資源簡介

專題15 角平分線與線段垂直平分線-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·連云港）如圖，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，則△AEG的周長為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025·遼寧）如圖，在中，，，，的平分線與相交于點．在線段上取一點，以點為圓心，長為半徑作弧，與射線相交于點和點，再分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線，與相交于點，連接．則的周長為（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．（2025·內蒙古自治區）如圖，直線，點，分別在直線，上，連接，以點為圓心，適當長為半徑畫弧．交射線于點，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧（兩弧半徑相等），兩弧在的內部相交于點，畫射線交于點，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·眉山）如圖，在四邊形ABCD中，，，．按下列步驟作圖：①以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB、AD于E、F兩點；②分別以點E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；③作射線AP交BC于點G，則CG的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2025·遂寧）在中，，結合尺規作圖痕跡提供的信息，求出線段的長為（　　）
A． B． C．6 D．
6．（2025·煙臺）如圖，在中，，，是角平分線.點從點出發，沿方向向點運動，連接，點在上，且.設，，若y關于x的函數圖象過點，則該圖象上最低點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2025·蘇州） 如圖， 以O為圓心，2為半徑畫弧，分別交OM，ON 于 A，B 兩點，再分別以A，B為圓心， 為半徑畫弧，兩弧在. 內部相交于點C，作射線OC，連接AC，BC，則 　 　. （結果保留根號）
8．（2025·齊齊哈爾）如圖，在□ABCD中，BC=2AB=8，.連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F，作直線EF，交AD于點M，交BC于點N，若點N恰為BC的中點，則AC的長為　 　.
9．（2025·蘭州） 如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，交BD于點F，BE＝CE．若，則AF＝ 　 　 ．
10．（2025·綏化）如圖.在菱形ABCD中，AB=4，對角線BD=4，點P是邊CD的中點，點M是對角線BD上的一個動點，連接PM、CM.則PM+CM的最小值是　 　.
11．（2025·湖南）如圖，在△ABC中，BC＝6，點E是AC的中點，分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，直線MN交AB于點D，連接DE，則DE的長是 　 　 ．
12．（2025·廣安） 如圖，在中，按以下步驟作圖：(1) 以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交BC于點D；(2) 分別以點C和點D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F；(3) 畫射線AF交BC于點E. 若，，，則AE的長為　 　.
13．（2025·成都）如圖，在中，，，．以點A為圓心，以長為半徑作弧；再以點C為圓心，以長為半徑作弧，兩弧在上方交于點D，連接，則的長為　 　．
三、解答題
14．（2025·陜西） 如圖，已知，點在邊上．請用尺規作圖法，在的內部求作一點，使得，且．（保留作圖痕跡，不寫作法）
15．（2025·長沙） 如圖， 在△ABC中， AB=AC， ∠B=72°， 以點C為圓心，適當長為半徑作弧，交CA于點M，交CB于點N，再分別以點M，N為圓心，大于 MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點D.
（1） 求∠BCD的度數；
（2） 若BC=2.5， 求AD的長.
16．（2025·新疆維吾爾自治區）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD是對角線．
（1）尺規作圖：請用無刻度的直尺和圓規，作線段BD的垂直平分線，垂足為點O，與邊AD，BC分別交于點E，F（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，并將作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）；
（2）在（1）的條件下，連接BE，DF，求證：四邊形BFDE為菱形．
17．（2025·綏化）尺規作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕）
（1）【初步嘗試】
如圖（1），用無刻度的直尺和圓規作一條經過圓心的直線OP，使扇形OMN的面積被直線OP平分.
（2）【拓展探究】
如圖（2），若扇形OMN的圓心角為30°，請你用無刻度的直尺和圓規作一條以點O為圓心的弧CD，交OM于點C，交ON于點D，使扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1：4.
18．（2025·重慶市）學習了角平分線和尺規作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發現了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進行交流．現在你作為她的同伴，請根據她的想法與思路，完成以下作圖和填空：
第一步：構造角平分線．
小紅在的邊上任取一點E，并過點E作了的垂線（如圖）．請你利用尺規作圖，在邊上截取，過點F作的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線即為的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．
第二步：利用三角形全等證明她的猜想．
證明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
19．（2025·山東）在中，，，的平分線交于點．
如圖．
（1）求的度數；
（2）已知，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，交的延長線于點如圖，求的長．
20．（2025·白銀）如圖1，月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，放稱“月洞門”，其形制可追翻至漢代，但真正在美學與功能上成熱于宋代，北宋建筑學家李誠編撰的《營造法式》是中國古代最完整的建筑技術典籍之一，如圖2是古人根據（營造法式》中的”五舉法”作出的月洞門的設計圖，月洞門呈弧形，用表示，點O是所在圓的圓心，AB是月洞門的橫跨，CD是月洞門的拱高、現在我們也可以用尺規作圖的方法作出月洞門的設計圖。如圖3，已知月洞門的橫跨為AB，拱高的長度為a.作法如下：
①作線段AB的垂直平分線MN.垂足為D；
②在射線DM上截取DC=a
③連接AC，作線段AC的垂直平分線交CD于點O：
④以點O為圓心，OC的長為半徑作.
