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專題10 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)-2025年精選中考數(shù)學(xué)真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·威海）已知點(diǎn)（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
2．（2025·廣州）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)，在拋物線，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A．當(dāng)且時(shí)，則
B．當(dāng)時(shí)，則
C．當(dāng)且時(shí)，則
D．當(dāng)時(shí)，則
3．（2025·青島）將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分以軸為對稱軸翻折到軸上方，得到如圖所示的新函數(shù)圖象，下列對新函數(shù)的描述正確的是（　　）
A．圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值
C．圖象與軸兩個交點(diǎn)之間的距離為
D．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大
4．（2025·廣安） 如圖，二次函數(shù) (a，b，c 為常數(shù)，) .的圖象交 x 軸于 A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 (-1，0)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 (n，0)，有下列結(jié)論：①；②；③ 關(guān)于 x 的方程的解是，；④.其中正確的有（　　）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
5．（2025·綏化）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，m），其中-4<-3.則下列結(jié)論：
①②方程沒有實(shí)數(shù)根③④.
其中錯誤的個數(shù)有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．（2025·齊齊哈爾）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)，，且.下列結(jié)論：
①；②；③；④若m和n是關(guān)于x的一元二次方程）的兩根，且，則，；⑤關(guān)于x的不等式）的解集為.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2025·浙江）如圖 1，是直線上一點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)，是上的一個動點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖 2 所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（　　）
A． B． C． D．過
8．（2025·煙臺）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與軸的一個交點(diǎn)位于（-2，0）和（-1，0）之間，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.下列結(jié)論：①；②對于任意實(shí)數(shù)，都有；③；④若該二次函數(shù)的圖象與軸的另一個交點(diǎn)為，且是等邊三角形，則.其中所有正確結(jié)論的序號是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
9．（2025·德陽）已知拋物線(a，b，c是常數(shù)，a>0)過點(diǎn)(1，0)，(m，0)，且2＜m＜3，該拋物線與直線y=kx+c(k，c是常數(shù)，k≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)).下列說法：①bc＜0；②3a+b>0；③點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線.的對稱點(diǎn)，則3＜AA'＜4；④當(dāng)時(shí)，不等式的解集為0＜x＜4.其中正確的結(jié)論個數(shù)是 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025·遂寧）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）的對稱軸是直線，且拋物線與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是且．有下列結(jié)論：①；②；③；④關(guān)于的一元二次方程必有兩個不相等實(shí)根；⑤若點(diǎn)在拋物線上，
且，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為．
其中正確的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
二、填空題
11．（2025·廣東）已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)(c，0)，但不經(jīng)過原點(diǎn)，則該二次函數(shù)的表達(dá)式可以是　 　.(寫出一個即可)
12．（2025·廣州）若拋物線的頂點(diǎn)在直線上，則m的值為　 　．
13．（2025·武漢）已知二次函數(shù)y= ax2+(a-2)x-2(a為常數(shù)，且a≠0).下列五個結(jié)論：
①該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，0)；
②若a=-1，則當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而減小；
③該函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的公共點(diǎn)；
④若a＞2，則關(guān)于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一個根大于0且小于1；
⑤若a＞2，則關(guān)于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正數(shù)根只有一個.
其中正確的是　 　(填寫序號).
三、解答題
14．（2025·云南）已知a是常數(shù)，函數(shù)記
（1）若，求y的值；
（2）若.，比較T與3的大小.
15．（2025·連云港）已知二次函數(shù)y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a為常數(shù).
（1）若該二次函數(shù)的圖象與直線y=2a2有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）若該二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求a的值；
（3）求證：該二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn).
16．（2025·北京市）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線 經(jīng)過點(diǎn) O和點(diǎn)A(3，3a).
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2） 過點(diǎn) P(t，0)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn) M，交直線y= ax于點(diǎn)N.
①若a=1，t =4，求MN的長；
②已知在點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B(2a，0)的過程中，MN的長隨OP的長的增大而增大，求a的取值范圍.
17．（2025·河南）在二次函數(shù)中，與的幾組對應(yīng)值如下表所示．
… -2 0 1 …
… -2 -2 1 …
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象．
（3）將二次函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，當(dāng)時(shí)，若圖象對應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，請直接寫出的值．
18．（2025·天津市）已知拋物線為常數(shù)，．
（I）當(dāng)時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（II）點(diǎn)和點(diǎn)為拋物線與軸的兩個交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)在拋物線上，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)，以AC為邊的的頂點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，當(dāng)取得最小值為時(shí)，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
19．（2025·福建）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) 的圖象過點(diǎn)A（1，t）， B（2，t）.
（1）求的值；
（2）已知二次函數(shù) 的最大值為
（i）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（ii）若 為該二次函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，且
求證：
20．（2025·浙江）已知拋物線（為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）過點(diǎn)與軸平行的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的值．
（3）設(shè)，拋物線的一段夾在兩條均與軸平行的直線之
間．若直線 之間的距離為 16 ，求 的最大值．
21．（2025·山東）已知二次函數(shù)，其中，為兩個不相等的實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)、時(shí)，求此函數(shù)圖象的對稱軸；
（2）當(dāng)時(shí)，若該函數(shù)在時(shí)，隨的增大而減小；在時(shí)，隨的增大而增大，求的取值范圍；
（3）若點(diǎn)，，均在該函數(shù)的圖象上，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵拋物線
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線
∵三點(diǎn)為(
∴與對稱軸的距離分別為|
故答案為：C.
【分析】先根據(jù)拋物線解析式確定二次函數(shù)的拋物線的開口方向和對稱軸，然后再根據(jù)點(diǎn)與對稱軸越近、對應(yīng)的函數(shù)值越小解答即可.
2．【答案】A
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵
∴拋物線的開口朝上，對稱軸為
將x=1代入解析式可得，y=-a
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-a)
∵兩點(diǎn)，在拋物線
∴當(dāng)且時(shí)，y1>0，故y2<0
此時(shí)，A選項(xiàng)正確
當(dāng)時(shí)，拋物線在x<1時(shí)遞減
故x2越大，y2越小，即，B選項(xiàng)錯誤
當(dāng)且時(shí)，y2>0
此時(shí)x2應(yīng)滿足x2<0，或x2>0，C選項(xiàng)錯誤
當(dāng)時(shí)，拋物線在x>1時(shí)遞增
故x1越大，y1越大
即，D選項(xiàng)錯誤
故答案為：A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
3．【答案】C
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】
解：A、由題意，∵二次函數(shù)為y=x2-2x-3，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-3.
∴其圖象與y軸交于(0， -3).
又∵圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸.上方，
∴新函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為(0， 3)，故A錯誤.
B、∵結(jié)合函數(shù)圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)沒有最大值，
∴B選項(xiàng)錯誤.
C、令y=x2-2x-3=0，則x=3或x=-1，
∴函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為(-1， 0)，(3， 0)
∴圖象與x軸兩個交點(diǎn)之間的距離為： 3- (-1)=4，故C正確.
