資源簡介

章末綜合提升
探究點一　求函數的定義域、值域
(1)已知集合M＝，N＝{x｜y＝}，則M∩N＝(　　)
A.[－4，1) B.[－1，1)
C.(1，3) D.[1，4]
(2)(多選題)下列函數中值域是[0，＋∞)的是(　　)
A.y＝ B.y＝x2＋x＋
C.y＝ D.y＝2x＋1
答案：(1)A　(2)AB
解析：(1)由函數y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，可得M＝，又由函數y＝有意義，可得1－x＞0，解得x＜1，所以N＝{x｜x＜1}，所以M∩N＝.故選A.
(2)要使y＝有意義，則x2＋3x＋2＝－≥0，故y＝＝≥0，故A符合題意；y＝x2＋x＋＝≥0，故B符合題意；y＝＞0，故C不符合題意；y＝2x＋1，則y∈R，故D不符合題意.故選AB.
　　求函數的定義域，始終記住是求使函數有意義的自變量x的取值范圍；求函數的值域，別忘了定義域優先的原則.另外，定義域、值域一定要寫成集合或區間的形式.
對點練1.(1)已知函數f(x)的定義域和值域都是[0，1]，則函數f的定義域和值域分別為(　　)
A.和[－1，0] B.和[0，1]
C.[－1，0]和[－1，0] D.[－1，0]和[0，1]
(2)(多選題)如果某函數的定義域與其值域的交集是[a，b]，則稱該函數為“[a，b]交匯函數”.下列函數是“[0，1]交匯函數”的是(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝1－x2 D.y＝
答案：(1)D　(2)BD
解析：(1)因為函數f(x)的定義域為[0，1]，則0≤≤1，即－1≤x≤0，所以函數f的定義域為[－1，0].又函數f(x)的值域為[0，1]，所以f的值域為[0，1].故選D.
(2)由[a，b]交匯函數定義可知：[0，1]交匯函數表示函數定義域與值域的交集為[0，1].對于A，y＝的定義域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，則A∩B＝[0，＋∞)，故A錯誤；對于B，y＝的定義域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，則A∩B＝[0，1]，故B正確；對于C，y＝1－x2的定義域A＝R，值域B＝(－∞，1]，則A∩B＝(－∞，1]，故C錯誤；對于D，y＝的定義域A＝[－1，1]，值域B＝[0，1]，則A∩B＝[0，1]，故D正確.故選BD.
探究點二　分段函數
已知函數f(x)＝是奇函數.
(1)求實數m的值；
(2)若函數f(x)在區間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍.
解：(1)設x＜0，則－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)為奇函數，
所以f(－x)＝－f(x)，所以當x＜0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，結合f(x)的圖象(如圖所示)，
知所以1＜a≤3，故實數a的取值范圍是(1，3].
解決分段函數問題的方法
1.對于分段函數求值問題，首先判斷自變量所在區間，然后代入對應解析式求值，對于“嵌套”求值問題，要從內往外逐層計算.
2.解方程或不等式時：一是分段求解，按自變量在不同區間討論求解，最后求并集；二是畫出分段函數圖象，利用數形結合法求解，也可以利用分段函數的單調性轉化求解.
對點練2.(1)已知函數f(x)＝在R上單調遞增，則實數m的取值范圍是(　　)
A.m≥1 B.m≥3
C.1≤m≤3 D.m≤1或m≥3
(2)已知f(x)＝若f(a)＝12，則a的值為　　　　??；若其圖象與y＝b有三個交點，則實數b的取值范圍為　　　　　　.
答案：(1)B　(2)12　(0，4)
解析：(1)因為y＝x2－2x＝(x－1)2－1在上單調遞增，y＝x在R上單調遞增，又f(x)＝在R上單調遞增，所以解得m≥3，即實數m的取值范圍是m≥3.故選B.
(2)①當a＞0時，f(a)＝a＝12，當a≤0時，f(a)＝－a(a＋4)＝12，解得a∈ ，綜上a＝12.
②作出f(x)＝的圖象，如圖，由圖象可知，當0＜b＜4時，函數圖象與y＝b有三個不同的交點，所以實數b的取值范圍為(0，4).
探究點三　函數的性質及應用
已知函數f(x)＝x＋，且f(1)＝2.
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)判斷函數f(x)在[1，＋∞)上的單調性，并證明你的結論；
(3)求函數f(x)在[1，2]上的值域.
解：因為f(x)＝x＋，且f(1)＝2，所以1＋m＝2，解得m＝1.
(1)函數f(x)為奇函數，
