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專題14 三角形基礎與全等三角形-2025年精選中考數(shù)學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·南充）如圖，把含有60°的直角三角板斜邊放在直線l上，則∠α的度數(shù)是（　?。?br/>A．120° B．130° C．140° D．150°
2．（2025·山西）如圖，小誼將兩根長度不等的木條AC，BD的中點連在一起，記中點為O，即AO=CO，BO=DO.測得C，D兩點之間的距離后，利用全等三角形的性質(zhì)，可得花瓶內(nèi)壁上A，B兩點之間的距離.圖中△AOB與△COD全等的依據(jù)是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
3．（2025·東營）如圖，小麗在公園里蕩秋千，在起始位置A處擺繩與地面垂直，擺繩長，向前蕩起到最高點B處時距地面高度，擺動水平距離為，然后向后擺到最高點C處．若前后擺動過程中繩始終拉直，且與成角，則小麗在C處時距離地面的高度是（　?。?br/>A． B． C． D．
4．（2025·青海）工人師傅常用角尺平分一個任意角.做法如下：如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取 OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點M，N重合，即CM=CN，過角尺頂點 C的射線 OC便是∠AOB的平分線，這種做法的依據(jù)是(　　)
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
5．（2025·威海）我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形稱之為“箏形”．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．下列條件中，不能判斷四邊形ABCD是箏形的是（　?。?br/>A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
6．（2025·涼山州）如圖，，，點在上，，，則的度數(shù)為
A． B． C． D．
7．（2025·黑龍江）如圖，在中，，點D、E分別在邊AB和BC上，且，，連接DE，點M、N分別是AC、DE的中點，連接MN，則MN的長度為（　　）
A． B． C．2 D．
8．（2025·白銀）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AB的中點.動點P從點A出發(fā)，沿邊AC→CB方向勻速運動，運動到點B時停止.設點P的運動路程為x，△APD的面積為y，y與×的函數(shù)圖象如圖2所示，當點P運動到CB的中點時，PD的長為（　?。?br/>A．2 B．2.5 C． D．4
二、填空題
9．（2025·河北）平行四邊形的一組鄰邊長分別為3，4，一條對角線長為．若為整數(shù)，則的值可以為　 ?。▽懗鲆粋€即可）
10．（2025·德陽）△ABC在平面直角坐標系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面積為1，那么點C的坐標可以是　 　.(只需寫出一個即可)
11．（2025·東營）如圖，在中，，，的平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值是　 ?。?br/>三、解答題
12．（2025·蘇州）如圖，C是線段AB 的中點，.
（1）求證：
（2） 連接HE，若 求 DE 的長.
13．（2025·福建）如圖，點E，F(xiàn)分別在AB，AD的延長線上， 求證：
14．（2025·陜西） 如圖，點是的邊延長線上一點，，，．求證：．
15．（2025·南充）如圖， 在五邊形ABCDE中， AB=AE， AC=AD， ∠BAD=∠EAC.
（1）求證： △ABC≌△AED.
（2）求證： ∠BCD=∠EDC.
16．（2025·武漢）如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，AD∥BC.若 ▲ ，則AD=CB
從①OA=OC，②∠ABC=∠CDA，③AB=CD這三個選項中選擇一個作為條件，使結論成立，并說明理由.
