資源簡(jiǎn)介

專題16 勾股定理-2025年精選中考數(shù)學(xué)真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·武漢）如圖1，在△ABC中，D是邊AC上的定點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，依次沿AB，BC兩邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，DP的長(zhǎng)為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示.其中M，N分別是兩段曲線的最低點(diǎn).點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是(　　)
A． B． C． D．
2．（2025·遼寧）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，，連接，若，，則的長(zhǎng)為（　　）
A．1 B．5 C．2 D．
3．（2025·河南）如圖，在菱形ABCD中，，點(diǎn)在邊BC上，連接AE，將沿AE折疊，若點(diǎn) 落在BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，則CF的長(zhǎng)為（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空題
4．（2025·連云港）如圖，長(zhǎng)為3m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8m，則梯子頂端的高度h為　 　m.
5．（2025·廣州）如圖，在中，，平分，已知，，則點(diǎn)B到的距離為　 　．
6．（2025·廣西）如圖，點(diǎn)在同側(cè)，，則　 　．
7．（2025·東營(yíng)）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為　 　．
8．（2025·內(nèi)江） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．點(diǎn)E在邊上．將沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為　 　．
9．（2025·內(nèi)江） 如圖，在矩形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，連接，則的最大值是　 　．
10．（2025·揚(yáng)州）清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡(jiǎn)化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn)．由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為　 　 ．
11．（2025·威海）如圖，小明同學(xué)將正方形硬紙板沿實(shí)線剪開，得到一個(gè)立方體的表面展開圖．若正方形硬紙板的邊長(zhǎng)為12cm，則折成立方體的棱長(zhǎng)為　 　cm．
12．（2025·宜賓）如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在BC、CD上，且，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在矩形對(duì)角線上，M處．若A、、三點(diǎn)共線，則的值為　 　．
13．（2025·德陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)，點(diǎn)C在直線m：上，且連接AB，BC，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)落在直線m上，再將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).也落在直線m上.如此下去，…，則的縱坐標(biāo)是　 　.
三、解答題
14．（2025·吉林）如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，以AP為邊作正方形APDE，使點(diǎn)D和點(diǎn)B始終在邊AC同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）（x＞0），正方形APDE與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．
（1）AC的長(zhǎng)為 　 　 ．
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出可變量x的取值范圍．
（3）當(dāng)正方形APDE的對(duì)稱中心與點(diǎn)B重合時(shí)，直接寫出x的值．
15．（2025·廣州）寬與長(zhǎng)的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．現(xiàn)有一張黃金矩形紙片，長(zhǎng)．如圖1，折疊紙片，點(diǎn)B落在上的點(diǎn)E處，折痕為，連接，然后將紙片展開．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求證：四邊形是黃金矩形；
（3）如圖2，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，折疊紙片，點(diǎn)B落在上的點(diǎn)H處，折痕為，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q．四邊形是否為黃金矩形？如果是，請(qǐng)證明：如果不是，請(qǐng)說明理由．
16．（2025·青島）【定義新運(yùn)算】
對(duì)正實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“”，滿足．
例如：當(dāng)時(shí)，．
（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)計(jì)算：　 　；
【探究運(yùn)算律】
對(duì)正實(shí)數(shù)，，運(yùn)算“”是否滿足交換律？
，
，
．
運(yùn)算“”滿足交換律．
（2）對(duì)正實(shí)數(shù)，，，運(yùn)算“”是否滿足結(jié)合律？請(qǐng)說明理由；
（3）【應(yīng)用新運(yùn)算】
如圖，正方形是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成，，，且．若正方形與正方形的面積分別為26和16，則的值為　 　．
17．（2025·廣東） 《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對(duì)研究直角三角形具有重要意義.若直角三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，則a，b，c為一組“勾股數(shù)”.下表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù).
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）請(qǐng)補(bǔ)全上表中的勾股數(shù).
（2）根據(jù)上表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母(均為正整數(shù))的代數(shù)式分別表示a，b，c，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明.
