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專題12 二次函數的應用-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·武威）如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置OM，噴頭M向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標系，水流噴出的高度與水平距離之間的關系式是，則水流噴出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
【答案】B
【知識點】二次函數的最值；二次函數的實際應用-噴水問題
【解析】【解答】
解：由 可得：
∵-1
∴當x=1肘，y取最大值，最大值為，即2.75米，
故答案為：B.
【分析】根據二次函數的最大高度的應用，把函數解析式化為，由-1可得當x=1肘，y取最大值，解答即可.
2．（2025·山東）在水分、養料等條件一定的情況下，某植物的生長速度厘米天和光照強度勒克斯之間存在一定關系．在低光照強度范圍內，與近似成一次函數關系；在中高光照強度范圍內，與近似成二次函數關系．其部分圖象如圖所示．根據圖象，下列結論正確的是（　　）
A．當時，隨的增大而減小
B．當時，有最大值
C．當時，
D．當時，
【答案】B
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數的其他應用；二次函數與一次函數的圖象共存判斷
【解析】【解答】解：觀察圖象知，直線與拋物線兩個交點的橫坐標分別為，則拋物線對稱軸為，由于拋物線開口向下，則當時，隨的增大而減小；當，有最大值；當時，；由于，則直線與拋物線有兩個交點，即或與；
故答案為：B.
【分析】A、觀察圖象知，拋物線與直線與拋物線兩個交點的橫坐標分別為，即拋物線上兩點 與關于對稱軸對稱，則對稱軸為直線，由于拋物線開口向下，則在對稱右側，即當時隨的增大而減小；B、由于拋物線開口向下，則當時，有最大值 ；C、觀察圖象知，當時，對應在自變量的取值范圍為；D、由于在對稱軸左側，即時，隨的增大而增大，因為，所以直線與拋物線也有兩個交點，即的值應該有兩個，且到對稱軸的距離相等.
二、填空題
3．（2025·連云港）如圖，小亮同學擲鉛球時，鉛球沿拋物線y=a（×-3）2+2.5運行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度.若鉛球拋出時離地面的高度OA為1.6m，則鉛球擲出的水平距離OB為　 　m.
【答案】8
【知識點】二次函數的實際應用-拋球問題
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴點A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
當y=0時，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴鉛球擲出的水平距離OB為8m.
故答案為：8.
【分析】利用OA的長，可得到點A的坐標，將點A的坐標代入函數解析式，求出a的值，可得到的函數解析式，再求出y=0時的x的值，可得到OB的長.
三、解答題
4．（2025·武漢）某校數學小組開展以“羽毛球飛行路線”為主題的綜合實踐活動.
【研究背景】羽毛球飛行路線所在的平面與球網垂直.
【收集數據】某次羽毛球飛行的高度y(單位：m)與距發球點的水平距離x(單位：m)的對應值如下表(不考慮空氣阻力).
水平距離x/m 0 2 3 5 6 …
豎直高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
【探索發現】數學小組借助計算機畫圖軟件，建立平面直角坐標系、描點、連線(如圖)，發現羽毛球飛行路線是拋物線 y=ax2+kx+1.1的一部分.
【建立模型】求y與x的函數解析式(不要求寫自變量取值范圍).
【應用模型】
（1）羽毛球在此次飛行過程中，飛行的高度能否達到2.8m 請說明理由.
（2）保持羽毛球飛行路線對應的拋物線的形狀不變，改變發球方式，使其解析式變為y=ax2+kx+1.1發球點與球網的水平距離是5m.若羽毛球飛過球網正上方時，飛行的高度超過2.1m，且球的落地點與球網的水平距離小于6m.求k的取值范圍.
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得
∴，
∴，
∴當x=4時，y有最大值，最大值為2.7，
∴，
∴羽毛球在此次飛行過程中，飛行的高度不能達到2.8m；解答：
（2）解：∵保持羽毛球飛行路線對應的拋物線的形狀不變，
∴，
∴解析式為，
當時，，
解得；
∵球的落地點與球網的水平距離小于6，
∴當時，，
解得，
∴k的取值范圍為.
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拋球問題
【解析】【分析】（1）根據待定系數法將點，代入拋物線解析式可得，將x=4代入解析式求出y值，再比較大小即可求出答案.
（2）由題意可得解析式為，將x=5，x=11分別代入解析式，建立不等式，解不等式即可求出答案.
5．（2025·廣東）如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7km，主塔高0.27km，主纜可視為拋物線，主纜垂度0.1785km，主纜設低處距離橋面0.0015km，橋面距離海平面約0.09km.請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求該拋物線的表達式.
【答案】解：如圖所示建立平面直角坐標系
設拋物線的解析式為
由題意可知： 點(0.85，0.18)和點(0，0.0015)在函數圖象上，
代入得：
解得：
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拱橋問題
【解析】 【分析】 以主纜最低點（設低處）為原點，平行橋面水平方向為x軸，豎直向上為y軸建系。
由主纜垂度0.1785km，主纜設低處距離橋面0.0015km，可得一點（0，0.0015）；
由主跨長1.7km，主塔高0.27km， 橋面距離海平面約0.09km ，可得兩點（0.85，0.18）和（-0.85，0.18）；
將點(0.85，0.18)和點(0，0.0015)代入 拋物線可以解得拋物線表達式為y= 。
6．（2025·貴州）用石塊打水漂是一項有趣的活動．拋擲后的石塊與平靜的水面接觸．石塊會在空中近似的形成一組拋物線的運動路徑．如圖①，小星站在河邊的安全位置用一個石塊打水漂，石塊在空中飛行的高度y與水平距離之間的關系如圖②所示．石塊第一次與水面接觸于點，運動路徑近似為拋物線，且，石塊在水面上彈起后第二次與水面接觸于點，運動路徑近似為拋物線，且．（小星所在地面、水面在同一平面內，且石塊形狀大小、空氣阻力等因素忽略不計）
（1）如圖②，當時，若點坐標為，求拋物線的表達式；
（2）在（1）的條件下，若，在水面上有一個截面寬，高的矩形的障礙物，點的坐標為，判斷此時石塊沿拋物線運動時是否能越過障礙物？請說明理由；
（3）小星在拋擲石塊時，若的頂點需在一個正方形區域內（包括邊界），且點在和之間（包括這兩點），其中，求的取值范圍．（在拋擲過程中正方形與拋物線在同一平面內）
【答案】（1）解：∵當時，
∵點坐標為
∴
∴
∴拋物線的表達式為.
（2）解：不能，理由如下：
∵，點坐標為
∴
∴
∵點的坐標為，
∴
∴將代入
∴此時石塊沿拋物線運動時不能越過障礙物.
（3）解：∵正方形，
∴
∴如圖所示，
∵拋物線開口向下
∴
∵越小開口越大，越大開口越小，點在和之間（包括這兩點）
∴由圖象可得，當拋物線頂點為點M，且經過點時，開口最大，此時a最大
∴設的表達式為
將代入得，
解得；
∴由圖象可得，當拋物線頂點為點P，且經過點時，開口最小，此時a最小
∴設的表達式為
將代入得，
解得；
∴的取值范圍為．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）已知拋物線系數、和點坐標，代入解析式求，確定表達式.
（2）先由長度求坐標，確定表達式；再根據障礙物坐標，代入求對應值，與障礙物高度比較.
（3）先確定正方形頂點，根據拋物線開口方向（ ），結合頂點在正方形內、點的范圍，分別求頂點在（開口最大 ）和（開口最小 ）時的值，確定取值范圍.
