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專題6 一元二次方程-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·廣州）關于x的方程根的情況為（　?。?br/>A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．無實數根 D．只有一個實數根
【答案】C
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：由題意可得：
∴方程無實根
故答案為：C
【分析】根據二次方程判別式可得方程無實根.
2．（2025·蘭州） 若關于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有兩個不相等的實數根，則a的值可以是（　?。?br/>A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知識點】解一元一次不等式；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有兩個不相等的實數根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案為： D.
【分析】根據一元二次方程x2+2x+a＝0有兩個不相等的實數根得到，計算即可判斷.
3．（2025·廣西）已知是方程的兩個實數根，則（　　）
A． B． C．20 D．25
【答案】C
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的兩個實數根
∴20
故答案為： C
【分析】根據二次方程根與系數的關系即可求出答案.
4．（2025·白銀）關于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有兩個實數根，則m的取值范圍是（　?。?br/>A．m<3 B．m≤3 C．m>3 D．m≥3
【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵關于的一元二次方程有兩個實數根，
∴，
解得：，
故答案為：B.
【分析】根據一元二次方程根的判別式：①當時，方程有兩個不相等的實數根；②當時，方程有兩個相等的實數根；③當時，方程沒有實數根，據此得關于的不等式，解不等式即可得的取值范圍.
5．（2025·湖北） 一元二次方程的兩個實數根為，下列結論正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵的兩個實數根為
∴
故答案為：D
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系即可求出答案.
6．（2025·河北）若一元二次方程的兩根之和與兩根之積分別為，，則點在平面直角坐標系中位于（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：，即x2+2x-3=0
∴x1+x2=-2=m
x1x2=-3=n
∴點即為(-2，-3)，再第三象限
故答案為：C
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得m，n，再根據各象限內點的坐標特征即可求出答案.
7．（2025·新疆維吾爾自治區）如圖，小明在數學綜合實踐活動中，利用一面墻（墻足夠長）和24m長的圍欄圍成一個面積為40m2的矩形場地．設矩形的寬為xm，根據題意可列方程（　?。?br/>A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40
C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40
【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設矩形的寬為xm，則長為（24-x）m
∴x（24﹣2x）＝40
故答案為：A
【分析】設矩形的寬為xm，則長為（24-x）m，根據矩形面積即可求出答案.
8．（2025·遼寧）中國古代數學家楊輝的《田畝比類乘除捷法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何．”其大意是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的寬共60步，問它的長比寬多多少步？設這個矩形的寬為步，根據題意可列方程為（　　）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設這個矩形的寬為步，則長為步，
根據題意可列方程為：
故答案為：A.
【分析】設這個矩形的寬為步，先表示出長，再根據“一塊矩形田地的面積為864平方步”可列方程.
9．（2025·廣東）廣東省統計局的相關數據顯示，近年來高技術制造業呈現快速增長態勢.某公司工業機器人在今年5月產值達到2500萬元，預計7月產值將增至9100萬元.設該公司6，7兩個月產值的月均增長率為x，可列出的方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【解答】解： 設該公司6，7兩個月產值的月均增長率為x
代入平均增長率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案為： A.
【分析】：根據平均增長率的計算公式，結合題目中的已知條件已知該公司 5 月產值（即初始量a）為2500萬元；月均增長率為x；從 5 月到 7 月經過了2個月，即增長次數n = 2；7 月產值（即增長后的量b）將增至9100萬元?？梢粤谐龇匠?。
10．（2025·重慶市）某景區2022年接待游客25萬人，經過兩年加大旅游開發力度，該景區2024年接待游客達到36萬人，那么該景區這兩年接待游客的年平均增長率為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【解答】解：設年平均增長率為x，
由題意可得：，
解得或（舍去負值），
∴該景區這兩年接待游客的年平均增長率為，
故答案為：B.
【分析】根據題意找出等量關系求出，再解方程求解即可.
二、填空題
11．（2025·廣東）不解方程，判斷一元二次方程 的根的情況是　 　.
【答案】有兩個不相等的實數根
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：對于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次項系數a = 2，一次項系數b = 1，常數項c = - 1；
將a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴該方程有兩個不相等的實數根。
故答案為：有兩個不相等的實數根 .
