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北師大版高中數學必修第一冊第三章指數運算與指數函數章末綜合提升課件(共73張PPT)+學案

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北師大版高中數學必修第一冊第三章指數運算與指數函數章末綜合提升課件(共73張PPT)+學案

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章末綜合提升
探究點一 指數冪的運算
(1)求+-0.06的值.
(2)已知-=1,求的值.
解:(1)原式=+-=π-3+3--=π--.
(2)因為-=1,
所以(-)2=a+a-1-2=1,
即a+a-1=3,
因為(-)(a+a-1)=+--=3,
所以-=3+-=4,
所以原式==.
  指數式的運算首先注意化簡順序,一般負指數先轉化成正指數,根式化為分數指數冪再運算,其次若出現分式則要注意對分子、分母因式分解以達到約分的目的.
對點練1.化簡、求值:
(1)(-2)(3)(-4);
(2)-+0.00×.
解:(1)原式=·=24y.
(2)原式=-+0.×
=-+0.2-2×=-+25×=.
探究點二 指數函數的圖象及其應用
(1)(多選題)我國著名數學家華羅庚先生曾說:“數缺形時少直觀,形少數時難入微.數形結合百般好,割裂分家萬事休”.在數學的學習和研究中,常用函數的圖象來研究函數的性質,也常用函數的解析式琢磨函數圖象的特征,如函數y=(a>0,且a≠1)的圖象的大致形狀可能是(  )
(2)若函數f(x)=+m的圖象與x軸有公共點,則實數m的取值范圍是    .
答案:(1)BD (2)[-1,0)
解析:(1)當0<a<1時,函數y=ax在R上單調遞減,當x<0時,y=-ax在(-∞,0)上遞增,y<-1,當x>0時,y=ax在(0,+∞)上遞減,0<y<1,故A不滿足,D符合題意;當a>1時,函數y=ax在R上單調遞增,當x<0時,y=-ax在(-∞,0)上遞減,-1<y<0,當x>0時,y=ax在(0,+∞)上遞增,y>1,故C不滿足,B符合題意.故選BD.
(2)令f(x)=+m=0,則-m=,令g(x)=,作出函數g(x)=的圖象,如圖.依題意0<-m≤1,即-1≤m<0,故實數m的取值范圍是[-1,0).
  指數函數圖象既是直接考查的對象,又是數形結合求交點、最值、解不等式的工具,所以要能熟練畫出這類函數圖象,并會進行平移、對稱、翻折等變換.
對點練2.(1)在下圖中,二次函數y=ax2+bx+c與指數函數y=的圖象只可能是(  )
(2)(多選題)若=3b,則下列結論可能正確的是(  )
A.a<0<b B.a=b
C.b<0<a D.a>b>0
答案:(1)A (2)ABC
解析:(1)因為y=為指數函數,所以>0,且≠1,所以-<0,因為二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=-,所以排除B、D,由指數函數的圖象可知0<<1,所以-<-<0,所以二次函數圖象頂點的橫坐標在內,所以C錯誤.故選A.
(2)在同一平面直角坐標系內作出y=3x和y=的圖象,若=3b>1,則a<0<b,故A正確;若=3b=1,則a=b=0,故B正確;若=3b<1,則b<0<a,故C正確.故選ABC.
探究點三 指數函數單調性的應用
已知函數y=(a-1)x是指數函數,該指數函數的圖象經過點(2,4).
(1)求函數的表達式;
(2)解關于x的不等式>.
解:(1)因為指數函數的圖象經過點(2,4),所以解得a=3,所以y=2x.
(2)因為y=是單調遞減函數,由>得3>,解得<x<,
所以不等式的解集為.
  在解與指數函數有關的不等式時,主要是利用指數函數的性質,或利用換元法轉化為一元二次不等式.
對點練3.(1)(多選題)以下關于數的大小的結論正確的是(  )
A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2
C.1.50.3<0.93.1 D.(<(
(2)若命題“ a,b∈R,a-2b<b-2a”為真命題,則a,b的大小關系為(  )
A.a<b B.a>b
C.a≤b D.a≥b
答案:(1)ABD (2)A
