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專題9 反比例函數-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·廣州）若，反比例函數的圖象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【知識點】反比例函數的性質；絕對值的非負性
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函數的圖象在第二、四象限
故答案為：C
【分析】根據絕對值的非負性可得k<0，再根據反比例函數的圖象與系數的關系即可求出答案.
2．（2025·天津市）若點都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函數中，k=-9<0
∴函數圖象的兩個分支分別在第二，四象限，且在每一個象限內，y隨x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案為：D
【分析】根據反比例函數的性質即可求出答案.
3．（2025·連云港）如圖，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像交于A、B兩點，點A的橫坐標為-1.當時，x的取值范圍是（　?。?br/>A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：∵ 正比例函數的圖像與反比例函數的圖像交于A、B兩點，點A的橫坐標為-1
∴點B的橫坐標為1，
∴ 當時，x的取值范圍是或.
故答案為：C.
【分析】利用反比例函數的對稱性及已知正比例函數圖象經過原點，可得到點B 的橫坐標，觀察圖象，可得到時，x的取值范圍.
4．（2025·長春）在功一定的條件下，功率與做功時間成反比例，與之間的函數關系如圖所示．當時，的值可以為（　?。?br/>A．24 B．27 C．45 D．50
【答案】C
【知識點】反比例函數的實際應用
【解析】【解答】解：設功率P(單位：w)與做功的時間t(單位：s)的函數解析式為
把 代入解析式得：
解得：
∴功率P(單位：w)與做功的時間t(單位：s)的函數解析式為
∵反比例函數的圖象在第一象限內，P隨t的增大而減小，
∴當 時，
當 時，
故答案為：C.
【分析】先根據待定系數法求出反比例函數解析式，再求出當 和 時的函數值，根據反比例函數的性質即可得到答案.
5．（2025·貴州）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點，過反比例函數圖象上點作軸垂線，垂足為點，交的圖象于點，點的橫坐標為1．有以下結論：
①線段AB的長為8；②點的坐標為；③當時，一次函數的值小于反比例函數的值．
其中結論正確的個數是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知識點】一次函數的圖象；反比例函數的性質；反比例函數與一次函數的交點問題；反比例函數圖象上點的坐標特征；代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】①解：點橫坐標為，代入得；點在上且橫坐標為，則，所以，①正確；
②解：聯立與（ ），得，，（ ），則，所以，②正確；
③解：由，結合函數圖象，當時，的圖象在上方，即一次函數值大于反比例函數值，③錯誤.
所以正確結論有個.
故答案為：C .
【分析】分別驗證三個結論：①通過坐標計算長度；②聯立方程求交點坐標；③根據函數圖象位置判斷時函數值大小.
6．（2025·綏化）如圖，反比例函數經過A、B兩點，過點A作軸于點B，過點C作軸于點D，連接OA、OC、AC.若，，則k的值是（　?。?br/>A．-12 B．-9 C．-6 D．-3
【答案】D
【知識點】點的坐標；反比例函數系數k的幾何意義；反比例函數的實際應用；幾何圖形的面積計算-割補法；反比例函數的兩點兩垂線型
【解析】【解答】解：如圖，延長DC，BA 交于點E，
設CD=a(a>0)，
∵CD：OB=1：3，
∴OB=3a，
∵ AB⊥y軸，CD⊥x軸，
∴點A的縱坐標為3a，點C的縱坐標為a ，
∴
∴
∴
∵ 反比例函數經過A、C兩點
∴
∵∠EDO=∠DOB=∠EBO= 90°，
∴四邊形OBED是矩形，
∴BE =OD=，DE=OB = 3a，
∴AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a，
∴=
∴
∵
∴
∴
∴k=-3
故答案為：D.
【分析】如圖，延長DC，BA 交于點E，設CD=a(a>0)， 則OB=3a，求出進而得到，即可證明四邊形OBED是矩形，再求出AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a， 得到=，根據，建立方程，計算求解即可解答.
7．（2025·廣西）如圖，在平面直角坐標系中，“雙曲線階梯”的所有線段均與軸平行或垂直，且滿足，點，，，均在雙曲線的一支上．若點A的坐標為，則第三級階梯的高（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點A在雙曲線上
∴
∴雙曲線
∵“雙曲線階梯”的所有線段均與軸平行或垂直，且滿足
∴點E的橫坐標為4-1-1=2，點點的橫坐標為2-1=1
所有點E的縱坐標為，點G的縱坐標為
∴EF=6-3=3
故答案為： B
【分析】根據待定系數法將點A坐標代入雙曲線可得雙曲線，再根據題意可得點E的橫坐標為4-1-1=2，點G的橫坐標為2-1=1，再分別代入雙曲線可得點E，G的縱坐標，再根據兩點間距離即可求出答案.
8．（2025·河南）汽車輪胎的摩擦系數是影響行車安全的重要因素，在一定條件下，它會隨車速的變化而變化．研究發現，某款輪胎的摩擦系數與車速之間的函數關系如圖所示．下列說法中錯誤的是（　?。?br/>A．汽車靜止時，這款輪胎的摩擦系數為0.9
B．當時，這款輪胎的摩擦系數隨車速的增大而減小
C．要使這款輪胎的摩擦系數不低于0.71，車速應不低于
D．若車速從增大到，則這款輪胎的摩擦系數減小0.04
【答案】C
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數的實際應用；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：A、觀察圖象知，當速度為0時，輪胎的摩擦系數為0.9，正確；
B、 當時，摩擦系數是車速的反比例函數，隨的增大而減小，正確；
C、由于隨的增大而減小，則當時，，錯誤；
D、觀察圖象知，當時，，當時，，即，正確；
故答案為：C.
【分析】觀察圖象知，當時，摩擦系數，而當時，摩擦系數可近視地看作是車速的反比例函數，由于圖象在第一象限，即反比例系數為正，則隨的增大而減小，當車速超過時，則摩擦系數，最后由反比例函數圖象上點的坐標特征知當車速從增大到時， 摩擦系數從0.75減小到0.71，即減小了0.04.
9．（2025·宜賓）如圖，是坐標原點，反比例函數與直線交于點，點在的圖象上，直線與軸交于點．連結．若，則的長為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；勾股定理；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】
解：如圖所示，過點A作AD⊥x軸交于點D，過點B作BE⊥x軸交于點E，
∵反比例函數與直線交于點，
∴
解得x=
∴OD=.
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD//BE，
∴
∵AB=3AC，
∴3=，即DE=3，
∴OE=2+3 =4，
∴將x=4代入y=-=，
∴BE=，
∴OB=
故答案為：D.
【分析】過點A作AD⊥x軸交于點D，過點B作BE⊥x軸交于點E，首先聯立求解x得到 OD=. 然后由AD// BE得到，求出DE= 3，再代入y=-中，求出BE=，然后利用勾股定理求解即可解答.
10．（2025·煙臺）如圖，菱形的頂點在軸正半軸上，，反比例函數的圖象過點和菱形的對稱中心，則的值為（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【知識點】菱形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征；坐標系中的兩點距離公式；坐標系中的中點公式
【解析】【解答】解：設點C(x，y)
四邊形OABC是菱形
都在反比例函數的圖象上
化簡得：
菱形OABC中OC=OA=3
故答案為：D.
【分析】先設出點C坐標為C(x，y)，再利用菱形的性質結合中點坐標公式可得，再由雙曲線上點的坐標特征得，從而求出；由于菱形的各邊都相等，再由兩點距離公式可得，即.
11．（2025·山東）如圖，在平面直角坐標系中，，兩點在坐標軸上，四邊形是面積為的正方形．若函數的圖象經過點，則滿足的的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數系數k的幾何意義
【解析】【解答】解：反比例函數圖象的一個分支在第一象限，
當時，隨的增大而減小
當時，
時，
故答案為：A.
【分析】由反比例函數的幾何意義結合圖象的大體位置知，則在每一個分支內，隨的增大而減小，則當時，.