（3）某校計(jì)劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如題22圖所示的圖案，該圖案是由四個(gè)全等的直角三角形組成.種花要求：僅在三角形邊上種花，每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m.如果每個(gè)三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花
答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形-動(dòng)點(diǎn)問題；面積及等積變換
【解析】【解答】解：根據(jù)圖2，AD=20，CD=8，BD=15
點(diǎn)D到AB的距離DE=12，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)表示點(diǎn)D到BC的距離DF，如圖
∴，
∴AB=AE+BE=25
∵AD2+BD2=202+152=625=252=AB2
∴∠ADB=90°
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°
∴
∴
∴
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為
故答案為：B
【分析】根據(jù)圖2，AD=20，CD=8，BD=15，點(diǎn)D到AB的距離DE=12，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)表示點(diǎn)D到BC的距離DF，根據(jù)勾股定理可得AE，BE，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得AB，再根據(jù)勾股定理逆定理可得∠ADB=90°，則∠BDC=90°，再根據(jù)勾股定理可得BC，再根據(jù)三角形面積即可求出答案.
2．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案為：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，再得到BC的長(zhǎng)，推出AD的長(zhǎng)，接著利用線段差求得DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得CE.
3．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖所示，
由折疊知，
四邊形ABCD是菱形
故答案為：D.
【分析】由于B、C、F在同一條直線上，由折疊的性質(zhì)知，則可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由菱形的四條邊相等，即，則CF可求.
4．【答案】2.4
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的實(shí)際應(yīng)用-梯子滑動(dòng)問題
【解析】【解答】解：如圖，
由題意可知∠ACB=90°，AC=h，
∴
故答案為：2.4.
【分析】根據(jù)題意可知 ∠ACB=90°，AC=h，然后利用勾股定理求出h的值.
5．【答案】10
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；面積及等積變換
【解析】【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H
∵∠C=90°，
∴設(shè)AC=12k，AD=13k
∴
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB
∴DH=DC=5k
設(shè)點(diǎn)B到AD的距離為h
∴
解得：h=10
故答案為：10
【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)AC=12k，AD=13k，根據(jù)勾股定理可得CD，再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得DH=DC=5k，再根據(jù)三角形面積即可求出答案.
6．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)-三線合一
【解析】【解答】解：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E
∵AB=CA，BD=CD
∴AE⊥BC，BE=CE
∵
∴BE=CE=1
∴
∴
故答案為：
【分析】延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得AE⊥BC，BE=CE=1，再根據(jù)勾股定理可得AE，DE，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
7．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形；探索規(guī)律-圖形的循環(huán)規(guī)律
【解析】【解答】解：如圖，∵△CDE為等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED= 90°，
CD2= DE2+CE2=DE2，
∴DE=
∵正方形的邊長(zhǎng)為2
∴DE==
∴面積標(biāo)記為S1的正方形：邊長(zhǎng)為2，面積為：22；
面積標(biāo)記為S2的正方形：邊長(zhǎng)為=，面積為：（）2；
面積標(biāo)記為S3的正方形：邊長(zhǎng)為，面積為：（1）2；
面積標(biāo)記為S4的正方形：邊長(zhǎng)為，面積為：（）2=；
面積標(biāo)記為S5的正方形：邊長(zhǎng)為=，面積為：=；
面積標(biāo)記為S6的正方形：邊長(zhǎng)為=，面積為：=；
……
以此類推，面積標(biāo)記為S2025的正方形面積為：；
的值為.
故答案為：.
【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的計(jì)算發(fā)現(xiàn)后面每一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)=，即可表示出面積，發(fā)現(xiàn)第n個(gè)圖標(biāo)記的，計(jì)算即可解答.
8．【答案】(-1.5，5)
【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：如圖，設(shè)CD交y軸于點(diǎn)G，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，
∵B(1，0)，F(xiàn)(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四邊形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折疊得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
設(shè)EG=x，則DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴點(diǎn)E(-1.5，5).
故答案為：(-1.5，5) .
【分析】設(shè)CD交y軸于點(diǎn)G，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，由B、F的坐標(biāo)可得OB=1，OF=3，由正方形四邊相等、四個(gè)內(nèi)角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，從而由有三個(gè)內(nèi)角為直角的四邊形是矩形得四邊形OBCG是矩形，由矩形的對(duì)邊相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根據(jù)線段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折疊得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，從而可求出GF的長(zhǎng)，設(shè)EG=x，則DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形性質(zhì)可得到點(diǎn)E的坐標(biāo).