17．（2025·吉林）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求證：△ABE≌△DCF．
（2）當AB＝12，DF＝13時，求BE的長．
18．（2025·河北）如圖．四邊形的對角線，相交于點，，，點在上，．
（1）求證：；
（2）若，求證：．
19．（2025·山東）在中，，，的平分線交于點．
如圖．
（1）求的度數(shù)；
（2）已知，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，交的延長線于點如圖，求的長．
20．（2025·東營）【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，同學們以四邊形為背景，探究非動點的幾何問題．若四邊形是正方形，M，N分別在邊上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．
（1）【初步嘗試】如圖1，將繞點A順時針旋轉，點D與點B重合，得到，連接．用等式寫出線段的數(shù)量關系　 ?。?br/>（2）【類比探究】小明改變點的位置后，進一步探究：如圖2，點M，N分別在正方形的邊的延長線上，，連接，用等式寫出線段的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）【拓展延伸】其他小組提出新的探究方向：如圖3，在四邊形中，，，，點N，M分別在邊上，，用等式寫出線段的數(shù)量關系，并說明理由．
21．（2025·青島）【定義新運算】
對正實數(shù)，，定義運算“”，滿足．
例如：當時，．
（1）當時，請計算：　 　；
【探究運算律】
對正實數(shù)，，運算“”是否滿足交換律？
，
，
．
運算“”滿足交換律．
（2）對正實數(shù)，，，運算“”是否滿足結合律？請說明理由；
（3）【應用新運算】
如圖，正方形是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成，，，且．若正方形與正方形的面積分別為26和16，則的值為　 ?。?br/>答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】三角形外角的概念及性質(zhì)
【解析】【解答】解：由題意得：
∠α=90°+60°=150°.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”可求解.
2．【答案】B
【知識點】三角形全等的判定-SAS；對頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解： ∵AO=CO，BO=DO，
∴△AOB△COD(SAS)
故答案為：B.
【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)得到，再結合AO=CO，BO=DO，即可利用SAS判定兩個三角形全等，解答即可.
3．【答案】A
【知識點】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；線段的和、差、倍、分的簡單計算；異側一線三垂直全等模型；余角
【解析】【解答】解：如圖，過點C作CE⊥OA于點E，則OEC=90°， BOC= 90° ，
BOD+COE = 90 ，
由題意可知，OA=OB =OC=2m，BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，
∴BDO =90，
∴OD=
∴OF=OD+DF =1.2+1.3=2.5(m) ，
∵BDO=OEC = 90，
∴BOD +OBD= 90 ，
∴COE=OBD，
在OBD和 COE中，
∴OBDCOE(AAS)，
∴OE = BD=1.6m
∴EF =OF-OE =2.5-1.6= 0.9(m)，
即小麗在C處時距離地面的高度是0.9m.
故答案為：A.
【分析】 過點C作CE⊥OA于點E， 由題意可知，OA=OB=OC=2m， BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，則OF =OD+DF=2.5m；然后利用AAS證明OBDCOE(AAS)，得OE = BD=l.6m，則EF =OF -OE =0.9m，即可解答.
4．【答案】C
【知識點】全等三角形的實際應用；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵在△OCM和△OCN中
∴△OCM≌△OCN(SSS)
∴∠COM=∠CON
故選：C.
【分析】由作圖方法可知可先得△OCM≌△OCN，理由是邊邊邊，即可得角平分線.
5．【答案】D
【知識點】三角形全等的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：A.∵BO = DO， AC⊥BD，
∴AC是BD的垂直平分線，
∴AB=AD， CB=CD，
∴四邊形ABCD是箏形，
∴ A選項不符合題意；
B.在△ACD與△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴CD=CB，
∴四邊形ABCD是箏形，
∴ B選項不符合題意；
C.在△ACD與△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(ASA)，
∴AD=AB， CD=CB，
∴四邊形ABCD是箏形，
∴C選項不符合題意；
D.由∠ADC=∠ABC， BO=DO， 不能證明四邊形ABCD是箏形，
∴D選項符合題意；
故答案為：D.
【分析】利用全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)箏形的判定逐一進行判定即可.
6．【答案】C
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解：
、
故答案為：C.
【分析】由于，則可得，再結合，可證，則，再利用三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得，則等量代換得，再在等腰三角形ABC中應用內(nèi)角和定理即可.
7．【答案】A
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：過點D作BC的平行線，交CN的延長線于點H，連接AH，
∵點N是DE的中點，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中點，
∴MN是△ACH的中位線，
∴MN=.
故答案為：A.