7．（2025·遼寧）為方便懸掛電子屏幕，學校需要在校門上方的拋物線形框架結構上增加立柱．為此，某數學興趣小組開展了綜合與實踐活動，記錄如下：
活動主題 為校門上方的拋物線形框架結構增加立柱
活動準備 1．去學校檔案館查閱框架結構的圖紙； 2．準備皮尺等測量工具．
采集數據 圖1是校門及上方拋物線形框架結構的平面示意圖，信息如下： 1．大門形狀為矩形（矩形）； 2．底部跨度（的長）為 ；3．立柱的長為，且，垂足為．
設計方案 考慮實用和美觀等因素，在間增加兩根與垂直的立柱，垂足分別為，立柱的另一端點在拋物線形框架結構上，其中．
確定思路 小組成員經過討論，確定以點為坐標原點，線段所在直線為軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系．點的坐標為（0，2），設拋物線的表達式為，分析數據得到點或點的坐標，進而求出拋物線的表達式，再利用表達式求出增加立柱的長度，從而解決問題．
根據以上信息，解決下列問題：
（1）求拋物線的表達式；
（2）現有一根長度為的材料，如果用它制作這兩根立柱，請你通過計算，判斷這根材料的長度是否夠用（因施工產生的材料長度變化忽略不計）
【答案】（1）解：∵AD=8，OA=OD=4，
∴A（-4，0），
設拋物線的表達式為，
∵拋物線過點A，
∴0=16a+2，
∴，
∴；
（2）解：∵OM1=OM2=3，
∴N1，N2關于y軸對稱，
∵，
∴當x=3時，，
∴，
∵，
∴這根材料的長度夠用．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）求出A點坐標，代入函數解析式，進行求解即可；
（2）求出N1的坐標，進而求出M1N1的長，進行判斷即可．
8．（2025·新疆維吾爾自治區）天山勝利隧道預計于2025年建成通車，它將成為世界上最長的高速公路隧道，能大大提升區域交通效率，促進經濟發展．如圖是隧道截面圖，其輪廓可近似看作是拋物線的一部分．若隧道底部寬12米，高8米，按照如圖所示的方式建立平面直角坐標系．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）該隧道設計為單向雙車道通行，車輛頂部在豎直方向上與隧道的空隙不少于0.5米，當兩輛車在隧道內并排行駛時，需沿中心線兩側行駛，且兩車至少間隔2米（中心線寬度不計）．若寬3米，高3.5米的兩輛車并排行駛，能否安全通過？請說明理由．
【答案】（1）解：由題意得，頂點為，即（6，8），
設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），
代入點（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：能安全通過，理由如下：
如圖，
由題意得：，
將x＝2代入，
則，
∵，
∴能安全通過．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拱橋問題
【解析】【分析】（1）設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），根據待定系數法將點（12，0）代入解析式即可求出答案.
（2）由題意可得，將x=2代入解析式可得y值，再比較大小即可求出答案.
9．（2025·連云港）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊BC長2m，面積為1.5m2.
（1）甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設計一個正方形桌面，請說明哪個正方形面積較大；
（2）丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設計一個長方形桌面.請分別求出圖3、圖4中長方形的面積y（m2）與DE的長x（m）之間的函數表達式，并分別求出面積的最大值
【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，，面積為，
∴及
解之：，
；
設正方形的邊長為xm，
圖1，∵正方形DCFE，
∴DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，
∴∠AED=∠B，
∴，
∴，即，
解得.
由圖2知，RtDECRtABC，得，即，
所以.，
由，得，即，解得.
因為，所以圖1的正方形面積較大
（2）解：在圖3中，由，
得，則，，
所以長方形的面積，
當時，長方形的面積有最大值為.
在圖4中，由Rt，得，所以，由Rt，得，則，所以長方形的面積，當時，長方形的面積有最大值為
【知識點】勾股定理；相似三角形的實際應用；二次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式求出AC的長，再利用勾股定理求出AB的長；設正方形的邊長為xm，圖1：利用正方形的性質可證得DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，利用平行線的性質可推出∠AED=∠B，可證得△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性質可求出x的值；圖2：利用相似三角形的性質可得到DC與DE的比值，可表示出DC，AD的長，易證△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性質，可得到關于x的方程，解方程求出x的值；然后比較大小，可作出判斷.
（2）圖3：易證△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性質可表示出AD，DC的長，利用長方形的面積公式可得到y關于x的函數解析式，利用二次函數的性質，可求出長方形面積最大時x的值；圖4：易證△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性質可表示出AD，DC的長，再證明△ADG∽△ABC，可表示出DG的長；由此可得到y關于x的函數解析式，再利用二次函數的性質可求出長方形面積最大時x的值.
10．（2025·深圳）【問題背景】排隊是生活中常見的場景，如圖，某數學小組針對某次演出，研究了排隊人數與安檢時間，安排通道數之間的關系
【研究條件】
條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數=現場總人數-已入場人數；
條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人.
【模型構建】若該演出前30分鐘開始進行安檢，經研究發現，現場總人數y與安檢時間x之間滿足關系式：
結合上述信息，請完成下述問題：
（1） 若開設 3 條安檢通道， 安檢時間為 x 分鐘， 則已入場人數為　 　 (用 x 表示)， 若排隊人數為 w， 則 w 與 x 的函數表達式　 　.
（2）【模型應用】 在(1)的條件下， 當安檢時間在幾分鐘時， 排隊人數達到最大值 最大值為多少
（3）已知該演出主辦方要求：
①排隊人數在 10 分鐘內 (包含 10 分鐘) 減少；
②盡量少安排安檢通道，以節省開支.
若同時滿足以上兩個要求，可開設幾條安檢通道，請說明理由
【總結反思】
函數可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結合更多變量(如突發情況、安檢流程優化等)進行更深入的分析，以提高模型的準確性和實用性.
【答案】（1）18x；
（2）解：由(1)知
∴當時，
（3）解：設開了m條通道則：
∴對稱軸為
若按照①的方式理解：
∵排隊人數10分鐘（包括10分鐘）內減少
，即：
又∵最多開通9條
∴
∵m為正整數
∴m最小值為7
∴最少開7條通道
【知識點】二次函數的最值；二次函數的其他應用
【解析】【解答】解：(1) 平均每條通道每分鐘可安檢6人，故3條安檢通道的入場人數為18x，
排隊人數w=y-18x=，即
【分析】(1) 由平均每條通道每分鐘可安檢6人，可知3條通道x分鐘通過的人數；由w=y-18x可得w與x的函數關系；
(2)由(1)中的二次函數關系，可知當x=21時，w取最大值；
(3)設開通m條通道，可得關于m的不等關系，可得m的取值范圍，即可得m的最小值.
11．（2025·內江） 2025年春節期間，我國國產動畫電影《哪吒之魔童鬧海》刷新了中國電影票房的新紀錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．
（1）求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別的多少元？
（2）根據網上預約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀念品共400個，那么至少需要購進B款紀念品多少個？
（3）在銷售中，該商家發現每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設每個A款紀念品售價元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤（單位：元），求W關于a的函數表達式，并求出W的最大值．
【答案】（1）解：設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，
由題意得，
解得
答：A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；
（2）解：設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品(400-m)個，
由題意得，40(400-m)+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值為200，
答：至少需要購進B款紀念品200個；
（3）解：由題意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4500，
∵-5<0，60≤a≤100，
∴當a-70=0，即a=70時，W最大，最大值為4500．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，根據單價乘以數量等于總價及“ 購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元 ”列出關于字母a、b的二元一次方程組，求解即可；
（2）設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品(400-m)個，根據單價乘以數量等于總價及購進m個B款紀念品的費用+購進(400-m)個A款紀念品的費用不超過12000元，列出不等式，求出m的最小整數解即可；
（3）每一個A款紀念品的利潤為(a-40)元，可銷售A款紀念品的數量為[200-5(a-60)]個，根據每個A款紀念品的利潤乘以銷售數量等于總利潤建立出w關于a的函數關系式，然后根據所得函數的性質求解即可.