12．（2025·北京市）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A，B分別是橫、縱軸正半軸上的動點，四邊形OACB是矩形，函數 的圖象與邊AC交于點M，與邊BC交于點 N(M，N不重合).給出下面四個結論：
①△COM 與△CON 的面積一定相等；
②△MON 與△MCN的面積可能相等；
③△MON一定是銳角三角形；
④△MON可能是等邊三角形.
上述結論中，所有正確結論的序號是（　?。?br/>A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知識點】反比例函數的性質；角的運算；三角形的面積；矩形的性質；坐標系中的兩點距離公式
【解析】【解答】解：設點M坐標為，點N坐標為，則A(a，0)，B，C
∴
∴
∴，①正確
，即a=b
當a=b時，M，N重合，與題意不符，②錯誤
∵四邊形OACB為矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM與x軸夾角，∠BON是ON與y軸夾角，M，N在第一象限
∴∠AOM，∠BON均為銳角
∵∠MON=90°-∠AOM-∠BON
∴∠MON<90°，∠MON是銳角
過點O作OH⊥MN于點H
由是一個固定形式的正數
∵
∵
∴OH>0
在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的銳角
∴∠OMH<90°，∠ONH<90°，即∠OMN<90°，∠ONM<90°
∴△MON的三個角都是銳角
∴△MON一定是銳角三角形，③正確
假設△MON是等邊三角形，則OM=ON=MN，且∠MON=60°
若OM=ON。則OM2=ON2
即
整理得：
∴
∵a≠b(M，N不重合)
∴，解得：ab=1
此時OM=ON，但結合條件∠MON=60°
由于ab=1時，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通過反比例函數和矩形的動態性，無法同時滿足角度和邊長的嚴格等邊要求
∴△MON不可能是等邊三角形，④錯誤
故答案為： B
【分析】設點M坐標為，點N坐標為，則A(a，0)，B，C，根據兩點間距離可得，再跟據三角形可判斷①，②；由四邊形OACB為矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM與x軸夾角，∠BON是ON與y軸夾角，M，N在第一象限可得∠AOM，∠BON均為銳角，根據角之間的關系可得∠MON<90°，∠MON是銳角，過點O作OH⊥MN于點H，根據三角形面積可得OH>0，在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的銳角，再根據角之間的關系可判斷③；假設△MON是等邊三角形，則OM=ON=MN，且∠MON=60°，若OM=ON，則OM2=ON2，化簡可得，解得：ab=1，此時OM=ON，但結合條件∠MON=60°，由于ab=1時，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通過反比例函數和矩形的動態性，無法同時滿足角度和邊長的嚴格等邊要求
∴△MON不可能是等邊三角形，可判斷④.
二、填空題
13．（2025·青島）如圖，正八邊形的頂點，，，在坐標軸上，頂點，，，在第一象限．點在反比例函數的圖象上，若，則的值為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；勾股定理；等腰直角三角形；線段的和、差、倍、分的簡單計算；多邊形的內角和公式
【解析】【解答】
解：過點F作FM⊥y軸交y軸于點M，如圖，
正八邊形ABCDEFGH的內角和為(8-2)x 360° = 1080°，
∴每個內角為
∴∠OAH=∠OHA=45° ，
則AOH為等腰直角三角形，
又∵正八邊形的邊長為，
∴OA2 +OH2=AH2，即2OH2=2，
可得OH=1，
同理可得GMF為等腰直角三角形，
即MG=MF=1，
∴可得OM =OH+ HG+GM=1++1=2+.
∴點F(1，2+)，
又點F在反比例函數y=-(x>0)的圖象上，
∴2+=，解得k=2+；
故答案為：2+.
【分析】先根據正八邊形的內角和可求解每個內角度數，可得AOH為等腰直角三角形，根據正八邊形的邊長可求解OH的長度，同理可求MG與MF的長度，即可得到點F的坐標，再代入反比例函數解析式即可解答.
14．（2025·齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=-x-1的圖象與反比例函數
（k≠0）的圖象在第二象限內交于點A，與x軸交于點B，點C坐標為（0，3），連接AC，BC，若AC=BC，則實數k的值為　 　.
【答案】-6
【知識點】因式分解法解一元二次方程；點的坐標；待定系數法求反比例函數解析式；勾股定理；坐標系中的兩點距離公式
【解析】【解答】解：當y=0時，0=-x-1， 解得x=-1，
∴點B的坐標為(-1，0)，
∵點C坐標為(0，3)，
∴BC=
設點A坐標為(m， -m-1)，
∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2 =2m2 + 8m+16
∵AC2= BC2，
∴2m2 + 8m+16=10，
解得m=-3，m=-1 (不合題意，舍去)
∴m=-3，
∴點A坐標為(-3，2)，
∴2=
解得k=-6，
故答案為：-6.
【分析】先由一次函數的解析式求出點B的坐標為(-1，0)；再利用勾股定理求出BC，利用兩點之間的距離公式求出AC2，再根據AC= BC列方程，解方程并進一步即可得到點A坐標為( -3.2)，利用待定系數法即可求出實數k的值，解答即可.
15．（2025·吉林）如圖，在平面直角坐標系中，過原點O的直線與反比例函數y的圖象交于A，B兩點，分別以點A，點B為圓心，畫半徑為1的⊙A和⊙B．當⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為　 　 ．（結果保留π）
【答案】
【知識點】切線的性質；扇形面積的計算；反比例函數圖象上點的坐標特征；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：當⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，
軸， 軸，
∵半徑為1，
∴A點的縱坐標為1，
把 代入 求得
∴第一象限中陰影的面積
同理，第三象限中陰影的面積
故答案為：
【分析】根據題意可得 代入解析式求得點A的坐標，根據正切的定義求出求得 然后根據扇形的面積公式求得兩個象限中扇形的面積解答即可.
16．（2025·新疆維吾爾自治區）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝k1x+b（k1≠0）與雙曲線y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）兩點，過點A作直線AC⊥AB交x軸于點C，連接BC，則△ABC的面積是　 　 ．
【答案】20
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積；勾股定理；坐標系中的兩點距離公式
【解析】【解答】解：∵ 直線y＝k1x+b（k1≠0）與雙曲線y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）兩點
∴1×4=-4n，解得：n=-1
∴B(-4，-1)
設C(c，0)
∴AB2=(1+4)2+(4+1)2=50，AC2=(c-1)2+42=(c-1)2+16，BC2=(c+4)2+12=(c+4)2+1
∵AC⊥AB
∴BC2=AB2+AC2，即(c+4)2+1=(c-1)2+16+50
解得：c=5
∴C(5，0)
∴，
∴
故答案為：20
【分析】將點A，B坐標代入反比例函數可得B(-4，-1)，設C(c，0)，根據兩點間距離可得AB2=50，AC2=(c-1)2+16，BC2=(c+4)2+1，再根據勾股定理建立方程，解方程可得C(5，0)，即，，再根據三角形面積即可求出答案.
17．（2025·威海）如圖，點A在反比例函數y的圖象上，點B在反比例函數y的圖象上，連接OA，OB，AB．若AO⊥BO，則tan∠BAO＝ 　 　 ．
【答案】
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；一線三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：
如圖，作 軸，垂足為G，作 軸，垂足為H，
∵點A在反比例函數 的圖象上，點B在反比例函數 的圖象上，
故答案為：
故答案為：.
【分析】如圖，作 軸，垂足為G，作 軸，垂足為H可得利用相似三角形的性質及反比例函數k值幾何意義即可得到結果.
18．（2025·陜西） 如圖，過原點的直線與反比例函數的圖象交于，兩點，則的值為　 　．
【答案】9
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；關于原點對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵過原點的直線與反比例函數的圖象交于，兩點
∴A，B兩點關于原點O對稱
∴，解得：
∴A(3，3)
將點A(3，3)代入，得
解得：k=9
故答案為：9
【分析】根據題意可得A，B兩點關于原點O對稱，根據關于原點對稱的點的坐標特征克的m，n的值，求出點A坐標，再根據待定系數法將點A坐標代入反比例函數解析式即可求出答案.