D、由題意，∵原函數(shù)為y=x2-2x-3= (x-1)2-4，
∴新函數(shù)為y=- (x-1)2+4 (-1≤x≤3)
∴函數(shù)的對稱軸是直線x=1.
∴結(jié)合函數(shù)圖象可得，當(dāng)1 3時(shí)，y隨x的增大而增大，故D錯誤.
故答案為：C.
【分析】觀察圖像：由二次函數(shù)為y=x2-2x-3， 可得其圖象與y軸交于(0， -3)，對稱軸是直線x=1，進(jìn)而可得新函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為(0， 3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象逐個判斷即可解答.
4．【答案】C
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵拋物線的開口向下，對稱軸在y軸的右側(cè)，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵當(dāng)x=-2時(shí)y＜0，
∴4a-2b+c＜0即4a+c＜2b，故②錯誤；
∵拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，0），B（n，0）
∴ 關(guān)于 x 的方程的解是，，故③正確；
∴拋物線的對稱軸為直線，故④正確；
∴正確結(jié)論有3個.
故答案為：C .
【分析】拋物線的開口向下，對稱軸在y軸的右側(cè)，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可得到a、b、c的取值范圍，可對①作出判斷；當(dāng)x=-2時(shí)y＜0，可對②作出判斷；利用拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，可對③④作出判斷；綜上所述，可得到正確結(jié)論的個數(shù).
5．【答案】A
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況；二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】解：①、二次函數(shù)y=ax2 +bx+c與x軸交于點(diǎn)A(3，0)，B(-1，0)， 圖象開口向上，
∴對稱軸直線為，
∴b=-2a ，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c=0，
∴a-(- 2a)+c=0，即3a+c=0，
∴c=-3a，
∴a-c=a-(-3a)= 4a>0，故①正確：
②、圖象開口向上，對稱軸直線為x=1，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值x軸的下方，
∴拋物線y= ax2 +bx+c與直線y=5兩個不同的交點(diǎn)，
∴方程ax2 + bx+c-5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故②錯誤：
③、∵二次函數(shù)y=ax2 +bx+c與y軸交于點(diǎn)C(0，m)，其中-4∴當(dāng)x=0，y=c=m，
∴-4∵c=-3a，b= -2a，
∴c=，
∴
解得，④、當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為y=a+b+c<0， b=-2a，
∴b-a=-2a-a=-3a< 0，
∴，故④正確；
綜上所述，正確的有①③④，錯誤的有②，
故答案為：A.
【分析】根據(jù)題意得到圖象開口向上，對稱軸直線為，得b=-2a，當(dāng)x=-1時(shí)，代入計(jì)算可判定①；根據(jù)二次函數(shù)與直線y= 5的關(guān)系有兩個不同的交點(diǎn)，即方程ax2 + bx+c-5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，可判定②；根據(jù)題意得到c=-3a，b= -2a，代入計(jì)算可判定③；根據(jù)函數(shù)最小值的大小可判定④；逐一判斷即可解答.
6．【答案】B
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根；利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況；數(shù)形結(jié)合
【解析】【解答】解：①、∵拋物線開口向上，
∴a>0，
∵對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴x=->0
∴b<0，
∵拋物線與軸交于負(fù)半軸，
∴c<0，
∴abc>0，故①正確，
②、∵二次函數(shù)y= ax2 + bx + c(a≠0)的圖象過(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函數(shù)y=ax2 + bx +c(a≠0 )的圖象與x軸交于兩點(diǎn)(-1，0)，(x1，0)，且2∴對稱軸
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正確；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③錯誤；
④、如圖，
關(guān)于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的兩個根，即兩數(shù)y=ax2 +bx+c(a≠0)與y=-c交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
∵m<-1<2∴ 若m和n是關(guān)于x的一元二次方程）的兩根，且，則，； 故④正確；
⑤、∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化為ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集為，故⑤錯誤
故正確的有①②④，共3個，
故答案為：B.
【分析】根據(jù)拋物線開口，對稱軸，以及與y軸的交點(diǎn)，確定a，b，c的符號，即可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)y= ax2 + bx + c(a≠0)的圖象過(-1，0)，得出a- b+c=0，進(jìn)而判斷對稱軸，得出a< -b<2a，進(jìn)而判斷②和③，根據(jù)函數(shù)圖象判斷④.將一般式寫成交點(diǎn)式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化簡不等式為x2 -x1x>0求得解集，逐一判斷即可解答.
7．【答案】D
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；垂線段最短及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)Q作，垂足為C，連接AQ、BQ.
設(shè)拋物線的解析式為：
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)
，即
把代入到函數(shù)解析式中得：，解得：
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在拋物線上.
故選：D.
【分析】由于直線外一點(diǎn)到直線的最短距離是垂線段的長度，因此可過點(diǎn)Q作AB的垂線段QC，則PQ的最小值媽QC的長度，觀察圖象知QC=9，由于當(dāng)AP=1時(shí)，PQ為15，則由勾股定理可求得此時(shí)PC=12，則AC=13，即，所以m=13；由于拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)到對稱軸距離相等，則可計(jì)算得n=25；此時(shí)再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入到解析式中可計(jì)算得a=1，再把頂點(diǎn)式轉(zhuǎn)化為一般形式可得yc=250；最后再把點(diǎn)代入到函數(shù)解析式中檢驗(yàn)即可.
8．【答案】D
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用；二次函數(shù)-特殊三角形存在性問題
【解析】【解答】解：如圖所示，設(shè)對稱軸交軸于點(diǎn)C，連接PA、PB，則PA=PB、C(1，0).
觀察圖形知： 二次函數(shù)的對稱軸為
拋物線的開口向下、與軸交于正半軸
，即
，故結(jié)論 ① 正確；
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
的最大值為
對于任意實(shí)數(shù)都有：
即：，故結(jié)論 ② 錯誤；
拋物線與軸的一個交點(diǎn)位于（-2，0）和（-1，0）之間，且在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大
當(dāng)時(shí)，
，故結(jié)論 ③ 正確；
若，則、拋物線解析式為：
令，則
解得：
為等邊三角形，故結(jié)論 ④ 正確.
故答案為：D.
【分析】 ①由拋物線的開口向下知、由對稱軸為直線知，由拋物線交軸正半軸知，即；
②由于拋物線開口向下且對稱軸為，則二次函數(shù)有最大值，即對任意實(shí)數(shù)都存在，整理得；
③由于拋物線與軸交點(diǎn)位于（-2，0）和（-1，0）之間且在對稱軸的左側(cè)，則由二次函數(shù)的增減性知當(dāng)時(shí)，即，整理得；
④設(shè)對稱軸交軸于點(diǎn)C，若，則拋物線的解析式為，可利用拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則AC可求，又PC已知，可解求得，由二次函數(shù)的對稱性可知PA=PB，則為等邊三角形.