12．（2025·達州） 為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創產品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當售價為40元時，每天可以售出60件，經調查發現，售價每降價1元，每天可以多售出10件．
（1）設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數量是　 　件；
（2）為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；
（3）文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）
（2）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，
根據題意可得： (40-30-x)(60+10x)=630，
解得：
∴該款巴小虎吉祥物降價3元時文旅公司每天的利潤是630元.
（3）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，
則 )，
當x=2時， W取最大值為640元，此時銷售價為38元，
故售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元.
【知識點】二次函數的最值；一元二次方程的實際應用-銷售問題；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）原來每天售出60件，再加上多售出的10x即可得到答案；
（2）根據單件利潤×銷量=總利潤，列方程求解即可；
（3）根據單件利潤×銷量=總利潤，可列出二次函數關系式，再根據二次函數的性質解答即可．
13．（2025·南充）學校計劃租用客車送師生到某紅色基地，參加主題為“緬懷先烈，強國有我”的研學活動，請閱讀下列材料，并完成相關問題.
材料一 租車公司有A，B兩種型號的客車可供租用，在每輛車滿員情況下，每輛A 型客車比每輛B型客車多載客15人；用A 型客車載客600人與用B型客車載客450人的車輛數相同.
材料二 A 型客車租車費用為3200元/輛；B型客車租車費用為3000元/輛.優惠方案：租用A 型客車m輛，租車費用（3200-50m）元/輛；租用B型客車，租車費用打八折.
材料三 租車公司最多提供8輛A型客車； 學校參加研學活動師生共有530人，租用A，B兩種型號客車共10輛.
（1）A，B兩種型號的客車每輛載客量分別是多少
（2）本次研學活動學校的最少租車費用是多少
【答案】（1）解：設A 型客車每輛載客量為x人，由題意得：
解之得：x=60.
經檢驗： x=60是方程的根.
∴B型客車每輛載客量為：60-15=45（人），
答：A型客車每輛載客量為60人，B型客車每輛載客量為45人；
（2）解：設租A型客車m輛， B型客車(10-m) 輛，租車總費用w， 則
60m+45(10-m)≥530
解之得
w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m)
=-50（m-8）2+27200
∵ 對稱軸為m=8，a=-50＜0，
∴ m≤8時， w隨著m的增大而增大.
∵m取正整數，且
∴當m=6時， w最小值為27000(元).
∴本次研學活動學校最少租車費用為27000元.
【知識點】分式方程的實際應用；二次函數的最值；二次函數與不等式（組）的綜合應用
【解析】【分析】（1）設A 型客車每輛載客量為x人，根據題中的相等關系“A 型客車載客600人的車輛數=用B型客車載客450人的車輛數”可列關于x的分式方程，解這個方程并檢驗即可求解；
（2）設租A型客車m輛， B型客車(10-m) 輛，租車總費用w，根據題意“ 學校參加研學活動師生共有530人”列關于m的不等式，解不等式可得m的范圍；根據租車總費用w=m輛A型車的費用+(10-m)輛B型車的費用可得w與m之間的函數關系式，根據二次函數的性質即可求解.
14．（2025·江西）問題背景：對于一個函數，如果存在自變量時，其對應的函數值，那么我們稱該函數為“不動點函數”，點為該函數圖象上的一個不動點．例如：在函數中，當時，，則我們稱函數為“不動點函數”，點為該函數圖象上的一個不動點．某數學興趣小組圍繞該定義，對一次函數和二次函數進行了相關探究．
探究1
（1）對一次函數進行探究后，得出下列結論：
①是“不動點函數”，且只有一個不動點；
②是“不動點函數”，且不動點是；
③是“不動點函數”，且有無數個不動點．
以上結論中，你認為正確的是 ▲ （填寫正確結論的序號）．
（2）若一次函數是“不動點函數”，請直接寫出k，b應滿足的條件．
（3）探究2
對二次函數進行探究后，該小組設計了以下問題，請你解答．若拋物線的頂點為該函數圖象上的一個不動點，求b，c滿足的關系式．
（4）探究3
某種商品每件的進價為6元，在某段時間內，若以每件元出售，可賣出件，獲得利潤元．請寫出關于的函數表達式，判斷該函數是否是“不動點函數”，并說明理由；若該函數是“不動點函數”，請聯系以上情境說明該函數不動點表達的實際意義．
【答案】（1）③
（2）解：把(m，m)代入得m=km+b，
整理得(1-k)m=b，
當時，，m為任意實數，故是“不動點函數”；
當且時，為任意實數，m=，故是“不動點函數”
（3）方法一
由二次函數，可得：頂點坐標為，
拋物線的頂點為該函數圖象上的一個不動點，
，
即．
方法二
由二次函數，可得：對稱軸為直線，
拋物線的頂點為該函數圖象上的一個不動點，
頂點坐標為，
，
即
（4）據題意，得，
即．
令，即．
解得，
該函數是“不動點函數”．
不動點表達的實際意義為：在這段時間內，當銷售單價為8元或9元時，銷售總利潤與銷售單價相等
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】①把(m，m)代入y=x+2得m=m+2，無解，原說法錯誤；
②把(m，m)代入y=-3x+2得m=-3m+2，解得m=，故不動點為，原說法錯誤；
③把(m，m)代入y=x得m=m，m為全體實數，則是“不動點函數”，且有無數個不動點，說法正確；
故答案為：③；
【分析】（1）把(m，m)代入函數解析式，求出m值，然后根據“不動點函數”的定義判斷即可；
（2）把(m，m)代入整理為(1-k)m=b，然后分情況討論解答即可；
（3）得到拋物線的頂點坐標，再根據不動點的定義解答即可；
（4）根據利潤=單利潤×銷售量列函數關系式，根據“不動點函數”的定義求出x值即可解答即可.
15．（2025·青島）小磊和小明練習打網球．在一次擊球過程中，小磊從點正上方1.8米的點將球擊出．
信息一：在如圖所示的平面直角坐標系中，為原點，在軸上，球的運動路線可以看作是二次函數（，為常數）圖象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原點的水平距離，圖象經過點，．
信息二：球和原點的水平距離（米）與時間（秒）（）之間近似滿足一次函數關系，部分數據如下：
（秒） 0 0.4 0.6 …
（米） 0 4 6 …
（1）求與的函數關系式；
（2）網球被擊出后經過多長時間達到最大高度？最大高度是多少？
（3）當為秒時，小明將球擊回、球在第一象限的運動路線可以看作是二次函數（，為常數）圖象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原點的水平距離．當網球所在點的橫坐標為，縱坐標大于等于時，的取值范圍為　 　（直接寫出結果）．
【答案】（1）解：∵圖象經過點，，
，
解得：，
∴與的函數關系式為；
（2）解：由表格可知，
∴設球和原點的水平距離（米）與時間（秒）的關系式為：，
代入得：，
解得：，
∴，
對于，，
∴開口向下，
∵對稱軸為：直線
∴當時，，
此時，
解得：，
∴網球被擊出后經過秒達到最大高度，最大高度是米；
（3）
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數的實際應用-拋球問題
【解析】【解答】
解：（3）由題意，當t=1.6秒時，x=101.6=16，
代入原拋物線得y=-0.05162+0.816+1.8=1.8， 即此時球的坐標為（16，1.8）
又∵新拋物線y=-0.02x2+px+m過點(16，1.8)， 得m=1.8+0.02 162-16p=6.92-16p，
∴拋物線為y=-0.02x2+px+6.92-16p.