證明：f(x)＝x＋，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，
又f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，
所以函數f(x)為奇函數.
(2)函數f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，
證明：設1≤x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝x2＋－＝(x2－x1)，
因為1≤x1＜x2，所以x2－x1＞0，1－＞0，
故f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以函數f(x)在[1，＋∞)上單調遞增.
(3)由(2)得函數f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，故函數f(x)在[1，2]上單調遞增，
又f(1)＝2，f(2)＝2＋＝，
所以函數f(x)在[1，2]上的值域為.
1.解決有關函數性質的綜合應用問題的通法就是根據函數的奇偶性解答或作出圖象輔助解答，先證明函數的單調性，再由單調性求最值.
2.研究抽象函數的性質時要緊扣其定義，同時注意根據解題需要給x靈活賦值.
對點練3.已知函數f(x)＝x＋.
(1)當x∈[2，6]，求函數f(x)的值域；
(2)若任意x∈，使得x2－ax＋1≥0恒成立，求實數a的取值范圍.
解：(1)任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，則x2－x1＞0，x2x1＞1，
則f(x2)－f(x1)＝－＝x2－x1＋－＝＞0，
所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函數f(x)是[1，＋∞)上的增函數，因此函數在[2，6]上單調遞增，
f(2)＝，f(6)＝，故值域為.
(2)由任意x∈，使得x2－ax＋1≥0恒成立可得對任意x∈，a≤＝x＋恒成立，由(1)可推導函數f(x)＝x＋上單調遞減，
故最小值為f＝，故實數a的取值范圍為(－∞，］.
探究點四　函數的圖象及應用
已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x，現已畫出函數f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示，請根據圖象解決問題.
(1)補充完整圖象并寫出函數f(x)(x∈R)的增區間；
(2)寫出函數f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函數g(x)＝f(x)－2ax＋1(x∈[1，2])，求函數g(x)的最小值.
解：(1)因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，所以函數f(x)的圖象關于y軸對稱，
由對稱性即可補充完整圖象，如圖所示：
由圖可知，函數f(x)的遞增區間為(－1，0)和(1，＋∞).
(2)根據題意，當x＞0時，－x＜0，
所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(x)＝f(－x)＝x2－2x(x＞0)，
所以f(x)＝
(3)當x∈[1，2]時，g(x)＝x2－2x－2ax＋1＝(x－1－a)2－a2－2a，對稱軸為x＝1＋a，
當1＋a≤1，即a≤0時，g(x)在[1，2]上單調遞增，所以g(x)min＝g(1)＝－2a；
當1＋a≥2，即a≥1時，g(x)在[1，2]上單調遞減，所以g(x)min＝g(2)＝1－4a；
當1＜1＋a＜2，即0＜a＜1時，g(x)在上單調遞減，在上單調遞增，
所以g(x)min＝g(1＋a)＝－a2－2a.
綜上，函數g(x)的最小值
g(x)min＝
　　利用函數的圖象可以直觀地看出函數的性質：如：函數的單調區間、函數的最值、函數的奇偶性等；重點利用好一次函數、反比例函數、二次函數、以及冪函數、對勾函數的圖象并能解決一些與圖象有關的問題.
對點練4.(1)(新情境)我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”，在數學學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征，如函數f(x)＝的圖象大致形狀是(　　)
(2)(新定義)定義max為a，b，c中的最大值，設h(x)＝max，則h(x)的最小值為(　　)
A. B.4
C.0 D.
答案：(1)A　(2)D