則就是所要作的圓弧.
請你依據以上步驟，用尺規作圖的方法在圖3中作出月洞門的設計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.
21．（2025·達州） 開啟作角平分線的智慧之窗
（1）問題：作的平分線
作法：甲同學用尺規作出了角平分線；乙同學用圓規和直角三角板作出了角平分線；丙同學也用尺規作出了角平分線，工人師傅用帶刻度的直角彎尺，通過移動彎尺使上下相同刻度在角的兩邊上．即得為的平分線；
討論：大家對甲同學和工人師傅的作法都深信不疑．認為判斷角平分線的依據是利用三角形全等，其判定全等的方法是　 　；
對乙同學作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據：①三角形全等，，或，②　 　；
對丙同學的作法陷入了沉思．
（2）任務：
①請你將上述討論得出的依據補充完整；
②完成對丙同學作法的驗證．
已知，求證：平分．
22．（2025·蘭州） “三等分角”是兩千多年來數學史上最著名的古典四大問題之一，阿基米德等數學家通過巧妙的幾何作圖得到了解決“三等分角”問題的特例方法．某數學興趣小組通過折紙與尺規作圖相結合的方法探究“三等分銳角”問題的解法，解決過程如下：
操作步驟與演示圖形
如圖①，已知一個由正方形紙片的邊PK與經過頂點P的直線l1構成的銳角α．按照以下步驟進行操作： 任意折出一條水平折痕l2，l2與紙片左邊交點為Q；再折疊將PK與l2重合得到折痕l3，l3與紙片左邊交點為N，如圖②．→折痕使點Q，P分別落在l1和l3上，得到折痕m，對應點為Q’，P’，m交l3于M，如圖③④．→保持紙片折疊，再沿MN折疊，得到折痕l4的一部分，如圖⑤．→將紙片展開，再沿l4折疊得到經過點P的完整折痕l4，如圖⑥．→將紙片折疊使邊PK與l4重合，折痕為l5，則直線l4和l5就是銳角α的三等分線，如圖⑦⑧．
解決問題 ⑴請依據操作步驟與演示圖形，通過尺規作圖完成以下兩個作圖任務：（保留作圖痕跡，不寫作法） 任務一：在圖③中，利用已給定的點Q'作出點P'； 任務二：在圖⑥中作出折痕l3． ⑵若銳角α為75°，則圖⑤中l2與l4相交所成的銳角是 ▲ °．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】線段垂直平分線的性質
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴AE=BE，AG=CG，
∵△AEG的周長為AE+EG+AG，
∴△AEG的周長為BE+EG+CG=BC=7
故答案為：C.
【分析】利用垂直平分線的性質可證得AE=BE，AG=CG，據此可證得△AEG的周長就是BC的長，即可求解.
2．【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；線段垂直平分線的判定；三角形全等的判定-ASA；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作圖可知，CE⊥BD，設CE，BD交于點O，則：∠BOC=∠BOE=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC=OE，BC=BE=12，
∴BD垂直平分CE，AE=AB-BE=4，
∴DE=CD，
∴△ADE的周長為AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14，
故答案為：B.
【分析】先證明△BOC≌△BOE，再根據全等三角形的性質得到OC=OE，BC=BE，進而求出AE的長，然后根據垂直平分的性質得到DE=CD，進而推出△DAE的周長等于AE+AC的長即可．
3．【答案】D
【知識點】角平分線的概念；尺規作圖-作角的平分線；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：由作圖過程可知：EG平分∠AEF，∠AEF=80°，
∴∠AEG=40°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG=40°.
故答案為：D.
【分析】根據題意可知EG平分∠AEF，從而得出∠AEG=40°，再根據平行線的性質可得出GEF=∠AEG=40°.
4．【答案】A
【知識點】等腰三角形的判定；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作圖可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案為：A.
【分析】根據作圖可得∠BAG=∠DAG，然后根據平行線可得∠DAG=∠AGB，進而得到∠BAG=∠AGB，根據等角對等邊得到BG=BA=6，然后根據線段的和差解答即可.
5．【答案】A
【知識點】勾股定理；幾何圖形的面積計算-割補法；尺規作圖-垂線；尺規作圖-作角的平分線；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在 中，
由題意可得：BG平分. 即 ，
設BG， AC交于點M， 作 于點N，如圖，
則
設
即
解得： 即
則
由作圖痕跡可知：
即
解得：
故答案為：A.
【分析】先根據勾股定理求出AC，設BG，AC交于點M，作 于點N，如圖，利用角平分線的性質可得 利用等積法求出CM，進而可得BM， 證明 再根據相似三角形的性質求解即可.