又∵當x=2時，y≥1.8，
∴-0.0222+2p+6.92-16p≥ 1.8.
∴
故答案為： p≤0.36.
【分析】(1)根據待定系數法求函數解析式：把點，帶入解析式計算即可解答；
（2）觀察表格可知，設球和原點的水平距離（米）與時間（秒）的關系式為：，代入點的坐標即可得到，對于根據函數的性質得到當時，y的最小值為5，此時，計算即可解答；
（3）先求出球得坐標為（16，1.8），再代入新拋物線解析式得到m=6.92-16p，再根據題意網球所在點的橫坐標為，縱坐標大于等于；列式計算即可解答.
16．（2025·廣州）某玩轉數學小組發現隧道前通常設有涉水線和限高架等安全警示，為探究其內在的數學原理，該小組考察了如圖1所示的雙向通行隧道．以下為該小組研究報告的部分記錄，請認真閱讀，解決問題．
發現問題確定目標 涉水線設置 限高架設置
數學抽象繪制圖形 隧道及斜坡的側面示意圖，可近似如圖2所示． 圖3為隧道橫截面示意圖，由拋物線的一部分和矩形的三邊構成．
信息收集資料整理 當隧道內積水的水深為0.27米時，（即積水達到涉水線處），車輛應避免通行． 車輛進入隧道，應在行駛車道內通行（禁止壓線），且必須保證車輛頂部與隧道頂部在豎直方向的空隙不小于0.3米．
實地考察數據采集 斜坡的坡角為，并查得：， ， ． 隧道的最高點C到地面距離為5.4米，兩側墻面高米，地面跨度米．車輛行駛方向的右側車道線（寬度忽略不計）與墻面的距離為1米．
問題解決：
（1）如圖2，求涉水線離坡底的距離（精確到0.01米）；
（2）在圖3中建立適當的平面直角坐標系，求拋物線的解析式；
（3）限高架上標有警示語“車輛限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精確到米）．
【答案】（1）解：如圖，過點M作，
∵斜坡的坡角為，隧道內積水的水深為0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如圖所示：以點為坐標原點，建立平面直角坐標系：
依題意，設拋物線的解析式為，
∵隧道的最高點C到地面距離為5.4米，兩側墻面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵車輛行駛方向的右側車道線（寬度忽略不計）與墻面的距離為1米．必須保證車輛頂部與隧道頂部在豎直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴當時，，
則，
∴，
∵限高架上標有警示語“車輛限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全問題，
∴（米）．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拱橋問題；已知正弦值求邊長
【解析】【分析】（1）過點M作，由題意可得，再根據正弦定義即可求出答案.
（2）以點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設拋物線的解析式為，由題意可得，再根據待定系數法將點B坐標代入解析式即可求出答案.
（3）由題意將x=4代入解析式可得，根據邊之間的關系看可得GH，再作差求出h即可.
17．（2025·陜西） 某景區大門上半部分的截面示意圖如圖所示，頂部，左、右門洞，均呈拋物線型，水平橫梁，的最高點到的距離，，關于所在直線對稱．，，為框架，點，在上，點，分別在，上，，，．以為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立平面直角坐標系．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）已知拋物線的函數表達式為，，求的長．
【答案】（1）解：∵，
∴拋物線的頂點坐標為，
設拋物線的函數表達式為，
∵，
∴結合二次函數的對稱性得，
將代入，
得
則，
∴；
（2）解：由（1）得拋物線的函數表達式，
∵，，．，且拋物線的函數表達式為，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拱橋問題
【解析】【分析】（1）根據題意可得拋物線的頂點坐標為，設拋物線的函數表達式為，結合二次函數的對稱性得，根據待定系數法將點C坐標代入解析式即可求出答案.
（2）由（1）得拋物線的函數表達式，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
18．（2025·廣西）綜合與實踐
樹人中學組織一次“愛心義賣”活動．九（5）班分配到了一塊矩形義賣區和一把遮陽傘，遮陽傘在地面上的投影是一個平行四邊形（如圖1）
初始時，矩形義賣區與遮陽傘投影的平面圖如圖2所示，在上，，，，，，由于場地限制，參加義賣的同學只能左右平移遮陽傘．在移動過程中，也隨之移動（始終在邊所在直線上），且形狀大小保持不變，但落在義賣區內的部分（遮陽區）會呈現不同的形狀．如圖3為移動到落在上的情形．
【問題提出】
西西同學打算用數學方法，確定遮陽區面積最大時的位置．
設遮陽區的面積為，從初始時向右移動的距離為．
（1）【直觀感知】從初始起右移至圖3情形的過程中，隨的增大如何變化？
（2）【初步探究】求圖3情形的與的值；
（3）【深入研究】從圖3情形起右移至與重合，求該過程中關于的解析式；
（4）【問題解決】當遮陽區面積最大時，向右移動了多少？（直接寫出結果）
【答案】（1）解：∵四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，，，在邊所在直線上，
∴，，，
又∵如圖2，在上，，，
∴，
，
當時，如圖，設交于點，交于點，則，
此時遮陽區的面積為的面積，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當時，隨的增大而增大，的值從增大到；
當時，如圖，設交于點，則，，，
此時遮陽區的面積為四邊形的面積，
∵，
∴四邊形為梯形，
∴，
∴當時，隨的增大而增大，的值從增大到；
綜上所述，從初始起右移至圖3情形的過程中，隨的增大而增大；
（2）解：如圖3，此時點落在上，則，
由（1）知：當時，；
∴圖3情形時，，；
（3）解：當時，如圖，設向右移動后得到，設交于點，交于點，交于點，則，，
此時遮陽區的面積為六邊形的面積，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴從圖3情形起右移至與重合，該過程中關于的解析式為；
（4）
【知識點】平行四邊形的性質；解直角三角形；一次函數的性質；幾何圖形的面積計算-割補法；二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【解答】（4）解：當時，，
當時，的最大值為：；
當時，，
當時，的最大值為：；
當時，，
∵
∴當時，的最大值為：，
綜上所述，當時，取得最大值，最大值為，
∴當遮陽區面積最大時，向右移動了．
【分析】（1）根據矩形，平行四邊形性質可得，，，再根據正切定義可得，根據邊之間的關系可得，根據平行四邊形面積可得，分情況討論：當時，設交于點，交于點，則，此時遮陽區的面積為的面積，根據直線平行性質可得，，根據正切定義可得，再根據三角形面積可得，根據二次函數性質即可求出答案；當時，如圖，設交于點，則，，，此時遮陽區的面積為四邊形的面積，根據梯形判定定理可得四邊形為梯形，再根據梯形面積可得，根據一次函數性質即可求出答案.
（2）此時點落在上，則，由（1）知：當時，，即可求出答案.
（3）當時，如圖，設向右移動后得到，設交于點，交于點，交于點，則，，此時遮陽區的面積為六邊形的面積，根據直線平行性質可得，，再根據正切定義可得，，根據，結合平行四邊形及三角形面積即可求出答案.
（4）分情況討論：當時，，當時，，當時，，結合二次函數及一次函數性質即可求出答案.