19．（2025·山東）取直線上一點，過點作軸的垂線，交于點；過點作軸的垂線，交于點；如此循環進行下去．按照上面的操作，若點的坐標為，則點的坐標是　 ?。?br/>【答案】
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；關于坐標軸對稱的點的坐標特征；探索數與式的規律；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：A1（1，-1），由題意知A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1）
即每四個操作一個循環，
A2025（1，-1），
故答案為：.
【分析】先由直線和雙曲線上點的坐標特征可先分別求出A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1），可發現每4個操作一個循環，即可得出規律，再利用2025除以4的余數即可得出結果.
三、解答題
20．（2025·廣州）如圖，曲線過點．
（1）求t的值；
（2）直線也經過點P，求l與y軸交點的坐標，并在圖中畫出直線l；
（3）在（2）的條件下，若在l與兩坐標軸圍成的三角形內部（不包含邊界）隨機取一個格點（橫、縱坐標都是整數的點），求該格點在曲線G上的概率．
【答案】（1）解：∵曲線過點．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直線也經過點P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，則，
∴l與y軸交點的坐標為；
直線l的函數圖象，如圖所示；
（3）解：依題意，在l與兩坐標軸圍成的三角形內部（不包含邊界）的格點共有個，分別是，
∵曲線，
則，
∴格點在曲線G上，即有兩個格點在曲線G上，
即該格點在曲線G上的概率．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；概率公式；反比例函數圖象上點的坐標特征；描點法畫函數圖象
【解析】【分析】（1）將點P坐標代入曲線解析式即可求出答案.
（2）根據待定系數法將點P坐標代入直線l解析式可得，根據y軸上點的坐標特征可得l與y軸交點的坐標為，再根據描點法作出圖象即可.
（3）根據函數圖象可得在l與兩坐標軸圍成的三角形內部（不包含邊界）的格點共有個，再將各點坐標代入直線解析式求出有兩個格點在曲線G上，再根據概率公式即可求出答案.
21．（2025·蘭州）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數yx+b與反比例函數y（x＞0）的圖象相交于點A（m，3），與x軸相交于點B（8，0），與y軸相交于點C．
（1）求一次函數yx+b與反比例函數y的表達式；
（2）點P為y軸負半軸上一點，連接AP．若△ACP的面積為6，求點P的坐標．
【答案】（1）解： ∵B（8，0）在一次函數yx+b圖像上，
∴b＝0，解得b＝4，
∴一次函數解析式為y，
將點A（m，3）坐標代入解析式得：34，
解得m＝2，
∴A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函數解析式為y；
（2）解：由一次函數解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），設點P（0，x），
∴PC＝4﹣x，
∴S△PAC6，
解得x＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
【知識點】點的坐標；待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積
【解析】【分析】(1)把B（8，0）代入一次函數函數解析式可得b＝4，因而可求得一次函數的解析式，再把A（m，3）代入函數解析式中得到m＝2，即可利用待定系數法求得反比例函數解析式，由此即可解答；
（2）先根據一次函數的解析式分別求出A，B，C的坐標，設點P（0，x）表示出PC＝4﹣x，利用面積關系建立方程，計算即可解答.
22．（2025·白銀）如圖，一次函數的圖象交x軸于點A，交反比例函數的圖象交于點B（-1，a）.將一次函數的圖象向下平移m（m>0）個單位長度，所得的圖象交x軸于點C.
（1）求反比例函數的表達式；
（2）當的面積為3時，求m的值.
【答案】（1）解：將代入，得，
∴，
將點坐標代入，得，
∴，
∴反比例函數的表達式為；
（2）解：如圖，過點作軸于，
∵一次函數的圖象交軸于點，
∴，
∵，
∴，
又∵的面積為3，
∴，
∴，
∵將一次函數的圖象向下平移個單位長度，所得的圖象交軸于點，
∴平移后的一次函數表達式為，
∴，
∴，
∴.
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積；一次函數圖象的平移變換
【解析】【分析】（1）將點坐標代入一次函數表達式中求出的值，從而得，進而利用待定系數法求出反比例函數的表達式；
（2）過點作軸于，先求出，由點坐標得，然后利用三角形面積公式得，根據一次函數的平移變換規律得平移后的一次函數表達式，從而得，進而即可求出的值.
23．（2025·河南）小軍將一副三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標系xOy中，其中含角的三角板OAB的直角邊OA落在軸上，含角的三角板OAC的直角頂點的坐標為，反比例函數的圖象經過點．
（1）求反比例函數的表達式．
（2）將三角板OAB繞點順時針旋轉邊上的點恰好落在反比例函數圖象上，求旋轉前點的坐標．
【答案】（1）解：∵反比例函數 的圖象經過點C(2，2)
∴k=4
∴這個反比例函數的表達式為
（2）解：如圖，過點C作軸、軸，垂足分別為M、N，設點A、D繞點O順時針旋轉90°到點A`、D`.
由旋轉的性質知，
，即
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；旋轉的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；反比例函數圖象上點的坐標特征；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【分析】（1）利用待定系數法直接求解即可；
（2）如圖所示，由于點，則過點C分別作軸的垂線段CM和CN，則CM=CN=2，由于是等腰直角三角形，則CN是斜邊OA上的中線，即OA=4，則由旋轉的性質知，OA`=OA=4，即點D`的橫坐標為4，此時利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出D`的縱坐標為1，即A`D`=1，再由旋轉的性質知AD=A`D`=1，由于點D在第二象限，則.
24．（2025·眉山）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于、兩點，與x軸交于點C，點D與點A關于點O對稱，連接AD．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式：
（2）點P在x軸的負半軸上，且與相似，求點P的坐標．
【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函數解析式為，
把B(4，m)代入得m=1，
∴點B的坐標為(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函數的解析式為
（2）解：令y=0，則-x+5=0，解得x=5，
∴點C的坐標為(5，0)，即OC=5，
∵點A的坐標為(1，4)，且 點D與點A關于點O對稱，
∴，
當△AOC∽△POD時，
則，即，
解得OP=，
∴點P的坐標為；
當△AOC∽△DOP時，
則，即，
解得OP=5，
∴點P的坐標為；
綜上所述，點P的坐標為或
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【分析】（1）根據待定系數法求出一次函數和反比例函數的解析式即可；
（2）求出點C的坐標，即可得到OC=5，然后根據勾股定理求出OA=OD的長，再分為△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP兩種情況，利用對應邊成比例解答即可.
25．（2025·內江） 如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與一次函數的圖象相交于、兩點．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）當時，請根據函數圖象，直接寫出關于x的不等式的解集；
（3）過直線上的點C作軸，交反比例函數的圖象于點．若點橫坐標為，求的面積．
【答案】（1）解：∵反比例函數 的圖象過點B(-6，1)，
∴k1=-6×1=-6，
故反比例函數的表達式為；
把點A(a，6)代入反比例函數得，
解得a=-1，
∴點A的坐標為(-1，6)，
∵一次函數y=k2x+b的圖象經過A(-1，6)、B(-6，1)兩點，
∴
解得
故一次函數的表達式為y=x+7；
（2）解： 關于x的不等式的解集 -6≤x≤-1；
（3）解：∵點C橫坐標為-4，代入y=x+7，
得：y=-4+7=3，
∴C(-4，3)，
把y=3代入，代入，得x=-2，
∴D(-2，3)，
如圖，過點B，D分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，
∵B(-6，1)，D(-2，3)，
∴DE=3，BF=1，EF=-2-(-6)=4，
∵S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，S△BFO=S△DEO=3
∴S△BOD=S梯形BFED=(DE+BF)EF=×(3+1)×4=8
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；反比例函數系數k的幾何意義；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解（2）∵
∴
由圖象可得，當時，-6≤x≤-1，
∴關于x的不等式的解集為-6≤x≤-1；
【分析】（1）把點B(-6，1)代入比例函數可算出k1的值，從而得到反比例函數的解析式；把點A(a，6)代入所求的反比例函數解析式算出a=-1，可得A的坐標為(-1，6)，然后利用待定系數法求出一次函數的解析式；
（2）關于x的不等式的解集，從圖象角度看，就是求一次函數y=k2x+b的圖象在反比例函數的圖象上方部分及交點相應的自變量的取值范圍，據此結合交點坐標求解即可；
（3）將x=-4代入一次函數y=x+7的解析式算出對應的函數值，可得點C(-4，3)，根據點的坐標與圖形的性質，點D的縱坐標也為3，故將y=3代入反比例函數解析式算出對應的x的值，可得D(-2，3)；過點B，D分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，由反比例函數k的幾何意義得S△BFO=S△DEO=3，利用割補法得S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，則S△BOD=S梯形BFED，進而利用梯形面積計算公式列式計算可得答案.