解析:(1)對于A,因為指數函數y=1.7x在R上單調遞增,且2.5<3,所以1.72.5<1.73,故A正確;對于B,因為指數函數y=0.8x在R上單調遞減,且-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2,故B正確;對于C,因為1.50.3>1.50=1,0<0.93.1<0.90=1,所以1.50.3>0.93.1,故C不正確;對于D,=,且=,所以<,故D正確.故選ABD.
(2)由a-2b<b-2a,得a+2a<b+2b.令f(x)=x+2x,易知f(x)在上是增函數,因為“ a,b∈R,a-2b<b-2a”為真命題,即f(a)<f(b),所以a<b.故選A.
探究點四 指數函數性質的綜合應用
已知函數f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)當a=1時,解不等式f(x)>0;
(2)當a=,x∈[0,2]時,求f(x)的值域.
解:(1)當a=1時,f(x)=2·4x-2x-1,
所以f(x)>0,即2·(2x)2-2x-1>0,
解得2x>1,或2x<-(舍去),
所以x>0,
即不等式f(x)>0的解集為(0,+∞).
(2)當a=時,f(x)=4x-2x-1,
設t=2x,由x∈[0,2]得t∈[1,4],
此時,y=t2-t-1,t∈[1,4],
因為y=t2-t-1的圖象是開口朝上,且以t=為對稱軸的拋物線,
所以y=t2-t-1在區間[1,4]上為增函數,
所以當t=1時,函數取最小值-1,當t=4時,函數取最大值11,
故f(x)的值域為[-1,11].
  指數函數的圖象和性質、方程、不等式的求解可利用單調性進行轉化,對含參數的問題注意進行分類討論.同時要注意變量本身的取值范圍,以免出現增根.
對點練4.已知函數f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若函數f(x)的圖象過(0,2)和(2,10)兩點,求f(x)在[0,1]上的值域;
(2)若0<a<1,且函數f(x)在區間[2,3]上的最大值比最小值大,求a的值.
解:(1)由題意,f(0)=a0+b=1+b=2,f(2)=a2+b=10,
又a>0,解得a=3,b=1,所以f(x)=3x+1.
因為f(x)在[0,1]上單調遞增,所以3x+1∈[2,4],
所以f(x)在[0,1]上的值域為[2,4].
(2)當0<a<1時,f(x)在區間[2,3]上單調遞減,
所以f(x)max=f(2)=a2+b,
f(x)min=f(3)=a3+b,
因此-=,
解得a=或a=0(舍去),
所以a=.
(2024·天津卷)設a,b∈R,則“a3=b3”是“3a=3b”的(  )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案:C
解析:根據立方的性質和指數函數的性質,a3=b3和3a=3b都當且僅當a=b時成立,所以二者互為充要條件.故選C.
溯源:(教材P92B組T3)設y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a>0,且a≠1.當x為何值時,有:
(1)y1=y2;(2)y1>y2.
點評:該高考題主要考查已知冪函數與指數函數的單調性,與教材習題角度相似,難度相當.
(2021·全國甲卷)下列函數中是增函數的為(  )
A.f(x)=-x B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=
答案:D
解析:法一(排除法):取x1=-1,x2=0,對于A有f(x1)=1,f(x2)=0,所以A不符合題意;對于B有f(x1)=,f(x2)=1,所以B不符合題意;對于C有f(x1)=1,f(x2)=0,所以C不符合題意.故選D.
法二(圖象法):
如圖,在坐標系中分別畫出A,B,C,D四個選項中函數的大致圖象,即可快速直觀判斷D項符合題意.故選D.
溯源:(教材P68思考交流T1和P88表3-6)你畫過y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的圖象嗎?請將這5個函數的圖象畫在同一平面直角坐標系中,并填寫表2-3.
表2-3
函數性質 y=x y= y=x2 y= y=x3
定義域
值域
單調性
奇偶性
表3-6
圖象和性質 a>1 0<a<1
圖 象