6．【答案】B
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；角平分線的性質；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖所示，分別過點D、C作AB的垂線段DG、CH.
設
平分
點在拋物線上
解得：
當時，有最小值，即拋物線的頂點坐標為
故答案為：B.
【分析】由于中，，則由等腰三角形三線合一可過點C作AB的垂線段CH，設AC=a，則BC=a，由勾股定理可得，則，再由角平分線上的點到角兩邊距離相等可過點D作AB的垂線段DG，則CD=DG=BG，由HL可判定，則AG=AC=a，則可得；由于已知，則由三角形的外角性質可得，因為是公共角相等，則，由相似的性質可得 ，即，由于，則借助勾股定理可得CE2，則可求得CF，進而可得DF，即，則y是關于x的二次函數，此時利用待定系數法代入的坐標可得，，由于二次系數是正數，則y有最小值，即當時，有最小值，即拋物線的頂點坐標為.
7．【答案】
【知識點】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺規作圖-作角的平分線；求正切值
【解析】【解答】解：如圖，過點作于，
∴，
由作圖可知：平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：.
【分析】過點作于，由角平分線尺規作圖可知平分，得，根據含30°的直角三角形的性質得，利用勾股定理求出，然后根據正切的定義進行求解即可.
8．【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的性質；等邊三角形的判定；勾股定理；線段的中點
【解析】【解答】解：連接AN，
由作圖可知，MN 垂直平分AC，
∴AN=CN.
∵點N恰為BC的中點，
∴BC= 2BN=2CN ，
∵BC=2AB= 8，
∴BN=CN=AB=4，
∴ BN= AN= AB=CN=4，
∴ABN是等邊三角形，∠CAN=∠ACN ，
∴BAN=ABC=ANB = 60 ，
∵CAN +ACN=ANB ，
∴CAN=ACN =ANB = 30 ，
∴BAC=BAN +CAN = 90 ，
∴AC=.
故答案為：.
【分析】連接AN，利用垂直平分線的性質和中點的定義，先證明ABN是等邊三角形，得到CAN=ACN，進一步得到BAC=BAN +CAN=90 ，再根據勾股定理計算即可解答.
9．【答案】4
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；菱形的性質
【解析】【解答】解：連接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC= AB=4，
∴ABC是等邊三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=AB=×4=2，
∴AE=BE=×2=6，EF
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故答案為：4.
【分析】根據菱形的性質，得BC=AB，又結合AE⊥BC，BE=CE，得出ABC是等邊三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性質，即可求出AE，EF的長，進而可得AF的值，解答即可.
10．【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；菱形的性質；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）
【解析】【解答】解：如圖，連接AC ，
作點P關于直線BD的對稱點P‘，則PM=P'M，點P'是AD的中點，
∴PM +CM= P'M +CM≥CP'，
根據兩點之間線段最短，可知PM + CM的最小值為CP'，
∵四邊形ABCD是菱形，.
∴AD= AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=2， AO=AC，
根據勾股定理，得AO=，
∴AC= AD=CD=4.
∵點P'是AD的中點，
∴CP'⊥AD， AP'=AD=2.
在RtACP'中，CP'=
∴PM+CM的最小值為.
故答案為：.
【分析】連接AC，根據兩點之間線段最短可知PM + CM的最小值為CP'，再結合菱形的性質得
AD=AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=， AO=AC，然后根據勾股定理得AO，可得AC= AD= CD=4 ，結合等腰三角形的性質得CP'⊥AD， AP'=AD=2 ，再根據勾股定理得CP'，由此解答即可.
11．【答案】3
【知識點】尺規作圖-垂直平分線；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：垂直平分BA
是AB中點
是AC中點
是的中位線
故答案為：3.
【分析】由基本尺規作圖過程知MN垂直平分AB，即D是AB中點，又E是AC中點，則DE是的中位線，則DE等于AB的一半.
12．【答案】12
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：連接AD，
由作圖可知AF垂直平分CD，
∴AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，
∴∠C=∠ADC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠C=2∠B，
∴∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=13，
∴DC=BC-BD=23-13=10，
∴DE=5，
在Rt△ADE中
故答案為：12 .
【分析】連接AD，由作圖可知AF垂直平分CD，可證得AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，利用等邊對等角可推出∠C=∠ADC，利用三角形外角的性質及已知條件可推出∠B=∠BAD，利用等角對等邊可求出AD，DC的長，即可得到DE的長；然后利用勾股定理求出AE的長.
13．【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-直線、射線、線段；面積及等積變換
【解析】【解答】解：如圖，連接AD，CD，
則AD=AB，CD=BC，
∴點A、C在BD的垂直平分線上，
即AC垂直平分BD，
∵，，，
∴，
又∵，
即，
故答案為：.
【分析】連接AD，CD，根據作圖可得AC垂直平分BD，然后根據勾股定理求出AC長，然后根據四邊形的面積求出BD長即可.