解析：(1)由于f(x)＝，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，此時可排除C、D，且當x＞1，f(x)＞0，0＜x＜1，f(x)＜0，此時可排除B，故選A.
(2)分別畫出y＝x2，y＝x，y＝6－x的圖象，則函數h(x)的圖象為圖中實線部分.
由圖知：函數h(x)的最低點為A，由 解得即A.所以h(x)的最小值為.故選D.
(2022·天津卷)函數y＝的圖象大致為(　　)
答案：A
解析：記f(x)＝，則對任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函數，所以y＝f(x)的圖象關于原點對稱，故排除C，D；因為｜x2－1｜≥0，所以當x＞0時，f(x)≥0，當x＜0時，f(x)≤0，故排除B.故選A.
溯源：(教材P68練習T1)畫出下列函數的圖象，并判斷其奇偶性：
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝＋1；
(3)f(x)＝2(x＋1)2＋1.
點評：該高考題主要考查已知解析式作函數的圖象，與教材習題角度完全相同(主要考查單調性)，難度高于教材.
(2021·北京卷)已知f(x)是定義在[0，1]上的函數，那么“函數f(x)在[0，1]上單調遞增”是“函數f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)”的(　　)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
答案：A
解析：若函數f(x)在[0，1]上單調遞增，則f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)，若f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)，比如f(x)＝，但f(x)＝上為減函數，在上為增函數，故f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)推不出f(x)在[0，1]上單調遞增，故“函數f(x)在[0，1]上單調遞增”是“f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)”的充分而不必要條件.故選A.
溯源：(教材P64例5)試用函數單調性的定義證明：函數f(x)＝x＋在區間(0，1]上單調遞減，在區間[1，＋∞)上單調遞增.
點評：該高考題主要考查利用函數的單調性求最值，與教材例題角度相同，但難度高于教材，在教材的基礎上更深一步.
(2022·北京卷)函數f(x)＝＋的定義域是　　　　.
答案：(－∞，0)∪
解析：因為f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0，故函數的定義域為(－∞，0)∪(0，1].
溯源：(教材P55例2)求下列函數的定義域：
(1)y＝2x＋3＋；
(2)y＝＋；
(3)y＝＋.
點評：該高考題主要考查求函數的定義域，與教材例題角度相同，難度相當.
(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函數，則a＝　　　　.
答案：0
解析：因為f(x)是奇函數，故f(x)＋f(－x)＝0，即x3＋a＋(－x)3＋a＝0，故a＝0.
溯源：(教材P73B組T7)已知函數f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函數，求實數a的值.
點評：該高考題主要考查利用函數的奇偶性求參數，與教材復習題角度完全相同，難度相當，只是改變了函數的奇偶性.
(2022·浙江卷)已知函數f(x)＝則f＝　　　??；若當x∈[a，b]時，1≤f(x)≤3，則b－a的最大值是　　　　.
答案：　3＋
解析：由已知f()＝－＋2＝，f()＝＋－1＝，所以f＝，當x≤1時，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1，當x＞1時，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1＜x≤2＋；1≤f(x)≤3等價于－1≤x≤2＋，所以[a，b] [－1，2＋]，所以b－a的最大值為3＋.
溯源：(教材P72A組T2(2))已知f(x)＝求f(－5)，f(f(－1)).
點評：該高考題主要考查結合分段函數的解析式求函數值、根據分段函數的值域(最值)求參數取值范圍，與教材復習題角度完全相同，在教材的基礎上加深一步，難度高于教材.
(2022·北京卷)設函數f(x)＝若f(x)存在最小值，則a的一個取值為　　　　；a的最大值為　　　　.
答案：0(答案不唯一)　1