26．（2025·貴州）小星在閱讀《天工開物》時，看到一種名為桔槔的古代汲水工具（如圖①），有一橫桿固定于桔槔上點，并可繞點轉動．在橫桿處連接一竹竿，在橫桿處固定的物體，且．若圖中人物豎直向下施加的拉力為，當改變點與點的距離時，橫桿始終處于水平狀態，小星發現與有一定的關系，記錄了拉力的大小與的變化，如下表：
點與點的距離 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
（1）表格中的值是　 ??；
（2）小星通過分析表格數據發現，用函數可以刻畫與之間的關系．在如圖②所示的平面直角坐標系中，描出表中對應的點，并畫出這個函數的圖象；
（3）根據以上數據和圖象判斷，當的長增大時，拉力是增大還是減小？請說明理由．
【答案】（1）100
（2）解：與之間的函數圖象，如圖所示：
（3）解：當的長增大時，拉力減小，理由如下：
由函數圖象可知：F是l的反比例函數，且該函數圖象在第一象限內，根據反比例函數的性質可知，F隨l的增大而減小，所以當的長增大時，拉力減小．
【知識點】列反比例函數關系式；反比例函數的實際應用
【解析】【解答】（1）解：根據表格中的數據發現：
，
因此點與點的距離與拉力F的乘積不變，
∴.
故答案為：100.
【分析】（1）利用杠桿平衡原理（動力×動力臂 = 阻力×阻力臂 ），確定與的反比例關系，代入求.
（2）按表格數據描點，用平滑曲線連接（因是反比例函數，圖象為雙曲線一支 ）.
（3）依據反比例函數的性質（第一象限內隨增大而減小 ），判斷拉力變化.
27．（2025·重慶市）如圖，點為矩形的對角線AC的中點，，，，是上的點（，均不與，重合），且，連接，．用表示線段的長度，點與點的距離為．矩形的面積為，的面積為，的面積為，．
（1）請直接寫出，分別關于的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍：
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數，的圖象，并分別寫出函數，的一條性質；
（3）結合函數圖象，請直接寫出時的取值范圍（近似值保留小數點后一位，誤差不超過）．
【答案】（1），
（2）解：作圖如下：
性質：當時，隨的增大而減小；
當時，隨的增大而增大（不唯一）；
當時，隨的增大而減?。?br/>（3）（或或或或）
【知識點】分段函數；反比例函數的圖象；反比例函數與一次函數的交點問題；矩形的性質；描點法畫函數圖象
【解析】【解答】（1）解：∵為矩形的對角線AC的中點，，，
∴，，
∴，
當時，，如圖，
∴；
當時，，如圖，
∴；
∴；
如圖，過點作于點，
∵，
∴，
∴的面積為，
同理可得的面積為，
又∵矩形的面積為，
∴，
∴；
（3）解：結合函數圖象，可得時的取值范圍為（或<或或或）.
【分析】（1）利用勾股定理求出AC=5，再分類討論，結合圖形，利用三角形和矩形的面積公式等計算求解即可；
（2）根據函數解析式畫圖，再根據函數圖象寫出性質求解即可；
（3）根據函數圖象，結合題意作答求解即可.
（1）解：∵為矩形的對角線AC的中點，，，
∴，，
∴，
當時，，如圖，
∴；
當時，，如圖，
∴；
∴；
如圖，過點作于點，
∵，
∴，
∴的面積為，
同理可得的面積為，
又∵矩形的面積為，
∴，
∴；
（2）解：作圖如下：
性質：當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大（不唯一）；當時，隨的增大而減小；
（3）解：結合函數圖象，可得時的取值范圍為（或<或或或）．
28．（2025·成都）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象的一個交點為，與x軸的交點為．
（1）求k的值；
（2）直線與反比例函數的圖象在第三象限交于點C，點D在反比例函數的圖象上，若，求直線的函數表達式；
（3）P為x軸上一點，直線交反比例函數的圖象于點E（異于A），連接，若的面積為2，求點E的坐標．
【答案】（1）解：∵直線與x軸的交點為，
∴，
解得：，
∴一次函數的解析式為，
把代入得：
，解得：，
∴點，
把點代入得：；
（2）解：如圖，連接，
由（1）得：反比例函數的解析式為，
∵直線與反比例函數的圖象在第三象限交于點C，點，
∴點C的坐標為，
∴，
設點D的坐標為，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴點D的坐標為，
設直線的函數表達式為，
把點，代入得：
，解得：，
∴直線的函數表達式為
（3）解：設點E的坐標為，
設直線的解析式為，
把點，代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為，
當時，，
解得：，
∴點P的坐標為，
∴，
∴，
∵的面積為2，
∴，
解得：或，
∴點E的坐標為或
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積
【解析】【分析】（1）利用待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式即可；
（2）連接，設點D的坐標為，根據勾股定理求出m值，即可得到點D的坐標，然后利用待定系數法求出直線AD的解析式即可；
（3）設點E的坐標為，求出直線AE的解析式，即可得到點P的坐標，利用△BEP的面積求出t值即可解題.
29．（2025·廣東）定義：把某線段一分為二的點，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比，這個點稱為中外比點.
（1）如圖1， 點P是線段MN的中外比點， MP＞PN， MN=2， 求PN的長.
（2）如圖2，用無刻度的直尺和圓規求作一點C把線段AB分為中外比. (保留作圖痕跡，不寫作法)
（3）如圖3，動點B在第一象限內，反比例函數 的圖象分別與矩形OABC的邊AB，BC相交于點D， E，與對角線OB 相交于點F .當△ODE是等腰直角三角形時，探究點D，E，F 是否分別為AB，BC，OB的中外比點，并證明.
【答案】（1）解：
設 PN = X，則 MP = 2-X
故 (舍)
故
（2）解：如圖所示：

（3）解：①當∠OED = 90°時， OE = DE， 設 E(1，k)
易證△OCE≌△EDB CE = BD，OC = BE
可知 D(k+1，k-1)，B(k+ 1，k)
又 D在 上，可知
此時在 BC 上，
故 E 是 BC 的中外分點
在 AB 上，
故此時 D 是 AB 的中外分點
在 OB 上，
聯立
作
故 F 是 OB的中外分點
②當∠ODE = 90°時， OD = DE， 設E(1，k)
易證
∵D在 上，故
此時在 BC 上，
則
∴E 是 BC 的中外分點
在 AB 上，
則
故 D是 AB的中外分點
此時在OB 上， 可得 聯立
得 作 FH ⊥ OA
而
故 F 是 OB的中外分點.