【分析】過點D作BC的平行線，交CN的延長線于點H，連接AH，構造全等三角形△HDN≌△CEN，將已知線段進行轉化HD=CE=3，利用勾股定理求得線段AH的長度，再利用三角形中位線定理求出線段 MN 的長度。
8．【答案】A
【知識點】三角形的面積；通過函數(shù)圖象獲取信息；三角形的中位線定理；三角形的中線
【解析】【解答】解：根據(jù)題意，可知當點與點重合時，的面積取得最大值，最大值為4，
∵是等腰直角三角形，，為的中點，
∴，
∴，
當點運動到中點時，有是中位線，
∴
故答案為：A.
【分析】根據(jù)點的運動可知的面積先增大再減小，且當點與點重合時，的面積取得最大值為4，然后結合三角形中線的性質(zhì)以及三角形面積公式求出的長，最后根據(jù)三角形中位線定理求出的長.
9．【答案】
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：∵平行四邊形兩個鄰邊分別長為3和4
∴它的對角線n的取值范圍為4-3即為1∴n的值可以為（答案不唯一）
故答案為：（答案不唯一）
【分析】根據(jù)三角形三邊關系即可求出答案.
10．【答案】(2，1)
【知識點】坐標與圖形性質(zhì)；三角形的面積
【解析】【解答】解：∵ A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=2，
又∵，
解得或，
故答案為：(2，1).
【分析】根據(jù)三角形的面積公式可得或，然后寫出符合要求的點的坐標即可.
11．【答案】3
【知識點】垂線段最短及其應用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接ME，
∵∠BAC的平分線交BC于點D，
∴EAM=∠NAM，
在AME與AMN中
AE=AN
∠EAM=∠NAM，
AM=AM
∴AMEAMN（SAS），
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+MEBE，
∵BM+MN有最小值，
∴當BE是點B到直線AC的距離，即BE⊥AC時，BM+MN最小，
又AB=6，∠BAC=30°，
∴BE=3，
∴的最小值是3.
故答案為：3.
【分析】在AC上截取AE=AN，連接ME，由角平分線的定義得EAM=∠NAM，即可由SAS證明AMEAMN，再根據(jù)BM+MN有最小值，可知當BE是點B到直線AC的距離，即BE⊥AC時，BM+MN最小，再利用30直角三角形的性質(zhì)計算即可解答.
12．【答案】（1）證明：∵是線段的中點，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，是線段的中點，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴.
【知識點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系；兩直線平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根據(jù)線段中點定義以及平行線性質(zhì)得，，根據(jù)全等三角形判定定理”“得證結論；
（2）先求出，根據(jù)全等三角形對應邊相等得，于是證出四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到的長.
13．【答案】證明：∵∠CBE=∠CDF，∠ABC +∠CBE=180°，∠ADC +∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴AB=AD.
【知識點】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
由∠CBE=∠CDF，推導出∠ABC=∠ADC，而∠ACB=∠ACD，AC=AC，即可根據(jù)“AAS”證明△ABC≌△ADC，則AB=AD.
14．【答案】證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根據(jù)直線平行性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
15．【答案】（1）證明：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD.
∴ ∠BAC=∠EAD.
在△ABC與△AED中，
∴△ABC≌△AED. (SAS)
（2）證明：∵△ABC≌△AED，
∴ ∠ACB=∠ADE.
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC
【知識點】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應角的關系
【解析】【分析】（1）由角的和差可得∠BAC=∠EAD，結合已知，用邊角邊可求證；
（2）由（1）中的全等三角形的性質(zhì)“全等三角形的對應角相等”可得∠ACB=∠ADE，由等邊對等角可得∠ACD=∠ADC，然后根據(jù)角的和差即可求解.
16．【答案】解：①OA=OC，理由如下
∵AD∥BC
∴∠ODA=∠OBC
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB(AAS)
∴AD=CB
【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根據(jù)直線平行性質(zhì)可得∠ODA=∠OBC，再根據(jù)全等三角形判定定理及性質(zhì)即可求出答案.
17．【答案】（1）證明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用ASA證明結論即可；
（2）根據(jù)全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
18．【答案】（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，即
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性質(zhì)-三線合一
【解析】【分析】（1）根據(jù)角之間的關系可得，再根據(jù)全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可求出答案.