1 / 1專題12 二次函數的應用-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·武威）如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置OM，噴頭M向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標系，水流噴出的高度與水平距離之間的關系式是，則水流噴出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
2．（2025·山東）在水分、養料等條件一定的情況下，某植物的生長速度厘米天和光照強度勒克斯之間存在一定關系．在低光照強度范圍內，與近似成一次函數關系；在中高光照強度范圍內，與近似成二次函數關系．其部分圖象如圖所示．根據圖象，下列結論正確的是（　　）
A．當時，隨的增大而減小
B．當時，有最大值
C．當時，
D．當時，
二、填空題
3．（2025·連云港）如圖，小亮同學擲鉛球時，鉛球沿拋物線y=a（×-3）2+2.5運行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度.若鉛球拋出時離地面的高度OA為1.6m，則鉛球擲出的水平距離OB為　 　m.
三、解答題
4．（2025·武漢）某校數學小組開展以“羽毛球飛行路線”為主題的綜合實踐活動.
【研究背景】羽毛球飛行路線所在的平面與球網垂直.
【收集數據】某次羽毛球飛行的高度y(單位：m)與距發球點的水平距離x(單位：m)的對應值如下表(不考慮空氣阻力).
水平距離x/m 0 2 3 5 6 …
豎直高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
【探索發現】數學小組借助計算機畫圖軟件，建立平面直角坐標系、描點、連線(如圖)，發現羽毛球飛行路線是拋物線 y=ax2+kx+1.1的一部分.
【建立模型】求y與x的函數解析式(不要求寫自變量取值范圍).
【應用模型】
（1）羽毛球在此次飛行過程中，飛行的高度能否達到2.8m 請說明理由.
（2）保持羽毛球飛行路線對應的拋物線的形狀不變，改變發球方式，使其解析式變為y=ax2+kx+1.1發球點與球網的水平距離是5m.若羽毛球飛過球網正上方時，飛行的高度超過2.1m，且球的落地點與球網的水平距離小于6m.求k的取值范圍.
5．（2025·廣東）如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7km，主塔高0.27km，主纜可視為拋物線，主纜垂度0.1785km，主纜設低處距離橋面0.0015km，橋面距離海平面約0.09km.請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求該拋物線的表達式.
6．（2025·貴州）用石塊打水漂是一項有趣的活動．拋擲后的石塊與平靜的水面接觸．石塊會在空中近似的形成一組拋物線的運動路徑．如圖①，小星站在河邊的安全位置用一個石塊打水漂，石塊在空中飛行的高度y與水平距離之間的關系如圖②所示．石塊第一次與水面接觸于點，運動路徑近似為拋物線，且，石塊在水面上彈起后第二次與水面接觸于點，運動路徑近似為拋物線，且．（小星所在地面、水面在同一平面內，且石塊形狀大小、空氣阻力等因素忽略不計）
（1）如圖②，當時，若點坐標為，求拋物線的表達式；
（2）在（1）的條件下，若，在水面上有一個截面寬，高的矩形的障礙物，點的坐標為，判斷此時石塊沿拋物線運動時是否能越過障礙物？請說明理由；
（3）小星在拋擲石塊時，若的頂點需在一個正方形區域內（包括邊界），且點在和之間（包括這兩點），其中，求的取值范圍．（在拋擲過程中正方形與拋物線在同一平面內）
7．（2025·遼寧）為方便懸掛電子屏幕，學校需要在校門上方的拋物線形框架結構上增加立柱．為此，某數學興趣小組開展了綜合與實踐活動，記錄如下：
活動主題 為校門上方的拋物線形框架結構增加立柱
活動準備 1．去學校檔案館查閱框架結構的圖紙； 2．準備皮尺等測量工具．
采集數據 圖1是校門及上方拋物線形框架結構的平面示意圖，信息如下： 1．大門形狀為矩形（矩形）； 2．底部跨度（的長）為 ；3．立柱的長為，且，垂足為．
設計方案 考慮實用和美觀等因素，在間增加兩根與垂直的立柱，垂足分別為，立柱的另一端點在拋物線形框架結構上，其中．
確定思路 小組成員經過討論，確定以點為坐標原點，線段所在直線為軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系．點的坐標為（0，2），設拋物線的表達式為，分析數據得到點或點的坐標，進而求出拋物線的表達式，再利用表達式求出增加立柱的長度，從而解決問題．
根據以上信息，解決下列問題：
（1）求拋物線的表達式；
（2）現有一根長度為的材料，如果用它制作這兩根立柱，請你通過計算，判斷這根材料的長度是否夠用（因施工產生的材料長度變化忽略不計）
8．（2025·新疆維吾爾自治區）天山勝利隧道預計于2025年建成通車，它將成為世界上最長的高速公路隧道，能大大提升區域交通效率，促進經濟發展．如圖是隧道截面圖，其輪廓可近似看作是拋物線的一部分．若隧道底部寬12米，高8米，按照如圖所示的方式建立平面直角坐標系．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）該隧道設計為單向雙車道通行，車輛頂部在豎直方向上與隧道的空隙不少于0.5米，當兩輛車在隧道內并排行駛時，需沿中心線兩側行駛，且兩車至少間隔2米（中心線寬度不計）．若寬3米，高3.5米的兩輛車并排行駛，能否安全通過？請說明理由．
9．（2025·連云港）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊BC長2m，面積為1.5m2.
（1）甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設計一個正方形桌面，請說明哪個正方形面積較大；
（2）丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設計一個長方形桌面.請分別求出圖3、圖4中長方形的面積y（m2）與DE的長x（m）之間的函數表達式，并分別求出面積的最大值
10．（2025·深圳）【問題背景】排隊是生活中常見的場景，如圖，某數學小組針對某次演出，研究了排隊人數與安檢時間，安排通道數之間的關系
【研究條件】
條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數=現場總人數-已入場人數；
條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人.
【模型構建】若該演出前30分鐘開始進行安檢，經研究發現，現場總人數y與安檢時間x之間滿足關系式：
結合上述信息，請完成下述問題：
（1） 若開設 3 條安檢通道， 安檢時間為 x 分鐘， 則已入場人數為　 　 (用 x 表示)， 若排隊人數為 w， 則 w 與 x 的函數表達式　 　.
（2）【模型應用】 在(1)的條件下， 當安檢時間在幾分鐘時， 排隊人數達到最大值 最大值為多少
（3）已知該演出主辦方要求：
①排隊人數在 10 分鐘內 (包含 10 分鐘) 減少；
②盡量少安排安檢通道，以節省開支.
若同時滿足以上兩個要求，可開設幾條安檢通道，請說明理由
【總結反思】
函數可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結合更多變量(如突發情況、安檢流程優化等)進行更深入的分析，以提高模型的準確性和實用性.
11．（2025·內江） 2025年春節期間，我國國產動畫電影《哪吒之魔童鬧海》刷新了中國電影票房的新紀錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．
（1）求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別的多少元？
（2）根據網上預約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀念品共400個，那么至少需要購進B款紀念品多少個？
（3）在銷售中，該商家發現每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設每個A款紀念品售價元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤（單位：元），求W關于a的函數表達式，并求出W的最大值．
12．（2025·達州） 為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創產品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當售價為40元時，每天可以售出60件，經調查發現，售價每降價1元，每天可以多售出10件．
（1）設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數量是　 　件；
（2）為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；
（3）文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？
13．（2025·南充）學校計劃租用客車送師生到某紅色基地，參加主題為“緬懷先烈，強國有我”的研學活動，請閱讀下列材料，并完成相關問題.