14．【答案】解：如圖，點即為所求；
理由如下：
由作圖可知：是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴點即為所求．
【知識點】平行線的判定；角平分線的概念；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】由作圖可知：是的平分線，根據角平分線定義可得，再根據直線平行判定定理即可求出答案.
15．【答案】（1）解： ∵AB=AC， ∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°.
由作圖可知，CD是∠ACB的角平分線，
（2）解：在△BCD中， 由三角形內角和定理得 ∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠BDC=∠B ，
∴CD=CB，
在△ACD中， ∵ ∠BDC=∠A+∠ACD， ∠ACD=36°，
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.
∴AD=CD.
∴AD=BC.
∵BC=2.5，
∴AD=2.5.
【知識點】等腰三角形的判定與性質；角平分線的概念；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）根據等邊對等角得到∠ACB的度數，然后根據作圖得到CP是角平分線，根據角平分線的定義解答即可；
（2）先根據內角和定理得到∠BDC=∠B ，即可得到BC=CD，然后根據外角得到∠A=∠ACD.即可得到AD=CD，即可解答.
16．【答案】（1）解：如圖，直線EF即為所求．
（2）證明：∵直線EF是線段BD的垂直平分線，
∴BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD．
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四邊形BFDE為菱形．
【知識點】三角形全等及其性質；線段垂直平分線的性質；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】（1）根據垂直平分線定義作圖即可求出答案.
（2）根據垂直平分線性質可得BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD，再根據直線平行性質可得∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，再根據全等三角形判定定理可得△ODE≌△OBF（AAS），則DE＝BF，再根據菱形判定定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：作法一：如圖所示
作法二：如圖所示
（2）解：作法一：如圖所示
作法二：如圖所示
【知識點】扇形面積的計算；尺規作圖-垂線；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】
[初步嘗試]
經過圓心的直線平分扇形OMN的面積，因此只需根據基本作圖作圓心角的角平分線或作扇形弧對應弦的垂直平分線，即可解答；
[拓展探究]
根據扇形面積公式，扇形面積之比等于扇形半徑的平方之比，從而得到扇形OCD的面積與扇形OMN半徑之比為1：2，只要畫出OM或ON的中點即可；方法一：作扇形OMN半徑ON的垂直平分線找到中點D，然后以OD為半徑作弧交半徑OM于點C.方法二：扇形OMN的圓心角為30°，根據含30°的直角三角形的性質，過M點作出ON的垂線，構造直角三角形，取垂線段的長度為半徑，以O為圓心畫弧即可解答.
18．【答案】解：第一步：作圖如下：
；
第二步：證明：，，
．
在和中，
，
．
，
平分．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】根據題意先作圖，再根據HL的判定方法證明，得出，最后根據全等三角形的性質求解即可.
19．【答案】（1）解：，，
，
是的平分線，
，
（2）解：由作圖知是線段的垂直平分線，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知識點】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形兩銳角互余求出，再利用角平分線的概念求出，最后利用三角形外角的性質即可；
（2）先由線段垂直平分線的概念得，再由等角對等邊得，再由直角三角形中角所對的直角邊是斜邊的一半得，則可利用證明，所以，再解求出AD即可.
20．【答案】解：如圖，即為所求.
【知識點】尺規作圖-直線、射線、線段；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】直接根據作圖步驟進行尺規作圖即可.
21．【答案】（1）SSS；等腰三角形的三線合一
（2）證明： ∵∠AED=∠AOB， ∴ED∥OB， ∴∠EPO=∠BOP，
∵EP=EO， ∴∠EPO=∠EOP， ∴∠BOP=∠EOP， ∴OP平分∠AOB.
【知識點】三角形全等的判定；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-平行線
【解析】【解答】（1）甲同學：
由尺規作圖的作法可知，OM=ON，MP=NP，OP=OP，
故△OMP≌△ONP，
從而OP平分∠AOB.
故依據為SSS；
乙同學：
由作圖方法可知，OA=OB，OP⊥AB，
根據等腰三角形三線合一，
得OP平分∠AOB，
故答案為 ：等腰三角形的三線合一.
【分析】 （1）利用全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質解決問題即可；
（2）利用平行線的判定和性質，等腰三角形的性質證明即可．
22．【答案】解：⑴任務一：如圖，點P為所求．
任務二：如圖，折痕l5為所求．
⑵50.
【知識點】角的運算；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：（2）
由題意可知l4，l5是∠的三等分線，
∴∠CPK =∠=x 75°= 50°，
∵l2//PK，
∴∠CDE=∠CPK= 50°，
∴l2與l4相交所成的銳角是50°；
故答案為： 50.
【分析】
(1)任務一：連接QQ'，作QQ'的垂直平分線m， 過點P作直線m的垂線，交邊PK于點A，以點A為圓心，AP的長為半徑作弧，交直線l3于點P'，則點P'為所求；
任務二：作出l4與PK所成夾角的角平分線，即為折痕l5；
(2)根據三等分線得到∠CPK =∠，再根據兩直線平行，同位角相等，計算即可解答.