9．【答案】B
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；二次函數(shù)與不等式（組）的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象
【解析】【解答】解：∵拋物線過點(diǎn) (1，0)，(m，0)，
∴對稱軸為直線x=
又∵ 2＜m＜3，a>0，
∴b=-a(m+1)<0，
把(1，0)代入解析式的a+b+c=0，解得c=-a-b=-a+a（m+1）=am>0，
∴bc<0，故①正確；
∴二次函數(shù)解析式為
3a+b=3a-a(m+1)=-a(m-2)<0，故②錯誤；
解方程組得或，
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)，則，
由于，故③錯誤；
當(dāng)時(shí)， x1=0，
∴ 不等式的解集為0＜x＜4.
即 式的解集為0＜x＜4，故④正確；
正確的為：①④，
故答案為：B.
【分析】根據(jù)題意的帶對稱軸為直線x=，得到b=-a(m+1)，把(1，0)代入解析式得到c=am，然后判斷①②；解兩解析式聯(lián)立方程組求出x值，分情況討論判斷③；根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象得到不等式的解集判斷④解答即可.
10．【答案】B
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的性質(zhì)；利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況
【解析】【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得拋物線開口向下，則a<0，對稱軸為直線x=1，則
∴b=-2a>0，
又∵拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正確；
∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是(4，0)，對稱軸為直線x=1，
∴另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，0)，
∴當(dāng)x=﹣3時(shí)， y=9a﹣3b+c<0，故②錯誤；
∵(-2，0)， (4，0)在拋物線 的圖象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
當(dāng) 時(shí)，y取得最大值，最大值為
故③正確；
即
，
對稱軸為直線 當(dāng) 時(shí)，
Δ的值隨a的增大而增大，
又∵
∴當(dāng) 時(shí)，
∴當(dāng) 時(shí)， 恒成立，即
有兩個不相等實(shí)根，故④正確；
若點(diǎn)在拋物線 上， 且
即
解得： 且
故⑤錯誤；
故正確的有①③④，共3個.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，先判斷a，b，c的符號即可判斷①；進(jìn)而根據(jù)對稱性得出另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為 則當(dāng) 時(shí)，即可判斷②；根據(jù) ， ，結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷③；求得a的范圍進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程的解情況即可判斷④；根據(jù) 結(jié)合函數(shù)圖象分析，即可得出 進(jìn)而判斷⑤， 即可求解.
11．【答案】
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：將x=c，y=0帶入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有兩種情況：
當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)過（0，0），即過原點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)c≠0，-c+b+1=0時(shí)，即b=c-1；
任取一數(shù)使c≠0即可；
若c=1，則b=0；
所以該函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+1.
故答案為：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：將二次函數(shù)圖象過點(diǎn)(c，0)這一條件代入函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合不經(jīng)過原點(diǎn)確定c的值，進(jìn)而得到函數(shù)表達(dá)式。
12．【答案】或
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：由題意可得：
對稱軸為
當(dāng)x=3m時(shí)，y=-3m2+5m+3
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3m，-3m2+5m+3)
∵拋物線的頂點(diǎn)在直線上
∴-3m2+5m+3=3m+2
解得：m=或
故答案為：或
【分析】求出拋物線對稱軸，再將x=3m代入拋物線可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，再將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式，解方程即可求出答案.
13．【答案】①②④⑤
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：將x=1代入解析式可得，y=a+2-a-2=0
∴該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，0)，①正確
當(dāng)a=-1時(shí)，該二次函數(shù)圖象卡扣朝下
對稱軸為直線
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
∴當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而減小，②正確
∵
∴該函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)或只有一個交點(diǎn)，③錯誤
由①可得關(guān)于x的方程 ax2+(a-2)x-2=0有一個根為-1
設(shè)另一個根為x2
∴
∴
∴當(dāng)a>2時(shí)，有
∴若a＞2，則關(guān)于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一個根大于0且小于1，④正確
當(dāng)a>2時(shí)，對稱軸為直線
則關(guān)于x的方程ax2+(a-2)x-2=-2有兩個非正解
將y= ax2+(a-2)x-2在x軸下方的圖象沿x軸翻折可得函數(shù) y=| ax2+(a-2)x-2|的圖象
令y=2，則直線y=2與y=| ax2+(a-2)x-2|共有4個不同交點(diǎn)
其中只有一個最右側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為正，其余為負(fù)
∴關(guān)于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正數(shù)根只有一個，⑤正確
故答案為：①②④⑤
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象，性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
14．【答案】（1）解：將 代入函數(shù)得
（2）解：由題意得：
或
①當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)
將 代入T解得
時(shí)，
當(dāng) 時(shí)
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；因式分解的應(yīng)用-比較大小
【解析】【分析】(1)直接代入給定的a和x的值，按運(yùn)算順序計(jì)算即可；
(2)通過y=1的條件建立關(guān)于a的方程，解出a的可能值，再代入T的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，最后比較T與3的大小.
15．【答案】（1）解：由二次函數(shù)的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，
∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2
∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0
∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0
解之：
（2）解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)椋?(a-1)2=0，解得a=1
（3）證明：當(dāng)時(shí)，，所以二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題
【解析】【分析】（1）利用已知條件可知該二次函數(shù)的圖象與直線y=2a2有兩個交點(diǎn)，將y=2a2代入二次函數(shù)解析式，可得到x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0，根據(jù)b2-4ac＞0，可得到關(guān)于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，可知b2-4ac≥0，可得到關(guān)于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）根據(jù)題意求出當(dāng)x=0時(shí)y的值，可證得結(jié)論.
16．【答案】（1）解：將點(diǎn)O(0，0)代入， 拋物線 可得c=0，
∴該拋物線解析式為
將點(diǎn)A(3，3a)代入， 拋物線.
可得3a=9a+3b， 解得b=-2a；
（2）解：①若a=1，則該拋物線及直線解析分別為
當(dāng)t=4時(shí)， 可有點(diǎn)P(4，0)，
如下圖，
∵PM⊥x軸，
將x=4代入 可得 即M(4，8)，
將x=4代入y=x， 可得y=4， 即N(4，4)，
∴MN=8-4=4；
②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B(2a，0)的過程中，
∵PM⊥x軸， P(t，0)，
將x=t代入. 可得 即
將x=t代入y= ax， 可得y= at， 即N(t， at)，
令MN=0， 即 解得t=0或t=3，
若a＞0， 可有2a＞0， 即點(diǎn)B在y軸右側(cè)， 如下圖，
當(dāng)0＜t≤3時(shí)， 可有 其圖像開口向下，對稱軸為 若MN的長隨OP的長的增大而增大，即MN的長隨t的增大而增大，則 解得
當(dāng)t＞3時(shí)， 可有. 其圖像開口向上，對稱軸為 不符合題意；若a＜0， 可有2a＜0， 即點(diǎn)B在y軸左側(cè)， 如下圖，
當(dāng)t＜0時(shí)， 可有. 其圖像開口向上，對稱軸為 若MN的長隨OP的長的增大而增大，即MN的長隨t的減小而增大，則 解得
∴a＜0.
綜上所述，a的取值范圍為 且a≠0.
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）將原點(diǎn)代入拋物線解析式可得c=0，即該拋物線解析式為 再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式，化簡即可求出答案.