材料一 租車公司有A，B兩種型號的客車可供租用，在每輛車滿員情況下，每輛A 型客車比每輛B型客車多載客15人；用A 型客車載客600人與用B型客車載客450人的車輛數相同.
材料二 A 型客車租車費用為3200元/輛；B型客車租車費用為3000元/輛.優惠方案：租用A 型客車m輛，租車費用（3200-50m）元/輛；租用B型客車，租車費用打八折.
材料三 租車公司最多提供8輛A型客車； 學校參加研學活動師生共有530人，租用A，B兩種型號客車共10輛.
（1）A，B兩種型號的客車每輛載客量分別是多少
（2）本次研學活動學校的最少租車費用是多少
14．（2025·江西）問題背景：對于一個函數，如果存在自變量時，其對應的函數值，那么我們稱該函數為“不動點函數”，點為該函數圖象上的一個不動點．例如：在函數中，當時，，則我們稱函數為“不動點函數”，點為該函數圖象上的一個不動點．某數學興趣小組圍繞該定義，對一次函數和二次函數進行了相關探究．
探究1
（1）對一次函數進行探究后，得出下列結論：
①是“不動點函數”，且只有一個不動點；
②是“不動點函數”，且不動點是；
③是“不動點函數”，且有無數個不動點．
以上結論中，你認為正確的是 ▲ （填寫正確結論的序號）．
（2）若一次函數是“不動點函數”，請直接寫出k，b應滿足的條件．
（3）探究2
對二次函數進行探究后，該小組設計了以下問題，請你解答．若拋物線的頂點為該函數圖象上的一個不動點，求b，c滿足的關系式．
（4）探究3
某種商品每件的進價為6元，在某段時間內，若以每件元出售，可賣出件，獲得利潤元．請寫出關于的函數表達式，判斷該函數是否是“不動點函數”，并說明理由；若該函數是“不動點函數”，請聯系以上情境說明該函數不動點表達的實際意義．
15．（2025·青島）小磊和小明練習打網球．在一次擊球過程中，小磊從點正上方1.8米的點將球擊出．
信息一：在如圖所示的平面直角坐標系中，為原點，在軸上，球的運動路線可以看作是二次函數（，為常數）圖象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原點的水平距離，圖象經過點，．
信息二：球和原點的水平距離（米）與時間（秒）（）之間近似滿足一次函數關系，部分數據如下：
（秒） 0 0.4 0.6 …
（米） 0 4 6 …
（1）求與的函數關系式；
（2）網球被擊出后經過多長時間達到最大高度？最大高度是多少？
（3）當為秒時，小明將球擊回、球在第一象限的運動路線可以看作是二次函數（，為常數）圖象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原點的水平距離．當網球所在點的橫坐標為，縱坐標大于等于時，的取值范圍為　 　（直接寫出結果）．
16．（2025·廣州）某玩轉數學小組發現隧道前通常設有涉水線和限高架等安全警示，為探究其內在的數學原理，該小組考察了如圖1所示的雙向通行隧道．以下為該小組研究報告的部分記錄，請認真閱讀，解決問題．
發現問題確定目標 涉水線設置 限高架設置
數學抽象繪制圖形 隧道及斜坡的側面示意圖，可近似如圖2所示． 圖3為隧道橫截面示意圖，由拋物線的一部分和矩形的三邊構成．
信息收集資料整理 當隧道內積水的水深為0.27米時，（即積水達到涉水線處），車輛應避免通行． 車輛進入隧道，應在行駛車道內通行（禁止壓線），且必須保證車輛頂部與隧道頂部在豎直方向的空隙不小于0.3米．
實地考察數據采集 斜坡的坡角為，并查得：， ， ． 隧道的最高點C到地面距離為5.4米，兩側墻面高米，地面跨度米．車輛行駛方向的右側車道線（寬度忽略不計）與墻面的距離為1米．
問題解決：
（1）如圖2，求涉水線離坡底的距離（精確到0.01米）；
（2）在圖3中建立適當的平面直角坐標系，求拋物線的解析式；
（3）限高架上標有警示語“車輛限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精確到米）．
17．（2025·陜西） 某景區大門上半部分的截面示意圖如圖所示，頂部，左、右門洞，均呈拋物線型，水平橫梁，的最高點到的距離，，關于所在直線對稱．，，為框架，點，在上，點，分別在，上，，，．以為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立平面直角坐標系．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）已知拋物線的函數表達式為，，求的長．
18．（2025·廣西）綜合與實踐
樹人中學組織一次“愛心義賣”活動．九（5）班分配到了一塊矩形義賣區和一把遮陽傘，遮陽傘在地面上的投影是一個平行四邊形（如圖1）
初始時，矩形義賣區與遮陽傘投影的平面圖如圖2所示，在上，，，，，，由于場地限制，參加義賣的同學只能左右平移遮陽傘．在移動過程中，也隨之移動（始終在邊所在直線上），且形狀大小保持不變，但落在義賣區內的部分（遮陽區）會呈現不同的形狀．如圖3為移動到落在上的情形．
【問題提出】
西西同學打算用數學方法，確定遮陽區面積最大時的位置．
設遮陽區的面積為，從初始時向右移動的距離為．
（1）【直觀感知】從初始起右移至圖3情形的過程中，隨的增大如何變化？
（2）【初步探究】求圖3情形的與的值；
（3）【深入研究】從圖3情形起右移至與重合，求該過程中關于的解析式；
（4）【問題解決】當遮陽區面積最大時，向右移動了多少？（直接寫出結果）
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】二次函數的最值；二次函數的實際應用-噴水問題
【解析】【解答】
解：由 可得：
∵-1
∴當x=1肘，y取最大值，最大值為，即2.75米，
故答案為：B.
【分析】根據二次函數的最大高度的應用，把函數解析式化為，由-1可得當x=1肘，y取最大值，解答即可.
2．【答案】B
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數的其他應用；二次函數與一次函數的圖象共存判斷
【解析】【解答】解：觀察圖象知，直線與拋物線兩個交點的橫坐標分別為，則拋物線對稱軸為，由于拋物線開口向下，則當時，隨的增大而減小；當，有最大值；當時，；由于，則直線與拋物線有兩個交點，即或與；
故答案為：B.
【分析】A、觀察圖象知，拋物線與直線與拋物線兩個交點的橫坐標分別為，即拋物線上兩點 與關于對稱軸對稱，則對稱軸為直線，由于拋物線開口向下，則在對稱右側，即當時隨的增大而減小；B、由于拋物線開口向下，則當時，有最大值 ；C、觀察圖象知，當時，對應在自變量的取值范圍為；D、由于在對稱軸左側，即時，隨的增大而增大，因為，所以直線與拋物線也有兩個交點，即的值應該有兩個，且到對稱軸的距離相等.
3．【答案】8
【知識點】二次函數的實際應用-拋球問題
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴點A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
當y=0時，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴鉛球擲出的水平距離OB為8m.
故答案為：8.
【分析】利用OA的長，可得到點A的坐標，將點A的坐標代入函數解析式，求出a的值，可得到的函數解析式，再求出y=0時的x的值，可得到OB的長.
4．【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得
∴，
∴，
∴當x=4時，y有最大值，最大值為2.7，
∴，
∴羽毛球在此次飛行過程中，飛行的高度不能達到2.8m；解答：
（2）解：∵保持羽毛球飛行路線對應的拋物線的形狀不變，
∴，
∴解析式為，
當時，，
解得；
∵球的落地點與球網的水平距離小于6，
∴當時，，
解得，
∴k的取值范圍為.