【分析】：可根據一元二次方程根的判別式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分別是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次項系數、一次項系數和常數項 ）來判斷方程根的情況.
12．（2025·青海） 若 是一元二次方程 的一個根，則c的值為　 　.
【答案】3
【知識點】已知一元二次方程的根求參數
【解析】【解答】解：將x=1代入方程得1-4+c=0，解得c=3.
故填 ：3.
【分析】將方程的根代入方程即可得c的值.
13．（2025·蘇州）已知. 是關于 x 的一元二次方程 的兩個實數根，其中 則 　 　.
【答案】-3
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵是關于的一元二次方程 的兩個實數根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：-3.
【分析】利用一元二次方程根與系數的關系得的值，將的值代入即可求出的值.
14．（2025·綏化）已知m，n是關于x的一元二次方程。x2-2025x+1=0的兩個根，則（m+1）（n+1）=　 　.
【答案】2027
【知識點】多項式乘多項式；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解： ∵m，n是關于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的兩個根，
∴
∴（m+1）（n+1）=
故答案為：2027.
【分析】根據一元二次方程根與系數公式，再化簡（m+1）（n+1），代值計算即可解答.
15．（2025·東營）若關于的方程無實根，則的取值范圍是　 ?。?br/>【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；方程的定義及分類；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【解答】解： 因為方程無實根，所以分兩種情況討論：
①當k=-1時，原方程無實數根，
②當k2-10時，原方程為一元二次方程；
∵方程無實根，
∴△=(k+1)2-4×(k2-1)×<0，即△=2k+2<0，
解得：kく-1；
綜上，k的取值范圍是k≤-1，
故答案為：.
【分析】因為方程無實根，所以分兩種情況討論：①當k=-1時，原方程無實數；②根根據一元二次方程無實數根的定義得：，列式計算即可解答.
16．（2025·成都）從，1，2這三個數中任取兩個數分別作為a，b的值，則關于x的一元二次方程有實數根的概率為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 關于x的一元二次方程有實數根，
∴，
當a=-1，b=1時，，方程有解；
當a=-1，b=2時，，方程有解；
當a=1，b=-1時，，方程無解；
當a=-1，b=2時，，方程有解；
當a=2，b=-1時，，方程無解；
當a=2，b=1時，，方程無解；
故方程有實數根的概率為
故答案為：.
【分析】列舉所有a和b的值的情況，得到方程有實數根的結果數，然后利用概率公式計算解題.
17．（2025·廣安） 已知方程的兩根分別為a和b，則代數式的值為　 　.
【答案】29
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的兩根分別為a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案為：29 .
【分析】將x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根與系數可求出a+b的值，然后代入代數式進行計算.
18．（2025·眉山）已知方程的兩根分別為，，則的值為　 ?。?br/>【答案】-2
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的兩個根，
∴，，
∴，
故答案為：-2.
【分析】根據根與系數的關系得到，，然后整體代入計算解題即可.
三、解答題
19．（2025·南充）設x1，x2是關于x的方程（x-1）（x-2）=m2的兩根.
（1）當x1=-1時， 求x2及m的值.
（2）求證：
【答案】（1）解：把x1=-1代入方程 得 ：
解得：
∴ (x-1)(x-2)=6，
即：
解方程得， x1=-1， x2=4.
∴；
（2）證明：方程( 可化為：
∴原方程有兩個不相同實數根.
由根與系數的關系得
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）根據方程的解的定義，將x1=-1代入關于x的方程，可得關于m的方程，解方程求出m的值，把m的值代入原方程，解這個方程即可求解；
（2）由題意，先將原方程化為一般形式，然后計算b2-4ac的值，結合偶次方的非負性可判斷b2-4ac＞0，根據一元二次方程的根與系數的關系可得x1+x2、x1x2的值，根據多項式乘以多項式將代數式（x1-1）(x2-1)去括號，再整體代換并結合偶次方的非負性可求證.