9．【答案】5
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：如圖，連接BF、BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵點(diǎn)G為BE的中點(diǎn)，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)，
∴GH是△BEF的中位線，
∴BF=2GH，
∴當(dāng)BF最大時(shí)，GH最大，
∵點(diǎn)F是CD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，BF最大為10，
∴GH的最大值為5.
故答案為：5 .
【分析】連接BF、BD，由矩形性質(zhì)得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根據(jù)三角形的中位線等于第三邊的一半得出BF=2GH，故當(dāng)BF最大時(shí)，GH最大，而當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，BF最大為10，據(jù)此即可求出答案.
10．【答案】11，60，61
【知識(shí)點(diǎn)】勾股數(shù)；探索數(shù)與式的規(guī)律；探索規(guī)律-等式類規(guī)律
【解析】【解答】解：通過觀察得：
第①組勾股數(shù)分別為：
第②組勾股數(shù)分別為：
第③組勾股數(shù)分別為：
第④組勾股數(shù)為： ；
所以第⑤組勾股數(shù)為：2×5+1=11，
故答案為： 11， 60， 61.
【分析】通過觀察，得出規(guī)律：這類勾股數(shù)分別為 由此可寫出第⑤組勾股數(shù).
11．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；正方體的幾種展開圖的識(shí)別
【解析】【解答】解：如圖，設(shè)則
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方體的棱長(zhǎng)為
故答案為：
故答案為：.
【分析】設(shè)表示AE和EB長(zhǎng)，在Rt△EAB中根據(jù)勾股定理列方程求解即可.
12．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；線段的比
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，F(xiàn)EM= ЕМВ ，
由翻折的性質(zhì)可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
設(shè)BE=ME=x，則AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案為：.
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)再結(jié)合折疊的性質(zhì)得到CE= BE= ME，再根據(jù)等角對(duì)等邊推出AD= AM，設(shè)BE=ME=x，則AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，計(jì)算即可解答.
13．【答案】2004
【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—邊角關(guān)系；探索規(guī)律-圖形的遞變加循環(huán)規(guī)律
【解析】【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=，
∴直線與y軸交于點(diǎn)(0，)，
∴直線與x軸夾角的正切為，即夾角為30°，
AB=，
∴，
由圖可知每經(jīng)過三次點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在直線m上，且沿著直線m向上移動(dòng)3+4+5=12個(gè)單位長(zhǎng)度，
∵，
即，
∴的縱坐標(biāo)是，
故答案為：2004.
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB和BC長(zhǎng)，即可得到△ABC的周長(zhǎng)，得到規(guī)律經(jīng)過三次點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在直線m上，且沿著直線m向上移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度，即可求出長(zhǎng)，然后求出直線m與x軸的夾角度數(shù)，然后利用30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可.
14．【答案】（1）7
（2）解：當(dāng)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（0＜x≤3），
當(dāng)D在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即點(diǎn)P在線段PC上運(yùn)動(dòng)，
如下圖：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴，
∴，
解得：，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴；
（3）解：當(dāng)正方形APDE的對(duì)稱中心與點(diǎn)B重合時(shí)，
∴，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問題；三角形-動(dòng)點(diǎn)問題；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【解答】
解：（1）當(dāng) B，D重合時(shí)，如下圖：
∵∠BAC＝45°，以AP為邊作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （負(fù)的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案為：7；
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AP長(zhǎng)，進(jìn)而求出PC 的值解答即可；
（2）分為點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)和D在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)兩種情況，利用相似三角形的判定和性質(zhì)表示面積即可；
（3）畫出圖形，根據(jù)勾股定理解答即可.
15．【答案】（1）解：∵，矩形是黃金矩形，
∴，
∴
（2）證明：∵折疊黃金矩形紙片，點(diǎn)B落在上的點(diǎn)E處，
∴，，
又∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴四邊形是黃金矩形．
（3）解：四邊形是黃金矩形，證明如下：
∵，四邊形是正方形，
∴，
∴四邊形是矩形；
由（2）可知，，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
如圖，連接，由對(duì)折可得：，，，
設(shè)，則，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四邊形是黃金矩形．
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法
【解析】【分析】（1）根據(jù)黃金矩形的定義即可求出答案.
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得，，再根據(jù)矩形性質(zhì)可得，，，再根據(jù)正方形判定定理可得四邊形是正方形，則=2，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，再根據(jù)矩形判定定理可得四邊形是矩形，則，再根據(jù)黃金矩形的定義進(jìn)行判斷即可求出答案.
