資源簡介

專題7 一元一次不等式（組）-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·長春）下列不等式組無解的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2025·廣西）有兩個容量足夠大的玻璃杯，分別裝有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此時兩個玻璃杯中水質量的大小關系的是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2025·內蒙古自治區）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
4．（2025·宜賓）采采不學辦“科學與藝術”主題知識競賽，共有20道題，對每一道題，答對得10分．答錯或不答扣5分．若小明同學想要在這次競賽中得分不低于80分，則他至少要答對的題數是（　?。?br/>A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
5．（2025·眉山）若關于x的不等式組至少有兩個正整數解，且關于x的分式方程的解為正整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為（　?。?br/>A．8 B．14 C．18 D．38
6．（2025·瀘州）對于任意實數，定義新運算：，給出下列結論：①；②若，則；③；④若，則的取值范圍為．其中正確結論的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
7．（2025·南充）不等式組 的解集是x＞2，則m的取值范圍是　 　.
8．（2025·黑龍江）關于x的不等式組恰有3個整數解，則a的取值范圍是　 　。
9．（2025·內江） 對于x、y定義了一種新運算G，規定．若關于a的不等式組恰好有3個整數解，則實數P的取值范圍是　 ?。?br/>三、解答題
10．（2025·蘭州）解不等式組：．
11．（2025·青島）
（1）計算：；
（2）解不等式組：并寫出它的整數解．
12．（2025·廣州）解不等式組，并在數軸上表示解集．
13．（2025·涼山州）
（1）解不等式：；
（2）先化簡，再求值：．求值時請在內取一個使原式有意義的為整數）．
14．（2025·天津市）解不等式組
請結合題意填空，完成本題的解答．
（I）解不等式①，得 ▲ ；
（II）解不等式②，得 ▲ ；
（III）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：
（IV）原不等式組的解集為 ▲ ．
15．（2025·遼寧） 小張計劃購進兩種文創產品，在“文化夜市”上進行銷售．已知種文創產品比種文創產品每件進價多3元，購進2件種文創產品和3件種文創產品共需花費26元．
（1）求種文創產品每件的進價；
（2）小張決定購進A，B兩種文創產品共100件，且總費用不超過550元，那么小張最多可以購進多少件種文創產品？
16．（2025·青島）某公司成功研發了一款新型產品，接到了首批訂單，產品數量為2100件．公司有甲、乙兩個生產車間，甲車間每天生產的數量是乙車間的1.5倍．先由甲、乙兩個車間共同完成1500件，剩余產品再由乙車間單獨完成，前后共用10天完成這批訂單．
（1）求甲、乙兩個車間每天分別能生產多少件產品；
（2）首批訂單完成后，公司將繼續生產30天該產品，每天只能安排一個車間生產，如果安排甲車間生產的天數不多于乙車間的2倍，要使這30天的生產總量最大，那么應如何安排甲、乙兩個車間的生產天數？
17．（2025·貴州）貴州省江口縣被譽為“中國抹茶之都”，這里擁有全球最大的抹茶單體生產車間．為滿足市場需求，某抹茶車間準備安裝A、B兩種型號生產線.已知，同時開啟一條A型和一條B型生產線每月可以生產抹茶共，同時開啟一條A型和兩條B型生產線每月可以生產抹茶共．
（1）求一條A型和一條B型生產線每月各生產抹茶多少噸？
（2）為擴大生產規模，若另一車間準備同時安裝相同型號的A、B兩種生產線共5條，該車間接到一個訂單，要求4個月生產抹茶不少于，至少需要安裝多少條A型生產線？
18．（2025·湖南）同學們準備在勞動課上制作艾草香包，需購買A，B兩種香料．已知A種材料的單價比B種材料的單價多3元，且購買4件A種材料與購買6件B種材料的費用相等．
（1）求A種材料和B種材料的單價；
（2）若需購買A種材料和B種材料共50件，且總費用不超過360元，則最多能購買A種材料多少件？
19．（2025·內蒙古自治區）智能機器人的廣泛應用是智慧農業的發展趨勢之一．某品牌蘋果采摘機器人的機械手能自動對成熟的蘋果進行采摘，一個機器人可以搭載多個機械手同時工作．在正常工作狀態下，該機器人的每一個機械手平均秒采摘一個成熟的蘋果，它的一個機械手用800秒采摘蘋果的個數比用600秒采摘蘋果的個數多25個．
（1）求的值；
（2）現需要一定數量的蘋果發往外地，采摘工作由多個機器人共同完成．每個機器人搭載4個相同的機械手，那么至少需要多少個這樣的機器人同時工作1小時，才能使采摘的蘋果個數不少于10000個
20．（2025·湖北） 某商店銷售A，B兩種水果．A水果標價14元／千克，B水果標價18元／千克．
（1）小明陪媽媽在這家商店按標價買了A，B兩種水果共3千克，合計付款46元．這兩種水果各買了多少千克？
（2）媽媽讓小明再到這家商店買兩種水果，要求B水果比A水果多買1千克，合計付款不超過50元．設小明買A水果千克．
①若這兩種水果按標價出售，求的取值范圍；
②小明到這家商店后，發現兩種水果正在進行優惠活動：A水果打七五折；一次購買B水果不超過1千克不優惠，超過1千克后，超過1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按標價的出售．）若小明合計付款48元，求的值．
21．（2025·深圳）某學校采購體育用品，需要購買三種球類，已知某體育用品商店排球的單價為30元/個，籃球，足球的價格如表：
①籃球、足球、排球各買一個總價為140元
②購買2個足球的價錢比購買一個籃球多40元
③購買5個籃球和購買6個足球花費相同
（1） 上述3個條件選擇兩2個，請幫助小桃小李求出每個籃球、足球多少錢？
（2） 現在想要購買籃球、足球共10個，足球的個數不超過籃球個數的2倍，請問購買多少個籃球時，花費的總費用最少，最少是多少？
22．（2025·遂寧）為了建設美好家園，提高垃圾分類意識，某社區決定購買A、B兩種型號的新型垃圾桶．現有如下材料：
材料一：已知購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元．
材料二：據統計該社區需購買A、B兩種型號的新型垃圾桶共200個，但總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數量不少于A型號的新型垃圾桶數量的．
請根據以上材料，完成下列任務：
任務一：求A、B兩種型號的新型垃圾桶的單價？
任務二：有哪幾種購買方案？
任務三：哪種方案更省錢，最低購買費用是多少元？
23．（2025·福建）閱讀材料，回答問題.
