q為正實數且p+q=3,則+的最小值為( )A. B.C. D.答案:A解析:由p+q=3,則有p+2+q+1=6,+==++)≥+×2=,當且僅當=,即p=1,q=2時等號成立,所以+.故選A.4.已知非負實數x,y滿足x+y=1,則+的最小值為( )A. B.C.4 D.答案:B解析:因為x+y=1,所以2x+2y+2=4,則(2x+2y+2)=1,所以+=(2x+2y+2)·=,根據不等式性質可知+≥2=2,當且僅當=,即x=2,y=3-2時等號成立,所以+=≥,故選B.21世紀教育網(www.21cnjy.com)(共33張PPT)重點突破1 基本不等式的綜合應用 第一章 預備知識學習目標1.掌握利用基本不等式求最值的方法. 2.能通過構造基本不等式的形式解決求代數式的最值問題.3.通過對基本不等式的靈活應用,提升邏輯推理和數學運算的核心素養.題型一 配湊法求最值√典例1 4配湊法的應用技巧 為了挖掘出題目中“積”或“和”為定值的條件,常常需要根據題設條件采取合理配式、配系數的方法,使配式與待求式相乘后可以應用基本不等式得出定值,或配以恰當的系數后,使積式中的各項之和為定值.規律方法√ (2)已知0<x<1,則x(4-3x)取得最大值時x的值為____. 返回題型二 “1”的代換求最值√典例2√ 常數代換通常是指“1”的代換,“1”的代換就是指湊出“1”,使不等式通過變形后達到運用基本不等式的條件,即積為定值,湊的過程中要特別注意等價變形.規律方法√ 25 返回題型三 消元法求最值√典例3 (2)若正實數a,b滿足ab=a+b+3,則ab的最小值為______.9消元法的應用技巧 對含有多個變量的條件最值問題,若無法直接利用基本不等式求解,可嘗試減少變量的個數,即用其中一個變量表示另一個,再代入代數式中轉化為只含有一個變量的最值問題.規律方法√ √ 返回題型四 換元法求最值√典例4 若題目中條件是含兩個分式的求最值問題,對于這類問題最常用的方法就是雙換元,分別令兩個分式的分母為兩個參數,轉化為這兩個參數的不等關系.規律方法√√ 返回隨堂評價√ √ √ √ 返回 展開更多...... 收起↑ 資源列表 北師大版高中數學必修第一冊第一章預備知識重點突破1基本不等式的綜合應用學案.docx 北師大版高中數學必修第一冊第一章預備知識重點突破1基本不等式的綜合應用課件.ppt 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