資源簡介

第2課時　函數奇偶性的應用
學習目標 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.　2.理解奇偶性對單調性的影響并能用于比較大小、求最值和解不等式，培養數學抽象及數學運算的核心素養.
任務一　根據函數奇偶性求函數的解析式
問題1.如果函數f(x)和g(x)都是奇函數，那么你能判斷下列函數：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)的奇偶性嗎？ 如果f(x)和g(x)都是偶函數呢？
提示：能.如果函數f(x)和g(x)都是奇函數，則f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)均為奇函數，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)均為偶函數；如果函數f(x)和g(x)都是偶函數，則f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)都是偶函數.
關于奇、偶函數的幾個性質
(1)兩個奇函數的和(差)仍是奇函數，兩個偶函數的和(差)仍是偶函數.
(2)奇偶性相同的兩個函數的積(商，分母不為零)為偶函數；奇偶性相反的兩個函數的積(商，分母不為零)為奇函數.
(3)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，則f(0)＝0.
(4)如果函數f(x)為偶函數，則f(x)＝f(－x)＝f(｜x｜).
(1)若f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
(2)設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函數f(x)，g(x)的解析式.
解：(1)當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函數，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即當x＜0時，f(x)＝－x2－2x－3.
因為f(x)是R上的奇函數，所以f(0)＝0.
故f(x)＝
(2)因為f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
因為f(x)＋g(x)＝2x＋x2，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
所以f(x)＝x2，g(x)＝2x.
[變式探究]
　(變條件)將本例(1)中的“奇函數”改為“偶函數”，“x＞0”改為“x＜0”，其他條件不變，求函數f(x)的解析式.
解：當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
因為函數f(x)是偶函數，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即當x＜0時，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函數奇偶性求函數解析式的步驟
第一步：“求誰設誰”，即在哪個區間上求解析式，x就應在哪個區間上設；
第二步：轉化到已知區間上，代入已知的解析式；
第三步：利用f(x) 的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x).
對點練1.(1)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x).則當x＜0時，f(x)的解析式為(　　)
A.f(x)＝x(1＋x) B.f(x)＝x(x－1)
C.f(x)＝－x(x＋1) D.f(x)＝x(1－x)
(2)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x，則f(1)＋g(1)＝(　　)
A.1 B.3
C.－3 D.－1
答案：(1)D　(2)D
解析：(1)由題意知，當x＜0時，f(x)＝－f(－x)＝－＝x(1－x).故選D.
(2)因為f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，則有：f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x①，將其中的x取為－x，則可化簡得，f(－x)－g(－x)＝f(x)＋g(x)＝－x3＋x2－x②，由①②聯立可求得，f(x)＝x2，g(x)＝－x3－x，于是f(1)＋g(1)＝1－1－1＝－1.故選D.
任務二　利用函數奇偶性與單調性比較大小
問題2.想一想奇函數與偶函數的圖象特點，如果奇函數在(－2，－1)上單調遞減，那么它在(1，2)上的單調性如何？如果偶函數在(－2，－1)上單調遞減，那么它在(1，2)上的單調性又如何？
提示：奇函數在(1，2)上單調遞減，偶函數在(1，2)上單調遞增.
若a，b符號相同
1.若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a＜b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調遞增，即在對稱區間上單調性一致(相同).
2.若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a＜b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調遞減，即在對稱區間上單調性相反.
3.若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a＜b)上有最大值為M，則f(x)在[－b，－a]上有最小值為－M.
4.若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a＜b)上有最大值為N，則f(x)在[－b，－a]上有最大值為N.
(1)已知偶函數f(x)在(－∞，0]上單調遞減，則下列結論正確的是(　　)
A.f(－1)＞f(5)＞f(2) B.f(2)＞f(－1)＞f(5)
C.f(－1)＞f(2)＞f(5) D.f(5)＞f(2)＞f(－1)
(2)已知f(x)是奇函數，且在區間[0，＋∞)上單調遞增，則f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小關系是(　　)
A.f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)
B.f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C.f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)
D.f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
答案：(1)D　(2)B
解析：(1)由題意知，函數f(x)在上單調遞增，且f(－x)＝f(x)，f(－1)＝f(1)＜f(2)＜f(5).故選D.