主題 兩個正數的積與商的位數探究
提 出 問 題 小明是一位愛思考的小學生.一次，在完成多位數的乘法時，他根據算式“46×2=92；35×21=735；663×11=7293；186×362=67332”，猜想：m位的正整數與n位的正整數的乘積是一個（ 位的正整數.
分析 探究 問題1 小明的猜想是否正確 若正確，請給予證明；否則，請舉出反例.
推廣 延伸 小明的猜想激發了初中生小華的探究熱情.為了使問題的研究推廣到有理數的乘法，進而遷移到對除法的研究，小華將數的“位數”與“數字”的概念進行推廣，規定：如果一個正數用科學記數法表示為 則稱這個數的位數是 n+1，數字是a. 借此，小華研究了兩個數乘積的位數問題，提出并證明了以下命題. 命題：若正數A，B，C的位數分別為m，n，p，數字分別為a，b，c，且A×B=C，則必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b.并且，當c≥a且 c≥b時，p = m+n-1；當c＜a且c＜b時，p =m+n. 證明：依題意知，A，B，C用科學記數法可分別表示為 其中a，b，c均為正數. 由A×B=C，得 即 （ * ） 當c≥a且c≥b時， 所以 又 所以 由（ *）知， 所以 當c≥a且c＜b時， ，所以 所以 與（*）矛盾，不合題意； 當c＜a且c≥b時，① ； 當c＜a且c＜b時，② 綜上所述，命題成立.
拓展 遷移 問題2 若正數A，B的位數分別為m，n，那么 的位數是多少 證明你的結論.
（1）解決問題1；
（2）請把①②所缺的證明過程補充完整；
（3）解決問題2.
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：A.∵判斷不等式組解集的口訣：同大取大，∴不等式組的解集為： 故此選項不符合題意；
B.∵判斷不等式組解集的口訣：大大小小無解，∴不等式組無解，故此選項符合題意；
C.判斷不等式組解集的口訣：同小取小，∴不等式組的解集為： 故此選項不符合題意；
D.判斷不等式組解集的口訣：大小小大中間找，∴不等式組的解集為 故此選項不符合題意；
故答案為：B.
【分析】根據判斷不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”求出各個選項中的不等式組的解集，然后進行判斷即可.
2．【答案】A
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：∵a>b
∴
故答案為： A
【分析】根據不等式的性質即可求出答案.
3．【答案】C
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解： 不等式組，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
∴不等式組的解集為：1≤x＜3，
在數軸軸上表示為：
故答案為：C.
【分析】首先解不等式組求出不等式組的解集為1≤x＜3，并在數軸上表示解集，即可得出答案。
4．【答案】C
【知識點】一元一次不等式的應用
【解析】【解答】
解：設答對x道題，則答錯或不答的題數為(20- x)道，
根據題意得： 10x- 5(20-x)≥80，
解得： x≥12，
∴x的最小值為12，
∴他至少要答對12道題.
故答案為：C.
【分析】設小明答對x道題，則答錯或不答的題數為(20- x)道，根據得分規則建立不等式10x- 5(20-x)≥80，求解x的最小整數值，解答即可.
5．【答案】B
【知識點】已知分式方程的解求參數；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：解不等式組 可得，
∵不等式組 至少有兩個正整數解，
∴，
解得，
解方程得，
∵方程的解x為正整數，
∴a>2且的偶數，
即a的值為6或8，
∴ 整數a的值之和為6+8=14，
故答案為：B.
【分析】根據不等式組的解集求出，再接分式方程求出a>2且的偶數，然后得到整數a的值，求和計算解題.
6．【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：①∵，
∴，故①正確，
②∵，
當時，，
當時，，即，故②不正確；
③不成立，例如，則，故③不正確；
④當即時，
則：，
解得：，
∴；
當，即時，
則：，
解得：，
∴，
綜上所述，，故④正確，
故正確的有①和④，共2個，
故答案為：B．
【分析】根據新定義運算法則可直接判斷①；根據新定義運算法則分x≥3與x＜3兩種情況求解可判斷②；利用據特例的方法結合新定義運算法則可判斷③；根據新定義運算法則分2x-4≥2與2x-4＜2兩種情況，分別列出不等式組，求解得出兩個不等式組的解集，即可判斷④.