（3）根據(jù)矩形判定定理可得四邊形是矩形，則，根據(jù)勾股定理可得FG，連接，由對(duì)折可得：，，，設(shè)，則，根據(jù)割補(bǔ)法，結(jié)合三角形，梯形的面積建立方程，解方程可得x值，再根據(jù)黃金矩形的定義進(jìn)行判斷即可求出答案.
16．【答案】（1）a
（2）解：對(duì)正實(shí)數(shù)，，，運(yùn)算“”滿足結(jié)合律，理由如下：
左邊：，
右邊：，
∴左邊右邊，
∴對(duì)正實(shí)數(shù)，，，運(yùn)算“”滿足結(jié)合律；
（3）
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景；三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案為：a；
（3）由題意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面積為26，
∴a2+b2=26，
∵四個(gè)直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面積為16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍負(fù)) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案為：；
【分析】(1)根據(jù) 定義的運(yùn)算為，代入計(jì)算，再化簡(jiǎn)即可解答；
(2)根據(jù) 定義得運(yùn)算為，先計(jì)算 的左邊，再計(jì)算右邊，觀察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根據(jù)題意利用 正方形與正方形的面積分別為26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根據(jù) 定義的運(yùn)算計(jì)算出(2a)b(2a) =，再整體代值計(jì)算即可解答.
17．【答案】（1）24
（2）解：若任取兩個(gè)正整數(shù)m和n(m> n)， 則 是勾股數(shù).
∵+ n4
∴以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短邊種21株， 邊長(zhǎng)20cm， 對(duì)應(yīng)勾股數(shù)20， 21， 29
每三角形種花： (株)
四塊綠地一共： (株)
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股數(shù)；探索數(shù)與式的規(guī)律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通過設(shè)定m、n構(gòu)造表達(dá)式，再代數(shù)運(yùn)算驗(yàn)證勾股定理逆定理，證明其為勾股數(shù)通用形式 。
（3）先由種花株數(shù)得邊長(zhǎng)，匹配勾股數(shù)，再用 “株數(shù) = 間隔數(shù) + 1” 算單三角形株數(shù)（去重復(fù)頂點(diǎn) ），最后乘4得總數(shù)，融合勾股數(shù)與植樹問題邏輯 。
1 / 1專題16 勾股定理-2025年精選中考數(shù)學(xué)真題分類匯編
一、選擇題
1．（2025·武漢）如圖1，在△ABC中，D是邊AC上的定點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，依次沿AB，BC兩邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，DP的長(zhǎng)為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示.其中M，N分別是兩段曲線的最低點(diǎn).點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形-動(dòng)點(diǎn)問題；面積及等積變換
【解析】【解答】解：根據(jù)圖2，AD=20，CD=8，BD=15
點(diǎn)D到AB的距離DE=12，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)表示點(diǎn)D到BC的距離DF，如圖
∴，
∴AB=AE+BE=25
∵AD2+BD2=202+152=625=252=AB2
∴∠ADB=90°
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°
∴
∴
∴
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為
故答案為：B
【分析】根據(jù)圖2，AD=20，CD=8，BD=15，點(diǎn)D到AB的距離DE=12，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)表示點(diǎn)D到BC的距離DF，根據(jù)勾股定理可得AE，BE，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得AB，再根據(jù)勾股定理逆定理可得∠ADB=90°，則∠BDC=90°，再根據(jù)勾股定理可得BC，再根據(jù)三角形面積即可求出答案.
2．（2025·遼寧）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，，連接，若，，則的長(zhǎng)為（　　）
A．1 B．5 C．2 D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案為：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，再得到BC的長(zhǎng)，推出AD的長(zhǎng)，接著利用線段差求得DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得CE.
3．（2025·河南）如圖，在菱形ABCD中，，點(diǎn)在邊BC上，連接AE，將沿AE折疊，若點(diǎn) 落在BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，則CF的長(zhǎng)為（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖所示，
由折疊知，
四邊形ABCD是菱形
故答案為：D.
【分析】由于B、C、F在同一條直線上，由折疊的性質(zhì)知，則可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由菱形的四條邊相等，即，則CF可求.
二、填空題
4．（2025·連云港）如圖，長(zhǎng)為3m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8m，則梯子頂端的高度h為　 　m.