(2)因為函數f(x)為奇函數，且f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)在R上單調遞增，所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0).故選B.
v
利用函數奇偶性與單調性比較大小的求解策略
1.若自變量在同一個單調區間上，直接利用函數的單調性比較大小.
2.若自變量不在同一個單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一個單調區間上，然后利用單調性比較大小.
對點練2.(1)已知定義在[2a－1，3a]上的奇函數f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關系為(　　)
A.f(a)＞f(b)＞f(c) B.f(c)＞f(b)＞f(a)
C.f(b)＞f(a)＞f(c) D.f(b)＞f(c)＞f(a)
(2)已知函數f(x)＝，則(　　)
A.f＞f＞f(－1)
B.f＞f＞f(－1)
C.f＞f(－1)＞f
D.f(－1)＞f＞f
答案：(1)D　(2)A
解析：(1)由題意可得2a－1＝－3a，所以a＝，因為函數f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)為奇函數，所以所以函數f(x)＝x3＋x，又函數f(x)＝x3＋x在上為單調遞增函數，且b＞c＞a，所以f(b)＞f(c)＞f(a).故選D.
(2)由函數f(x)＝有意義，則滿足4－x2＞0，解得－2＜x＜2，所以函數f(x)的定義域為，又由f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得f(x)是上的奇函數.當0＜x＜2時，函數f(x)＝＝＝，因為y＝－1在(0，2)上為單調遞減函數，可得f(x)在(0，2)上為單調遞增函數，又因為f(x)是上的奇函數，所以f(x)在(－2，0)上為單調遞增函數，因為x∈(0，2)時，f(x)＞0，x∈(－2，0)時，f(x)＜0，f(0)＝0，所以函數f(x)是上的單調遞增函數，因為＞＞－1，所以f＞f＞f(－1).故選A.
任務三　利用函數的單調性與奇偶性解不等式
設定義在[－2，2]上的奇函數f(x)在區間[0，2]上單調遞減，若f(1－m)＜f(m)，求實數m的取值范圍.
解：因為f(x)是奇函數且f(x)在[0，2]上單調遞減，
所以f(x)在[－2，2]上單調遞減.
所以不等式f(1－m)＜f(m)等價于
解得－1≤m＜.
所以實數m的取值范圍為［－1，).
[變式探究]
1.(變條件)若把本例中“f(1－m)＜f(m)”改為“f(1＋m)＋f(m)＜0”，求實數m的取值范圍.
解：由題意知f(x)為奇函數，且在定義域[－2，2]上單調遞減，
所以不等式f(1＋m)＋f(m)＜0，
即f(1＋m)＜－f(m)＝f(－m).
則解得－＜m≤1.
故實數m的取值范圍為.
2.(變條件)設定義在[－2，2]上的偶函數f(x)在區間[－2，0]上單調遞減，若f(1－m)＜f(m)，求實數m的取值范圍.
解：因為f(x)為偶函數，且在區間[－2，0]上單調遞減，所以f(x)在[0，2]上單調遞增.
所以不等式f(1－m)＜f(m)等價于f(｜1－m｜)＜f(｜m｜)，則｜1－m｜＜｜m｜≤2，解得＜m≤2.
故實數m的取值范圍為.
利用函數奇偶性與單調性解不等式的步驟
第一步：將所給的不等式轉化為兩個函數值的大小關系；
第二步：由已知或利用奇偶性得出在區間上的單調性，再利用單調性“脫去”函數的對應法則“f”，轉化為解不等式(組)的問題.
對點練3.(1)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝ax＋1，若f(－3)＝8，則不等式f(x)＞的解集為(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
(2)定義在[－1，1]上的偶函數f(x)，當x≥0時，f(x)為減函數，則滿足不等式f＜f的實數m的取值范圍是　　　　　　　　　.