（2）①若a=1，則該拋物線及直線解析分別為 當(dāng)t=4時(shí)， 可有點(diǎn)P(4，0)，根據(jù)垂直于x軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得，再分別代入拋物線與直線解析式可得M，N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離即可求出答案.
②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B(2a，0)的過程中，根據(jù)垂直于x軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得，再分別代入拋物線與直線解析式可得N(t， at)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得，令MN=0， 解方程可得t=0或t=3，分情況討論：若a＞0， 可有2a＞0， 即點(diǎn)B在y軸右側(cè)，當(dāng)0＜t≤3時(shí)， 可有 其圖像開口向下，對稱軸為 若MN的長隨OP的長的增大而增大，即MN的長隨t的增大而增大，則 解得 當(dāng)t＞3時(shí)， 可有. 其圖像開口向上，對稱軸為 不符合題意；若a＜0， 可有2a＜0， 即點(diǎn)B在y軸左側(cè)，當(dāng)t＜0時(shí)， 可有. 其圖像開口向上，對稱軸為 若MN的長隨OP的長的增大而增大，即MN的長隨t的減小而增大，則 解得 即可求出答案.
17．【答案】（1）解：把x=-2， y=-2、x=1， y=1代入得
解方程組：得
∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+2x-2
（2）解：故它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-3)
它的圖象如圖
（3）解：或
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的性質(zhì)；作圖-二次函數(shù)圖象；二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【解答】（3）
解：設(shè)平移后的二次函數(shù)解析式為：
拋物線的對稱軸為直線
拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為1
函數(shù)有最小值且在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大；在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而減小
當(dāng)時(shí)，
解得，與矛盾，故應(yīng)舍去；
當(dāng)時(shí)，或
解得；
當(dāng)時(shí)，
解得，與矛盾，故應(yīng)舍去；
綜上所述，
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可；
（2）把二次函數(shù)的一般形式通過配方轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可，當(dāng)然也可以直接應(yīng)用公式法，即對于二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（3）先由平移變換寫出平移后的拋物線的解析式，則拋物線的對稱軸為直線，由于拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為正，則拋物線開口向上，函數(shù)有最小值，再分類討論，即當(dāng)對稱軸在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，此時(shí)函數(shù)的最大值為對應(yīng)的函數(shù)值，最小值為時(shí)的對應(yīng)值，由題意列方程并求解即可；當(dāng)對稱軸在直線的右側(cè)時(shí)，此時(shí)函數(shù)的最大值為對應(yīng)的函數(shù)值，最小值為時(shí)的對應(yīng)值，由題意列方程并求解即可；當(dāng)對稱軸在軸與直線之間時(shí)，由于對稱軸到軸的距離與到直線的距離大小不確定，因此最大值可能是對應(yīng)的函數(shù)值也可能是對應(yīng)的函數(shù)值，所以再分兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可.
18．【答案】解：（I），
該拋物線的解析式為．
，
該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（II）①點(diǎn)在拋物線上，
得．即．又，點(diǎn)，
．
根據(jù)題意，點(diǎn)在第四象限，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．
．得．
，有．
得．
∵，
∴．
．
由，得．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)在拋物線上，
．即．
解得（舍）．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②由，得．
在軸上點(diǎn)的左側(cè)取點(diǎn)，使，連接GC．
，得．
，
．有，進(jìn)而．
在Rt中，根據(jù)勾股定理，，
．有．
．
∵點(diǎn)，得．
．即．（*）
根據(jù)題意，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線上，得．
又中，．得．
．
當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí)，取得最小值，即．
在Rt中，，
．
將（*）式代入，得．
解得（舍）．有．
點(diǎn)．
可得直線BC的解析式為．
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則．得．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
線段CE可以看作是由線段AF經(jīng)過平移得到的，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形全等及其性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的轉(zhuǎn)化
【解析】【分析】（1）將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo).
（2）①將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，由，點(diǎn)可得，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，根據(jù)角之間的關(guān)系可得，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，再將點(diǎn)D坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程即可求出答案.
②由，得，在軸上點(diǎn)的左側(cè)取點(diǎn)，使，連接GC，根據(jù)角之間的關(guān)系可得，根據(jù)等角對等邊可得，進(jìn)而，根據(jù)勾股定理可得GA，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得GO，根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得，建立方程可得，根據(jù)題意，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線上，得，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得．得，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí)，取得最小值，即，根據(jù)勾股定理可得，聯(lián)立返程，解方程可得，則點(diǎn)，求出直線BC的解析式為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，建立方程，解方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)平移的性質(zhì)即可求出答案.
19．【答案】（1）解：二次函數(shù) 的圖象的對稱軸為
因?yàn)辄c(diǎn)A（1，t），B（2，t）在該函數(shù)的圖象上，所以 所以 所以
（2）解：（i）由（1）可得，b=-3a，
所以該函數(shù)的表達(dá)式為
函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為
所以a＜0，且
解得a=-1，或a=4（舍去）.
所以該二次函數(shù)的表達(dá)式為
（ii）因?yàn)辄c(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上，所以
由（i）知，點(diǎn) 關(guān)于直線 對稱，不妨設(shè) 則 即
所以
=0，
所以
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【分析】 （1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解即可；
（2）①先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)最大值為列方程求解即可；
②先根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出x1+x2=3，然后對通分代入求解即可.
20．【答案】（1）解：把代入到函數(shù)解析式中得：
解得：
（2）解：
拋物線的對稱軸為直線
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則C點(diǎn)坐標(biāo)為
是中點(diǎn)
即，
解得：
（3）解：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值有最小值
顯然當(dāng)函數(shù)值時(shí)，有最大值
即直線為，直線為
解得，
的最大值為
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可；
（2）先把二次函數(shù)的一般轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式可得對稱軸為直線，由于A、B、C三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，則B、C兩點(diǎn)關(guān)直線對稱，此時(shí)設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，則C的橫坐標(biāo)為（6-x），由于點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，則AB=BC，即可得到關(guān)于x的一元一次方程，解方程求出x，則縱坐標(biāo)t可求；
（3）由于拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即當(dāng)有最大值時(shí)，這兩條平行線中的一條必然過頂點(diǎn)，則由直線間的距離為16可得另一條直線為，此時(shí)由點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得直線與拋物線的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，即此時(shí)、，則的最大值可求.
21．【答案】（1）解：當(dāng)、時(shí)，二次函數(shù)可化為：，
此函數(shù)圖象的對稱軸為
（2）解：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)可化為：，
拋物線對稱軸為，
，
拋物線開口方向向上，
在時(shí)，隨的增大而減小；
，
在時(shí)，隨的增大而增大；
，
（3）解：若點(diǎn)，，均在該函數(shù)的圖象上，
，
，
；
；
，
，整理得：
，為兩個不相等的實(shí)數(shù)，
，
，解得：
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【分析】（1）把和的值代入到函數(shù)解析式中可得拋物線解析式，再利用即可；
（2）把代入到函數(shù)解析式中可得，則拋物線開口向上，對稱軸為直線，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，在對稱軸左側(cè)，隨的增大而減小 ；在對稱軸右側(cè)，隨的增大而增大 ，所以；
（3）先利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別表示出，再整理得，由于，顯然當(dāng)時(shí)，，即存在這樣的值.