【答案】2.4
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的實(shí)際應(yīng)用-梯子滑動(dòng)問題
【解析】【解答】解：如圖，
由題意可知∠ACB=90°，AC=h，
∴
故答案為：2.4.
【分析】根據(jù)題意可知 ∠ACB=90°，AC=h，然后利用勾股定理求出h的值.
5．（2025·廣州）如圖，在中，，平分，已知，，則點(diǎn)B到的距離為　 　．
【答案】10
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；面積及等積變換
【解析】【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H
∵∠C=90°，
∴設(shè)AC=12k，AD=13k
∴
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB
∴DH=DC=5k
設(shè)點(diǎn)B到AD的距離為h
∴
解得：h=10
故答案為：10
【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)AC=12k，AD=13k，根據(jù)勾股定理可得CD，再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得DH=DC=5k，再根據(jù)三角形面積即可求出答案.
6．（2025·廣西）如圖，點(diǎn)在同側(cè)，，則　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)-三線合一
【解析】【解答】解：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E
∵AB=CA，BD=CD
∴AE⊥BC，BE=CE
∵
∴BE=CE=1
∴
∴
故答案為：
【分析】延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得AE⊥BC，BE=CE=1，再根據(jù)勾股定理可得AE，DE，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
7．（2025·東營(yíng)）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形；探索規(guī)律-圖形的循環(huán)規(guī)律
【解析】【解答】解：如圖，∵△CDE為等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED= 90°，
CD2= DE2+CE2=DE2，
∴DE=
∵正方形的邊長(zhǎng)為2
∴DE==
∴面積標(biāo)記為S1的正方形：邊長(zhǎng)為2，面積為：22；
面積標(biāo)記為S2的正方形：邊長(zhǎng)為=，面積為：（）2；
面積標(biāo)記為S3的正方形：邊長(zhǎng)為，面積為：（1）2；
面積標(biāo)記為S4的正方形：邊長(zhǎng)為，面積為：（）2=；
面積標(biāo)記為S5的正方形：邊長(zhǎng)為=，面積為：=；
面積標(biāo)記為S6的正方形：邊長(zhǎng)為=，面積為：=；
……
以此類推，面積標(biāo)記為S2025的正方形面積為：；
的值為.
故答案為：.
【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的計(jì)算發(fā)現(xiàn)后面每一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)=，即可表示出面積，發(fā)現(xiàn)第n個(gè)圖標(biāo)記的，計(jì)算即可解答.
8．（2025·內(nèi)江） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．點(diǎn)E在邊上．將沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為　 　．
【答案】(-1.5，5)
【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：如圖，設(shè)CD交y軸于點(diǎn)G，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，
∵B(1，0)，F(xiàn)(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四邊形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折疊得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
設(shè)EG=x，則DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴點(diǎn)E(-1.5，5).
故答案為：(-1.5，5) .
【分析】設(shè)CD交y軸于點(diǎn)G，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，由B、F的坐標(biāo)可得OB=1，OF=3，由正方形四邊相等、四個(gè)內(nèi)角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，從而由有三個(gè)內(nèi)角為直角的四邊形是矩形得四邊形OBCG是矩形，由矩形的對(duì)邊相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根據(jù)線段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折疊得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，從而可求出GF的長(zhǎng)，設(shè)EG=x，則DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形性質(zhì)可得到點(diǎn)E的坐標(biāo).
9．（2025·內(nèi)江） 如圖，在矩形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，連接，則的最大值是　 　．
【答案】5
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：如圖，連接BF、BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵點(diǎn)G為BE的中點(diǎn)，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)，
∴GH是△BEF的中位線，
∴BF=2GH，
∴當(dāng)BF最大時(shí)，GH最大，
∵點(diǎn)F是CD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，BF最大為10，
∴GH的最大值為5.
故答案為：5 .
【分析】連接BF、BD，由矩形性質(zhì)得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根據(jù)三角形的中位線等于第三邊的一半得出BF=2GH，故當(dāng)BF最大時(shí)，GH最大，而當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，BF最大為10，據(jù)此即可求出答案.
10．（2025·揚(yáng)州）清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡(jiǎn)化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn)．由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為　 　 ．
【答案】11，60，61
【知識(shí)點(diǎn)】勾股數(shù)；探索數(shù)與式的規(guī)律；探索規(guī)律-等式類規(guī)律
【解析】【解答】解：通過觀察得：
第①組勾股數(shù)分別為：
第②組勾股數(shù)分別為：
第③組勾股數(shù)分別為：
第④組勾股數(shù)為： ；
所以第⑤組勾股數(shù)為：2×5+1=11，
故答案為： 11， 60， 61.