性 質 (1)定義域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)過定點(0,1),即當x=0時,y=1
(4)當x<0時,0<y<1;當x>0時,y>1 (4)當x<0時,y>1;當x>0時,0<y<1
(5)在R上是增函數 當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于正無窮大;當x值趨近于負無窮大時,函數值趨近于0 (5)在R上是減函數 當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于0;當x值趨近于負無窮大時,函數值趨近于正無窮大
點評:該高考試題直接考查冪函數與指數函數的單調性,難度不大,直接利用教材中的性質.
(2022·北京卷)已知函數f(x)=,則對任意實數x,有(  )
A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0
C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)=
答案:C
解析:f(-x)+f(x)=+=+=1,故A錯誤,C正確;f(-x)-f(x)=-=-==1-,不是常數,故B,D錯誤.故選C.
溯源:(教材P92B組T4)設f(x)=3x,求證:
(1)f(x)·f(y)=f(x+y);
(2)=f(x-y).
點評:本高考題來源于教材,但高于教材,通過改變函數關系式實現對教材的引申與拓展;難度高于教材.
(2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,則a,b,c的大小關系為(  )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
答案:D
解析:由y=1.01x在R上單調遞增,則a=1.010.5<b=1.010.6,由y=x0.5在[0,+∞)上單調遞增,則a=1.010.5>c=0.60.5.所以b>a>c.故選D.
溯源:(教材P91A組T4)比較下列各組數的大小:
(1)31.2,32.2,;
(2),,.
點評:本高考題來源于教材,與教材習題相似,難度相當.
(2023·全國乙卷)已知f(x)=是偶函數,則a=(  )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案:D
解析:因為f(x)=為偶函數,則f(x)-f(-x)=-==0,又因為x不恒為 0,可得ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,則x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故選D.
溯源:(教材P95B組T2)已知函數f(x)=是奇函數,求g(2)的值.
點評:本高考題與教材習題相似,均考查利用函數的奇偶性求值,只是解析式復雜,難度略高于教材習題.
(2023·新課標Ⅰ卷)設函數f(x)=2x(x-a)在區間(0,1)單調遞減,則a的取值范圍是(  )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
答案:D
解析:函數y=2x在R上單調遞增,而函數f(x)=2x(x-a)在區間(0,1)上單調遞減,則有函數y=x(x-a)=-在區間(0,1)上單調遞減,因此≥1,解得a≥2,所以a的取值范圍是[2,+∞).故選D.
溯源:(教材P94A組T7)求下列函數的值域:
(1)y=6-41-x;
(2)y=(-1≤x≤2).
點評:本高考題與教材習題相似,均考查指數型函數的單調性的應用,只是解析式復雜,難度略高于教材習題.
單元檢測卷(三) 指數運算與指數函數
(時間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1.用分數指數冪的形式表示a3·(a>0)的結果是(  )
A. B. C.a4 D.
答案:B
解析:因為a>0,所以a3·=a3·==.故選B.
2.已知當x>0時,函數f(x)=(3a-2)x的值總大于1,則實數a的取值范圍是(  )
A. B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.
答案:C
解析:根據指數函數性質知3a-2>1,解得a>1,所以實數a的取值范圍是(1,+∞).故選C.