19．【答案】（1）解：，，
，
是的平分線，
，
（2）解：由作圖知是線段的垂直平分線，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知識點】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形兩銳角互余求出，再利用角平分線的概念求出，最后利用三角形外角的性質(zhì)即可；
（2）先由線段垂直平分線的概念得，再由等角對等邊得，再由直角三角形中角所對的直角邊是斜邊的一半得，則可利用證明，所以，再解求出AD即可.
20．【答案】（1）
（2）解：．理由如下：
如圖，在上取，連接．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：．理由如下：
如圖，將繞點A逆時針旋轉得，
∴．
∵，
∴，
∴E，D，C三點共線．
由（1）同理可得，
∴．
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；旋轉的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；旋轉全等模型；半角模型
【解析】【解答】
解：（1）．理由如下：
由旋轉的性質(zhì)，可知，，，，
∴，
∴E，B，C三線共線．
∵，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案為：.
【分析】(1)由旋轉的性質(zhì)得，，，，即可判斷E，B，C三線共線，可根據(jù)SAS證明得到，再利用全等三角形性質(zhì)即可解答；
(2)在上取，連接，即可由SAS判定，再用SAS證明，即可解答.
(3)如圖，將繞點A逆時針旋轉得，由旋轉的性質(zhì)得到；同（1）的方法可用SAS證明，即可解答.
21．【答案】（1）a
（2）解：對正實數(shù)，，，運算“”滿足結合律，理由如下：
左邊：，
右邊：，
∴左邊右邊，
∴對正實數(shù)，，，運算“”滿足結合律；
（3）
【知識點】完全平方公式的幾何背景；三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；單項式除以單項式；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案為：a；
（3）由題意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面積為26，
∴a2+b2=26，
∵四個直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面積為16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍負) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案為：；
【分析】(1)根據(jù) 定義的運算為，代入計算，再化簡即可解答；
(2)根據(jù) 定義得運算為，先計算 的左邊，再計算右邊，觀察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根據(jù)題意利用 正方形與正方形的面積分別為26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根據(jù) 定義的運算計算出(2a)b(2a) =，再整體代值計算即可解答.
1 / 1專題14 三角形基礎與全等三角形-2025年精選中考數(shù)學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·南充）如圖，把含有60°的直角三角板斜邊放在直線l上，則∠α的度數(shù)是（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【知識點】三角形外角的概念及性質(zhì)
【解析】【解答】解：由題意得：
∠α=90°+60°=150°.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”可求解.
2．（2025·山西）如圖，小誼將兩根長度不等的木條AC，BD的中點連在一起，記中點為O，即AO=CO，BO=DO.測得C，D兩點之間的距離后，利用全等三角形的性質(zhì)，可得花瓶內(nèi)壁上A，B兩點之間的距離.圖中△AOB與△COD全等的依據(jù)是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】B
【知識點】三角形全等的判定-SAS；對頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解： ∵AO=CO，BO=DO，
∴△AOB△COD(SAS)
故答案為：B.
【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)得到，再結合AO=CO，BO=DO，即可利用SAS判定兩個三角形全等，解答即可.
3．（2025·東營）如圖，小麗在公園里蕩秋千，在起始位置A處擺繩與地面垂直，擺繩長，向前蕩起到最高點B處時距地面高度，擺動水平距離為，然后向后擺到最高點C處．若前后擺動過程中繩始終拉直，且與成角，則小麗在C處時距離地面的高度是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；線段的和、差、倍、分的簡單計算；異側一線三垂直全等模型；余角
【解析】【解答】解：如圖，過點C作CE⊥OA于點E，則OEC=90°， BOC= 90° ，
BOD+COE = 90 ，
由題意可知，OA=OB =OC=2m，BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，
∴BDO =90，
∴OD=
∴OF=OD+DF =1.2+1.3=2.5(m) ，
∵BDO=OEC = 90，
∴BOD +OBD= 90 ，
∴COE=OBD，
在OBD和 COE中，
∴OBDCOE(AAS)，
∴OE = BD=1.6m
∴EF =OF-OE =2.5-1.6= 0.9(m)，
即小麗在C處時距離地面的高度是0.9m.