【分析】通過觀察，得出規(guī)律：這類勾股數(shù)分別為 由此可寫出第⑤組勾股數(shù).
11．（2025·威海）如圖，小明同學(xué)將正方形硬紙板沿實(shí)線剪開，得到一個(gè)立方體的表面展開圖．若正方形硬紙板的邊長(zhǎng)為12cm，則折成立方體的棱長(zhǎng)為　 　cm．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；正方體的幾種展開圖的識(shí)別
【解析】【解答】解：如圖，設(shè)則
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方體的棱長(zhǎng)為
故答案為：
故答案為：.
【分析】設(shè)表示AE和EB長(zhǎng)，在Rt△EAB中根據(jù)勾股定理列方程求解即可.
12．（2025·宜賓）如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在BC、CD上，且，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在矩形對(duì)角線上，M處．若A、、三點(diǎn)共線，則的值為　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；線段的比
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，F(xiàn)EM= ЕМВ ，
由翻折的性質(zhì)可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
設(shè)BE=ME=x，則AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案為：.
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)再結(jié)合折疊的性質(zhì)得到CE= BE= ME，再根據(jù)等角對(duì)等邊推出AD= AM，設(shè)BE=ME=x，則AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，計(jì)算即可解答.
13．（2025·德陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)，點(diǎn)C在直線m：上，且連接AB，BC，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)落在直線m上，再將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).也落在直線m上.如此下去，…，則的縱坐標(biāo)是　 　.
【答案】2004
【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—邊角關(guān)系；探索規(guī)律-圖形的遞變加循環(huán)規(guī)律
【解析】【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=，
∴直線與y軸交于點(diǎn)(0，)，
∴直線與x軸夾角的正切為，即夾角為30°，
AB=，
∴，
由圖可知每經(jīng)過三次點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在直線m上，且沿著直線m向上移動(dòng)3+4+5=12個(gè)單位長(zhǎng)度，
∵，
即，
∴的縱坐標(biāo)是，
故答案為：2004.
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB和BC長(zhǎng)，即可得到△ABC的周長(zhǎng)，得到規(guī)律經(jīng)過三次點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在直線m上，且沿著直線m向上移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度，即可求出長(zhǎng)，然后求出直線m與x軸的夾角度數(shù)，然后利用30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可.
三、解答題
14．（2025·吉林）如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，以AP為邊作正方形APDE，使點(diǎn)D和點(diǎn)B始終在邊AC同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）（x＞0），正方形APDE與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．
（1）AC的長(zhǎng)為 　 　 ．
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出可變量x的取值范圍．
（3）當(dāng)正方形APDE的對(duì)稱中心與點(diǎn)B重合時(shí)，直接寫出x的值．
【答案】（1）7
（2）解：當(dāng)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（0＜x≤3），
當(dāng)D在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即點(diǎn)P在線段PC上運(yùn)動(dòng)，
如下圖：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴，
∴，
解得：，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴；
（3）解：當(dāng)正方形APDE的對(duì)稱中心與點(diǎn)B重合時(shí)，
∴，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問題；三角形-動(dòng)點(diǎn)問題；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【解答】
解：（1）當(dāng) B，D重合時(shí)，如下圖：
∵∠BAC＝45°，以AP為邊作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （負(fù)的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案為：7；
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AP長(zhǎng)，進(jìn)而求出PC 的值解答即可；
（2）分為點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)和D在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)兩種情況，利用相似三角形的判定和性質(zhì)表示面積即可；
（3）畫出圖形，根據(jù)勾股定理解答即可.