1 / 1專題10 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)-2025年精選中考數(shù)學(xué)真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·威海）已知點(diǎn)（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
【答案】C
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵拋物線
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線
∵三點(diǎn)為(
∴與對稱軸的距離分別為|
故答案為：C.
【分析】先根據(jù)拋物線解析式確定二次函數(shù)的拋物線的開口方向和對稱軸，然后再根據(jù)點(diǎn)與對稱軸越近、對應(yīng)的函數(shù)值越小解答即可.
2．（2025·廣州）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)，在拋物線，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A．當(dāng)且時(shí)，則
B．當(dāng)時(shí)，則
C．當(dāng)且時(shí)，則
D．當(dāng)時(shí)，則
【答案】A
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵
∴拋物線的開口朝上，對稱軸為
將x=1代入解析式可得，y=-a
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-a)
∵兩點(diǎn)，在拋物線
∴當(dāng)且時(shí)，y1>0，故y2<0
此時(shí)，A選項(xiàng)正確
當(dāng)時(shí)，拋物線在x<1時(shí)遞減
故x2越大，y2越小，即，B選項(xiàng)錯誤
當(dāng)且時(shí)，y2>0
此時(shí)x2應(yīng)滿足x2<0，或x2>0，C選項(xiàng)錯誤
當(dāng)時(shí)，拋物線在x>1時(shí)遞增
故x1越大，y1越大
即，D選項(xiàng)錯誤
故答案為：A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
3．（2025·青島）將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分以軸為對稱軸翻折到軸上方，得到如圖所示的新函數(shù)圖象，下列對新函數(shù)的描述正確的是（　　）
A．圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值
C．圖象與軸兩個交點(diǎn)之間的距離為
D．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大
【答案】C
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】
解：A、由題意，∵二次函數(shù)為y=x2-2x-3，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-3.
∴其圖象與y軸交于(0， -3).
又∵圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸.上方，
∴新函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為(0， 3)，故A錯誤.
B、∵結(jié)合函數(shù)圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)沒有最大值，
∴B選項(xiàng)錯誤.
C、令y=x2-2x-3=0，則x=3或x=-1，
∴函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為(-1， 0)，(3， 0)
∴圖象與x軸兩個交點(diǎn)之間的距離為： 3- (-1)=4，故C正確.
D、由題意，∵原函數(shù)為y=x2-2x-3= (x-1)2-4，
∴新函數(shù)為y=- (x-1)2+4 (-1≤x≤3)
∴函數(shù)的對稱軸是直線x=1.
∴結(jié)合函數(shù)圖象可得，當(dāng)1 3時(shí)，y隨x的增大而增大，故D錯誤.
故答案為：C.
【分析】觀察圖像：由二次函數(shù)為y=x2-2x-3， 可得其圖象與y軸交于(0， -3)，對稱軸是直線x=1，進(jìn)而可得新函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為(0， 3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象逐個判斷即可解答.
4．（2025·廣安） 如圖，二次函數(shù) (a，b，c 為常數(shù)，) .的圖象交 x 軸于 A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 (-1，0)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 (n，0)，有下列結(jié)論：①；②；③ 關(guān)于 x 的方程的解是，；④.其中正確的有（　　）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】C
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵拋物線的開口向下，對稱軸在y軸的右側(cè)，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵當(dāng)x=-2時(shí)y＜0，
∴4a-2b+c＜0即4a+c＜2b，故②錯誤；
∵拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，0），B（n，0）
∴ 關(guān)于 x 的方程的解是，，故③正確；
∴拋物線的對稱軸為直線，故④正確；
∴正確結(jié)論有3個.
故答案為：C .
【分析】拋物線的開口向下，對稱軸在y軸的右側(cè)，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可得到a、b、c的取值范圍，可對①作出判斷；當(dāng)x=-2時(shí)y＜0，可對②作出判斷；利用拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，可對③④作出判斷；綜上所述，可得到正確結(jié)論的個數(shù).
5．（2025·綏化）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，m），其中-4<-3.則下列結(jié)論：
①②方程沒有實(shí)數(shù)根③④.
其中錯誤的個數(shù)有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況；二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】解：①、二次函數(shù)y=ax2 +bx+c與x軸交于點(diǎn)A(3，0)，B(-1，0)， 圖象開口向上，
∴對稱軸直線為，
∴b=-2a ，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c=0，
∴a-(- 2a)+c=0，即3a+c=0，
∴c=-3a，
∴a-c=a-(-3a)= 4a>0，故①正確：
②、圖象開口向上，對稱軸直線為x=1，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值x軸的下方，
∴拋物線y= ax2 +bx+c與直線y=5兩個不同的交點(diǎn)，
∴方程ax2 + bx+c-5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故②錯誤：
③、∵二次函數(shù)y=ax2 +bx+c與y軸交于點(diǎn)C(0，m)，其中-4∴當(dāng)x=0，y=c=m，
∴-4∵c=-3a，b= -2a，
∴c=，
∴
解得，④、當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為y=a+b+c<0， b=-2a，
∴b-a=-2a-a=-3a< 0，
∴，故④正確；
綜上所述，正確的有①③④，錯誤的有②，
故答案為：A.
【分析】根據(jù)題意得到圖象開口向上，對稱軸直線為，得b=-2a，當(dāng)x=-1時(shí)，代入計(jì)算可判定①；根據(jù)二次函數(shù)與直線y= 5的關(guān)系有兩個不同的交點(diǎn)，即方程ax2 + bx+c-5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，可判定②；根據(jù)題意得到c=-3a，b= -2a，代入計(jì)算可判定③；根據(jù)函數(shù)最小值的大小可判定④；逐一判斷即可解答.
6．（2025·齊齊哈爾）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)，，且.下列結(jié)論：
①；②；③；④若m和n是關(guān)于x的一元二次方程）的兩根，且，則，；⑤關(guān)于x的不等式）的解集為.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根；利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況；數(shù)形結(jié)合
【解析】【解答】解：①、∵拋物線開口向上，
∴a>0，
∵對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴x=->0
∴b<0，
∵拋物線與軸交于負(fù)半軸，
∴c<0，
∴abc>0，故①正確，
②、∵二次函數(shù)y= ax2 + bx + c(a≠0)的圖象過(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函數(shù)y=ax2 + bx +c(a≠0 )的圖象與x軸交于兩點(diǎn)(-1，0)，(x1，0)，且2∴對稱軸
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正確；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③錯誤；
④、如圖，
關(guān)于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的兩個根，即兩數(shù)y=ax2 +bx+c(a≠0)與y=-c交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
∵m<-1<2∴ 若m和n是關(guān)于x的一元二次方程）的兩根，且，則，； 故④正確；
⑤、∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化為ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集為，故⑤錯誤
故正確的有①②④，共3個，
故答案為：B.