3.函數f(x)=ax-1+1(a>0且a≠1)的圖象過定點P,則定點P的坐標是(  )
A.(1,2) B.(1,1) C.(0,1) D.
答案:A
解析:由函數f(x)=ax-1+1(a>0且a≠1),令x-1=0,即x=1,可得f(1)=a0+1=2,所以函數f(x)的圖象恒過定點P(1,2).故選A.
4.已知-=,則a2-a-2=(  )
A.3 B.±3
C.21 D.±21
答案:C
解析:由-=得(-)2=a-2+a-1=5,即a+a-1=7,故+====3,故a-a-1=(+)(-)=3,故a2-a-2=(a+a-1)(a-a-1)=21.故選C.
5.函數f(x)=-1的圖象大致為(  )
答案:C
解析:由f(x)=-1可知,當x≥0時,f(x)=-1單調遞減,且f(x)≤f(0)=0.故選C.
6.福島核污水中含有多種放射性物質,其中放射性物質3H含量非常高,它可以進入生物體內,還可以在體內停留,并引起基因突變,但卻難以被清除.現已知3H的質量M(kg)隨時間t(年)的指數衰減規律是:M=M0·a-0.008t(其中M0為3H的初始質量).已知經過125年3H的質量衰減為最初的,則當3H的質量衰減為最初的時,所經過的時間為(  )
A.325年 B.375年
C.600年 D.1 000年
答案:B
解析:由題意得M0=M0·a-0.008×125,解得a=2,令M=M0,則M0=M0·2-0.008t,解得t=375.故選B.
7.若<<<1,則(  )
A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab
C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa
答案:C
解析:若<<<1,且∈(0,1),函數f(x)=在R上為減函數,f(1)<f(b)<f(a)<f(0),則0<a<b<1,函數y=ax在R上為減函數,有ab<aa,函數y=xa在(0,+∞)上為增函數,有aa<ba,可得ab<aa<ba.故選C.
8.(新定義)若直角坐標系內A,B兩點滿足:(1)點A,B都在f(x)圖象上,(2)點A,B關于原點對稱,則稱點對是函數f(x)的一個“孿生點對”;已知函數f(x)=則f(x)的“孿生點對”有(  )
A.1對 B.2對
C.3對 D.4對
答案:C
解析:作出f(x)的圖象,再作出函數y=,x≥0關于原點對稱的圖象如圖所示.函數y=,x≥0關于原點對稱的圖象與y=-,x<0的圖象有三個交點,故f(x)圖象上“孿生點對”有3對.故選C.
二、選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.)
9.下列根式與分數指數冪的互化正確的是(  )
A.-=(-x
B.=
C.=
D.=
答案:BCD
解析:對于A,-=-(x≥0),而(-x=(x≤0),故A錯誤;對于B,=(y>0),故B正確;對于C,==(x>0),故C正確;對于D,==(x>0),故D正確.故選BCD.
10.已知函數f(x)=則下列結論中錯誤的是(  )
A.f(x)的值域為(0,+∞)
B.f(x)是單調函數
C.f(x)的圖象與直線y=2有兩個交點
D.f(x)是偶函數
答案:ABD
解析:當x≤0時,f(x)=-1單調遞減,且f(x)∈[0,+∞),當x>0時,f(x)=單調遞增,且f(x)∈(0,+∞),所以f(x)的值域為[0,+∞),故A錯誤;f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,故B錯誤;又函數f(x)的圖象與直線y=2在(-∞,0)和(0,+∞)上分別有一個交點,共有兩個交點,故C正確;當x<0時,-x>0,f(-x)=(-x≠-1,即f(-x)≠f(x),所以函數f(x)不是偶函數,故D錯誤.故選ABD.
11.已知函數g(x)=(無理數e=2.718 281…),則下面幾個結論正確的有(  )
A.函數y=g(x)為偶函數
B.函數y=g(x)為奇函數
C.函數y=g(x)在其定義域內單調遞減
D.函數y=g(x)的值域為(-1,1)
答案:BCD
解析:函數g(x)=,定義域為R,g(-x)===-g(x),所以函數g(x)=為奇函數,故A錯誤,B正確;g(x)==-1,顯然y=在R上單調遞減,則f(x)==-1在R上單調遞減,故C正確;函數g(x)==-1,因為1+ex>1,所以0<<1,則0<<2,所以-1<-1<1,即g(x)的值域為(-1,1),故D正確.故選BCD.