1 / 1專題15 角平分線與線段垂直平分線-2025年精選中考數學真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·連云港）如圖，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，則△AEG的周長為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知識點】線段垂直平分線的性質
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴AE=BE，AG=CG，
∵△AEG的周長為AE+EG+AG，
∴△AEG的周長為BE+EG+CG=BC=7
故答案為：C.
【分析】利用垂直平分線的性質可證得AE=BE，AG=CG，據此可證得△AEG的周長就是BC的長，即可求解.
2．（2025·遼寧）如圖，在中，，，，的平分線與相交于點．在線段上取一點，以點為圓心，長為半徑作弧，與射線相交于點和點，再分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線，與相交于點，連接．則的周長為（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；線段垂直平分線的判定；三角形全等的判定-ASA；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作圖可知，CE⊥BD，設CE，BD交于點O，則：∠BOC=∠BOE=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC=OE，BC=BE=12，
∴BD垂直平分CE，AE=AB-BE=4，
∴DE=CD，
∴△ADE的周長為AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14，
故答案為：B.
【分析】先證明△BOC≌△BOE，再根據全等三角形的性質得到OC=OE，BC=BE，進而求出AE的長，然后根據垂直平分的性質得到DE=CD，進而推出△DAE的周長等于AE+AC的長即可．
3．（2025·內蒙古自治區）如圖，直線，點，分別在直線，上，連接，以點為圓心，適當長為半徑畫弧．交射線于點，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧（兩弧半徑相等），兩弧在的內部相交于點，畫射線交于點，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】角平分線的概念；尺規作圖-作角的平分線；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：由作圖過程可知：EG平分∠AEF，∠AEF=80°，
∴∠AEG=40°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG=40°.
故答案為：D.
【分析】根據題意可知EG平分∠AEF，從而得出∠AEG=40°，再根據平行線的性質可得出GEF=∠AEG=40°.
4．（2025·眉山）如圖，在四邊形ABCD中，，，．按下列步驟作圖：①以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB、AD于E、F兩點；②分別以點E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；③作射線AP交BC于點G，則CG的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知識點】等腰三角形的判定；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作圖可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案為：A.
【分析】根據作圖可得∠BAG=∠DAG，然后根據平行線可得∠DAG=∠AGB，進而得到∠BAG=∠AGB，根據等角對等邊得到BG=BA=6，然后根據線段的和差解答即可.
5．（2025·遂寧）在中，，結合尺規作圖痕跡提供的信息，求出線段的長為（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【知識點】勾股定理；幾何圖形的面積計算-割補法；尺規作圖-垂線；尺規作圖-作角的平分線；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在 中，
由題意可得：BG平分. 即 ，
設BG， AC交于點M， 作 于點N，如圖，
則
設
即
解得： 即
則
由作圖痕跡可知：
即
解得：
故答案為：A.
【分析】先根據勾股定理求出AC，設BG，AC交于點M，作 于點N，如圖，利用角平分線的性質可得 利用等積法求出CM，進而可得BM， 證明 再根據相似三角形的性質求解即可.
6．（2025·煙臺）如圖，在中，，，是角平分線.點從點出發，沿方向向點運動，連接，點在上，且.設，，若y關于x的函數圖象過點，則該圖象上最低點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；角平分線的性質；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖所示，分別過點D、C作AB的垂線段DG、CH.
設
平分
點在拋物線上
解得：
當時，有最小值，即拋物線的頂點坐標為
故答案為：B.
【分析】由于中，，則由等腰三角形三線合一可過點C作AB的垂線段CH，設AC=a，則BC=a，由勾股定理可得，則，再由角平分線上的點到角兩邊距離相等可過點D作AB的垂線段DG，則CD=DG=BG，由HL可判定，則AG=AC=a，則可得；由于已知，則由三角形的外角性質可得，因為是公共角相等，則，由相似的性質可得 ，即，由于，則借助勾股定理可得CE2，則可求得CF，進而可得DF，即，則y是關于x的二次函數，此時利用待定系數法代入的坐標可得，，由于二次系數是正數，則y有最小值，即當時，有最小值，即拋物線的頂點坐標為.
二、填空題
7．（2025·蘇州） 如圖， 以O為圓心，2為半徑畫弧，分別交OM，ON 于 A，B 兩點，再分別以A，B為圓心， 為半徑畫弧，兩弧在. 內部相交于點C，作射線OC，連接AC，BC，則 　 　. （結果保留根號）
【答案】
【知識點】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺規作圖-作角的平分線；求正切值
【解析】【解答】解：如圖，過點作于，
∴，
由作圖可知：平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：.
【分析】過點作于，由角平分線尺規作圖可知平分，得，根據含30°的直角三角形的性質得，利用勾股定理求出，然后根據正切的定義進行求解即可.