【分析】根據(jù)拋物線開口，對稱軸，以及與y軸的交點(diǎn)，確定a，b，c的符號，即可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)y= ax2 + bx + c(a≠0)的圖象過(-1，0)，得出a- b+c=0，進(jìn)而判斷對稱軸，得出a< -b<2a，進(jìn)而判斷②和③，根據(jù)函數(shù)圖象判斷④.將一般式寫成交點(diǎn)式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化簡不等式為x2 -x1x>0求得解集，逐一判斷即可解答.
7．（2025·浙江）如圖 1，是直線上一點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)，是上的一個動點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖 2 所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（　　）
A． B． C． D．過
【答案】D
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；垂線段最短及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)Q作，垂足為C，連接AQ、BQ.
設(shè)拋物線的解析式為：
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)
，即
把代入到函數(shù)解析式中得：，解得：
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在拋物線上.
故選：D.
【分析】由于直線外一點(diǎn)到直線的最短距離是垂線段的長度，因此可過點(diǎn)Q作AB的垂線段QC，則PQ的最小值媽QC的長度，觀察圖象知QC=9，由于當(dāng)AP=1時(shí)，PQ為15，則由勾股定理可求得此時(shí)PC=12，則AC=13，即，所以m=13；由于拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)到對稱軸距離相等，則可計(jì)算得n=25；此時(shí)再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入到解析式中可計(jì)算得a=1，再把頂點(diǎn)式轉(zhuǎn)化為一般形式可得yc=250；最后再把點(diǎn)代入到函數(shù)解析式中檢驗(yàn)即可.
8．（2025·煙臺）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與軸的一個交點(diǎn)位于（-2，0）和（-1，0）之間，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.下列結(jié)論：①；②對于任意實(shí)數(shù)，都有；③；④若該二次函數(shù)的圖象與軸的另一個交點(diǎn)為，且是等邊三角形，則.其中所有正確結(jié)論的序號是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用；二次函數(shù)-特殊三角形存在性問題
【解析】【解答】解：如圖所示，設(shè)對稱軸交軸于點(diǎn)C，連接PA、PB，則PA=PB、C(1，0).
觀察圖形知： 二次函數(shù)的對稱軸為
拋物線的開口向下、與軸交于正半軸
，即
，故結(jié)論 ① 正確；
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
的最大值為
對于任意實(shí)數(shù)都有：
即：，故結(jié)論 ② 錯誤；
拋物線與軸的一個交點(diǎn)位于（-2，0）和（-1，0）之間，且在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大
當(dāng)時(shí)，
，故結(jié)論 ③ 正確；
若，則、拋物線解析式為：
令，則
解得：
為等邊三角形，故結(jié)論 ④ 正確.
故答案為：D.
【分析】 ①由拋物線的開口向下知、由對稱軸為直線知，由拋物線交軸正半軸知，即；
②由于拋物線開口向下且對稱軸為，則二次函數(shù)有最大值，即對任意實(shí)數(shù)都存在，整理得；
③由于拋物線與軸交點(diǎn)位于（-2，0）和（-1，0）之間且在對稱軸的左側(cè)，則由二次函數(shù)的增減性知當(dāng)時(shí)，即，整理得；
④設(shè)對稱軸交軸于點(diǎn)C，若，則拋物線的解析式為，可利用拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則AC可求，又PC已知，可解求得，由二次函數(shù)的對稱性可知PA=PB，則為等邊三角形.
9．（2025·德陽）已知拋物線(a，b，c是常數(shù)，a>0)過點(diǎn)(1，0)，(m，0)，且2＜m＜3，該拋物線與直線y=kx+c(k，c是常數(shù)，k≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)).下列說法：①bc＜0；②3a+b>0；③點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線.的對稱點(diǎn)，則3＜AA'＜4；④當(dāng)時(shí)，不等式的解集為0＜x＜4.其中正確的結(jié)論個數(shù)是 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；二次函數(shù)與不等式（組）的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象
【解析】【解答】解：∵拋物線過點(diǎn) (1，0)，(m，0)，
∴對稱軸為直線x=
又∵ 2＜m＜3，a>0，
∴b=-a(m+1)<0，
把(1，0)代入解析式的a+b+c=0，解得c=-a-b=-a+a（m+1）=am>0，
∴bc<0，故①正確；
∴二次函數(shù)解析式為
3a+b=3a-a(m+1)=-a(m-2)<0，故②錯誤；
解方程組得或，
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)，則，
由于，故③錯誤；
當(dāng)時(shí)， x1=0，
∴ 不等式的解集為0＜x＜4.
即 式的解集為0＜x＜4，故④正確；
正確的為：①④，
故答案為：B.
【分析】根據(jù)題意的帶對稱軸為直線x=，得到b=-a(m+1)，把(1，0)代入解析式得到c=am，然后判斷①②；解兩解析式聯(lián)立方程組求出x值，分情況討論判斷③；根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象得到不等式的解集判斷④解答即可.
10．（2025·遂寧）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）的對稱軸是直線，且拋物線與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是且．有下列結(jié)論：①；②；③；④關(guān)于的一元二次方程必有兩個不相等實(shí)根；⑤若點(diǎn)在拋物線上，
且，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為．
其中正確的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的性質(zhì)；利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況
【解析】【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得拋物線開口向下，則a<0，對稱軸為直線x=1，則
∴b=-2a>0，
又∵拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正確；
∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是(4，0)，對稱軸為直線x=1，
∴另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，0)，
∴當(dāng)x=﹣3時(shí)， y=9a﹣3b+c<0，故②錯誤；
∵(-2，0)， (4，0)在拋物線 的圖象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
當(dāng) 時(shí)，y取得最大值，最大值為
故③正確；
即
，
對稱軸為直線 當(dāng) 時(shí)，
Δ的值隨a的增大而增大，
又∵
∴當(dāng) 時(shí)，
∴當(dāng) 時(shí)， 恒成立，即
有兩個不相等實(shí)根，故④正確；
若點(diǎn)在拋物線 上， 且
即
解得： 且
故⑤錯誤；
故正確的有①③④，共3個.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，先判斷a，b，c的符號即可判斷①；進(jìn)而根據(jù)對稱性得出另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為 則當(dāng) 時(shí)，即可判斷②；根據(jù) ， ，結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷③；求得a的范圍進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程的解情況即可判斷④；根據(jù) 結(jié)合函數(shù)圖象分析，即可得出 進(jìn)而判斷⑤， 即可求解.
二、填空題
11．（2025·廣東）已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)(c，0)，但不經(jīng)過原點(diǎn)，則該二次函數(shù)的表達(dá)式可以是　 　.(寫出一個即可)
【答案】
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：將x=c，y=0帶入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有兩種情況：
當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)過（0，0），即過原點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)c≠0，-c+b+1=0時(shí)，即b=c-1；
任取一數(shù)使c≠0即可；
若c=1，則b=0；
所以該函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+1.