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拋球問題
【解析】【分析】（1）根據待定系數法將點，代入拋物線解析式可得，將x=4代入解析式求出y值，再比較大小即可求出答案.
（2）由題意可得解析式為，將x=5，x=11分別代入解析式，建立不等式，解不等式即可求出答案.
5．【答案】解：如圖所示建立平面直角坐標系
設拋物線的解析式為
由題意可知： 點(0.85，0.18)和點(0，0.0015)在函數圖象上，
代入得：
解得：
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拱橋問題
【解析】 【分析】 以主纜最低點（設低處）為原點，平行橋面水平方向為x軸，豎直向上為y軸建系。
由主纜垂度0.1785km，主纜設低處距離橋面0.0015km，可得一點（0，0.0015）；
由主跨長1.7km，主塔高0.27km， 橋面距離海平面約0.09km ，可得兩點（0.85，0.18）和（-0.85，0.18）；
將點(0.85，0.18)和點(0，0.0015)代入 拋物線可以解得拋物線表達式為y= 。
6．【答案】（1）解：∵當時，
∵點坐標為
∴
∴
∴拋物線的表達式為.
（2）解：不能，理由如下：
∵，點坐標為
∴
∴
∵點的坐標為，
∴
∴將代入
∴此時石塊沿拋物線運動時不能越過障礙物.
（3）解：∵正方形，
∴
∴如圖所示，
∵拋物線開口向下
∴
∵越小開口越大，越大開口越小，點在和之間（包括這兩點）
∴由圖象可得，當拋物線頂點為點M，且經過點時，開口最大，此時a最大
∴設的表達式為
將代入得，
解得；
∴由圖象可得，當拋物線頂點為點P，且經過點時，開口最小，此時a最小
∴設的表達式為
將代入得，
解得；
∴的取值范圍為．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）已知拋物線系數、和點坐標，代入解析式求，確定表達式.
（2）先由長度求坐標，確定表達式；再根據障礙物坐標，代入求對應值，與障礙物高度比較.
（3）先確定正方形頂點，根據拋物線開口方向（ ），結合頂點在正方形內、點的范圍，分別求頂點在（開口最大 ）和（開口最小 ）時的值，確定取值范圍.
7．【答案】（1）解：∵AD=8，OA=OD=4，
∴A（-4，0），
設拋物線的表達式為，
∵拋物線過點A，
∴0=16a+2，
∴，
∴；
（2）解：∵OM1=OM2=3，
∴N1，N2關于y軸對稱，
∵，
∴當x=3時，，
∴，
∵，
∴這根材料的長度夠用．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）求出A點坐標，代入函數解析式，進行求解即可；
（2）求出N1的坐標，進而求出M1N1的長，進行判斷即可．
8．【答案】（1）解：由題意得，頂點為，即（6，8），
設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），
代入點（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：能安全通過，理由如下：
如圖，
由題意得：，
將x＝2代入，
則，
∵，
∴能安全通過．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拱橋問題
【解析】【分析】（1）設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），根據待定系數法將點（12，0）代入解析式即可求出答案.
（2）由題意可得，將x=2代入解析式可得y值，再比較大小即可求出答案.
9．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，，面積為，
∴及
解之：，
；
設正方形的邊長為xm，
圖1，∵正方形DCFE，
∴DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，
∴∠AED=∠B，
∴，
∴，即，
解得.
由圖2知，RtDECRtABC，得，即，
所以.，
由，得，即，解得.
因為，所以圖1的正方形面積較大
（2）解：在圖3中，由，
得，則，，
所以長方形的面積，
當時，長方形的面積有最大值為.
在圖4中，由Rt，得，所以，由Rt，得，則，所以長方形的面積，當時，長方形的面積有最大值為
【知識點】勾股定理；相似三角形的實際應用；二次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式求出AC的長，再利用勾股定理求出AB的長；設正方形的邊長為xm，圖1：利用正方形的性質可證得DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，利用平行線的性質可推出∠AED=∠B，可證得△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性質可求出x的值；圖2：利用相似三角形的性質可得到DC與DE的比值，可表示出DC，AD的長，易證△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性質，可得到關于x的方程，解方程求出x的值；然后比較大小，可作出判斷.
（2）圖3：易證△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性質可表示出AD，DC的長，利用長方形的面積公式可得到y關于x的函數解析式，利用二次函數的性質，可求出長方形面積最大時x的值；圖4：易證△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性質可表示出AD，DC的長，再證明△ADG∽△ABC，可表示出DG的長；由此可得到y關于x的函數解析式，再利用二次函數的性質可求出長方形面積最大時x的值.
10．【答案】（1）18x；
（2）解：由(1)知
∴當時，
（3）解：設開了m條通道則：
∴對稱軸為
若按照①的方式理解：
∵排隊人數10分鐘（包括10分鐘）內減少
，即：
又∵最多開通9條
∴
∵m為正整數
∴m最小值為7
∴最少開7條通道
【知識點】二次函數的最值；二次函數的其他應用
【解析】【解答】解：(1) 平均每條通道每分鐘可安檢6人，故3條安檢通道的入場人數為18x，
排隊人數w=y-18x=，即
【分析】(1) 由平均每條通道每分鐘可安檢6人，可知3條通道x分鐘通過的人數；由w=y-18x可得w與x的函數關系；
(2)由(1)中的二次函數關系，可知當x=21時，w取最大值；
(3)設開通m條通道，可得關于m的不等關系，可得m的取值范圍，即可得m的最小值.
11．【答案】（1）解：設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，
由題意得，
解得
答：A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；
（2）解：設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品(400-m)個，
由題意得，40(400-m)+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值為200，
答：至少需要購進B款紀念品200個；
（3）解：由題意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4500，
∵-5<0，60≤a≤100，
∴當a-70=0，即a=70時，W最大，最大值為4500．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，根據單價乘以數量等于總價及“ 購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元 ”列出關于字母a、b的二元一次方程組，求解即可；
（2）設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品(400-m)個，根據單價乘以數量等于總價及購進m個B款紀念品的費用+購進(400-m)個A款紀念品的費用不超過12000元，列出不等式，求出m的最小整數解即可；
（3）每一個A款紀念品的利潤為(a-40)元，可銷售A款紀念品的數量為[200-5(a-60)]個，根據每個A款紀念品的利潤乘以銷售數量等于總利潤建立出w關于a的函數關系式，然后根據所得函數的性質求解即可.
12．【答案】（1）
（2）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，
根據題意可得： (40-30-x)(60+10x)=630，
解得：
∴該款巴小虎吉祥物降價3元時文旅公司每天的利潤是630元.
（3）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，
則 )，
當x=2時， W取最大值為640元，此時銷售價為38元，
故售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元.
【知識點】二次函數的最值；一元二次方程的實際應用-銷售問題；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）原來每天售出60件，再加上多售出的10x即可得到答案；
（2）根據單件利潤×銷量=總利潤，列方程求解即可；
（3）根據單件利潤×銷量=總利潤，可列出二次函數關系式，再根據二次函數的性質解答即可．
13．【答案】（1）解：設A 型客車每輛載客量為x人，由題意得：
解之得：x=60.
經檢驗： x=60是方程的根.
∴B型客車每輛載客量為：60-15=45（人），
答：A型客車每輛載客量為60人，B型客車每輛載客量為45人；
（2）解：設租A型客車m輛， B型客車(10-m) 輛，租車總費用w， 則
60m+45(10-m)≥530
解之得
w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m)
=-50（m-8）2+27200
∵ 對稱軸為m=8，a=-50＜0，
∴ m≤8時， w隨著m的增大而增大.