解析：若a＝0，f(x)＝所以f(x)min＝0；若a＜0，當x＜a時，f(x)＝－ax＋1單調遞增，當x→－∞時，f(x)→－∞，故f(x)沒有最小值，不符合題目要求；若a＞0，當x＜a時，f(x)＝－ax＋1單調遞減，f(x)＞－a2＋1，當x≥a時，f(x)min＝解得0＜a≤1，綜上可得，0≤a≤1，a的最大值為1.
溯源：(教材P73B組T3)已知函數f(x)＝｜x＋1｜＋｜2x＋a｜的最小值為3，求實數a的值.
點評：該高考題主要考查結合分段函數的解析式求參數、與教材復習題角度相同，難度略高于教材.
單元檢測卷(二)　函　數
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.函數f(x)＝的定義域為(　　)
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
答案：B
解析：要使得f(x)＝有意義，則x－1＞0，所以x＞1.故函數f(x)＝的定義域為(1，＋∞).故選B.
2.下列各組函數是同一個函數的是(　　)
A.f(x)＝與g(x)＝x
B.f(x)＝·與g(x)＝
C.f(x)＝與g(x)＝()2
D.f(x)＝與g(x)＝x＋10
答案：A
解析：對于A，易知兩函數定義域均為R，且f(x)＝＝＝x＝g(x)，故A正確；對于B，f(x)＝·，而g(x)＝∪，兩函數定義域不同，故B錯誤；對于C，f(x)＝的定義域為R，g(x)＝()2的定義域為，兩函數定義域不同，故C錯誤；對于D，易知兩函數定義域均為R，但f(x)＝＝≠g(x)，故D錯誤.故選A.
3.若冪函數f(x)＝x1－m在(0，＋∞)上單調遞減，則實數m的值為(　　)
A.－3 B.－2 C.2 D.3
答案：D
解析：根據冪函數定義和單調性，知則m＝3.故選D.
4.已知函數f(x)＝x2－mx＋5在上單調遞減，則m的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由二次函數性質可知，要使函數f(x)在上單調遞減，只需≥2，解得m≥4，即m的取值范圍為.故選A.
5.函數f(x)＝在區間[－1，3]上的圖象大致是(　　 )
答案：B
解析：因為f(x)＝＝，x∈[－1，3]，所以f(2＋x)＋f(－x)＝＋＝0，所以f(x)的圖象關于點(1，0)中心對稱，故排除C，D，又f(3)＝＝＞0，故排除A.故選B.
6.已知f(x)為定義在R上的函數，f(2)＝2，且g(x)＝f(2x)＋x2為奇函數，則f(－2)＝(　　)
A.－4 B.－2
C.0 D.2
答案：A
解析：因為g(x)＝f(2x)＋x2是奇函數，所以g(－1)＋g(1)＝f(－2)＋1＋f(2)＋1＝0，所以f(－2)＝－4.故選A.
7.已知f(x)＝在(－∞，＋∞)上滿足＜0，則實數a的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因為f(x)＝＜0，所以f(x)在上單調遞減，需滿足≤a＜3，即實數a的取值范圍為.故選B.
8.記實數x1，x2，…，xn的最小數為min{x1，x2，…，xn}，若f(x)＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}，則函數f(x)的最大值為(　　)
A.4 B.
C.1 D.5
答案：B
解析：如圖所示，在同一個坐標系中，分別作出函數y1＝x＋1，y2＝x2－2x＋1，y3＝－x＋8的圖象，而f(x)＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}的圖象如圖中實線部分；由聯立，
解得故所求函數f(x)的最大值為.故選B.
二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)
9.已知函數f(x)＝，則(　　)
A.f(x)的定義域是∪(1，＋∞)
B.f(x)在∪(1，＋∞)上單調遞減
C.f(x＋1)是奇函數
D.f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案：ACD
解析：對于A，由f(x)＝，得x－1≠0，所以f(x)的定義域為∪(1，＋∞)，故A正確；對于B，因為f(x)＝可以看成是函數y＝向右平移1個單位得到，所以f(x)在和(1，＋∞)上單調遞減，故B錯誤；對于C，因為f(x＋1)＝，所以f(x＋1)是奇函數，故C正確；對于D，因為f(x)＝≠0，所以f(x)的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正確.故選ACD.
10.若函數f(x)與g(x)的值域相同，但定義域不同，則稱f(x)和g(x)是“同象函數”，已知函數f(x)＝x2，x∈[0，1]，則下列函數中與f(x)是“同象函數”的有(　　)