7．【答案】m≤3
【知識點】一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：，
不等式① 的解集為：x＞2，
不等式②的解集為：x＞m-1，
∵不等式組的解集為：x＞2，
∴m-1≤2，
解得：m≤3.
故答案為：m≤3.
【分析】由題意，先求出每一個不等式的解集，然后根據題意“不等式組的解集為x＞2”可得關于m的不等式，解之即可求解.
8．【答案】-2≤a＜-1
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解： 不等式組，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：x＞a，
∴不等式組的解集為：，
∵ 不等式組有3個整數解，
∴ 不等式組的3個整數解為：1，0，-1，
∴-2≤a＜-1。
故答案為：-2≤a＜-1.
【分析】首先解不等式組，求得不等式組的解集，然后根據不等式組整數解的情況，可得出不等式的整數解，進而得出A的取值范圍。
9．【答案】-17≤p＜-7
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：由新定義運算法則可得
由①得a≤1，
由②得，
∵此不等式恰有3個整數解，
∴，且三個整數解為1、0、-1，
∴
解得-17≤p＜-7.
故答案為：-17≤p＜-7 .
【分析】首先根據新定義運算法則列出關于字母a的不等式組，根據解不等式的步驟分別求出不等式組中每一個不等式的解集，然后結合“此不等式恰有3個整數解”及“大小小大中間找”求出該不等式組的解集及三個整數解，進而即可得出關于字母p的不等式組，求解可得p的取值范圍.
10．【答案】解：解第一個不等式得：x＜5，
解第二個不等式得：x＞3，
故原不等式組的解集為3＜x＜5．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】先解每一個不等式分別得到x＜5，x＞3，再根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，即可解答．
11．【答案】（1）解：
；
（2）解：不等式組為，
則有，解得，
則有，解得，
∴不等式組的解集為，
則整數解為．
【知識點】零指數冪；二次根式的加減法；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【分析】(1)先化簡二次根式，在計算零指數冪，最后計算加減即可解答；
（2）先解各個不等式，再求出解集，再得到其中的整數解解答即可.
12．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
將不等式組的解集表示在數軸上如下：
則不等式組解集為．
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別求出兩個不等式的解集，再求出不等式組的解集，再將解集在數軸上表示即可求出答案.
13．【答案】（1）解：原不等式去分母得：，
去括號得：，
移項，合并同類項得：
（2）解：原式
；
，，，
，，
，
原式（答案不唯一）．
【知識點】解一元一次不等式；分式的化簡求值-擇值代入
【解析】【分析】(1)解不等式的一般步驟是，去分母、去括號、稱項并合并同類項，最后再系數化為1；
(2)分式的混合運算，沒有乘方時先計算乘除，注意除以一個分式等于乘以它的倒數，并對分子分母分別分解因式，再約分化結果為最簡分式，然后再進行整式與分式的減法運算，運算時先通分再進行同分母分式的減法運算，并觀察分子與分母，若有公因式還要再進行約分，最后再在指定的字母的取值范圍內選擇合適的值代入計算即可.
14．【答案】解：解：（I）；
（II）；
（III）
（IV）．
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別求出兩個不等式的解集，再將解集在數軸上表示出來，可得不等式組的解集.
15．【答案】（1）解：設B種文創產品每件的進價為x元，根據題意可得：
2（x+3）+3x=26，
解得：x=4，
答：B種文創產品每件的進價為4元；
（2）解：設小張購進m件A種文創產品，由（1）可知，A種文創產品每件的進價為4+3=7元，則：
7m+4（100-m）≤550，
解得：m≤50；
答：小張最多可以購進50件A種文創產品．
【知識點】一元一次方程的實際應用-銷售問題；一元一次不等式組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設B種文創產品每件的進價為x元，根據A種文創產品比B種文創產品每件進價多3元，購進2件A種文創產品和3件B種文創產品共需花費26元，列出一元一次方程進行求解即可；
（2）設小張購進m件A種文創產品，根據總費用不超過550元，列出不等式進行求解即可．
16．【答案】（1）解：設乙車間每天能生產件產品，則甲車間每天能生產件產品，
由題意得：，
解得：，
經檢驗：是原方程的解，且符合題意，
則（件），
答：乙車間每天能生產件產品，則甲車間每天能生產件產品；
（2）解：設安排甲車間生產天，則乙車間生產天，
由題意得：，
解得：，
設生產總量為，由題意得：
，
∵，
∴隨著的增大而增大，
∴當時，最大，即這30天的生產總量最大，
∴，
∴安排甲車間生產天，則乙車間生產天．
【知識點】解分式方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的應用；一次函數的其他應用；分式方程的實際應用-工程問題
【解析】【分析】（1）設乙車間每天能生產件產品，則甲車間每天能生產件產品，列出方程，計算并檢驗即可解答；
（2）設安排甲車間生產天，則乙車間生產天，由題意表示出m的范圍，再列出生產總量為的函數關系式，再利用一次函數的性質當時，可求得 最大值；解答即可.
17．【答案】（1）解：設一條A型生產線每月生產抹茶，一條B型生產線每月生產抹茶，
由題意得：，
解得：.
答：一條A型生產線每月生產抹茶，一條B型生產線每月生產抹茶.
（2）解：設需要安裝條A型生產線，則安裝B種生產線條，
由題意得：，
解得：，
∵為正整數，
∴最小取.
答：至少需要安裝3條A型生產線．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的應用-和差倍分問題
【解析】【分析】（1） 通過設未知數，根據兩種生產線組合的產量條件，建立二元一次方程組，求解得每條生產線的月產量.