20．（2025·威海）如圖，某校有一塊長20m、寬14m的矩形種植園．為了方便耕作管理，在種植園的四周和內部修建寬度相同的小路（圖中陰影部分）．小路把種植園分成面積均為24m2的9個矩形地塊，請你求出小路的寬度．
【答案】解：設小路的寬度為x m，則9塊矩形地塊可合成長為（20﹣4x）m，寬為（14﹣4x）m的矩形，
根據題意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9，
整理得：2x2﹣17x+8＝0，
解得：x1，x2＝8（不符合題意，舍去）．
答：小路的寬度為m．
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【分析】設小路的寬度為xm，則9塊矩形地塊可合成長為 寬為 的矩形，根據小路把種植園分成面積均為 的9個矩形地塊，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.
21．（2025·瀘州）某超市購進甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進價均為125元，隨著生產成本的降低，甲種商品每件的進價年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進價為80元．
（1）求乙種商品每件進價的年平均下降率；
（2）2024年該超市用不超過7800元的資金一次購進甲、乙兩種商品共100件，求最少購進多少件甲種商品．
【答案】（1）解：設乙種商品每件進價的年平均下降率為x，
由題意得，，
解得或（舍去），
答：乙種商品每件進價的年平均下降率為；
（2）解：設購進甲種商品m件，則購進乙種商品件，
由題意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值為40，即最少購進甲種商品40件，
答：最少購進甲種商品40件．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）設乙種商品每件進價的年平均下降率為x，此題是一道平均降低率的問題，根據公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低開始的量，x是降低率，n是降低次數，P是降低結束達到的量，根據公式即可列出方程，利用直接開平方法求解并檢驗即可；
（2）設購進甲種商品m件，則購進乙種商品(100-m)件，根據單價乘以數量等于總價及購買m件甲商品的費用+購買(100-m)件乙商品的費用不超過7800元列出不等式，求出m的最小整數解即可.
（1）解：設乙種商品每件進價的年平均下降率為x，
由題意得，，
解得或（舍去），
答：乙種商品每件進價的年平均下降率為；
（2）解：設購進甲種商品m件，則購進乙種商品件，
由題意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值為40，即最少購進甲種商品40件，
答：最少購進甲種商品40件．
1 / 1專題6 一元二次方程-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·廣州）關于x的方程根的情況為（　?。?br/>A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．無實數根 D．只有一個實數根
2．（2025·蘭州） 若關于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有兩個不相等的實數根，則a的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2025·廣西）已知是方程的兩個實數根，則（　?。?br/>A． B． C．20 D．25
4．（2025·白銀）關于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有兩個實數根，則m的取值范圍是（　?。?br/>A．m<3 B．m≤3 C．m>3 D．m≥3
5．（2025·湖北） 一元二次方程的兩個實數根為，下列結論正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
6．（2025·河北）若一元二次方程的兩根之和與兩根之積分別為，，則點在平面直角坐標系中位于（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·新疆維吾爾自治區）如圖，小明在數學綜合實踐活動中，利用一面墻（墻足夠長）和24m長的圍欄圍成一個面積為40m2的矩形場地．設矩形的寬為xm，根據題意可列方程（　?。?br/>A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40
C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40
8．（2025·遼寧）中國古代數學家楊輝的《田畝比類乘除捷法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何．”其大意是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的寬共60步，問它的長比寬多多少步？設這個矩形的寬為步，根據題意可列方程為（　　）
A． B．
C． D．2
9．（2025·廣東）廣東省統計局的相關數據顯示，近年來高技術制造業呈現快速增長態勢.某公司工業機器人在今年5月產值達到2500萬元，預計7月產值將增至9100萬元.設該公司6，7兩個月產值的月均增長率為x，可列出的方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
10．（2025·重慶市）某景區2022年接待游客25萬人，經過兩年加大旅游開發力度，該景區2024年接待游客達到36萬人，那么該景區這兩年接待游客的年平均增長率為（　?。?br/>A． B． C． D．
二、填空題
11．（2025·廣東）不解方程，判斷一元二次方程 的根的情況是　 　.
12．（2025·青海） 若 是一元二次方程 的一個根，則c的值為　 　.
13．（2025·蘇州）已知. 是關于 x 的一元二次方程 的兩個實數根，其中 則 　 　.
14．（2025·綏化）已知m，n是關于x的一元二次方程。x2-2025x+1=0的兩個根，則（m+1）（n+1）=　 　.