A.g(x)＝x2，x∈[－1，0]
B.g(x)＝，x∈
C.g(x)＝｜x｜，x∈
D.g(x)＝－4x2＋4｜x｜，x∈[－1，1]
答案：ACD
解析：因為函數f(x)＝x2，x∈[0，1]，所以其定義域為[0，1]，值域為[0，1]；對于A，g(x)＝x2，x∈[－1，0]，其定義域為[－1，0]，值域為[0，1]，是“同象函數”；對于B，g(x)＝，x∈，其定義域為，值域為，不是“同象函數”；對于C，g(x)＝｜x｜，x∈，其定義域為，值域為[0，1]，是“同象函數”；對于D，g(x)＝－4x2＋4｜x｜，x∈[－1，1]，其定義域為[－1，1]，值域為[0，1]，是“同象函數”.故選ACD.
11.已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＞0時，f(x)＞0，f(2)＝4，則(　　)
A.f(4)＝8
B.f(x)為奇函數
C.f(x)為減函數
D.當x＜－2時，f(x)－2＞f(2x＋1)
答案：ABD
解析：對于A，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝2得f(4)＝f(2)＋f(2)＝8，故A正確；對于B，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，故f(x)為奇函數，故B正確；對于C，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝x1，y＝x2－x1，且x2＞x1.故f(x1＋x2－x1)－f(x1)＝f(x2－x1)，即f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)，當x＞0時，f(x)＞0，故f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故f(x)為增函數，故C錯誤；對于D，f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝4 f(1)＝2，則f(x)－2＝f(x)－f(1)＝f(x－1)，又x＜－2，故x－1＞2x＋1，又f(x)是增函數，所以f(x)－2＞f(2x＋1)，故D正確.故選ABD.
三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在橫線上.)
12.若函數f(x)＝且f(f(－1))＝，則a＝　　　　.
答案：0
解析：因為f(－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝＝，解得a＝0.
13.已知y＝f(x)是偶函數，y＝g(x)是奇函數，它們的定義域都是[－3，3]，且它們在x∈[0，3]上的圖象如圖所示，則不等式f(x)g(x)＜0的解集是　　　　　　　　.
答案：∪(0，1)∪
解析：f(x)g(x)＜0
或解得－2＜x＜－1或0＜x＜1，或2＜x＜3，所以不等式的解集為∪(0，1)∪.
14.設函數f(x)＝若存在x∈R，使得f(1＋x)＝f(1－x)成立，則實數a的取值范圍是　　　　.
答案：(1，＋∞)
解析：若f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.在同一直角坐標系中畫出函數y＝x和y＝－x2＋2x的圖象，如圖所示.若存在x∈R，使得f(1＋x)＝f(1－x)，則a＞1，所以實數a的取值范圍是(1，＋∞).
四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
15.(13分)已知f(x)＝，x∈.
(1)求證：函數f(x)在區間上是增函數；
(2)求函數f(x)在區間上的值域.
解：(1)證明：令－2＜x1＜x2＜2，
則f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
＝，
又x1x2－4＜0，x1－x2＜0，＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以函數f(x)在區間上是增函數.
(2)由(1)知函數f(x)在區間上是增函數，又f(－2)＝－，f(2)＝，
所以函數f(x)在區間.
16.(15分)已知函數f(x)是定義在[－2，2]上的奇函數，當0≤x≤2時，f(x)＝x2＋2x.
(1)當－2≤x＜0時，求函數f(x)的解析式；
(2)若f(2a－1)＋f(4a－3)＞0，求實數a的取值范圍.
解：(1)設－2≤x＜0，則0＜－x≤2，
所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