故答案為：A.
【分析】 過點C作CE⊥OA于點E， 由題意可知，OA=OB=OC=2m， BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，則OF =OD+DF=2.5m；然后利用AAS證明OBDCOE(AAS)，得OE = BD=l.6m，則EF =OF -OE =0.9m，即可解答.
4．（2025·青海）工人師傅常用角尺平分一個任意角.做法如下：如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取 OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點M，N重合，即CM=CN，過角尺頂點 C的射線 OC便是∠AOB的平分線，這種做法的依據(jù)是(　　)
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
【答案】C
【知識點】全等三角形的實際應用；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵在△OCM和△OCN中
∴△OCM≌△OCN(SSS)
∴∠COM=∠CON
故選：C.
【分析】由作圖方法可知可先得△OCM≌△OCN，理由是邊邊邊，即可得角平分線.
5．（2025·威海）我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形稱之為“箏形”．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．下列條件中，不能判斷四邊形ABCD是箏形的是（　?。?br/>A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
【答案】D
【知識點】三角形全等的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：A.∵BO = DO， AC⊥BD，
∴AC是BD的垂直平分線，
∴AB=AD， CB=CD，
∴四邊形ABCD是箏形，
∴ A選項不符合題意；
B.在△ACD與△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴CD=CB，
∴四邊形ABCD是箏形，
∴ B選項不符合題意；
C.在△ACD與△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(ASA)，
∴AD=AB， CD=CB，
∴四邊形ABCD是箏形，
∴C選項不符合題意；
D.由∠ADC=∠ABC， BO=DO， 不能證明四邊形ABCD是箏形，
∴D選項符合題意；
故答案為：D.
【分析】利用全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)箏形的判定逐一進行判定即可.
6．（2025·涼山州）如圖，，，點在上，，，則的度數(shù)為
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解：
、
故答案為：C.
【分析】由于，則可得，再結合，可證，則，再利用三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得，則等量代換得，再在等腰三角形ABC中應用內(nèi)角和定理即可.
7．（2025·黑龍江）如圖，在中，，點D、E分別在邊AB和BC上，且，，連接DE，點M、N分別是AC、DE的中點，連接MN，則MN的長度為（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：過點D作BC的平行線，交CN的延長線于點H，連接AH，
∵點N是DE的中點，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中點，
∴MN是△ACH的中位線，
∴MN=.
故答案為：A.
【分析】過點D作BC的平行線，交CN的延長線于點H，連接AH，構造全等三角形△HDN≌△CEN，將已知線段進行轉化HD=CE=3，利用勾股定理求得線段AH的長度，再利用三角形中位線定理求出線段 MN 的長度。
8．（2025·白銀）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AB的中點.動點P從點A出發(fā)，沿邊AC→CB方向勻速運動，運動到點B時停止.設點P的運動路程為x，△APD的面積為y，y與×的函數(shù)圖象如圖2所示，當點P運動到CB的中點時，PD的長為（　　）
A．2 B．2.5 C． D．4
【答案】A
【知識點】三角形的面積；通過函數(shù)圖象獲取信息；三角形的中位線定理；三角形的中線
【解析】【解答】解：根據(jù)題意，可知當點與點重合時，的面積取得最大值，最大值為4，
∵是等腰直角三角形，，為的中點，
∴，
∴，
當點運動到中點時，有是中位線，
∴
故答案為：A.
【分析】根據(jù)點的運動可知的面積先增大再減小，且當點與點重合時，的面積取得最大值為4，然后結合三角形中線的性質(zhì)以及三角形面積公式求出的長，最后根據(jù)三角形中位線定理求出的長.