【知識點】反比例函數的概念；尺規作圖-垂線；反比例函數-動態幾何問題；尺規作圖-直線、射線、線段
【解析】【分析】（1）用中外比定義建立方程，通過設元、解方程并結合線段長度實際意義（為正 ）取舍，得到PN長。
（2）作線段AB的垂線并截取等長線段，連接AD并在AB上截取等長線段，確定中外比點C。
（3）通過設點坐標，利用反比例函數、等腰直角三角形性質推導線段比例，最終驗證是否符合中外比定義，實現對D、E、F是否為中外比點的探究 。
1 / 1專題9 反比例函數-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·廣州）若，反比例函數的圖象在（　?。?br/>A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．（2025·天津市）若點都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2025·連云港）如圖，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像交于A、B兩點，點A的橫坐標為-1.當時，x的取值范圍是（　?。?br/>A．或 B．或
C．或 D．或
4．（2025·長春）在功一定的條件下，功率與做功時間成反比例，與之間的函數關系如圖所示．當時，的值可以為（　?。?br/>A．24 B．27 C．45 D．50
5．（2025·貴州）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點，過反比例函數圖象上點作軸垂線，垂足為點，交的圖象于點，點的橫坐標為1．有以下結論：
①線段AB的長為8；②點的坐標為；③當時，一次函數的值小于反比例函數的值．
其中結論正確的個數是（　?。?br/>A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2025·綏化）如圖，反比例函數經過A、B兩點，過點A作軸于點B，過點C作軸于點D，連接OA、OC、AC.若，，則k的值是（　?。?br/>A．-12 B．-9 C．-6 D．-3
7．（2025·廣西）如圖，在平面直角坐標系中，“雙曲線階梯”的所有線段均與軸平行或垂直，且滿足，點，，，均在雙曲線的一支上．若點A的坐標為，則第三級階梯的高（　?。?br/>A． B． C． D．
8．（2025·河南）汽車輪胎的摩擦系數是影響行車安全的重要因素，在一定條件下，它會隨車速的變化而變化．研究發現，某款輪胎的摩擦系數與車速之間的函數關系如圖所示．下列說法中錯誤的是（　?。?br/>A．汽車靜止時，這款輪胎的摩擦系數為0.9
B．當時，這款輪胎的摩擦系數隨車速的增大而減小
C．要使這款輪胎的摩擦系數不低于0.71，車速應不低于
D．若車速從增大到，則這款輪胎的摩擦系數減小0.04
9．（2025·宜賓）如圖，是坐標原點，反比例函數與直線交于點，點在的圖象上，直線與軸交于點．連結．若，則的長為（　?。?br/>A． B． C． D．
10．（2025·煙臺）如圖，菱形的頂點在軸正半軸上，，反比例函數的圖象過點和菱形的對稱中心，則的值為（　?。?br/>A．4 B． C．2 D．
11．（2025·山東）如圖，在平面直角坐標系中，，兩點在坐標軸上，四邊形是面積為的正方形．若函數的圖象經過點，則滿足的的取值范圍為（　?。?br/>A． B． C． D．
12．（2025·北京市）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A，B分別是橫、縱軸正半軸上的動點，四邊形OACB是矩形，函數 的圖象與邊AC交于點M，與邊BC交于點 N(M，N不重合).給出下面四個結論：
①△COM 與△CON 的面積一定相等；
②△MON 與△MCN的面積可能相等；
③△MON一定是銳角三角形；
④△MON可能是等邊三角形.
上述結論中，所有正確結論的序號是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空題
13．（2025·青島）如圖，正八邊形的頂點，，，在坐標軸上，頂點，，，在第一象限．點在反比例函數的圖象上，若，則的值為　 　．
14．（2025·齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=-x-1的圖象與反比例函數
（k≠0）的圖象在第二象限內交于點A，與x軸交于點B，點C坐標為（0，3），連接AC，BC，若AC=BC，則實數k的值為　 　.
15．（2025·吉林）如圖，在平面直角坐標系中，過原點O的直線與反比例函數y的圖象交于A，B兩點，分別以點A，點B為圓心，畫半徑為1的⊙A和⊙B．當⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為　 　 ．（結果保留π）
16．（2025·新疆維吾爾自治區）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝k1x+b（k1≠0）與雙曲線y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）兩點，過點A作直線AC⊥AB交x軸于點C，連接BC，則△ABC的面積是　 　 ．
17．（2025·威海）如圖，點A在反比例函數y的圖象上，點B在反比例函數y的圖象上，連接OA，OB，AB．若AO⊥BO，則tan∠BAO＝ 　 　 ．
18．（2025·陜西） 如圖，過原點的直線與反比例函數的圖象交于，兩點，則的值為　 ?。?br/>19．（2025·山東）取直線上一點，過點作軸的垂線，交于點；過點作軸的垂線，交于點；如此循環進行下去．按照上面的操作，若點的坐標為，則點的坐標是　 　．
三、解答題
20．（2025·廣州）如圖，曲線過點．
（1）求t的值；
（2）直線也經過點P，求l與y軸交點的坐標，并在圖中畫出直線l；
（3）在（2）的條件下，若在l與兩坐標軸圍成的三角形內部（不包含邊界）隨機取一個格點（橫、縱坐標都是整數的點），求該格點在曲線G上的概率．
21．（2025·蘭州）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數yx+b與反比例函數y（x＞0）的圖象相交于點A（m，3），與x軸相交于點B（8，0），與y軸相交于點C．
（1）求一次函數yx+b與反比例函數y的表達式；
（2）點P為y軸負半軸上一點，連接AP．若△ACP的面積為6，求點P的坐標．
22．（2025·白銀）如圖，一次函數的圖象交x軸于點A，交反比例函數的圖象交于點B（-1，a）.將一次函數的圖象向下平移m（m>0）個單位長度，所得的圖象交x軸于點C.
（1）求反比例函數的表達式；
（2）當的面積為3時，求m的值.
23．（2025·河南）小軍將一副三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標系xOy中，其中含角的三角板OAB的直角邊OA落在軸上，含角的三角板OAC的直角頂點的坐標為，反比例函數的圖象經過點．
（1）求反比例函數的表達式．
（2）將三角板OAB繞點順時針旋轉邊上的點恰好落在反比例函數圖象上，求旋轉前點的坐標．
24．（2025·眉山）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于、兩點，與x軸交于點C，點D與點A關于點O對稱，連接AD．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式：
（2）點P在x軸的負半軸上，且與相似，求點P的坐標．
25．（2025·內江） 如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與一次函數的圖象相交于、兩點．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）當時，請根據函數圖象，直接寫出關于x的不等式的解集；
（3）過直線上的點C作軸，交反比例函數的圖象于點．若點橫坐標為，求的面積．
26．（2025·貴州）小星在閱讀《天工開物》時，看到一種名為桔槔的古代汲水工具（如圖①），有一橫桿固定于桔槔上點，并可繞點轉動．在橫桿處連接一竹竿，在橫桿處固定的物體，且．若圖中人物豎直向下施加的拉力為，當改變點與點的距離時，橫桿始終處于水平狀態，小星發現與有一定的關系，記錄了拉力的大小與的變化，如下表：
點與點的距離 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
（1）表格中的值是　 ??；
（2）小星通過分析表格數據發現，用函數可以刻畫與之間的關系．在如圖②所示的平面直角坐標系中，描出表中對應的點，并畫出這個函數的圖象；
（3）根據以上數據和圖象判斷，當的長增大時，拉力是增大還是減??？請說明理由．
27．（2025·重慶市）如圖，點為矩形的對角線AC的中點，，，，是上的點（，均不與，重合），且，連接，．用表示線段的長度，點與點的距離為．矩形的面積為，的面積為，的面積為，．
（1）請直接寫出，分別關于的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍：
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數，的圖象，并分別寫出函數，的一條性質；
（3）結合函數圖象，請直接寫出時的取值范圍（近似值保留小數點后一位，誤差不超過）．
28．（2025·成都）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象的一個交點為，與x軸的交點為．
（1）求k的值；
（2）直線與反比例函數的圖象在第三象限交于點C，點D在反比例函數的圖象上，若，求直線的函數表達式；
（3）P為x軸上一點，直線交反比例函數的圖象于點E（異于A），連接，若的面積為2，求點E的坐標．
29．（2025·廣東）定義：把某線段一分為二的點，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比，這個點稱為中外比點.
（1）如圖1， 點P是線段MN的中外比點， MP＞PN， MN=2， 求PN的長.
（2）如圖2，用無刻度的直尺和圓規求作一點C把線段AB分為中外比. (保留作圖痕跡，不寫作法)
（3）如圖3，動點B在第一象限內，反比例函數 的圖象分別與矩形OABC的邊AB，BC相交于點D， E，與對角線OB 相交于點F .當△ODE是等腰直角三角形時，探究點D，E，F 是否分別為AB，BC，OB的中外比點，并證明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】反比例函數的性質；絕對值的非負性
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函數的圖象在第二、四象限
故答案為：C
【分析】根據絕對值的非負性可得k<0，再根據反比例函數的圖象與系數的關系即可求出答案.