又因為函數f(x)是定義在[－2，2]上的奇函數，故f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，
故當－2≤x＜0時，函數f(x)的解析式為f(x)＝－x2＋2x.
(2)由(1)知函數
f(x)＝
可得奇函數f(x)在[－2，2]上單調遞增，
所以f(2a－1)＋f(4a－3)＞0，
即為f(2a－1)＞－f(4a－3)＝f(3－4a)，
所以2a－1＞3－4a，解得a＞.
又因為2a－1≤2，且－2≤3－4a，解得a≤，
故實數a的取值范圍為.
17.(15分)已知函數f(x)＝
(1)求f(f(10))的值；
(2)求f(x)的最大值.
解：(1)因為f(10)＝－102＋20×10－64＝36，
則f(f(10))＝f(36)＝－36－＋76＝31.
(2)當x∈[3，12)時，f(x)＝－x2＋20x－64＝－(x－10)2＋36，
當x＝10時，f(x)有最大值，最大值為f(10)＝36；
當x∈[12，40]時，f(x)＝－x－＋76＝－(x＋)＋76≤－2＋76＝－2×18＋76＝40，
當且僅當x＝時，即x＝18時，等號成立，則最大值為f(18)＝40；
綜上所述，當x＝18時，f(x)有最大值為40.
18.(17分)已知函數f(x)＝，其中a∈R.
(1)當函數f(x)的圖象關于點P(－1，3)成中心對稱時，求a的值；
(2)若函數f(x)在(－1，＋∞)上單調遞減，求a的取值范圍；
(3)若a＝2，求函數f(x)在區間(－∞，－2)上的值域.
解：(1)因為 “函數y＝f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱”的充要條件為
“函數y＝f(x＋a)－b是奇函數”，所以當f(x)的圖象關于點P(－1，3)成中心對稱時，
y＝f(x－1)－3＝－3＝(a－3)＋是奇函數，
所以a－3＝0，解得a＝3.
(2)因為函數f(x)＝＝＝a＋，
當f(x)在(－1，＋∞)上單調遞減時，2－2a＞0，解得a＜1，
所以實數a的取值范圍為(－∞，1).
(3)當a＝2時，f(x)＝＝2－，
函數f(x)在區間(－∞，－2)上是單調增函數，所以2＜f(x)＜2－，即2＜f(x)＜4，
所以函數f(x)在區間(－∞，－2)上的值域是(2，4).
19.(17分)若函數G在m≤x≤n(m＜n)上的最大值記為ymax，最小值記為ymin，且滿足ymax－ymin＝1，則稱函數G是在m≤x≤n上的“美好函數”.
(1)函數①y＝x＋1；②y＝｜2x｜；③y＝x2，其中函數　　是在1≤x≤2上的“美好函數”；(填序號)
(2)已知函數G：y＝ax2－2ax－3a(a≠0).
①函數G是在1≤x≤2上的“美好函數”，求a的值；
②當a＝1時，函數G是在t≤x≤t＋1上的“美好函數”，求t的值.
解：(1)①當x＝1時，ymin＝2，當x＝2時，ymax＝3，所以ymax－ymin＝1，符合題意；
②當x＝1時，ymin＝2，當x＝2時，ymax＝4，所以ymax－ymin＝2，不符合題意；
③當x＝1時，ymin＝1，當x＝2時，ymax＝4，所以ymax－ymin＝3，不符合題意.
故答案為①.
(2)①二次函數G：y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，對稱軸為直線x＝1，
當x＝1時，y＝－4a，當x＝2時，y＝－3a.
當a＞0時，函數圖象開口向上，在[1，2]上單調遞增，
ymax－ymin＝－3a－(－4a)＝1，a＝1，
當a＜0時，函數圖象開口向下，在[1，2]上單調遞減，
ymax－ymin＝－4a－(－3a)＝1，a＝－1，
綜上得，a＝1或－1.
②當a＝1時，y＝x2－2x－3，對稱軸為直線x＝1.
當x＝t時，y1＝t2－2t－3，當x＝t＋1時，y2＝(t＋1)2－2(t＋1)－3＝t2－4，
當x＝1時，y3＝－4.區間[t，t＋1]的中間值為t＋.
當t＞1時，ymax－ymin＝y2－y1＝t2－4－(t2－2t－3)＝1，解得t＝1，不符合題意；
當≤t≤1時，則ymax－ymin＝y2－y3＝t2－4－＝1，解得t＝1或－1(舍去)；
當即0≤t＜時，則ymax－ymin＝y1－y3＝－＝1，解得t＝0或t＝2(舍去)；
當t＋1＜1，即t＜0時，則ymax－ymin＝y1－y2＝t2－2t－3－＝1，解得t＝0(舍去).
綜上，t＝0或1.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)(共73張PPT)
章末綜合提升
　
第二章　函數
體 系 構 建
返回
分 層 探 究
典例
1
√
√
√
　　求函數的定義域，始終記住是求使函數有意義的自變量x的取值范圍；求函數的值域，別忘了定義域優先的原則.另外，定義域、值域一定要寫成集合或區間的形式.
規律方法
√