三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在橫線上.)
12.已知10a=3,10b=4,則10a+b的值是    .
答案:12
解析:由題意得10a+b=10a·10b=3×4=12.
13.若函數y=ax(a>0,且a≠1)在區間上的最大值是4,最小值為m,且函數y=(1-4m)x在R內是增函數,則a=    .
答案:
解析:若函數g(x)=x在R內是增函數,則1-4m>0,m<,若a>1,因為函數y=f(x)=ax上單調遞增,最大值是4,最小值為m,所以a2=4,m=a-1=,解得a=2,m=,不滿足m<;若0<a<1,因為函數y=f(x)=ax上單調遞減,最大值是4,最小值為m,所以a-1==4,m=a2,解得a=,m=,滿足m<,所以a=.
14.若函數f(x)=在R上滿足>0,則實數a的取值范圍為    .
答案:
解析:因為函數f(x)=是R上的增函數,所以解得4≤a<8,所以實數a的取值范圍是[4,8).
四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)
15.(13分)求下列各式的值:
(1)+×÷-;
(2)+××.
解:(1)原式=[()3+××-1
=(+××-1
=()-2+()-2×-1=+1=.
(2)原式=+×××1=+××××
=+×××××=+××=+1=.
16.(15分)已知函數y=f(x)是指數函數,且它的圖象過點(2,4).
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)畫出指數函數y=f(x)的圖象,并根據圖象解不等式f(2x)>f(-x+3).
解:(1)設函數f(x)=ax(a>0,且a≠1),
把點(2,4)代入f(x)=ax可得a2=4,求得a=2,
所以函數f(x)的解析式為f(x)=2x.
(2)畫出指數函數y=f(x)的圖象如圖所示:
所以函數f(x)=2x在R上單調遞增;由不等式f(2x)>f(-x+3),可得2x>-x+3,解得x>1,
故不等式的解集為(1,+∞).
17.(15分)已知函數f(x)=是定義在R上的奇函數(a>0,b>0).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求當x∈[0,1]時,函數g(x)=f(x)·(3x+1)+9x-1的值域.
解:(1)由函數f(x)=是R上的奇函數,則有f(0)==0,解得a=3,
即f(x)=,
x∈R,f(-x)===-=-f(x),
即 x∈R,b·3x+1=3x+b,解得b=1,經驗證得a=3,b=1時,f(x)是奇函數,
所以f(x)=.
(2)由(1)知,g(x)=f(x)·(3x+1)+9x-1=3-3x+1+9x-1=(3x)2-3×3x+2=(3x-)2-,
當x∈[0,1]時,1≤3x≤3,因此當3x=時,g(x)min=-,當x=1時,g(x)max=2,
所以所求值域為[-,2].
18.(17分)定義在D上的函數f(x),若對任意x∈D,存在常數M>0,都有≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數,其中M稱為函數f(x)的上界.已知函數f(x)=.
(1)若f(x)是奇函數,判斷函數f(x)(x∈R)是否為有界函數,并說明理由;
(2)若f(x)在上是以為上界的函數,求實數m的取值范圍.
解:(1)法一:若f(x)是奇函數,則f(x)+f(-x)=0,
則+=+=0,
所以=0恒成立,
所以f(x)是奇函數時,m=1,
此時f(x)===-1,
由2x>0,知1+2x>1,于是0<<2,則-1<-1<1,
故x∈R時,-1<f(x)<1,即|f(x)|<1,
所以函數f(x)(x∈R)為有界函數.
法二:因為f(x)(x∈R)為奇函數,可得f(0)=0,則有1-m=0,解得m=1.
經檢驗,m=1時,f(x)為奇函數.
此時f(x)===-1,
由2x>0,知1+2x>1,于是0<<2,則-1<-1<1,
故x∈R時,-1<f(x)<1,即|f(x)|<1,
所以函數f(x)(x∈R)為有界函數.
(2)若函數f(x)在為上界的函數,則有≤上恒成立,
故-≤f(x)≤恒成立,
即-≤≤恒成立,
所以