8．（2025·齊齊哈爾）如圖，在□ABCD中，BC=2AB=8，.連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F，作直線EF，交AD于點M，交BC于點N，若點N恰為BC的中點，則AC的長為　 　.
【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的性質；等邊三角形的判定；勾股定理；線段的中點
【解析】【解答】解：連接AN，
由作圖可知，MN 垂直平分AC，
∴AN=CN.
∵點N恰為BC的中點，
∴BC= 2BN=2CN ，
∵BC=2AB= 8，
∴BN=CN=AB=4，
∴ BN= AN= AB=CN=4，
∴ABN是等邊三角形，∠CAN=∠ACN ，
∴BAN=ABC=ANB = 60 ，
∵CAN +ACN=ANB ，
∴CAN=ACN =ANB = 30 ，
∴BAC=BAN +CAN = 90 ，
∴AC=.
故答案為：.
【分析】連接AN，利用垂直平分線的性質和中點的定義，先證明ABN是等邊三角形，得到CAN=ACN，進一步得到BAC=BAN +CAN=90 ，再根據勾股定理計算即可解答.
9．（2025·蘭州） 如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，交BD于點F，BE＝CE．若，則AF＝ 　 　 ．
【答案】4
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；菱形的性質
【解析】【解答】解：連接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC= AB=4，
∴ABC是等邊三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=AB=×4=2，
∴AE=BE=×2=6，EF
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故答案為：4.
【分析】根據菱形的性質，得BC=AB，又結合AE⊥BC，BE=CE，得出ABC是等邊三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性質，即可求出AE，EF的長，進而可得AF的值，解答即可.
10．（2025·綏化）如圖.在菱形ABCD中，AB=4，對角線BD=4，點P是邊CD的中點，點M是對角線BD上的一個動點，連接PM、CM.則PM+CM的最小值是　 　.
【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；菱形的性質；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）
【解析】【解答】解：如圖，連接AC ，
作點P關于直線BD的對稱點P‘，則PM=P'M，點P'是AD的中點，
∴PM +CM= P'M +CM≥CP'，
根據兩點之間線段最短，可知PM + CM的最小值為CP'，
∵四邊形ABCD是菱形，.
∴AD= AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=2， AO=AC，
根據勾股定理，得AO=，
∴AC= AD=CD=4.
∵點P'是AD的中點，
∴CP'⊥AD， AP'=AD=2.
在RtACP'中，CP'=
∴PM+CM的最小值為.
故答案為：.
【分析】連接AC，根據兩點之間線段最短可知PM + CM的最小值為CP'，再結合菱形的性質得
AD=AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=， AO=AC，然后根據勾股定理得AO，可得AC= AD= CD=4 ，結合等腰三角形的性質得CP'⊥AD， AP'=AD=2 ，再根據勾股定理得CP'，由此解答即可.
11．（2025·湖南）如圖，在△ABC中，BC＝6，點E是AC的中點，分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，直線MN交AB于點D，連接DE，則DE的長是 　 　 ．
【答案】3
【知識點】尺規作圖-垂直平分線；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：垂直平分BA
是AB中點
是AC中點
是的中位線
故答案為：3.
【分析】由基本尺規作圖過程知MN垂直平分AB，即D是AB中點，又E是AC中點，則DE是的中位線，則DE等于AB的一半.
12．（2025·廣安） 如圖，在中，按以下步驟作圖：(1) 以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交BC于點D；(2) 分別以點C和點D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F；(3) 畫射線AF交BC于點E. 若，，，則AE的長為　 　.
【答案】12
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：連接AD，
由作圖可知AF垂直平分CD，
∴AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，
∴∠C=∠ADC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠C=2∠B，
∴∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=13，
∴DC=BC-BD=23-13=10，
∴DE=5，
在Rt△ADE中
故答案為：12 .
【分析】連接AD，由作圖可知AF垂直平分CD，可證得AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，利用等邊對等角可推出∠C=∠ADC，利用三角形外角的性質及已知條件可推出∠B=∠BAD，利用等角對等邊可求出AD，DC的長，即可得到DE的長；然后利用勾股定理求出AE的長.
13．（2025·成都）如圖，在中，，，．以點A為圓心，以長為半徑作弧；再以點C為圓心，以長為半徑作弧，兩弧在上方交于點D，連接，則的長為　 　．
【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-直線、射線、線段；面積及等積變換
【解析】【解答】解：如圖，連接AD，CD，
則AD=AB，CD=BC，
∴點A、C在BD的垂直平分線上，
即AC垂直平分BD，
∵，，，
∴，
又∵，
即，
故答案為：.
【分析】連接AD，CD，根據作圖可得AC垂直平分BD，然后根據勾股定理求出AC長，然后根據四邊形的面積求出BD長即可.
三、解答題
14．（2025·陜西） 如圖，已知，點在邊上．請用尺規作圖法，在的內部求作一點，使得，且．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】解：如圖，點即為所求；
理由如下：
由作圖可知：是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴點即為所求．
【知識點】平行線的判定；角平分線的概念；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】由作圖可知：是的平分線，根據角平分線定義可得，再根據直線平行判定定理即可求出答案.