（2）設A型生產線數量，用總數表示B型數量，根據 “4 個月產量不少于2000噸” 列一元一次不等式，求解并結合正整數條件確定最小值.
18．【答案】（1）解：設A種材料的單價為x元，則B種材料的單價為（x﹣3）元，
由題意得：4x＝6（x﹣3），
解得：x＝9，
∴x﹣3＝6，
答：A種材料的單價為9元，B種材料的單價為6元
（2）解：設能購買A種材料m件，則能購買B種材料（50﹣m）件，
由題意得：9m+6（50﹣m）≤360，
解得：m≤20，
答：最多能購買A種材料20件
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A種材料的單價為x元，則B種材料的單價為（x﹣3）元，由相等關系“ 購買4件A種材料與購買6件B種材料的費用相等 ”列方程并求解即可；
（2）設能購買A種材料m件，則能購買B種材料（50﹣m）件，由不等關系“ 總費用不超過360元 ”列不等式并求解即可.
19．【答案】（1）解：由題意得，，
解得：，
經檢驗：是原方程的解，且符合題意，
∴的值為8
（2）解：1小時，
設需要個這樣的機器人，
由題意得：，
解得：，
∵為正整數，
∴最小值為6，
答：至少需要6個這樣的機器人．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用
【解析】【分析】（1）根據 該機器人的每一個機械手平均秒采摘一個成熟的蘋果，它的一個機械手用800秒采摘蘋果的個數比用600秒采摘蘋果的個數多25個 ，可列出分式方程，解方程并進行檢驗，即可得出答案；
（2）設需要個這樣的機器人，并把1小時轉化成，根據采摘的蘋果個數不少于10000個，可列出不等式，解不等式并取其最小整數解即可得出答案。
20．【答案】（1）解：設購買A種水果x千克，B種水果y千克，
依題意得：，
解得：．
答：購買A種水果2千克，B種水果1千克．
（2）解：①設小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，
∴，
解得：，
∴結合實際可得：；
②設小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，
∴，
解得：.
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設購買A種水果x千克，B種水果y千克，根據題意建立方程組，解方程組即可求出答案.
（2）①設小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，根據題意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②設小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）解：設每個籃球x元，每個足球y元
（三個方程組任選一種即可）
解得：
答：每個籃球60元，每個足球50元.
（2）解：設籃球有m個，則足球有(10-m)個
解得：
設購買的總費用是W元
隨著m的減小而減小
當m最小值為4時，W最小值為540元
答：當購買籃球4個的時候，所花費用最少.
【知識點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】(1)設籃球和足球的價格，由條件可列3個方程組，解其中一個方程組即可得結果；
(2)設籃球有m個，則足球有10-m個，由題意列不等式可得m的范圍，求出費用與m的函數關系，可得當m=4時，費用最少.
22．【答案】解：任務一：設A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，
根據題意得：
解得：
答：A型號的新型垃圾桶的單價是60元，B型號的新型垃圾桶的單價是100元；
任務二：設購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買 個B型號的新型垃圾桶，
根據題意得：
解得：
又∵m為正整數，
∴m可以為118， 119， 120，
∴共3種購買方案，
方案1：購買118個A型號的新型垃圾桶，82個B型號的新型垃圾桶；
方案2：購買119個A型號的新型垃圾桶，81個B型號的新型垃圾桶；
方案3：購買120個A型號的新型垃圾桶，80個B型號的新型垃圾桶；
任務三：選擇方案1所需費用為
)(元)；
選擇方案2所需費用為
(元)；
選擇方案3所需費用為
(元)，
∴方案3更省錢，最低購買費用是15200元.
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一元一次不等式組的實際應用-方案問題
【解析】【分析】任務一：設A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，根據“購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元”，可列出關于x， y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
任務二：設購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買 個B型號的新型垃圾桶，根據“總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數量不少于A型號的新型垃圾桶數量的 可列出關于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結合m為正整數，即可得出各購買方案；
任務三：利用總價=單價×數量，可求出選擇各方案所需費用， 比較后， 即可得出結論.
23．【答案】（1）解：小明的猜想不正確.
反例：3×4=12.
（2）解： 所以 所以 與（*）矛盾，不合題意；
所以 又 所以
由（ *）知 所以p=m+n.
（3）解：當A的數字大于或等于B的數字時， 的位數是m-n+1；
當A的數字小于B的數字時， 的位數是m-n.
證明如下：
由已知，A，B的位數分別為m，n，
設 A，B，C的數字分別為a，b，c，C的位數為x，則B×C=A.
由小華的命題知，當a≥b時，必有a≥c，
此時，m=n+x- 1，所以x=m-n+ 1；
當a＜b時，必有a＜c，
此時，m=n+x，所以x=m-n.
綜上所述，當A 的數字大于或等于B的數字時，的位數是m-n+1；
當A的數字小于B的數字時， 的位數是m-n.
【知識點】不等式的性質；證明的含義與一般步驟；舉反例判斷命題真假
【解析】【分析】 （1）舉反例即可；
（2）①當c＜a且c≥b時，可得所以 與（*）矛盾，不合題意；
②當c＜a且c＜b時，可得又 所以 得 p=m+n；
（3）設=C， A，B，C的數字分別為a，b，c，C的位數為x，則B×C=A．當a≥b時，必有a≥c，m=n+x-1，即x=m-n+1；當a＜b時，必有a＜c，m=n+x，即x=m-n.