15．（2025·廣州）寬與長(zhǎng)的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．現(xiàn)有一張黃金矩形紙片，長(zhǎng)．如圖1，折疊紙片，點(diǎn)B落在上的點(diǎn)E處，折痕為，連接，然后將紙片展開．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求證：四邊形是黃金矩形；
（3）如圖2，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，折疊紙片，點(diǎn)B落在上的點(diǎn)H處，折痕為，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q．四邊形是否為黃金矩形？如果是，請(qǐng)證明：如果不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）解：∵，矩形是黃金矩形，
∴，
∴
（2）證明：∵折疊黃金矩形紙片，點(diǎn)B落在上的點(diǎn)E處，
∴，，
又∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴四邊形是黃金矩形．
（3）解：四邊形是黃金矩形，證明如下：
∵，四邊形是正方形，
∴，
∴四邊形是矩形；
由（2）可知，，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
如圖，連接，由對(duì)折可得：，，，
設(shè)，則，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四邊形是黃金矩形．
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法
【解析】【分析】（1）根據(jù)黃金矩形的定義即可求出答案.
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得，，再根據(jù)矩形性質(zhì)可得，，，再根據(jù)正方形判定定理可得四邊形是正方形，則=2，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，再根據(jù)矩形判定定理可得四邊形是矩形，則，再根據(jù)黃金矩形的定義進(jìn)行判斷即可求出答案.
（3）根據(jù)矩形判定定理可得四邊形是矩形，則，根據(jù)勾股定理可得FG，連接，由對(duì)折可得：，，，設(shè)，則，根據(jù)割補(bǔ)法，結(jié)合三角形，梯形的面積建立方程，解方程可得x值，再根據(jù)黃金矩形的定義進(jìn)行判斷即可求出答案.
16．（2025·青島）【定義新運(yùn)算】
對(duì)正實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“”，滿足．
例如：當(dāng)時(shí)，．
（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)計(jì)算：　 　；
【探究運(yùn)算律】
對(duì)正實(shí)數(shù)，，運(yùn)算“”是否滿足交換律？
，
，
．
運(yùn)算“”滿足交換律．
（2）對(duì)正實(shí)數(shù)，，，運(yùn)算“”是否滿足結(jié)合律？請(qǐng)說明理由；
（3）【應(yīng)用新運(yùn)算】
如圖，正方形是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成，，，且．若正方形與正方形的面積分別為26和16，則的值為　 　．
【答案】（1）a
（2）解：對(duì)正實(shí)數(shù)，，，運(yùn)算“”滿足結(jié)合律，理由如下：
左邊：，
右邊：，
∴左邊右邊，
∴對(duì)正實(shí)數(shù)，，，運(yùn)算“”滿足結(jié)合律；
（3）
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景；三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案為：a；
（3）由題意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面積為26，
∴a2+b2=26，
∵四個(gè)直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面積為16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍負(fù)) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案為：；
【分析】(1)根據(jù) 定義的運(yùn)算為，代入計(jì)算，再化簡(jiǎn)即可解答；
(2)根據(jù) 定義得運(yùn)算為，先計(jì)算 的左邊，再計(jì)算右邊，觀察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根據(jù)題意利用 正方形與正方形的面積分別為26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根據(jù) 定義的運(yùn)算計(jì)算出(2a)b(2a) =，再整體代值計(jì)算即可解答.
17．（2025·廣東） 《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對(duì)研究直角三角形具有重要意義.若直角三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，則a，b，c為一組“勾股數(shù)”.下表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù).
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）請(qǐng)補(bǔ)全上表中的勾股數(shù).
（2）根據(jù)上表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母(均為正整數(shù))的代數(shù)式分別表示a，b，c，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明.
（3）某校計(jì)劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如題22圖所示的圖案，該圖案是由四個(gè)全等的直角三角形組成.種花要求：僅在三角形邊上種花，每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m.如果每個(gè)三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花
【答案】（1）24
（2）解：若任取兩個(gè)正整數(shù)m和n(m> n)， 則 是勾股數(shù).
∵+ n4
∴以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短邊種21株， 邊長(zhǎng)20cm， 對(duì)應(yīng)勾股數(shù)20， 21， 29
每三角形種花： (株)
四塊綠地一共： (株)
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股數(shù)；探索數(shù)與式的規(guī)律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通過設(shè)定m、n構(gòu)造表達(dá)式，再代數(shù)運(yùn)算驗(yàn)證勾股定理逆定理，證明其為勾股數(shù)通用形式 。
（3）先由種花株數(shù)得邊長(zhǎng)，匹配勾股數(shù)，再用 “株數(shù) = 間隔數(shù) + 1” 算單三角形株數(shù)（去重復(fù)頂點(diǎn) ），最后乘4得總數(shù)，融合勾股數(shù)與植樹問題邏輯 。
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