由題可知,不等式組上恒成立.
因為y=-上單調遞減,其最大值為;
又y=+上單調遞減,其最小值為.
所以≤m≤,
故實數m的取值范圍是.
19.(17分)已知函數f(x)=(a為常數,且a≠0,a∈R).請在下面三個函數:
①g1(x)=5x;②g2(x)=5x2;③g3(x)=125x中,選擇一個函數作為g(x),使得f(x)具有奇偶性.
(1)請寫出g(x)的表達式,并求a的值;
(2)當f(x)為奇函數時,若對任意的x∈,都有f(2x)≥mf(x)成立,求實數m的取值范圍.
解:(1)若選①:g(x)=5x,則f(x)=,定義域為R,
若函數f(x)為奇函數,則f(0)=≠0,故函數不能是奇函數,
若函數f(x)為偶函數,則f(-x)===,
由f(-x)=f(x),可得=,
化簡可得a=(x≠0),
則a不為常數,即函數f(x)=不可能為偶函數,不符合題意.
若選②,g(x)=5x2,則f(x)=.
若函數f(x)為奇函數,則f(0)=≠0,不符合題意;
若函數f(x)為偶函數,則f(-x)===,
由f(-x)=f(x),可得=,
整理可得a=-=-=-(x≠0),
則a不為常數,不符合題意.
若選③,g(x)=125x,
則f(x)==5x+·5-x,
f(-x)=5-x+·5x,
當f(x)為奇函數,則f(x)=-f(-x),
即f(x)+f(-x)=(5x+5-x)=0,
可得a=-1;
當f(x)為偶函數,則f(x)=f(-x),
則f(x)-f(-x)=(5x-5-x)=0,可得a=1.
故g(x)=125x,a=±1.
(2)由(1)知,當f(x)為奇函數時,a=-1,f(x)=5x-5-x,
因為x∈,所以5x∈,
由于函數y1=5x在上為增函數,函數y2=5-x在上為減函數,
所以函數f(x)=5x-5-x在上為增函數,則f(x)∈,
若對于任意的x∈,都有f(2x)≥mf(x)成立,
所以m≤==,設t=5x∈,φ(t)=t+,
任取t1,t2∈,且t1<t2,
即≤t1<t2≤25,
則φ(t1)-φ(t2)=-
=(t1-t2)+
=(t1-t2)+=,
因為≤t1<t2≤25,則t1-t2<0,t1t2>5,
可得φ(t1)-φ(t2)<0,即φ(t1)<φ(t2),
所以函數φ(t)在上為增函數,
所以φ(t)min=φ()=+,
即m≤+=.
所以實數m的取值范圍是.
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章末綜合提升
 