1 / 1專題7 一元一次不等式（組）-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·長春）下列不等式組無解的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：A.∵判斷不等式組解集的口訣：同大取大，∴不等式組的解集為： 故此選項不符合題意；
B.∵判斷不等式組解集的口訣：大大小小無解，∴不等式組無解，故此選項符合題意；
C.判斷不等式組解集的口訣：同小取小，∴不等式組的解集為： 故此選項不符合題意；
D.判斷不等式組解集的口訣：大小小大中間找，∴不等式組的解集為 故此選項不符合題意；
故答案為：B.
【分析】根據判斷不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”求出各個選項中的不等式組的解集，然后進行判斷即可.
2．（2025·廣西）有兩個容量足夠大的玻璃杯，分別裝有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此時兩個玻璃杯中水質量的大小關系的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：∵a>b
∴
故答案為： A
【分析】根據不等式的性質即可求出答案.
3．（2025·內蒙古自治區）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解： 不等式組，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
∴不等式組的解集為：1≤x＜3，
在數軸軸上表示為：
故答案為：C.
【分析】首先解不等式組求出不等式組的解集為1≤x＜3，并在數軸上表示解集，即可得出答案。
4．（2025·宜賓）采采不學辦“科學與藝術”主題知識競賽，共有20道題，對每一道題，答對得10分．答錯或不答扣5分．若小明同學想要在這次競賽中得分不低于80分，則他至少要答對的題數是（　　）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
【答案】C
【知識點】一元一次不等式的應用
【解析】【解答】
解：設答對x道題，則答錯或不答的題數為(20- x)道，
根據題意得： 10x- 5(20-x)≥80，
解得： x≥12，
∴x的最小值為12，
∴他至少要答對12道題.
故答案為：C.
【分析】設小明答對x道題，則答錯或不答的題數為(20- x)道，根據得分規則建立不等式10x- 5(20-x)≥80，求解x的最小整數值，解答即可.
5．（2025·眉山）若關于x的不等式組至少有兩個正整數解，且關于x的分式方程的解為正整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為（　?。?br/>A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【知識點】已知分式方程的解求參數；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：解不等式組 可得，
∵不等式組 至少有兩個正整數解，
∴，
解得，
解方程得，
∵方程的解x為正整數，
∴a>2且的偶數，
即a的值為6或8，
∴ 整數a的值之和為6+8=14，
故答案為：B.
【分析】根據不等式組的解集求出，再接分式方程求出a>2且的偶數，然后得到整數a的值，求和計算解題.
6．（2025·瀘州）對于任意實數，定義新運算：，給出下列結論：①；②若，則；③；④若，則的取值范圍為．其中正確結論的個數是（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：①∵，
∴，故①正確，
②∵，
當時，，
當時，，即，故②不正確；
③不成立，例如，則，故③不正確；
④當即時，
則：，
解得：，
∴；
當，即時，
則：，
解得：，
∴，
綜上所述，，故④正確，
故正確的有①和④，共2個，
故答案為：B．
【分析】根據新定義運算法則可直接判斷①；根據新定義運算法則分x≥3與x＜3兩種情況求解可判斷②；利用據特例的方法結合新定義運算法則可判斷③；根據新定義運算法則分2x-4≥2與2x-4＜2兩種情況，分別列出不等式組，求解得出兩個不等式組的解集，即可判斷④.
二、填空題
7．（2025·南充）不等式組 的解集是x＞2，則m的取值范圍是　 　.
【答案】m≤3
【知識點】一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：，
不等式① 的解集為：x＞2，
不等式②的解集為：x＞m-1，
∵不等式組的解集為：x＞2，
∴m-1≤2，
解得：m≤3.
故答案為：m≤3.
【分析】由題意，先求出每一個不等式的解集，然后根據題意“不等式組的解集為x＞2”可得關于m的不等式，解之即可求解.
8．（2025·黑龍江）關于x的不等式組恰有3個整數解，則a的取值范圍是　 　。
【答案】-2≤a＜-1
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解： 不等式組，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：x＞a，
∴不等式組的解集為：，
∵ 不等式組有3個整數解，
∴ 不等式組的3個整數解為：1，0，-1，
∴-2≤a＜-1。
故答案為：-2≤a＜-1.
【分析】首先解不等式組，求得不等式組的解集，然后根據不等式組整數解的情況，可得出不等式的整數解，進而得出A的取值范圍。
9．（2025·內江） 對于x、y定義了一種新運算G，規定．若關于a的不等式組恰好有3個整數解，則實數P的取值范圍是　 ?。?br/>【答案】-17≤p＜-7
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：由新定義運算法則可得
由①得a≤1，
由②得，
∵此不等式恰有3個整數解，
∴，且三個整數解為1、0、-1，
∴
解得-17≤p＜-7.
故答案為：-17≤p＜-7 .
【分析】首先根據新定義運算法則列出關于字母a的不等式組，根據解不等式的步驟分別求出不等式組中每一個不等式的解集，然后結合“此不等式恰有3個整數解”及“大小小大中間找”求出該不等式組的解集及三個整數解，進而即可得出關于字母p的不等式組，求解可得p的取值范圍.