15．（2025·長沙） 如圖， 在△ABC中， AB=AC， ∠B=72°， 以點C為圓心，適當長為半徑作弧，交CA于點M，交CB于點N，再分別以點M，N為圓心，大于 MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點D.
（1） 求∠BCD的度數；
（2） 若BC=2.5， 求AD的長.
【答案】（1）解： ∵AB=AC， ∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°.
由作圖可知，CD是∠ACB的角平分線，
（2）解：在△BCD中， 由三角形內角和定理得 ∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠BDC=∠B ，
∴CD=CB，
在△ACD中， ∵ ∠BDC=∠A+∠ACD， ∠ACD=36°，
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.
∴AD=CD.
∴AD=BC.
∵BC=2.5，
∴AD=2.5.
【知識點】等腰三角形的判定與性質；角平分線的概念；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）根據等邊對等角得到∠ACB的度數，然后根據作圖得到CP是角平分線，根據角平分線的定義解答即可；
（2）先根據內角和定理得到∠BDC=∠B ，即可得到BC=CD，然后根據外角得到∠A=∠ACD.即可得到AD=CD，即可解答.
16．（2025·新疆維吾爾自治區）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD是對角線．
（1）尺規作圖：請用無刻度的直尺和圓規，作線段BD的垂直平分線，垂足為點O，與邊AD，BC分別交于點E，F（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，并將作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）；
（2）在（1）的條件下，連接BE，DF，求證：四邊形BFDE為菱形．
【答案】（1）解：如圖，直線EF即為所求．
（2）證明：∵直線EF是線段BD的垂直平分線，
∴BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD．
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四邊形BFDE為菱形．
【知識點】三角形全等及其性質；線段垂直平分線的性質；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】（1）根據垂直平分線定義作圖即可求出答案.
（2）根據垂直平分線性質可得BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD，再根據直線平行性質可得∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，再根據全等三角形判定定理可得△ODE≌△OBF（AAS），則DE＝BF，再根據菱形判定定理即可求出答案.
17．（2025·綏化）尺規作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕）
（1）【初步嘗試】
如圖（1），用無刻度的直尺和圓規作一條經過圓心的直線OP，使扇形OMN的面積被直線OP平分.
（2）【拓展探究】
如圖（2），若扇形OMN的圓心角為30°，請你用無刻度的直尺和圓規作一條以點O為圓心的弧CD，交OM于點C，交ON于點D，使扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1：4.
【答案】（1）解：作法一：如圖所示
作法二：如圖所示
（2）解：作法一：如圖所示
作法二：如圖所示
【知識點】扇形面積的計算；尺規作圖-垂線；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】
[初步嘗試]
經過圓心的直線平分扇形OMN的面積，因此只需根據基本作圖作圓心角的角平分線或作扇形弧對應弦的垂直平分線，即可解答；
[拓展探究]
根據扇形面積公式，扇形面積之比等于扇形半徑的平方之比，從而得到扇形OCD的面積與扇形OMN半徑之比為1：2，只要畫出OM或ON的中點即可；方法一：作扇形OMN半徑ON的垂直平分線找到中點D，然后以OD為半徑作弧交半徑OM于點C.方法二：扇形OMN的圓心角為30°，根據含30°的直角三角形的性質，過M點作出ON的垂線，構造直角三角形，取垂線段的長度為半徑，以O為圓心畫弧即可解答.
18．（2025·重慶市）學習了角平分線和尺規作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發現了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進行交流．現在你作為她的同伴，請根據她的想法與思路，完成以下作圖和填空：
第一步：構造角平分線．
小紅在的邊上任取一點E，并過點E作了的垂線（如圖）．請你利用尺規作圖，在邊上截取，過點F作的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線即為的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．
第二步：利用三角形全等證明她的猜想．
證明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
【答案】解：第一步：作圖如下：
；
第二步：證明：，，
．
在和中，
，
．
，
平分．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】根據題意先作圖，再根據HL的判定方法證明，得出，最后根據全等三角形的性質求解即可.
19．（2025·山東）在中，，，的平分線交于點．
如圖．
（1）求的度數；
（2）已知，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，交的延長線于點如圖，求的長．
【答案】（1）解：，，
，
是的平分線，
，
（2）解：由作圖知是線段的垂直平分線，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知識點】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形兩銳角互余求出，再利用角平分線的概念求出，最后利用三角形外角的性質即可；
（2）先由線段垂直平分線的概念得，再由等角對等邊得，再由直角三角形中角所對的直角邊是斜邊的一半得，則可利用證明，所以，再解求出AD即可.