二、填空題
9．（2025·河北）平行四邊形的一組鄰邊長分別為3，4，一條對角線長為．若為整數(shù)，則的值可以為　 　．（寫出一個即可）
【答案】
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：∵平行四邊形兩個鄰邊分別長為3和4
∴它的對角線n的取值范圍為4-3即為1∴n的值可以為（答案不唯一）
故答案為：（答案不唯一）
【分析】根據(jù)三角形三邊關系即可求出答案.
10．（2025·德陽）△ABC在平面直角坐標系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面積為1，那么點C的坐標可以是　 　.(只需寫出一個即可)
【答案】(2，1)
【知識點】坐標與圖形性質(zhì)；三角形的面積
【解析】【解答】解：∵ A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=2，
又∵，
解得或，
故答案為：(2，1).
【分析】根據(jù)三角形的面積公式可得或，然后寫出符合要求的點的坐標即可.
11．（2025·東營）如圖，在中，，，的平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值是　 ?。?br/>【答案】3
【知識點】垂線段最短及其應用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接ME，
∵∠BAC的平分線交BC于點D，
∴EAM=∠NAM，
在AME與AMN中
AE=AN
∠EAM=∠NAM，
AM=AM
∴AMEAMN（SAS），
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+MEBE，
∵BM+MN有最小值，
∴當BE是點B到直線AC的距離，即BE⊥AC時，BM+MN最小，
又AB=6，∠BAC=30°，
∴BE=3，
∴的最小值是3.
故答案為：3.
【分析】在AC上截取AE=AN，連接ME，由角平分線的定義得EAM=∠NAM，即可由SAS證明AMEAMN，再根據(jù)BM+MN有最小值，可知當BE是點B到直線AC的距離，即BE⊥AC時，BM+MN最小，再利用30直角三角形的性質(zhì)計算即可解答.
三、解答題
12．（2025·蘇州）如圖，C是線段AB 的中點，.
（1）求證：
（2） 連接HE，若 求 DE 的長.
【答案】（1）證明：∵是線段的中點，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，是線段的中點，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴.
【知識點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系；兩直線平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根據(jù)線段中點定義以及平行線性質(zhì)得，，根據(jù)全等三角形判定定理”“得證結論；
（2）先求出，根據(jù)全等三角形對應邊相等得，于是證出四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到的長.
13．（2025·福建）如圖，點E，F(xiàn)分別在AB，AD的延長線上， 求證：
【答案】證明：∵∠CBE=∠CDF，∠ABC +∠CBE=180°，∠ADC +∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴AB=AD.
【知識點】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
由∠CBE=∠CDF，推導出∠ABC=∠ADC，而∠ACB=∠ACD，AC=AC，即可根據(jù)“AAS”證明△ABC≌△ADC，則AB=AD.
14．（2025·陜西） 如圖，點是的邊延長線上一點，，，．求證：．
【答案】證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根據(jù)直線平行性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
15．（2025·南充）如圖， 在五邊形ABCDE中， AB=AE， AC=AD， ∠BAD=∠EAC.
（1）求證： △ABC≌△AED.
（2）求證： ∠BCD=∠EDC.
【答案】（1）證明：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD.
∴ ∠BAC=∠EAD.
在△ABC與△AED中，
∴△ABC≌△AED. (SAS)
（2）證明：∵△ABC≌△AED，
∴ ∠ACB=∠ADE.
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC
【知識點】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應角的關系
【解析】【分析】（1）由角的和差可得∠BAC=∠EAD，結合已知，用邊角邊可求證；
（2）由（1）中的全等三角形的性質(zhì)“全等三角形的對應角相等”可得∠ACB=∠ADE，由等邊對等角可得∠ACD=∠ADC，然后根據(jù)角的和差即可求解.
16．（2025·武漢）如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，AD∥BC.若 ▲ ，則AD=CB
從①OA=OC，②∠ABC=∠CDA，③AB=CD這三個選項中選擇一個作為條件，使結論成立，并說明理由.
【答案】解：①OA=OC，理由如下
∵AD∥BC
∴∠ODA=∠OBC
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB(AAS)
∴AD=CB
【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根據(jù)直線平行性質(zhì)可得∠ODA=∠OBC，再根據(jù)全等三角形判定定理及性質(zhì)即可求出答案.