2．【答案】D
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函數中，k=-9<0
∴函數圖象的兩個分支分別在第二，四象限，且在每一個象限內，y隨x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案為：D
【分析】根據反比例函數的性質即可求出答案.
3．【答案】C
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：∵ 正比例函數的圖像與反比例函數的圖像交于A、B兩點，點A的橫坐標為-1
∴點B的橫坐標為1，
∴ 當時，x的取值范圍是或.
故答案為：C.
【分析】利用反比例函數的對稱性及已知正比例函數圖象經過原點，可得到點B 的橫坐標，觀察圖象，可得到時，x的取值范圍.
4．【答案】C
【知識點】反比例函數的實際應用
【解析】【解答】解：設功率P(單位：w)與做功的時間t(單位：s)的函數解析式為
把 代入解析式得：
解得：
∴功率P(單位：w)與做功的時間t(單位：s)的函數解析式為
∵反比例函數的圖象在第一象限內，P隨t的增大而減小，
∴當 時，
當 時，
故答案為：C.
【分析】先根據待定系數法求出反比例函數解析式，再求出當 和 時的函數值，根據反比例函數的性質即可得到答案.
5．【答案】C
【知識點】一次函數的圖象；反比例函數的性質；反比例函數與一次函數的交點問題；反比例函數圖象上點的坐標特征；代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】①解：點橫坐標為，代入得；點在上且橫坐標為，則，所以，①正確；
②解：聯立與（ ），得，，（ ），則，所以，②正確；
③解：由，結合函數圖象，當時，的圖象在上方，即一次函數值大于反比例函數值，③錯誤.
所以正確結論有個.
故答案為：C .
【分析】分別驗證三個結論：①通過坐標計算長度；②聯立方程求交點坐標；③根據函數圖象位置判斷時函數值大小.
6．【答案】D
【知識點】點的坐標；反比例函數系數k的幾何意義；反比例函數的實際應用；幾何圖形的面積計算-割補法；反比例函數的兩點兩垂線型
【解析】【解答】解：如圖，延長DC，BA 交于點E，
設CD=a(a>0)，
∵CD：OB=1：3，
∴OB=3a，
∵ AB⊥y軸，CD⊥x軸，
∴點A的縱坐標為3a，點C的縱坐標為a ，
∴
∴
∴
∵ 反比例函數經過A、C兩點
∴
∵∠EDO=∠DOB=∠EBO= 90°，
∴四邊形OBED是矩形，
∴BE =OD=，DE=OB = 3a，
∴AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a，
∴=
∴
∵
∴
∴
∴k=-3
故答案為：D.
【分析】如圖，延長DC，BA 交于點E，設CD=a(a>0)， 則OB=3a，求出進而得到，即可證明四邊形OBED是矩形，再求出AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a， 得到=，根據，建立方程，計算求解即可解答.
7．【答案】B
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點A在雙曲線上
∴
∴雙曲線
∵“雙曲線階梯”的所有線段均與軸平行或垂直，且滿足
∴點E的橫坐標為4-1-1=2，點點的橫坐標為2-1=1
所有點E的縱坐標為，點G的縱坐標為
∴EF=6-3=3
故答案為： B
【分析】根據待定系數法將點A坐標代入雙曲線可得雙曲線，再根據題意可得點E的橫坐標為4-1-1=2，點G的橫坐標為2-1=1，再分別代入雙曲線可得點E，G的縱坐標，再根據兩點間距離即可求出答案.
8．【答案】C
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數的實際應用；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：A、觀察圖象知，當速度為0時，輪胎的摩擦系數為0.9，正確；
B、 當時，摩擦系數是車速的反比例函數，隨的增大而減小，正確；
C、由于隨的增大而減小，則當時，，錯誤；
D、觀察圖象知，當時，，當時，，即，正確；
故答案為：C.
【分析】觀察圖象知，當時，摩擦系數，而當時，摩擦系數可近視地看作是車速的反比例函數，由于圖象在第一象限，即反比例系數為正，則隨的增大而減小，當車速超過時，則摩擦系數，最后由反比例函數圖象上點的坐標特征知當車速從增大到時， 摩擦系數從0.75減小到0.71，即減小了0.04.
9．【答案】D
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；勾股定理；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】
解：如圖所示，過點A作AD⊥x軸交于點D，過點B作BE⊥x軸交于點E，
∵反比例函數與直線交于點，
∴
解得x=
∴OD=.
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD//BE，
∴
∵AB=3AC，
∴3=，即DE=3，
∴OE=2+3 =4，
∴將x=4代入y=-=，
∴BE=，
∴OB=
故答案為：D.
【分析】過點A作AD⊥x軸交于點D，過點B作BE⊥x軸交于點E，首先聯立求解x得到 OD=. 然后由AD// BE得到，求出DE= 3，再代入y=-中，求出BE=，然后利用勾股定理求解即可解答.
10．【答案】D
【知識點】菱形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征；坐標系中的兩點距離公式；坐標系中的中點公式
【解析】【解答】解：設點C(x，y)
四邊形OABC是菱形
都在反比例函數的圖象上
化簡得：
菱形OABC中OC=OA=3
故答案為：D.
【分析】先設出點C坐標為C(x，y)，再利用菱形的性質結合中點坐標公式可得，再由雙曲線上點的坐標特征得，從而求出；由于菱形的各邊都相等，再由兩點距離公式可得，即.
11．【答案】A
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數系數k的幾何意義
【解析】【解答】解：反比例函數圖象的一個分支在第一象限，
當時，隨的增大而減小
當時，
時，
故答案為：A.
【分析】由反比例函數的幾何意義結合圖象的大體位置知，則在每一個分支內，隨的增大而減小，則當時，.
12．【答案】B
【知識點】反比例函數的性質；角的運算；三角形的面積；矩形的性質；坐標系中的兩點距離公式
【解析】【解答】解：設點M坐標為，點N坐標為，則A(a，0)，B，C
∴
∴
∴，①正確
，即a=b
當a=b時，M，N重合，與題意不符，②錯誤
∵四邊形OACB為矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM與x軸夾角，∠BON是ON與y軸夾角，M，N在第一象限
∴∠AOM，∠BON均為銳角
∵∠MON=90°-∠AOM-∠BON
∴∠MON<90°，∠MON是銳角
過點O作OH⊥MN于點H
由是一個固定形式的正數
∵
∵
∴OH>0
在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的銳角
∴∠OMH<90°，∠ONH<90°，即∠OMN<90°，∠ONM<90°
∴△MON的三個角都是銳角
∴△MON一定是銳角三角形，③正確
假設△MON是等邊三角形，則OM=ON=MN，且∠MON=60°
若OM=ON。則OM2=ON2
即
整理得：
∴
∵a≠b(M，N不重合)
∴，解得：ab=1
此時OM=ON，但結合條件∠MON=60°
由于ab=1時，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通過反比例函數和矩形的動態性，無法同時滿足角度和邊長的嚴格等邊要求
∴△MON不可能是等邊三角形，④錯誤
故答案為： B
【分析】設點M坐標為，點N坐標為，則A(a，0)，B，C，根據兩點間距離可得，再跟據三角形可判斷①，②；由四邊形OACB為矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM與x軸夾角，∠BON是ON與y軸夾角，M，N在第一象限可得∠AOM，∠BON均為銳角，根據角之間的關系可得∠MON<90°，∠MON是銳角，過點O作OH⊥MN于點H，根據三角形面積可得OH>0，在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的銳角，再根據角之間的關系可判斷③；假設△MON是等邊三角形，則OM=ON=MN，且∠MON=60°，若OM=ON，則OM2=ON2，化簡可得，解得：ab=1，此時OM=ON，但結合條件∠MON=60°，由于ab=1時，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通過反比例函數和矩形的動態性，無法同時滿足角度和邊長的嚴格等邊要求
∴△MON不可能是等邊三角形，可判斷④.