三、解答題
10．（2025·蘭州）解不等式組：．
【答案】解：解第一個不等式得：x＜5，
解第二個不等式得：x＞3，
故原不等式組的解集為3＜x＜5．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】先解每一個不等式分別得到x＜5，x＞3，再根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，即可解答．
11．（2025·青島）
（1）計算：；
（2）解不等式組：并寫出它的整數解．
【答案】（1）解：
；
（2）解：不等式組為，
則有，解得，
則有，解得，
∴不等式組的解集為，
則整數解為．
【知識點】零指數冪；二次根式的加減法；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【分析】(1)先化簡二次根式，在計算零指數冪，最后計算加減即可解答；
（2）先解各個不等式，再求出解集，再得到其中的整數解解答即可.
12．（2025·廣州）解不等式組，并在數軸上表示解集．
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
將不等式組的解集表示在數軸上如下：
則不等式組解集為．
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別求出兩個不等式的解集，再求出不等式組的解集，再將解集在數軸上表示即可求出答案.
13．（2025·涼山州）
（1）解不等式：；
（2）先化簡，再求值：．求值時請在內取一個使原式有意義的為整數）．
【答案】（1）解：原不等式去分母得：，
去括號得：，
移項，合并同類項得：
（2）解：原式
；
，，，
，，
，
原式（答案不唯一）．
【知識點】解一元一次不等式；分式的化簡求值-擇值代入
【解析】【分析】(1)解不等式的一般步驟是，去分母、去括號、稱項并合并同類項，最后再系數化為1；
(2)分式的混合運算，沒有乘方時先計算乘除，注意除以一個分式等于乘以它的倒數，并對分子分母分別分解因式，再約分化結果為最簡分式，然后再進行整式與分式的減法運算，運算時先通分再進行同分母分式的減法運算，并觀察分子與分母，若有公因式還要再進行約分，最后再在指定的字母的取值范圍內選擇合適的值代入計算即可.
14．（2025·天津市）解不等式組
請結合題意填空，完成本題的解答．
（I）解不等式①，得 ▲ ；
（II）解不等式②，得 ▲ ；
（III）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：
（IV）原不等式組的解集為 ▲ ．
【答案】解：解：（I）；
（II）；
（III）
（IV）．
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別求出兩個不等式的解集，再將解集在數軸上表示出來，可得不等式組的解集.
15．（2025·遼寧） 小張計劃購進兩種文創產品，在“文化夜市”上進行銷售．已知種文創產品比種文創產品每件進價多3元，購進2件種文創產品和3件種文創產品共需花費26元．
（1）求種文創產品每件的進價；
（2）小張決定購進A，B兩種文創產品共100件，且總費用不超過550元，那么小張最多可以購進多少件種文創產品？
【答案】（1）解：設B種文創產品每件的進價為x元，根據題意可得：
2（x+3）+3x=26，
解得：x=4，
答：B種文創產品每件的進價為4元；
（2）解：設小張購進m件A種文創產品，由（1）可知，A種文創產品每件的進價為4+3=7元，則：
7m+4（100-m）≤550，
解得：m≤50；
答：小張最多可以購進50件A種文創產品．
【知識點】一元一次方程的實際應用-銷售問題；一元一次不等式組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設B種文創產品每件的進價為x元，根據A種文創產品比B種文創產品每件進價多3元，購進2件A種文創產品和3件B種文創產品共需花費26元，列出一元一次方程進行求解即可；
（2）設小張購進m件A種文創產品，根據總費用不超過550元，列出不等式進行求解即可．
16．（2025·青島）某公司成功研發了一款新型產品，接到了首批訂單，產品數量為2100件．公司有甲、乙兩個生產車間，甲車間每天生產的數量是乙車間的1.5倍．先由甲、乙兩個車間共同完成1500件，剩余產品再由乙車間單獨完成，前后共用10天完成這批訂單．
（1）求甲、乙兩個車間每天分別能生產多少件產品；
（2）首批訂單完成后，公司將繼續生產30天該產品，每天只能安排一個車間生產，如果安排甲車間生產的天數不多于乙車間的2倍，要使這30天的生產總量最大，那么應如何安排甲、乙兩個車間的生產天數？
【答案】（1）解：設乙車間每天能生產件產品，則甲車間每天能生產件產品，
由題意得：，
解得：，
經檢驗：是原方程的解，且符合題意，
則（件），
答：乙車間每天能生產件產品，則甲車間每天能生產件產品；
（2）解：設安排甲車間生產天，則乙車間生產天，
由題意得：，
解得：，
設生產總量為，由題意得：
，
∵，
∴隨著的增大而增大，
∴當時，最大，即這30天的生產總量最大，
∴，
∴安排甲車間生產天，則乙車間生產天．
【知識點】解分式方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的應用；一次函數的其他應用；分式方程的實際應用-工程問題
【解析】【分析】（1）設乙車間每天能生產件產品，則甲車間每天能生產件產品，列出方程，計算并檢驗即可解答；
（2）設安排甲車間生產天，則乙車間生產天，由題意表示出m的范圍，再列出生產總量為的函數關系式，再利用一次函數的性質當時，可求得 最大值；解答即可.
17．（2025·貴州）貴州省江口縣被譽為“中國抹茶之都”，這里擁有全球最大的抹茶單體生產車間．為滿足市場需求，某抹茶車間準備安裝A、B兩種型號生產線.已知，同時開啟一條A型和一條B型生產線每月可以生產抹茶共，同時開啟一條A型和兩條B型生產線每月可以生產抹茶共．
（1）求一條A型和一條B型生產線每月各生產抹茶多少噸？
（2）為擴大生產規模，若另一車間準備同時安裝相同型號的A、B兩種生產線共5條，該車間接到一個訂單，要求4個月生產抹茶不少于，至少需要安裝多少條A型生產線？
【答案】（1）解：設一條A型生產線每月生產抹茶，一條B型生產線每月生產抹茶，
由題意得：，
解得：.