答案：(1)A　(2)∪
解析：(1)因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－3)＝－f(3)＝8，則f(3)＝－8，則3a＋1＝－8，即a＝－3，即當x＞0時，f(x)＝－3x＋1，設x＜0，則－x＞0，則f(x)＝－f(－x)＝－[－3(－x)＋1]＝－3x－1，則當x＞0時，由f(x)＞可得－3x＋1＞，解得0＜x＜，當x＜0時，由f(x)＞可得－3x－1＞，解得x＜－，所以不等式的解集為∪.故選A.
(2)因為函數f(x)是定義在[－1，1]上的偶函數，所以f＜f等價于f＜f，因為當x≥0時，f(x)為減函數，則解得－2≤m＜－，或－＜m≤0，所以實數m的取值范圍是［－2，－)∪(－，0］.
[教材拓展5]　奇偶函數與對稱性(源于教材P65B組T3)
常用結論：
1.函數 y＝f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x＋a)－b為奇函數.
2.函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a成軸對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x＋a)為偶函數.
(1)已知函數y＝f(2x－1)的圖象關于點對稱，則下列函數是奇函數的是(　　)
A.y＝f＋1 B.y＝f＋1
C.y＝f－1 D.y＝f－1
(2)已知函數f(x＋1)為偶函數，當x＞1時，f(x)＝x2－4x＋1，則當x＜1時，f(x)＝　　　　.
(3)已知函數f(x)定義域為[a－1，2a]，且y＝f(x－1)的圖象關于x＝1對稱，當x∈[0，2a]時，f(x)單調遞減，則關于x的不等式f(x－1)＞f(2x－3a)的解集是　　　　.
答案：(1)B　(2)x2－3　(3)
解析：(1)因為函數y＝f(2x－1)的圖象關于點(1，－1)對稱，所以將函數圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，可以得到函數y＝f(2(x＋1)－1)＋1，其圖象關于原點對稱，即y＝f(2x＋1)＋1圖象關于原點對稱，函數為奇函數.故選B.
(2)由f(x＋1)是偶函數可得：f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(2－x)，所以當x＜1時，2－x＞1，即f(x)＝f(2－x)＝(2－x)2－4(2－x)＋1＝x2－3.
(3)因為函數y＝f(x－1)的圖象關于x＝1對稱，則f(－x)＝f(x)，故函數f(x)是定義在上的偶函數，則a－1＋2a＝0，解得a＝，所以函數f(x)是定義在上的偶函數，由題意可知，函數f(x)在上單調遞減，由f(x－1)＞f(2x－1)可得f＞f，所以＜x≤.因此不等式f(x－1)＞f.
任務 再現 1.利用奇偶性求函數的解析式.2.利用奇偶性和單調性比較大小、解不等式
方法 提煉 轉化法、數形結合法
易錯 警示 解不等式時易忽視函數的定義域
1.已知偶函數f(x)，當x＞0時，f(x)＝x2＋x，則當x＜0時，f(x)＝(　　)
A.－x2＋x B.－x2－x
C.x2＋x D.x2－x
答案：D
解析：當x＜0，則－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，又f(x)為偶函數，所以當x＜0時，f(x)＝f(－x)＝x2－x.故選D.
2.若奇函數f(x)在區間[3，7]上單調遞增，且最小值為5，則f(x)在區間[－7，－3]上(　　)
A.單調遞增且有最大值－5
B.單調遞增且有最小值－5
C.單調遞減且有最大值－5
D.單調遞減且有最小值－5
答案：A
解析：因為f(x)在區間[3，7]上單調遞增，且最小值為5，所以f(3)＝5.由奇函數在對稱區間上單調性相同，可知f(x)在區間[－7，－3]上單調遞增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故選A.
3.已知定義在R上的奇函數f(x)在(－∞，0]上單調遞增，則不等式f(x＋1)＞f(2x)的解集為(　　)
A.(－∞，－1) B.(－∞，－1]
C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
答案：C
解析：因為奇函數f(x)在(－∞，0]上單調遞增，所以f(x)在R上單調遞增，因為f(x＋1)＞f(2x)，所以x＋1＞2x，解得x＜1，所以不等式的解集為(－∞，1).故選C.
4.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)＝2x(x＋4)，則函數f(x)在R上的表達式為　　　　.