故答案為：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：將二次函數(shù)圖象過點(diǎn)(c，0)這一條件代入函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合不經(jīng)過原點(diǎn)確定c的值，進(jìn)而得到函數(shù)表達(dá)式。
12．（2025·廣州）若拋物線的頂點(diǎn)在直線上，則m的值為　 　．
【答案】或
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：由題意可得：
對稱軸為
當(dāng)x=3m時(shí)，y=-3m2+5m+3
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3m，-3m2+5m+3)
∵拋物線的頂點(diǎn)在直線上
∴-3m2+5m+3=3m+2
解得：m=或
故答案為：或
【分析】求出拋物線對稱軸，再將x=3m代入拋物線可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，再將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式，解方程即可求出答案.
13．（2025·武漢）已知二次函數(shù)y= ax2+(a-2)x-2(a為常數(shù)，且a≠0).下列五個結(jié)論：
①該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，0)；
②若a=-1，則當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而減小；
③該函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的公共點(diǎn)；
④若a＞2，則關(guān)于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一個根大于0且小于1；
⑤若a＞2，則關(guān)于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正數(shù)根只有一個.
其中正確的是　 　(填寫序號).
【答案】①②④⑤
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：將x=1代入解析式可得，y=a+2-a-2=0
∴該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，0)，①正確
當(dāng)a=-1時(shí)，該二次函數(shù)圖象卡扣朝下
對稱軸為直線
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
∴當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而減小，②正確
∵
∴該函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)或只有一個交點(diǎn)，③錯誤
由①可得關(guān)于x的方程 ax2+(a-2)x-2=0有一個根為-1
設(shè)另一個根為x2
∴
∴
∴當(dāng)a>2時(shí)，有
∴若a＞2，則關(guān)于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一個根大于0且小于1，④正確
當(dāng)a>2時(shí)，對稱軸為直線
則關(guān)于x的方程ax2+(a-2)x-2=-2有兩個非正解
將y= ax2+(a-2)x-2在x軸下方的圖象沿x軸翻折可得函數(shù) y=| ax2+(a-2)x-2|的圖象
令y=2，則直線y=2與y=| ax2+(a-2)x-2|共有4個不同交點(diǎn)
其中只有一個最右側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為正，其余為負(fù)
∴關(guān)于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正數(shù)根只有一個，⑤正確
故答案為：①②④⑤
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象，性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
三、解答題
14．（2025·云南）已知a是常數(shù)，函數(shù)記
（1）若，求y的值；
（2）若.，比較T與3的大小.
【答案】（1）解：將 代入函數(shù)得
（2）解：由題意得：
或
①當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)
將 代入T解得
時(shí)，
當(dāng) 時(shí)
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；因式分解的應(yīng)用-比較大小
【解析】【分析】(1)直接代入給定的a和x的值，按運(yùn)算順序計(jì)算即可；
(2)通過y=1的條件建立關(guān)于a的方程，解出a的可能值，再代入T的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，最后比較T與3的大小.
15．（2025·連云港）已知二次函數(shù)y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a為常數(shù).
（1）若該二次函數(shù)的圖象與直線y=2a2有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）若該二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求a的值；
（3）求證：該二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn).
【答案】（1）解：由二次函數(shù)的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，
∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2
∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0
∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0
解之：
（2）解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)椋?(a-1)2=0，解得a=1
（3）證明：當(dāng)時(shí)，，所以二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題
【解析】【分析】（1）利用已知條件可知該二次函數(shù)的圖象與直線y=2a2有兩個交點(diǎn)，將y=2a2代入二次函數(shù)解析式，可得到x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0，根據(jù)b2-4ac＞0，可得到關(guān)于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，可知b2-4ac≥0，可得到關(guān)于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）根據(jù)題意求出當(dāng)x=0時(shí)y的值，可證得結(jié)論.
16．（2025·北京市）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線 經(jīng)過點(diǎn) O和點(diǎn)A(3，3a).
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2） 過點(diǎn) P(t，0)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn) M，交直線y= ax于點(diǎn)N.
①若a=1，t =4，求MN的長；
②已知在點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B(2a，0)的過程中，MN的長隨OP的長的增大而增大，求a的取值范圍.
【答案】（1）解：將點(diǎn)O(0，0)代入， 拋物線 可得c=0，
∴該拋物線解析式為
將點(diǎn)A(3，3a)代入， 拋物線.
可得3a=9a+3b， 解得b=-2a；
（2）解：①若a=1，則該拋物線及直線解析分別為
當(dāng)t=4時(shí)， 可有點(diǎn)P(4，0)，
如下圖，
∵PM⊥x軸，
將x=4代入 可得 即M(4，8)，
將x=4代入y=x， 可得y=4， 即N(4，4)，
∴MN=8-4=4；
②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B(2a，0)的過程中，
∵PM⊥x軸， P(t，0)，
將x=t代入. 可得 即
將x=t代入y= ax， 可得y= at， 即N(t， at)，
令MN=0， 即 解得t=0或t=3，
若a＞0， 可有2a＞0， 即點(diǎn)B在y軸右側(cè)， 如下圖，
當(dāng)0＜t≤3時(shí)， 可有 其圖像開口向下，對稱軸為 若MN的長隨OP的長的增大而增大，即MN的長隨t的增大而增大，則 解得
當(dāng)t＞3時(shí)， 可有. 其圖像開口向上，對稱軸為 不符合題意；若a＜0， 可有2a＜0， 即點(diǎn)B在y軸左側(cè)， 如下圖，
當(dāng)t＜0時(shí)， 可有. 其圖像開口向上，對稱軸為 若MN的長隨OP的長的增大而增大，即MN的長隨t的減小而增大，則 解得
∴a＜0.
綜上所述，a的取值范圍為 且a≠0.
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）將原點(diǎn)代入拋物線解析式可得c=0，即該拋物線解析式為 再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式，化簡即可求出答案.
（2）①若a=1，則該拋物線及直線解析分別為 當(dāng)t=4時(shí)， 可有點(diǎn)P(4，0)，根據(jù)垂直于x軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得，再分別代入拋物線與直線解析式可得M，N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離即可求出答案.
②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B(2a，0)的過程中，根據(jù)垂直于x軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得，再分別代入拋物線與直線解析式可得N(t， at)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得，令MN=0， 解方程可得t=0或t=3，分情況討論：若a＞0， 可有2a＞0， 即點(diǎn)B在y軸右側(cè)，當(dāng)0＜t≤3時(shí)， 可有 其圖像開口向下，對稱軸為 若MN的長隨OP的長的增大而增大，即MN的長隨t的增大而增大，則 解得 當(dāng)t＞3時(shí)， 可有. 其圖像開口向上，對稱軸為 不符合題意；若a＜0， 可有2a＜0， 即點(diǎn)B在y軸左側(cè)，當(dāng)t＜0時(shí)， 可有. 其圖像開口向上，對稱軸為 若MN的長隨OP的長的增大而增大，即MN的長隨t的減小而增大，則 解得 即可求出答案.