15．（2025·東營）若關于的方程無實根，則的取值范圍是　 ?。?br/>16．（2025·成都）從，1，2這三個數中任取兩個數分別作為a，b的值，則關于x的一元二次方程有實數根的概率為　 ?。?br/>17．（2025·廣安） 已知方程的兩根分別為a和b，則代數式的值為　 　.
18．（2025·眉山）已知方程的兩根分別為，，則的值為　 　．
三、解答題
19．（2025·南充）設x1，x2是關于x的方程（x-1）（x-2）=m2的兩根.
（1）當x1=-1時， 求x2及m的值.
（2）求證：
20．（2025·威海）如圖，某校有一塊長20m、寬14m的矩形種植園．為了方便耕作管理，在種植園的四周和內部修建寬度相同的小路（圖中陰影部分）．小路把種植園分成面積均為24m2的9個矩形地塊，請你求出小路的寬度．
21．（2025·瀘州）某超市購進甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進價均為125元，隨著生產成本的降低，甲種商品每件的進價年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進價為80元．
（1）求乙種商品每件進價的年平均下降率；
（2）2024年該超市用不超過7800元的資金一次購進甲、乙兩種商品共100件，求最少購進多少件甲種商品．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：由題意可得：
∴方程無實根
故答案為：C
【分析】根據二次方程判別式可得方程無實根.
2．【答案】D
【知識點】解一元一次不等式；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有兩個不相等的實數根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案為： D.
【分析】根據一元二次方程x2+2x+a＝0有兩個不相等的實數根得到，計算即可判斷.
3．【答案】C
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的兩個實數根
∴20
故答案為： C
【分析】根據二次方程根與系數的關系即可求出答案.
4．【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵關于的一元二次方程有兩個實數根，
∴，
解得：，
故答案為：B.
【分析】根據一元二次方程根的判別式：①當時，方程有兩個不相等的實數根；②當時，方程有兩個相等的實數根；③當時，方程沒有實數根，據此得關于的不等式，解不等式即可得的取值范圍.
5．【答案】D
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵的兩個實數根為
∴
故答案為：D
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系即可求出答案.
6．【答案】C
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：，即x2+2x-3=0
∴x1+x2=-2=m
x1x2=-3=n
∴點即為(-2，-3)，再第三象限
故答案為：C
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得m，n，再根據各象限內點的坐標特征即可求出答案.
7．【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設矩形的寬為xm，則長為（24-x）m
∴x（24﹣2x）＝40
故答案為：A
【分析】設矩形的寬為xm，則長為（24-x）m，根據矩形面積即可求出答案.
8．【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設這個矩形的寬為步，則長為步，
根據題意可列方程為：
故答案為：A.
【分析】設這個矩形的寬為步，先表示出長，再根據“一塊矩形田地的面積為864平方步”可列方程.
9．【答案】A
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【解答】解： 設該公司6，7兩個月產值的月均增長率為x
代入平均增長率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案為： A.
【分析】：根據平均增長率的計算公式，結合題目中的已知條件已知該公司 5 月產值（即初始量a）為2500萬元；月均增長率為x；從 5 月到 7 月經過了2個月，即增長次數n = 2；7 月產值（即增長后的量b）將增至9100萬元。可以列出方程。
10．【答案】B
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【解答】解：設年平均增長率為x，
由題意可得：，
解得或（舍去負值），
∴該景區這兩年接待游客的年平均增長率為，
故答案為：B.
【分析】根據題意找出等量關系求出，再解方程求解即可.
11．【答案】有兩個不相等的實數根
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：對于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次項系數a = 2，一次項系數b = 1，常數項c = - 1；
將a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴該方程有兩個不相等的實數根。
故答案為：有兩個不相等的實數根 .
【分析】：可根據一元二次方程根的判別式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分別是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次項系數、一次項系數和常數項 ）來判斷方程根的情況.
12．【答案】3
【知識點】已知一元二次方程的根求參數
【解析】【解答】解：將x=1代入方程得1-4+c=0，解得c=3.
故填 ：3.
【分析】將方程的根代入方程即可得c的值.
13．【答案】-3
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵是關于的一元二次方程 的兩個實數根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：-3.