17．（2025·吉林）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求證：△ABE≌△DCF．
（2）當AB＝12，DF＝13時，求BE的長．
【答案】（1）證明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用ASA證明結論即可；
（2）根據(jù)全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
18．（2025·河北）如圖．四邊形的對角線，相交于點，，，點在上，．
（1）求證：；
（2）若，求證：．
【答案】（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，即
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性質(zhì)-三線合一
【解析】【分析】（1）根據(jù)角之間的關系可得，再根據(jù)全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可求出答案.
19．（2025·山東）在中，，，的平分線交于點．
如圖．
（1）求的度數(shù)；
（2）已知，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，交的延長線于點如圖，求的長．
【答案】（1）解：，，
，
是的平分線，
，
（2）解：由作圖知是線段的垂直平分線，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知識點】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形兩銳角互余求出，再利用角平分線的概念求出，最后利用三角形外角的性質(zhì)即可；
（2）先由線段垂直平分線的概念得，再由等角對等邊得，再由直角三角形中角所對的直角邊是斜邊的一半得，則可利用證明，所以，再解求出AD即可.
20．（2025·東營）【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，同學們以四邊形為背景，探究非動點的幾何問題．若四邊形是正方形，M，N分別在邊上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．
（1）【初步嘗試】如圖1，將繞點A順時針旋轉，點D與點B重合，得到，連接．用等式寫出線段的數(shù)量關系　 ?。?br/>（2）【類比探究】小明改變點的位置后，進一步探究：如圖2，點M，N分別在正方形的邊的延長線上，，連接，用等式寫出線段的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）【拓展延伸】其他小組提出新的探究方向：如圖3，在四邊形中，，，，點N，M分別在邊上，，用等式寫出線段的數(shù)量關系，并說明理由．
【答案】（1）
（2）解：．理由如下：
如圖，在上取，連接．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：．理由如下：
如圖，將繞點A逆時針旋轉得，
∴．
∵，
∴，
∴E，D，C三點共線．
由（1）同理可得，
∴．
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；旋轉的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；旋轉全等模型；半角模型
【解析】【解答】
解：（1）．理由如下：
由旋轉的性質(zhì)，可知，，，，
∴，
∴E，B，C三線共線．
∵，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案為：.
【分析】(1)由旋轉的性質(zhì)得，，，，即可判斷E，B，C三線共線，可根據(jù)SAS證明得到，再利用全等三角形性質(zhì)即可解答；
(2)在上取，連接，即可由SAS判定，再用SAS證明，即可解答.
(3)如圖，將繞點A逆時針旋轉得，由旋轉的性質(zhì)得到；同（1）的方法可用SAS證明，即可解答.
21．（2025·青島）【定義新運算】
對正實數(shù)，，定義運算“”，滿足．
例如：當時，．
（1）當時，請計算：　 　；
【探究運算律】
對正實數(shù)，，運算“”是否滿足交換律？
，
，
．
運算“”滿足交換律．
（2）對正實數(shù)，，，運算“”是否滿足結合律？請說明理由；
（3）【應用新運算】
如圖，正方形是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成，，，且．若正方形與正方形的面積分別為26和16，則的值為　 ?。?br/>【答案】（1）a
（2）解：對正實數(shù)，，，運算“”滿足結合律，理由如下：
左邊：，
右邊：，
∴左邊右邊，
∴對正實數(shù)，，，運算“”滿足結合律；
（3）
【知識點】完全平方公式的幾何背景；三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；單項式除以單項式；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案為：a；
（3）由題意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面積為26，
∴a2+b2=26，
∵四個直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面積為16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍負) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案為：；
【分析】(1)根據(jù) 定義的運算為，代入計算，再化簡即可解答；
(2)根據(jù) 定義得運算為，先計算 的左邊，再計算右邊，觀察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根據(jù)題意利用 正方形與正方形的面積分別為26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根據(jù) 定義的運算計算出(2a)b(2a) =，再整體代值計算即可解答.
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