17．（2025·河南）在二次函數(shù)中，與的幾組對應(yīng)值如下表所示．
… -2 0 1 …
… -2 -2 1 …
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象．
（3）將二次函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，當(dāng)時(shí)，若圖象對應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，請直接寫出的值．
【答案】（1）解：把x=-2， y=-2、x=1， y=1代入得
解方程組：得
∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+2x-2
（2）解：故它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-3)
它的圖象如圖
（3）解：或
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的性質(zhì)；作圖-二次函數(shù)圖象；二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【解答】（3）
解：設(shè)平移后的二次函數(shù)解析式為：
拋物線的對稱軸為直線
拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為1
函數(shù)有最小值且在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大；在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而減小
當(dāng)時(shí)，
解得，與矛盾，故應(yīng)舍去；
當(dāng)時(shí)，或
解得；
當(dāng)時(shí)，
解得，與矛盾，故應(yīng)舍去；
綜上所述，
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可；
（2）把二次函數(shù)的一般形式通過配方轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可，當(dāng)然也可以直接應(yīng)用公式法，即對于二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（3）先由平移變換寫出平移后的拋物線的解析式，則拋物線的對稱軸為直線，由于拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為正，則拋物線開口向上，函數(shù)有最小值，再分類討論，即當(dāng)對稱軸在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，此時(shí)函數(shù)的最大值為對應(yīng)的函數(shù)值，最小值為時(shí)的對應(yīng)值，由題意列方程并求解即可；當(dāng)對稱軸在直線的右側(cè)時(shí)，此時(shí)函數(shù)的最大值為對應(yīng)的函數(shù)值，最小值為時(shí)的對應(yīng)值，由題意列方程并求解即可；當(dāng)對稱軸在軸與直線之間時(shí)，由于對稱軸到軸的距離與到直線的距離大小不確定，因此最大值可能是對應(yīng)的函數(shù)值也可能是對應(yīng)的函數(shù)值，所以再分兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可.
18．（2025·天津市）已知拋物線為常數(shù)，．
（I）當(dāng)時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（II）點(diǎn)和點(diǎn)為拋物線與軸的兩個交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)在拋物線上，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)，以AC為邊的的頂點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，當(dāng)取得最小值為時(shí)，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】解：（I），
該拋物線的解析式為．
，
該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（II）①點(diǎn)在拋物線上，
得．即．又，點(diǎn)，
．
根據(jù)題意，點(diǎn)在第四象限，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．
．得．
，有．
得．
∵，
∴．
．
由，得．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)在拋物線上，
．即．
解得（舍）．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②由，得．
在軸上點(diǎn)的左側(cè)取點(diǎn)，使，連接GC．
，得．
，
．有，進(jìn)而．
在Rt中，根據(jù)勾股定理，，
．有．
．
∵點(diǎn)，得．
．即．（*）
根據(jù)題意，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線上，得．
又中，．得．
．
當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí)，取得最小值，即．
在Rt中，，
．
將（*）式代入，得．
解得（舍）．有．
點(diǎn)．
可得直線BC的解析式為．
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則．得．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
線段CE可以看作是由線段AF經(jīng)過平移得到的，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形全等及其性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的轉(zhuǎn)化
【解析】【分析】（1）將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo).
（2）①將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，由，點(diǎn)可得，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，根據(jù)角之間的關(guān)系可得，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，再將點(diǎn)D坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程即可求出答案.
②由，得，在軸上點(diǎn)的左側(cè)取點(diǎn)，使，連接GC，根據(jù)角之間的關(guān)系可得，根據(jù)等角對等邊可得，進(jìn)而，根據(jù)勾股定理可得GA，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得GO，根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得，建立方程可得，根據(jù)題意，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線上，得，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得．得，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí)，取得最小值，即，根據(jù)勾股定理可得，聯(lián)立返程，解方程可得，則點(diǎn)，求出直線BC的解析式為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，建立方程，解方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)平移的性質(zhì)即可求出答案.
19．（2025·福建）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) 的圖象過點(diǎn)A（1，t）， B（2，t）.
（1）求的值；
（2）已知二次函數(shù) 的最大值為
（i）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（ii）若 為該二次函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，且
求證：
【答案】（1）解：二次函數(shù) 的圖象的對稱軸為
因?yàn)辄c(diǎn)A（1，t），B（2，t）在該函數(shù)的圖象上，所以 所以 所以
（2）解：（i）由（1）可得，b=-3a，
所以該函數(shù)的表達(dá)式為
函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為
所以a＜0，且
解得a=-1，或a=4（舍去）.
所以該二次函數(shù)的表達(dá)式為
（ii）因?yàn)辄c(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上，所以
由（i）知，點(diǎn) 關(guān)于直線 對稱，不妨設(shè) 則 即
所以
=0，
所以
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【分析】 （1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解即可；
（2）①先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)最大值為列方程求解即可；
②先根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出x1+x2=3，然后對通分代入求解即可.
20．（2025·浙江）已知拋物線（為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）過點(diǎn)與軸平行的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的值．
（3）設(shè)，拋物線的一段夾在兩條均與軸平行的直線之
間．若直線 之間的距離為 16 ，求 的最大值．
【答案】（1）解：把代入到函數(shù)解析式中得：
解得：
（2）解：
拋物線的對稱軸為直線
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則C點(diǎn)坐標(biāo)為
是中點(diǎn)
即，
解得：
（3）解：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值有最小值
顯然當(dāng)函數(shù)值時(shí)，有最大值
即直線為，直線為
解得，
的最大值為
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可；
（2）先把二次函數(shù)的一般轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式可得對稱軸為直線，由于A、B、C三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，則B、C兩點(diǎn)關(guān)直線對稱，此時(shí)設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，則C的橫坐標(biāo)為（6-x），由于點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，則AB=BC，即可得到關(guān)于x的一元一次方程，解方程求出x，則縱坐標(biāo)t可求；
（3）由于拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即當(dāng)有最大值時(shí)，這兩條平行線中的一條必然過頂點(diǎn)，則由直線間的距離為16可得另一條直線為，此時(shí)由點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得直線與拋物線的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，即此時(shí)、，則的最大值可求.
21．（2025·山東）已知二次函數(shù)，其中，為兩個不相等的實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)、時(shí)，求此函數(shù)圖象的對稱軸；
（2）當(dāng)時(shí)，若該函數(shù)在時(shí)，隨的增大而減小；在時(shí)，隨的增大而增大，求的取值范圍；
（3）若點(diǎn)，，均在該函數(shù)的圖象上，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由
【答案】（1）解：當(dāng)、時(shí)，二次函數(shù)可化為：，
此函數(shù)圖象的對稱軸為
（2）解：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)可化為：，
拋物線對稱軸為，
，
拋物線開口方向向上，
在時(shí)，隨的增大而減小；
，
在時(shí)，隨的增大而增大；
，
（3）解：若點(diǎn)，，均在該函數(shù)的圖象上，
，
，
；
；
，
，整理得：
，為兩個不相等的實(shí)數(shù)，
，
，解得：
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【分析】（1）把和的值代入到函數(shù)解析式中可得拋物線解析式，再利用即可；
（2）把代入到函數(shù)解析式中可得，則拋物線開口向上，對稱軸為直線，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，在對稱軸左側(cè)，隨的增大而減小 ；在對稱軸右側(cè)，隨的增大而增大 ，所以；
（3）先利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別表示出，再整理得，由于，顯然當(dāng)時(shí)，，即存在這樣的值.
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