第三章 指數運算與指數函數
體 系 構 建
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分 層 探 究
典例
1
  指數式的運算首先注意化簡順序,一般負指數先轉化成正指數,根式化為分數指數冪再運算,其次若出現分式則要注意對分子、分母因式分解以達到約分的目的.
規律方法
典例
2


當0<a<1時,函數y=ax在R上單調遞減,當x<0時,y=-ax在(-∞,0)上遞增,y<-1,當x>0時,y=ax在(0,+∞)上遞減,0<y<1,故A不滿足,D符合題意;當a>1時,函數y=ax在R上單調遞增,當x<0時,y=-ax在(-∞,0)上遞減,-1<y<0,當x>0時,y=ax在(0,+∞)上遞增,y>1,故C不滿足,B符合題意.故選BD.
[-1,0)

規律方法
  指數函數圖象既是直接考查的對象,又是數形結合求交點、最值、解不等式的工具,所以要能熟練畫出這類函數圖象,并會進行平移、對稱、翻折等變換.





典例
3
  在解與指數函數有關的不等式時,主要是利用指數函數的性質,或利用換元法轉化為一元二次不等式.
規律方法




(2)若命題“ a,b∈R,a-2b<b-2a”為真命題,則a,b的大小關系為
A.a<b B.a>b
C.a≤b D.a≥b

典例
4
  指數函數的圖象和性質、方程、不等式的求解可利用單調性進行轉化,對含參數的問題注意進行分類討論.同時要注意變量本身的取值范圍,以免出現增根.
規律方法
對點練4.已知函數f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若函數f(x)的圖象過(0,2)和(2,10)兩點,求f(x)在[0,1]上的值域;
解:由題意,f(0)=a0+b=1+b=2,f(2)=a2+b=10,
又a>0,解得a=3,b=1,所以f(x)=3x+1.
因為f(x)在[0,1]上單調遞增,所以3x+1∈[2,4],
所以f(x)在[0,1]上的值域為[2,4].
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考 教 銜 接
(2024·天津卷)設a,b∈R,則“a3=b3”是“3a=3b”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
真題
1

根據立方的性質和指數函數的性質,a3=b3和3a=3b都當且僅當a=b時成立,所以二者互為充要條件.故選C.
溯源:(教材P92B組T3)設y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a>0,且a≠1.當x為何值時,有:
(1)y1=y2;(2)y1>y2.
點評:該高考題主要考查已知冪函數與指數函數的單調性,與教材習題角度相似,難度相當.
真題
2


函數性質 y=x y=x2 y=x3
定義域
值域
單調性
奇偶性
表3-6
圖象和性質 a>1 0<a<1




質 (1)定義域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)過定點(0,1),即當x=0時,y=1
圖象和性質 a>1 0<a<1

質 (4)當x<0時,0<y<1;當x>0時,y>1 (4)當x<0時,y>1;當x>0時,0<y<1
(5)在R上是增函數
當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于正無窮大;當x值趨近于負無窮大時,函數值趨近于0 (5)在R上是減函數
當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于0;當x值趨近于負無窮大時,函數值趨近于正無窮大
點評:該高考試題直接考查冪函數與指數函數的單調性,難度不大,直接利用教材中的性質.
真題
3

(2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,則a,b,c的大小關系為
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
真題
4

由y=1.01x在R上單調遞增,則a=1.010.5<b=1.010.6,由y=x0.5在[0,+∞)上單調遞增,則a=1.010.5>c=0.60.5.所以b>a>c.故選D.
真題
5

(2023·新課標Ⅰ卷)設函數f(x)=2x(x-a)在區間(0,1)單調遞減,則a的取值范圍是
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
真題
6


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單 元 檢 測 卷


根據指數函數性質知3a-2>1,解得a>1,所以實數a的取值范圍是(1,+∞).故選C.

由函數f(x)=ax-1+1(a>0且a≠1),令x-1=0,即x=1,可得f(1)=a0+1=2,所以函數f(x)的圖象恒過定點P(1,2).故選A.

















12.已知10a=3,10b=4,則10a+b的值是______.
由題意得10a+b=10a·10b=3×4=12.
12




16.(15分)已知函數y=f(x)是指數函數,且它的圖象過點(2,4).
(1)求函數f(x)的解析式;
解:設函數f(x)=ax(a>0,且a≠1),
把點(2,4)代入f(x)=ax可得a2=4,求得a=2,
所以函數f(x)的解析式為f(x)=2x.
(2)畫出指數函數y=f(x)的圖象,并根據圖象解不等式f(2x)>f(-x+3).
解:畫出指數函數y=f(x)的圖象如圖所示:
所以函數f(x)=2x在R上單調遞增;由不等式f(2x)>f(-x+3),可得2x>-x+3,解得x>1,
故不等式的解集為(1,+∞).
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