∵m取正整數，且
∴當m=6時， w最小值為27000(元).
∴本次研學活動學校最少租車費用為27000元.
【知識點】分式方程的實際應用；二次函數的最值；二次函數與不等式（組）的綜合應用
【解析】【分析】（1）設A 型客車每輛載客量為x人，根據題中的相等關系“A 型客車載客600人的車輛數=用B型客車載客450人的車輛數”可列關于x的分式方程，解這個方程并檢驗即可求解；
（2）設租A型客車m輛， B型客車(10-m) 輛，租車總費用w，根據題意“ 學校參加研學活動師生共有530人”列關于m的不等式，解不等式可得m的范圍；根據租車總費用w=m輛A型車的費用+(10-m)輛B型車的費用可得w與m之間的函數關系式，根據二次函數的性質即可求解.
14．【答案】（1）③
（2）解：把(m，m)代入得m=km+b，
整理得(1-k)m=b，
當時，，m為任意實數，故是“不動點函數”；
當且時，為任意實數，m=，故是“不動點函數”
（3）方法一
由二次函數，可得：頂點坐標為，
拋物線的頂點為該函數圖象上的一個不動點，
，
即．
方法二
由二次函數，可得：對稱軸為直線，
拋物線的頂點為該函數圖象上的一個不動點，
頂點坐標為，
，
即
（4）據題意，得，
即．
令，即．
解得，
該函數是“不動點函數”．
不動點表達的實際意義為：在這段時間內，當銷售單價為8元或9元時，銷售總利潤與銷售單價相等
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】①把(m，m)代入y=x+2得m=m+2，無解，原說法錯誤；
②把(m，m)代入y=-3x+2得m=-3m+2，解得m=，故不動點為，原說法錯誤；
③把(m，m)代入y=x得m=m，m為全體實數，則是“不動點函數”，且有無數個不動點，說法正確；
故答案為：③；
【分析】（1）把(m，m)代入函數解析式，求出m值，然后根據“不動點函數”的定義判斷即可；
（2）把(m，m)代入整理為(1-k)m=b，然后分情況討論解答即可；
（3）得到拋物線的頂點坐標，再根據不動點的定義解答即可；
（4）根據利潤=單利潤×銷售量列函數關系式，根據“不動點函數”的定義求出x值即可解答即可.
15．【答案】（1）解：∵圖象經過點，，
，
解得：，
∴與的函數關系式為；
（2）解：由表格可知，
∴設球和原點的水平距離（米）與時間（秒）的關系式為：，
代入得：，
解得：，
∴，
對于，，
∴開口向下，
∵對稱軸為：直線
∴當時，，
此時，
解得：，
∴網球被擊出后經過秒達到最大高度，最大高度是米；
（3）
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數的實際應用-拋球問題
【解析】【解答】
解：（3）由題意，當t=1.6秒時，x=101.6=16，
代入原拋物線得y=-0.05162+0.816+1.8=1.8， 即此時球的坐標為（16，1.8）
又∵新拋物線y=-0.02x2+px+m過點(16，1.8)， 得m=1.8+0.02 162-16p=6.92-16p，
∴拋物線為y=-0.02x2+px+6.92-16p.
又∵當x=2時，y≥1.8，
∴-0.0222+2p+6.92-16p≥ 1.8.
∴
故答案為： p≤0.36.
【分析】(1)根據待定系數法求函數解析式：把點，帶入解析式計算即可解答；
（2）觀察表格可知，設球和原點的水平距離（米）與時間（秒）的關系式為：，代入點的坐標即可得到，對于根據函數的性質得到當時，y的最小值為5，此時，計算即可解答；
（3）先求出球得坐標為（16，1.8），再代入新拋物線解析式得到m=6.92-16p，再根據題意網球所在點的橫坐標為，縱坐標大于等于；列式計算即可解答.
16．【答案】（1）解：如圖，過點M作，
∵斜坡的坡角為，隧道內積水的水深為0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如圖所示：以點為坐標原點，建立平面直角坐標系：
依題意，設拋物線的解析式為，
∵隧道的最高點C到地面距離為5.4米，兩側墻面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵車輛行駛方向的右側車道線（寬度忽略不計）與墻面的距離為1米．必須保證車輛頂部與隧道頂部在豎直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴當時，，
則，
∴，
∵限高架上標有警示語“車輛限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全問題，
∴（米）．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拱橋問題；已知正弦值求邊長
【解析】【分析】（1）過點M作，由題意可得，再根據正弦定義即可求出答案.
（2）以點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設拋物線的解析式為，由題意可得，再根據待定系數法將點B坐標代入解析式即可求出答案.
（3）由題意將x=4代入解析式可得，根據邊之間的關系看可得GH，再作差求出h即可.
17．【答案】（1）解：∵，
∴拋物線的頂點坐標為，
設拋物線的函數表達式為，
∵，
∴結合二次函數的對稱性得，
將代入，
得
則，
∴；
（2）解：由（1）得拋物線的函數表達式，
∵，，．，且拋物線的函數表達式為，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的實際應用-拱橋問題
【解析】【分析】（1）根據題意可得拋物線的頂點坐標為，設拋物線的函數表達式為，結合二次函數的對稱性得，根據待定系數法將點C坐標代入解析式即可求出答案.
（2）由（1）得拋物線的函數表達式，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，，，在邊所在直線上，
∴，，，
又∵如圖2，在上，，，
∴，
，
當時，如圖，設交于點，交于點，則，
此時遮陽區的面積為的面積，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當時，隨的增大而增大，的值從增大到；
當時，如圖，設交于點，則，，，
此時遮陽區的面積為四邊形的面積，
∵，
∴四邊形為梯形，
∴，
∴當時，隨的增大而增大，的值從增大到；
綜上所述，從初始起右移至圖3情形的過程中，隨的增大而增大；
（2）解：如圖3，此時點落在上，則，
由（1）知：當時，；
∴圖3情形時，，；
（3）解：當時，如圖，設向右移動后得到，設交于點，交于點，交于點，則，，
此時遮陽區的面積為六邊形的面積，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴從圖3情形起右移至與重合，該過程中關于的解析式為；
（4）
【知識點】平行四邊形的性質；解直角三角形；一次函數的性質；幾何圖形的面積計算-割補法；二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【解答】（4）解：當時，，
當時，的最大值為：；
當時，，
當時，的最大值為：；
當時，，
∵
∴當時，的最大值為：，
綜上所述，當時，取得最大值，最大值為，
∴當遮陽區面積最大時，向右移動了．
【分析】（1）根據矩形，平行四邊形性質可得，，，再根據正切定義可得，根據邊之間的關系可得，根據平行四邊形面積可得，分情況討論：當時，設交于點，交于點，則，此時遮陽區的面積為的面積，根據直線平行性質可得，，根據正切定義可得，再根據三角形面積可得，根據二次函數性質即可求出答案；當時，如圖，設交于點，則，，，此時遮陽區的面積為四邊形的面積，根據梯形判定定理可得四邊形為梯形，再根據梯形面積可得，根據一次函數性質即可求出答案.
（2）此時點落在上，則，由（1）知：當時，，即可求出答案.
（3）當時，如圖，設向右移動后得到，設交于點，交于點，交于點，則，，此時遮陽區的面積為六邊形的面積，根據直線平行性質可得，，再根據正切定義可得，，根據，結合平行四邊形及三角形面積即可求出答案.
（4）分情況討論：當時，，當時，，當時，，結合二次函數及一次函數性質即可求出答案.
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