√
√
典例
2
解：設x＜0，則－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)為奇函數，
所以f(－x)＝－f(x)，所以當x＜0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
規律方法
解決分段函數問題的方法
1.對于分段函數求值問題，首先判斷自變量所在區間，然后代入對應解析式求值，對于“嵌套”求值問題，要從內往外逐層計算.
2.解方程或不等式時：一是分段求解，按自變量在不同區間討論求解，最后求并集；二是畫出分段函數圖象，利用數形結合法求解，也可以利用分段函數的單調性轉化求解.
√

12
(0，4)
典例
3
1.解決有關函數性質的綜合應用問題的通法就是根據函數的奇偶性解答或作出圖象輔助解答，先證明函數的單調性，再由單調性求 最值.
2.研究抽象函數的性質時要緊扣其定義，同時注意根據解題需要給x靈活賦值.
規律方法
探究點四　函數的圖象及應用
已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≤0
時，f(x)＝x2＋2x，現已畫出函數f(x)在y軸左側的圖象，
如圖所示，請根據圖象解決問題.
(1)補充完整圖象并寫出函數f(x)(x∈R)的增區間；
解：因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，所以函數f(x)
的圖象關于y軸對稱，
由對稱性即可補充完整圖象，如圖所示：
由圖可知，函數f(x)的遞增區間為(－1，0)
和(1，＋∞).
典例
4
　　利用函數的圖象可以直觀地看出函數的性質：如：函數的單調區間、函數的最值、函數的奇偶性等；重點利用好一次函數、反比例函數、二次函數、以及冪函數、對勾函數的圖象并能解決一些與圖象有關的問題.
規律方法
√