13．【答案】
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；勾股定理；等腰直角三角形；線段的和、差、倍、分的簡單計算；多邊形的內角和公式
【解析】【解答】
解：過點F作FM⊥y軸交y軸于點M，如圖，
正八邊形ABCDEFGH的內角和為(8-2)x 360° = 1080°，
∴每個內角為
∴∠OAH=∠OHA=45° ，
則AOH為等腰直角三角形，
又∵正八邊形的邊長為，
∴OA2 +OH2=AH2，即2OH2=2，
可得OH=1，
同理可得GMF為等腰直角三角形，
即MG=MF=1，
∴可得OM =OH+ HG+GM=1++1=2+.
∴點F(1，2+)，
又點F在反比例函數y=-(x>0)的圖象上，
∴2+=，解得k=2+；
故答案為：2+.
【分析】先根據正八邊形的內角和可求解每個內角度數，可得AOH為等腰直角三角形，根據正八邊形的邊長可求解OH的長度，同理可求MG與MF的長度，即可得到點F的坐標，再代入反比例函數解析式即可解答.
14．【答案】-6
【知識點】因式分解法解一元二次方程；點的坐標；待定系數法求反比例函數解析式；勾股定理；坐標系中的兩點距離公式
【解析】【解答】解：當y=0時，0=-x-1， 解得x=-1，
∴點B的坐標為(-1，0)，
∵點C坐標為(0，3)，
∴BC=
設點A坐標為(m， -m-1)，
∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2 =2m2 + 8m+16
∵AC2= BC2，
∴2m2 + 8m+16=10，
解得m=-3，m=-1 (不合題意，舍去)
∴m=-3，
∴點A坐標為(-3，2)，
∴2=
解得k=-6，
故答案為：-6.
【分析】先由一次函數的解析式求出點B的坐標為(-1，0)；再利用勾股定理求出BC，利用兩點之間的距離公式求出AC2，再根據AC= BC列方程，解方程并進一步即可得到點A坐標為( -3.2)，利用待定系數法即可求出實數k的值，解答即可.
15．【答案】
【知識點】切線的性質；扇形面積的計算；反比例函數圖象上點的坐標特征；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：當⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，
軸， 軸，
∵半徑為1，
∴A點的縱坐標為1，
把 代入 求得
∴第一象限中陰影的面積
同理，第三象限中陰影的面積
故答案為：
【分析】根據題意可得 代入解析式求得點A的坐標，根據正切的定義求出求得 然后根據扇形的面積公式求得兩個象限中扇形的面積解答即可.
16．【答案】20
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積；勾股定理；坐標系中的兩點距離公式
【解析】【解答】解：∵ 直線y＝k1x+b（k1≠0）與雙曲線y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）兩點
∴1×4=-4n，解得：n=-1
∴B(-4，-1)
設C(c，0)
∴AB2=(1+4)2+(4+1)2=50，AC2=(c-1)2+42=(c-1)2+16，BC2=(c+4)2+12=(c+4)2+1
∵AC⊥AB
∴BC2=AB2+AC2，即(c+4)2+1=(c-1)2+16+50
解得：c=5
∴C(5，0)
∴，
∴
故答案為：20
【分析】將點A，B坐標代入反比例函數可得B(-4，-1)，設C(c，0)，根據兩點間距離可得AB2=50，AC2=(c-1)2+16，BC2=(c+4)2+1，再根據勾股定理建立方程，解方程可得C(5，0)，即，，再根據三角形面積即可求出答案.
17．【答案】
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；一線三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：
如圖，作 軸，垂足為G，作 軸，垂足為H，
∵點A在反比例函數 的圖象上，點B在反比例函數 的圖象上，
故答案為：
故答案為：.
【分析】如圖，作 軸，垂足為G，作 軸，垂足為H可得利用相似三角形的性質及反比例函數k值幾何意義即可得到結果.
18．【答案】9
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；關于原點對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵過原點的直線與反比例函數的圖象交于，兩點
∴A，B兩點關于原點O對稱
∴，解得：
∴A(3，3)
將點A(3，3)代入，得
解得：k=9
故答案為：9
【分析】根據題意可得A，B兩點關于原點O對稱，根據關于原點對稱的點的坐標特征克的m，n的值，求出點A坐標，再根據待定系數法將點A坐標代入反比例函數解析式即可求出答案.
19．【答案】
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；關于坐標軸對稱的點的坐標特征；探索數與式的規律；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：A1（1，-1），由題意知A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1）
即每四個操作一個循環，
A2025（1，-1），
故答案為：.
【分析】先由直線和雙曲線上點的坐標特征可先分別求出A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1），可發現每4個操作一個循環，即可得出規律，再利用2025除以4的余數即可得出結果.
20．【答案】（1）解：∵曲線過點．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直線也經過點P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，則，
∴l與y軸交點的坐標為；
直線l的函數圖象，如圖所示；
（3）解：依題意，在l與兩坐標軸圍成的三角形內部（不包含邊界）的格點共有個，分別是，
∵曲線，
則，
∴格點在曲線G上，即有兩個格點在曲線G上，
即該格點在曲線G上的概率．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；概率公式；反比例函數圖象上點的坐標特征；描點法畫函數圖象
【解析】【分析】（1）將點P坐標代入曲線解析式即可求出答案.
（2）根據待定系數法將點P坐標代入直線l解析式可得，根據y軸上點的坐標特征可得l與y軸交點的坐標為，再根據描點法作出圖象即可.
（3）根據函數圖象可得在l與兩坐標軸圍成的三角形內部（不包含邊界）的格點共有個，再將各點坐標代入直線解析式求出有兩個格點在曲線G上，再根據概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）解： ∵B（8，0）在一次函數yx+b圖像上，
∴b＝0，解得b＝4，
∴一次函數解析式為y，
將點A（m，3）坐標代入解析式得：34，
解得m＝2，
∴A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函數解析式為y；
（2）解：由一次函數解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），設點P（0，x），
∴PC＝4﹣x，
∴S△PAC6，
解得x＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
【知識點】點的坐標；待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積
【解析】【分析】(1)把B（8，0）代入一次函數函數解析式可得b＝4，因而可求得一次函數的解析式，再把A（m，3）代入函數解析式中得到m＝2，即可利用待定系數法求得反比例函數解析式，由此即可解答；
（2）先根據一次函數的解析式分別求出A，B，C的坐標，設點P（0，x）表示出PC＝4﹣x，利用面積關系建立方程，計算即可解答.
22．【答案】（1）解：將代入，得，
∴，
將點坐標代入，得，
∴，
∴反比例函數的表達式為；
（2）解：如圖，過點作軸于，
∵一次函數的圖象交軸于點，
∴，
∵，
∴，
又∵的面積為3，
∴，
∴，
∵將一次函數的圖象向下平移個單位長度，所得的圖象交軸于點，
∴平移后的一次函數表達式為，
∴，
∴，
∴.
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積；一次函數圖象的平移變換
【解析】【分析】（1）將點坐標代入一次函數表達式中求出的值，從而得，進而利用待定系數法求出反比例函數的表達式；
（2）過點作軸于，先求出，由點坐標得，然后利用三角形面積公式得，根據一次函數的平移變換規律得平移后的一次函數表達式，從而得，進而即可求出的值.
23．【答案】（1）解：∵反比例函數 的圖象經過點C(2，2)
∴k=4
∴這個反比例函數的表達式為
（2）解：如圖，過點C作軸、軸，垂足分別為M、N，設點A、D繞點O順時針旋轉90°到點A`、D`.
由旋轉的性質知，
，即
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；旋轉的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；反比例函數圖象上點的坐標特征；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【分析】（1）利用待定系數法直接求解即可；
（2）如圖所示，由于點，則過點C分別作軸的垂線段CM和CN，則CM=CN=2，由于是等腰直角三角形，則CN是斜邊OA上的中線，即OA=4，則由旋轉的性質知，OA`=OA=4，即點D`的橫坐標為4，此時利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出D`的縱坐標為1，即A`D`=1，再由旋轉的性質知AD=A`D`=1，由于點D在第二象限，則.