20．（2025·白銀）如圖1，月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，放稱“月洞門”，其形制可追翻至漢代，但真正在美學與功能上成熱于宋代，北宋建筑學家李誠編撰的《營造法式》是中國古代最完整的建筑技術典籍之一，如圖2是古人根據（營造法式》中的”五舉法”作出的月洞門的設計圖，月洞門呈弧形，用表示，點O是所在圓的圓心，AB是月洞門的橫跨，CD是月洞門的拱高、現在我們也可以用尺規作圖的方法作出月洞門的設計圖。如圖3，已知月洞門的橫跨為AB，拱高的長度為a.作法如下：
①作線段AB的垂直平分線MN.垂足為D；
②在射線DM上截取DC=a
③連接AC，作線段AC的垂直平分線交CD于點O：
④以點O為圓心，OC的長為半徑作.
則就是所要作的圓弧.
請你依據以上步驟，用尺規作圖的方法在圖3中作出月洞門的設計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.
【答案】解：如圖，即為所求.
【知識點】尺規作圖-直線、射線、線段；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】直接根據作圖步驟進行尺規作圖即可.
21．（2025·達州） 開啟作角平分線的智慧之窗
（1）問題：作的平分線
作法：甲同學用尺規作出了角平分線；乙同學用圓規和直角三角板作出了角平分線；丙同學也用尺規作出了角平分線，工人師傅用帶刻度的直角彎尺，通過移動彎尺使上下相同刻度在角的兩邊上．即得為的平分線；
討論：大家對甲同學和工人師傅的作法都深信不疑．認為判斷角平分線的依據是利用三角形全等，其判定全等的方法是　 　；
對乙同學作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據：①三角形全等，，或，②　 　；
對丙同學的作法陷入了沉思．
（2）任務：
①請你將上述討論得出的依據補充完整；
②完成對丙同學作法的驗證．
已知，求證：平分．
【答案】（1）SSS；等腰三角形的三線合一
（2）證明： ∵∠AED=∠AOB， ∴ED∥OB， ∴∠EPO=∠BOP，
∵EP=EO， ∴∠EPO=∠EOP， ∴∠BOP=∠EOP， ∴OP平分∠AOB.
【知識點】三角形全等的判定；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-平行線
【解析】【解答】（1）甲同學：
由尺規作圖的作法可知，OM=ON，MP=NP，OP=OP，
故△OMP≌△ONP，
從而OP平分∠AOB.
故依據為SSS；
乙同學：
由作圖方法可知，OA=OB，OP⊥AB，
根據等腰三角形三線合一，
得OP平分∠AOB，
故答案為 ：等腰三角形的三線合一.
【分析】 （1）利用全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質解決問題即可；
（2）利用平行線的判定和性質，等腰三角形的性質證明即可．
22．（2025·蘭州） “三等分角”是兩千多年來數學史上最著名的古典四大問題之一，阿基米德等數學家通過巧妙的幾何作圖得到了解決“三等分角”問題的特例方法．某數學興趣小組通過折紙與尺規作圖相結合的方法探究“三等分銳角”問題的解法，解決過程如下：
操作步驟與演示圖形
如圖①，已知一個由正方形紙片的邊PK與經過頂點P的直線l1構成的銳角α．按照以下步驟進行操作： 任意折出一條水平折痕l2，l2與紙片左邊交點為Q；再折疊將PK與l2重合得到折痕l3，l3與紙片左邊交點為N，如圖②．→折痕使點Q，P分別落在l1和l3上，得到折痕m，對應點為Q’，P’，m交l3于M，如圖③④．→保持紙片折疊，再沿MN折疊，得到折痕l4的一部分，如圖⑤．→將紙片展開，再沿l4折疊得到經過點P的完整折痕l4，如圖⑥．→將紙片折疊使邊PK與l4重合，折痕為l5，則直線l4和l5就是銳角α的三等分線，如圖⑦⑧．
解決問題 ⑴請依據操作步驟與演示圖形，通過尺規作圖完成以下兩個作圖任務：（保留作圖痕跡，不寫作法） 任務一：在圖③中，利用已給定的點Q'作出點P'； 任務二：在圖⑥中作出折痕l3． ⑵若銳角α為75°，則圖⑤中l2與l4相交所成的銳角是 ▲ °．
【答案】解：⑴任務一：如圖，點P為所求．
任務二：如圖，折痕l5為所求．
⑵50.
【知識點】角的運算；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：（2）
由題意可知l4，l5是∠的三等分線，
∴∠CPK =∠=x 75°= 50°，
∵l2//PK，
∴∠CDE=∠CPK= 50°，
∴l2與l4相交所成的銳角是50°；
故答案為： 50.
【分析】
(1)任務一：連接QQ'，作QQ'的垂直平分線m， 過點P作直線m的垂線，交邊PK于點A，以點A為圓心，AP的長為半徑作弧，交直線l3于點P'，則點P'為所求；
任務二：作出l4與PK所成夾角的角平分線，即為折痕l5；
(2)根據三等分線得到∠CPK =∠，再根據兩直線平行，同位角相等，計算即可解答.
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