答：一條A型生產線每月生產抹茶，一條B型生產線每月生產抹茶.
（2）解：設需要安裝條A型生產線，則安裝B種生產線條，
由題意得：，
解得：，
∵為正整數，
∴最小取.
答：至少需要安裝3條A型生產線．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的應用-和差倍分問題
【解析】【分析】（1） 通過設未知數，根據兩種生產線組合的產量條件，建立二元一次方程組，求解得每條生產線的月產量.
（2）設A型生產線數量，用總數表示B型數量，根據 “4 個月產量不少于2000噸” 列一元一次不等式，求解并結合正整數條件確定最小值.
18．（2025·湖南）同學們準備在勞動課上制作艾草香包，需購買A，B兩種香料．已知A種材料的單價比B種材料的單價多3元，且購買4件A種材料與購買6件B種材料的費用相等．
（1）求A種材料和B種材料的單價；
（2）若需購買A種材料和B種材料共50件，且總費用不超過360元，則最多能購買A種材料多少件？
【答案】（1）解：設A種材料的單價為x元，則B種材料的單價為（x﹣3）元，
由題意得：4x＝6（x﹣3），
解得：x＝9，
∴x﹣3＝6，
答：A種材料的單價為9元，B種材料的單價為6元
（2）解：設能購買A種材料m件，則能購買B種材料（50﹣m）件，
由題意得：9m+6（50﹣m）≤360，
解得：m≤20，
答：最多能購買A種材料20件
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A種材料的單價為x元，則B種材料的單價為（x﹣3）元，由相等關系“ 購買4件A種材料與購買6件B種材料的費用相等 ”列方程并求解即可；
（2）設能購買A種材料m件，則能購買B種材料（50﹣m）件，由不等關系“ 總費用不超過360元 ”列不等式并求解即可.
19．（2025·內蒙古自治區）智能機器人的廣泛應用是智慧農業的發展趨勢之一．某品牌蘋果采摘機器人的機械手能自動對成熟的蘋果進行采摘，一個機器人可以搭載多個機械手同時工作．在正常工作狀態下，該機器人的每一個機械手平均秒采摘一個成熟的蘋果，它的一個機械手用800秒采摘蘋果的個數比用600秒采摘蘋果的個數多25個．
（1）求的值；
（2）現需要一定數量的蘋果發往外地，采摘工作由多個機器人共同完成．每個機器人搭載4個相同的機械手，那么至少需要多少個這樣的機器人同時工作1小時，才能使采摘的蘋果個數不少于10000個
【答案】（1）解：由題意得，，
解得：，
經檢驗：是原方程的解，且符合題意，
∴的值為8
（2）解：1小時，
設需要個這樣的機器人，
由題意得：，
解得：，
∵為正整數，
∴最小值為6，
答：至少需要6個這樣的機器人．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用
【解析】【分析】（1）根據 該機器人的每一個機械手平均秒采摘一個成熟的蘋果，它的一個機械手用800秒采摘蘋果的個數比用600秒采摘蘋果的個數多25個 ，可列出分式方程，解方程并進行檢驗，即可得出答案；
（2）設需要個這樣的機器人，并把1小時轉化成，根據采摘的蘋果個數不少于10000個，可列出不等式，解不等式并取其最小整數解即可得出答案。
20．（2025·湖北） 某商店銷售A，B兩種水果．A水果標價14元／千克，B水果標價18元／千克．
（1）小明陪媽媽在這家商店按標價買了A，B兩種水果共3千克，合計付款46元．這兩種水果各買了多少千克？
（2）媽媽讓小明再到這家商店買兩種水果，要求B水果比A水果多買1千克，合計付款不超過50元．設小明買A水果千克．
①若這兩種水果按標價出售，求的取值范圍；
②小明到這家商店后，發現兩種水果正在進行優惠活動：A水果打七五折；一次購買B水果不超過1千克不優惠，超過1千克后，超過1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按標價的出售．）若小明合計付款48元，求的值．
【答案】（1）解：設購買A種水果x千克，B種水果y千克，
依題意得：，
解得：．
答：購買A種水果2千克，B種水果1千克．
（2）解：①設小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，
∴，
解得：，
∴結合實際可得：；
②設小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，
∴，
解得：.
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設購買A種水果x千克，B種水果y千克，根據題意建立方程組，解方程組即可求出答案.
（2）①設小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，根據題意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②設小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
21．（2025·深圳）某學校采購體育用品，需要購買三種球類，已知某體育用品商店排球的單價為30元/個，籃球，足球的價格如表：
①籃球、足球、排球各買一個總價為140元
②購買2個足球的價錢比購買一個籃球多40元
③購買5個籃球和購買6個足球花費相同
（1） 上述3個條件選擇兩2個，請幫助小桃小李求出每個籃球、足球多少錢？
（2） 現在想要購買籃球、足球共10個，足球的個數不超過籃球個數的2倍，請問購買多少個籃球時，花費的總費用最少，最少是多少？
【答案】（1）解：設每個籃球x元，每個足球y元
（三個方程組任選一種即可）
解得：
答：每個籃球60元，每個足球50元.