√

返回
考 教 銜 接
真題
1
√
(2021·北京卷)已知f(x)是定義在[0，1]上的函數，那么“函數f(x)在[0，1]上單調遞增”是“函數f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
真題
2
√
真題
3
(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函數，則a＝______.
真題
4
因為f(x)是奇函數，故f(x)＋f(－x)＝0，即x3＋a＋(－x)3＋a＝0，故a＝0.
0
溯源：(教材P73B組T7)已知函數f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函數，求實數a 的值.
點評：該高考題主要考查利用函數的奇偶性求參數，與教材復習題角度完全相同，難度相當，只是改變了函數的奇偶性.
真題
5


真題
6

0(答案不唯一)
1
溯源：(教材P73B組T3)已知函數f(x)＝｜x＋1｜＋｜2x＋a｜的最小值為3，求實數a的值.
點評：該高考題主要考查結合分段函數的解析式求參數、與教材復習題角度相同，難度略高于教材.
返回
單 元 檢 測 卷
√
√

√

√

√
6.已知f(x)為定義在R上的函數，f(2)＝2，且g(x)＝f(2x)＋x2為奇函數，則f(－2)＝
A.－4 B.－2
C.0 D.2
√
因為g(x)＝f(2x)＋x2是奇函數，所以g(－1)＋g(1)＝f(－2)＋1＋f(2)＋1＝0，所以f(－2)＝－4.故選A.
√

√

√
√
√
√
√
√
11.已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＞0時，f(x)＞0，f(2)＝4，則
A.f(4)＝8
B.f(x)為奇函數
C.f(x)為減函數
D.當x＜－2時，f(x)－2＞f(2x＋1)
√
√
√
對于A，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝2得f(4)＝f(2)＋f(2)＝8，故A正確；對于B，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，故f(x)為奇函數，故B正確；對于C，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝x1，y＝x2－x1，且x2＞x1.故f(x1＋x2－x1)－f(x1)＝f(x2－x1)，即f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)，當x＞0時，f(x)＞0，故f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故f(x)為增函數，故C錯誤；對于D，f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝4 f(1)＝2，則f(x)－2＝f(x)－f(1)＝f(x－1)，又x＜－2，故x－1＞2x＋1，又f(x)是增函數，所以f(x)－2＞f(2x＋1)，故D正確.故選ABD.
0
13.已知y＝f(x)是偶函數，y＝g(x)是奇函數，它們的定義域都是[－3，3]，且它們在x∈[0，3]上的圖象如圖所示，則不等式f(x)g(x)＜0的解集是__________________________.

若f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.
在同一直角坐標系中畫出函數y＝x和y＝－x2＋2x的圖象，
如圖所示.若存在x∈R，使得f(1＋x)＝f(1－x)，則a＞1，
所以實數a的取值范圍是(1，＋∞).
(1，＋∞)
16.(15分)已知函數f(x)是定義在[－2，2]上的奇函數，當0≤x≤2時，f(x)＝x2＋2x.
(1)當－2≤x＜0時，求函數f(x)的解析式；
解：設－2≤x＜0，則0＜－x≤2，
所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
又因為函數f(x)是定義在[－2，2]上的奇函數，故f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，
故當－2≤x＜0時，函數f(x)的解析式為f(x)＝－x2＋2x.
19.(17分)若函數G在m≤x≤n(m＜n)上的最大值記為ymax，最小值記為ymin，且滿足ymax－ymin＝1，則稱函數G是在m≤x≤n上的“美好函數”.
(1)函數①y＝x＋1；②y＝｜2x｜；③y＝x2，其中函數______是在1≤x≤2上的“美好函數”；(填序號)
解：①當x＝1時，ymin＝2，當x＝2時，ymax＝3，所以ymax－ymin＝1，符合題意；
②當x＝1時，ymin＝2，當x＝2時，ymax＝4，所以ymax－ymin＝2，不符合
題意；
③當x＝1時，ymin＝1，當x＝2時，ymax＝4，所以ymax－ymin＝3，不符合
題意.
故答案為①.
(2)已知函數G：y＝ax2－2ax－3a(a≠0).
①函數G是在1≤x≤2上的“美好函數”，求a的值；
解：二次函數G：y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，對稱軸為直線x＝1，
當x＝1時，y＝－4a，當x＝2時，y＝－3a.
當a＞0時，函數圖象開口向上，在[1，2]上單調遞增，
ymax－ymin＝－3a－(－4a)＝1，a＝1，
當a＜0時，函數圖象開口向下，在[1，2]上單調遞減，
ymax－ymin＝－4a－(－3a)＝1，a＝－1，
綜上得，a＝1或－1.
返回

展開更多......

收起↑