【分析】利用一元二次方程根與系數的關系得的值，將的值代入即可求出的值.
14．【答案】2027
【知識點】多項式乘多項式；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解： ∵m，n是關于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的兩個根，
∴
∴（m+1）（n+1）=
故答案為：2027.
【分析】根據一元二次方程根與系數公式，再化簡（m+1）（n+1），代值計算即可解答.
15．【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；方程的定義及分類；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【解答】解： 因為方程無實根，所以分兩種情況討論：
①當k=-1時，原方程無實數根，
②當k2-10時，原方程為一元二次方程；
∵方程無實根，
∴△=(k+1)2-4×(k2-1)×<0，即△=2k+2<0，
解得：kく-1；
綜上，k的取值范圍是k≤-1，
故答案為：.
【分析】因為方程無實根，所以分兩種情況討論：①當k=-1時，原方程無實數；②根根據一元二次方程無實數根的定義得：，列式計算即可解答.
16．【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 關于x的一元二次方程有實數根，
∴，
當a=-1，b=1時，，方程有解；
當a=-1，b=2時，，方程有解；
當a=1，b=-1時，，方程無解；
當a=-1，b=2時，，方程有解；
當a=2，b=-1時，，方程無解；
當a=2，b=1時，，方程無解；
故方程有實數根的概率為
故答案為：.
【分析】列舉所有a和b的值的情況，得到方程有實數根的結果數，然后利用概率公式計算解題.
17．【答案】29
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的兩根分別為a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案為：29 .
【分析】將x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根與系數可求出a+b的值，然后代入代數式進行計算.
18．【答案】-2
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的兩個根，
∴，，
∴，
故答案為：-2.
【分析】根據根與系數的關系得到，，然后整體代入計算解題即可.
19．【答案】（1）解：把x1=-1代入方程 得 ：
解得：
∴ (x-1)(x-2)=6，
即：
解方程得， x1=-1， x2=4.
∴；
（2）證明：方程( 可化為：
∴原方程有兩個不相同實數根.
由根與系數的關系得
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）根據方程的解的定義，將x1=-1代入關于x的方程，可得關于m的方程，解方程求出m的值，把m的值代入原方程，解這個方程即可求解；
（2）由題意，先將原方程化為一般形式，然后計算b2-4ac的值，結合偶次方的非負性可判斷b2-4ac＞0，根據一元二次方程的根與系數的關系可得x1+x2、x1x2的值，根據多項式乘以多項式將代數式（x1-1）(x2-1)去括號，再整體代換并結合偶次方的非負性可求證.
20．【答案】解：設小路的寬度為x m，則9塊矩形地塊可合成長為（20﹣4x）m，寬為（14﹣4x）m的矩形，
根據題意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9，
整理得：2x2﹣17x+8＝0，
解得：x1，x2＝8（不符合題意，舍去）．
答：小路的寬度為m．
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【分析】設小路的寬度為xm，則9塊矩形地塊可合成長為 寬為 的矩形，根據小路把種植園分成面積均為 的9個矩形地塊，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.
21．【答案】（1）解：設乙種商品每件進價的年平均下降率為x，
由題意得，，
解得或（舍去），
答：乙種商品每件進價的年平均下降率為；
（2）解：設購進甲種商品m件，則購進乙種商品件，
由題意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值為40，即最少購進甲種商品40件，
答：最少購進甲種商品40件．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）設乙種商品每件進價的年平均下降率為x，此題是一道平均降低率的問題，根據公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低開始的量，x是降低率，n是降低次數，P是降低結束達到的量，根據公式即可列出方程，利用直接開平方法求解并檢驗即可；
（2）設購進甲種商品m件，則購進乙種商品(100-m)件，根據單價乘以數量等于總價及購買m件甲商品的費用+購買(100-m)件乙商品的費用不超過7800元列出不等式，求出m的最小整數解即可.
（1）解：設乙種商品每件進價的年平均下降率為x，
由題意得，，
解得或（舍去），
答：乙種商品每件進價的年平均下降率為；
（2）解：設購進甲種商品m件，則購進乙種商品件，
由題意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值為40，即最少購進甲種商品40件，
答：最少購進甲種商品40件．
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