（2）解：設籃球有m個，則足球有(10-m)個
解得：
設購買的總費用是W元
隨著m的減小而減小
當m最小值為4時，W最小值為540元
答：當購買籃球4個的時候，所花費用最少.
【知識點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】(1)設籃球和足球的價格，由條件可列3個方程組，解其中一個方程組即可得結果；
(2)設籃球有m個，則足球有10-m個，由題意列不等式可得m的范圍，求出費用與m的函數關系，可得當m=4時，費用最少.
22．（2025·遂寧）為了建設美好家園，提高垃圾分類意識，某社區決定購買A、B兩種型號的新型垃圾桶．現有如下材料：
材料一：已知購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元．
材料二：據統計該社區需購買A、B兩種型號的新型垃圾桶共200個，但總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數量不少于A型號的新型垃圾桶數量的．
請根據以上材料，完成下列任務：
任務一：求A、B兩種型號的新型垃圾桶的單價？
任務二：有哪幾種購買方案？
任務三：哪種方案更省錢，最低購買費用是多少元？
【答案】解：任務一：設A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，
根據題意得：
解得：
答：A型號的新型垃圾桶的單價是60元，B型號的新型垃圾桶的單價是100元；
任務二：設購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買 個B型號的新型垃圾桶，
根據題意得：
解得：
又∵m為正整數，
∴m可以為118， 119， 120，
∴共3種購買方案，
方案1：購買118個A型號的新型垃圾桶，82個B型號的新型垃圾桶；
方案2：購買119個A型號的新型垃圾桶，81個B型號的新型垃圾桶；
方案3：購買120個A型號的新型垃圾桶，80個B型號的新型垃圾桶；
任務三：選擇方案1所需費用為
)(元)；
選擇方案2所需費用為
(元)；
選擇方案3所需費用為
(元)，
∴方案3更省錢，最低購買費用是15200元.
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一元一次不等式組的實際應用-方案問題
【解析】【分析】任務一：設A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，根據“購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元”，可列出關于x， y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
任務二：設購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買 個B型號的新型垃圾桶，根據“總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數量不少于A型號的新型垃圾桶數量的 可列出關于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結合m為正整數，即可得出各購買方案；
任務三：利用總價=單價×數量，可求出選擇各方案所需費用， 比較后， 即可得出結論.
23．（2025·福建）閱讀材料，回答問題.
主題 兩個正數的積與商的位數探究
提 出 問 題 小明是一位愛思考的小學生.一次，在完成多位數的乘法時，他根據算式“46×2=92；35×21=735；663×11=7293；186×362=67332”，猜想：m位的正整數與n位的正整數的乘積是一個（ 位的正整數.
分析 探究 問題1 小明的猜想是否正確 若正確，請給予證明；否則，請舉出反例.
推廣 延伸 小明的猜想激發了初中生小華的探究熱情.為了使問題的研究推廣到有理數的乘法，進而遷移到對除法的研究，小華將數的“位數”與“數字”的概念進行推廣，規定：如果一個正數用科學記數法表示為 則稱這個數的位數是 n+1，數字是a. 借此，小華研究了兩個數乘積的位數問題，提出并證明了以下命題. 命題：若正數A，B，C的位數分別為m，n，p，數字分別為a，b，c，且A×B=C，則必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b.并且，當c≥a且 c≥b時，p = m+n-1；當c＜a且c＜b時，p =m+n. 證明：依題意知，A，B，C用科學記數法可分別表示為 其中a，b，c均為正數. 由A×B=C，得 即 （ * ） 當c≥a且c≥b時， 所以 又 所以 由（ *）知， 所以 當c≥a且c＜b時， ，所以 所以 與（*）矛盾，不合題意； 當c＜a且c≥b時，① ； 當c＜a且c＜b時，② 綜上所述，命題成立.
拓展 遷移 問題2 若正數A，B的位數分別為m，n，那么 的位數是多少 證明你的結論.
（1）解決問題1；
（2）請把①②所缺的證明過程補充完整；
（3）解決問題2.
【答案】（1）解：小明的猜想不正確.
反例：3×4=12.
（2）解： 所以 所以 與（*）矛盾，不合題意；
所以 又 所以
由（ *）知 所以p=m+n.
（3）解：當A的數字大于或等于B的數字時， 的位數是m-n+1；
當A的數字小于B的數字時， 的位數是m-n.
證明如下：
由已知，A，B的位數分別為m，n，
設 A，B，C的數字分別為a，b，c，C的位數為x，則B×C=A.
由小華的命題知，當a≥b時，必有a≥c，
此時，m=n+x- 1，所以x=m-n+ 1；
當a＜b時，必有a＜c，
此時，m=n+x，所以x=m-n.
綜上所述，當A 的數字大于或等于B的數字時，的位數是m-n+1；
當A的數字小于B的數字時， 的位數是m-n.
【知識點】不等式的性質；證明的含義與一般步驟；舉反例判斷命題真假
【解析】【分析】 （1）舉反例即可；
（2）①當c＜a且c≥b時，可得所以 與（*）矛盾，不合題意；
②當c＜a且c＜b時，可得又 所以 得 p=m+n；
（3）設=C， A，B，C的數字分別為a，b，c，C的位數為x，則B×C=A．當a≥b時，必有a≥c，m=n+x-1，即x=m-n+1；當a＜b時，必有a＜c，m=n+x，即x=m-n.
1 / 1

展開更多......

收起↑