答案：f(x)＝
解析：當x＜0時，－x＞0，故f(－x)＝－2x(－x＋4)＝2x(x－4)，故f(x)＝f(－x)＝2x(x－4)，所以f(x)＝
課時分層評價21　函數奇偶性的應用
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.設f(x)為奇函數，且當x≥0時，f(x)＝x3＋x，則當x＜0時，f(x)＝(　　)
A.－x3＋x B.－x3－x
C.x3－x D.x3＋x
答案：D
解析：f(x)為奇函數，當x≥0時，f(x)＝x3＋x，則當x＜0時，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋(－x)]＝x3＋x.故選D.
2.下列函數中，既是奇函數又是增函數的為(　　)
A.y＝x2 B.y＝x5＋1
C.y＝ D.y＝x3
答案：D
解析：對于A，y＝x2是偶函數，故A錯誤；對于B，y＝x5＋1是非奇非偶函數，故B錯誤；對于C，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞減，故C錯誤；對于D，y＝x3既是奇函數又是增函數，故D正確.故選D.
3.若奇函數f(x)在區間[3，6]上單調遞增，且在區間[3，6]上的最大值為7，最小值為－1，則f(－3)＋2f(－6)＝(　　)
A.13 B.－13
C.5 D.－5
答案：B
解析：由f(x)在區間[3，6]上單調遞增，在區間[3，6]上的最大值為7，最小值為－1，得f(3)＝－1，f(6)＝7.因為f(x)是奇函數，所以f(－3)＝－f(3)＝1，f(－6)＝－f(6)＝－7，所以f(－3)＋2f(－6)＝1＋2×(－7)＝－13.故選B.
4.已知函數f(x)為奇函數，函數g(x)為偶函數，f(x)＋g(x)＝x2－x＋1，則f(1)＝(　　)
A.1 B.－1
C.2 D.－2
答案：B
解析：因為f(x)＋g(x)＝x2－x＋1①，所以f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋1，因為f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋1②，①－②得2f(x)＝－2x，所以f(x)＝－x，則f(1)＝－1.故選B.
5.(多選題)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x∈時，f(x)＝x2＋x，則下列說法正確的是(　　)
A.f(－1)＝－2
B.f(x)在定義域R上為增函數
C.當x∈(－∞，0)時，f(x)＝x2－x
D.不等式f(x－1)＜2的解集為
答案：CD
解析：對于A，因為f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(x)＝f(－x)，又當x∈時，f(x)＝x2＋x，所以f(－1)＝f(1)＝2，故A錯誤；對于B，由二次函數y＝x2＋x＝－可知，f(x)在上單調遞增，又因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，即f(x)的圖象關于y軸對稱，所以f(x)在(－∞，0)上單調遞減，故B錯誤；對于C，當x∈(－∞，0)時，－x∈(0，＋∞)，則f(x)＝f(－x)＝x2－x，故C正確；對于D，由f(x)的奇偶性與單調性可知，f(x－1)＜2可化為f＜f(1)，所以＜1，解得0＜x＜2，故D正確.故選CD.
6.已知定義在區間[－2，2]上的偶函數f(x)，對任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，都有＞0成立，若f(2＋m)＜f(2m)，則實數m的取值范圍為(　　)
A.(－1，－) B.［－1，－)
C.(－1，0) D.(－∞，－)
答案：B
解析：由 x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，都有＞0成立，得函數f(x)在[0，2]上單調遞增，又函數f(x)是[－2，2]上的偶函數，則f(2＋m)＜f(2m) f(｜2＋m｜)＜f(｜2m｜)，因此｜m＋2｜＜｜2m｜≤2，解得－1≤m＜－，所以實數m的取值范圍為［－1，－).故選B.
7.函數f(x)是R上的偶函數，且當x＞0時，函數的解析式為f(x)＝－1，則f(－1)＝　　　　；當x＜0時，函數的解析式為　　　　　　　　　.
答案：1　f(x)＝－－1
解析：因為函數f(x)是R上的偶函數，且當x＞0時，函數的解析式為f(x)＝－1，所以f(－1)＝f(1)＝2－1＝1，設x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－－1，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－－1，即當x＜0時，函數的解析式為f(x)＝－－1.