24．【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函數解析式為，
把B(4，m)代入得m=1，
∴點B的坐標為(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函數的解析式為
（2）解：令y=0，則-x+5=0，解得x=5，
∴點C的坐標為(5，0)，即OC=5，
∵點A的坐標為(1，4)，且 點D與點A關于點O對稱，
∴，
當△AOC∽△POD時，
則，即，
解得OP=，
∴點P的坐標為；
當△AOC∽△DOP時，
則，即，
解得OP=5，
∴點P的坐標為；
綜上所述，點P的坐標為或
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【分析】（1）根據待定系數法求出一次函數和反比例函數的解析式即可；
（2）求出點C的坐標，即可得到OC=5，然后根據勾股定理求出OA=OD的長，再分為△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP兩種情況，利用對應邊成比例解答即可.
25．【答案】（1）解：∵反比例函數 的圖象過點B(-6，1)，
∴k1=-6×1=-6，
故反比例函數的表達式為；
把點A(a，6)代入反比例函數得，
解得a=-1，
∴點A的坐標為(-1，6)，
∵一次函數y=k2x+b的圖象經過A(-1，6)、B(-6，1)兩點，
∴
解得
故一次函數的表達式為y=x+7；
（2）解： 關于x的不等式的解集 -6≤x≤-1；
（3）解：∵點C橫坐標為-4，代入y=x+7，
得：y=-4+7=3，
∴C(-4，3)，
把y=3代入，代入，得x=-2，
∴D(-2，3)，
如圖，過點B，D分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，
∵B(-6，1)，D(-2，3)，
∴DE=3，BF=1，EF=-2-(-6)=4，
∵S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，S△BFO=S△DEO=3
∴S△BOD=S梯形BFED=(DE+BF)EF=×(3+1)×4=8
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；反比例函數系數k的幾何意義；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解（2）∵
∴
由圖象可得，當時，-6≤x≤-1，
∴關于x的不等式的解集為-6≤x≤-1；
【分析】（1）把點B(-6，1)代入比例函數可算出k1的值，從而得到反比例函數的解析式；把點A(a，6)代入所求的反比例函數解析式算出a=-1，可得A的坐標為(-1，6)，然后利用待定系數法求出一次函數的解析式；
（2）關于x的不等式的解集，從圖象角度看，就是求一次函數y=k2x+b的圖象在反比例函數的圖象上方部分及交點相應的自變量的取值范圍，據此結合交點坐標求解即可；
（3）將x=-4代入一次函數y=x+7的解析式算出對應的函數值，可得點C(-4，3)，根據點的坐標與圖形的性質，點D的縱坐標也為3，故將y=3代入反比例函數解析式算出對應的x的值，可得D(-2，3)；過點B，D分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，由反比例函數k的幾何意義得S△BFO=S△DEO=3，利用割補法得S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，則S△BOD=S梯形BFED，進而利用梯形面積計算公式列式計算可得答案.
26．【答案】（1）100
（2）解：與之間的函數圖象，如圖所示：
（3）解：當的長增大時，拉力減小，理由如下：
由函數圖象可知：F是l的反比例函數，且該函數圖象在第一象限內，根據反比例函數的性質可知，F隨l的增大而減小，所以當的長增大時，拉力減?。?br/>【知識點】列反比例函數關系式；反比例函數的實際應用
【解析】【解答】（1）解：根據表格中的數據發現：
，
因此點與點的距離與拉力F的乘積不變，
∴.
故答案為：100.
【分析】（1）利用杠桿平衡原理（動力×動力臂 = 阻力×阻力臂 ），確定與的反比例關系，代入求.
（2）按表格數據描點，用平滑曲線連接（因是反比例函數，圖象為雙曲線一支 ）.
（3）依據反比例函數的性質（第一象限內隨增大而減小 ），判斷拉力變化.
27．【答案】（1），
（2）解：作圖如下：
性質：當時，隨的增大而減??；
當時，隨的增大而增大（不唯一）；
當時，隨的增大而減小；
（3）（或或或或）
【知識點】分段函數；反比例函數的圖象；反比例函數與一次函數的交點問題；矩形的性質；描點法畫函數圖象
【解析】【解答】（1）解：∵為矩形的對角線AC的中點，，，
∴，，
∴，
當時，，如圖，
∴；
當時，，如圖，
∴；
∴；
如圖，過點作于點，
∵，
∴，
∴的面積為，
同理可得的面積為，
又∵矩形的面積為，
∴，
∴；
（3）解：結合函數圖象，可得時的取值范圍為（或<或或或）.
【分析】（1）利用勾股定理求出AC=5，再分類討論，結合圖形，利用三角形和矩形的面積公式等計算求解即可；
（2）根據函數解析式畫圖，再根據函數圖象寫出性質求解即可；
（3）根據函數圖象，結合題意作答求解即可.
（1）解：∵為矩形的對角線AC的中點，，，
∴，，
∴，
當時，，如圖，
∴；
當時，，如圖，
∴；
∴；
如圖，過點作于點，
∵，
∴，
∴的面積為，
同理可得的面積為，
又∵矩形的面積為，
∴，
∴；
（2）解：作圖如下：
性質：當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大（不唯一）；當時，隨的增大而減小；
（3）解：結合函數圖象，可得時的取值范圍為（或<或或或）．
28．【答案】（1）解：∵直線與x軸的交點為，
∴，
解得：，
∴一次函數的解析式為，
把代入得：
，解得：，
∴點，
把點代入得：；
（2）解：如圖，連接，
由（1）得：反比例函數的解析式為，
∵直線與反比例函數的圖象在第三象限交于點C，點，
∴點C的坐標為，
∴，
設點D的坐標為，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴點D的坐標為，
設直線的函數表達式為，
把點，代入得：
，解得：，
∴直線的函數表達式為
（3）解：設點E的坐標為，
設直線的解析式為，
把點，代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為，
當時，，
解得：，
∴點P的坐標為，
∴，
∴，
∵的面積為2，
∴，
解得：或，
∴點E的坐標為或
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積
【解析】【分析】（1）利用待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式即可；
（2）連接，設點D的坐標為，根據勾股定理求出m值，即可得到點D的坐標，然后利用待定系數法求出直線AD的解析式即可；
（3）設點E的坐標為，求出直線AE的解析式，即可得到點P的坐標，利用△BEP的面積求出t值即可解題.
29．【答案】（1）解：
設 PN = X，則 MP = 2-X
故 (舍)
故
（2）解：如圖所示：

（3）解：①當∠OED = 90°時， OE = DE， 設 E(1，k)
易證△OCE≌△EDB CE = BD，OC = BE
可知 D(k+1，k-1)，B(k+ 1，k)
又 D在 上，可知
此時在 BC 上，
故 E 是 BC 的中外分點
在 AB 上，
故此時 D 是 AB 的中外分點
在 OB 上，
聯立
作
故 F 是 OB的中外分點
②當∠ODE = 90°時， OD = DE， 設E(1，k)
易證
∵D在 上，故
此時在 BC 上，
則
∴E 是 BC 的中外分點
在 AB 上，
則
故 D是 AB的中外分點
此時在OB 上， 可得 聯立
得 作 FH ⊥ OA
而
故 F 是 OB的中外分點.
【知識點】反比例函數的概念；尺規作圖-垂線；反比例函數-動態幾何問題；尺規作圖-直線、射線、線段
【解析】【分析】（1）用中外比定義建立方程，通過設元、解方程并結合線段長度實際意義（為正 ）取舍，得到PN長。
（2）作線段AB的垂線并截取等長線段，連接AD并在AB上截取等長線段，確定中外比點C。
（3）通過設點坐標，利用反比例函數、等腰直角三角形性質推導線段比例，最終驗證是否符合中外比定義，實現對D、E、F是否為中外比點的探究 。
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