8.(開放題)若f(x)是R上的奇函數，且在上單調遞減，則函數f(x)的解析式可以為f(x)＝　　　　.(寫出符合條件的一個解析式即可)
答案：－x(答案不唯一)
解析：由函數f(x)是R上的奇函數，且在上單調遞減，可取函數f(x)＝－x(答案不唯一).
9.已知f(x)是定義域為(－1，1)的奇函數，而且f(x)是減函數，如果f(m－2)＋f(2m－3)＞0，那么實數m的取值范圍是　　　　　　.
答案：
解析：因為f(x)是定義域為(－1，1)的奇函數，而且f(x)是減函數，由f(m－2)＋f(2m－3)＞0，即f(m－2)＞－f(2m－3)＝f(3－2m)，所以解得1＜m＜，所以實數m的取值范圍是.
10.(10分)函數y＝f(x)是偶函數，且在(－∞，0]上是減函數.
(1)比較f(－1)與f(2)的大小；
(2)試比較f(－)與f(2a2－a＋1)的大小.
解：(1)因為函數y＝f(x)是偶函數，
所以f(2)＝f(－2)，
又f(x)在(－∞，0]上是減函數，－2＜－1＜0，所以有f(－2)＞f(－1)，即f(－1)＜f(2).
(2)因為函數y＝f(x)是偶函數，且在(－∞，0]上是減函數，
所以y＝f(x)的圖象關于y軸對稱，則f(x)在上單調遞增，
因為2a2－a＋1＝2＋≥＞0，
所以f≥f，
又因為f(－)＝f()，
所以f(－)≤f.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.已知a＞0，設函數f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z.若f(x)的最大值為M，最小值為m，則M和m的值可能為(　　)
A.4和3 B.3和1
C.5和2 D.7和4
答案：B
解析：設g(x)＝x5＋2x，則g(x)＝x5＋2x為奇函數，函數g(x)＝x5＋2x在[－a，a]上的最大值與最小值的和為0，所以函數f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z的最大值M，最小值m滿足M＋m＝2b，為偶數.故選B.
12.(多選題)已知函數f(x)與g(x)的定義域均為R，且f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，則下列說法正確的有(　　)
A.g(2)＝9
B.f(x)在R上單調遞增
C.f(x)·g(x)為奇函數
D.xf(x)≤0
答案：ACD
解析：f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，則f(－x)＋g(－x)＝2x2＋x＋1，即－f(x)＋g(x)＝2x2＋x＋1，解得f(x)＝－x，g(x)＝2x2＋1.對于A，g(2)＝9，故A正確；對于B，f(x)＝－x在R上單調遞減，故B錯誤；對于C，設F(x)＝f(x)·g(x)，函數定義域為R，F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，函數為奇函數，故C正確；對于D，xf(x)＝－x2≤0，故D正確.故選ACD.
13.f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)＝x2＋x，則x＜0時，f(x)＝　　　　；不等式f(2x＋1)＋f(－5)＞0的解集是　　　　.
答案： －x2＋x　(2，＋∞)
解析：當x＜0時，－x＞0，所以f(－x)＝x2－x，因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x，所以x＜0時，f(x)＝－x2＋x；由f(2x＋1)＋f(－5)＞0可得：f(2x＋1)＞－f(－5)＝f(5)，當x≥0時，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上單調遞增，因為f(x)是奇函數，所以f(x)在R上單調遞增，所以2x＋1＞5，所以x＞2，所以不等式的解集為(2，＋∞).
14.(10分)已知函數f(x)為[－1，1]上的奇函數，當x∈[－1，0]時，f(x)＝x2－ax＋b，且f(－1)＝2.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)若函數f(x)滿足不等式f＞f，求實數t的取值范圍.
解：(1)因為函數f(x)為[－1，1]上的奇函數，且當x∈[－1，0]時，f(x)＝x2－ax＋b，
所以f(0)＝b＝0，又f(－1)＝1＋a＝2，解得a＝1，所以當x∈[－1，0]時，f(x)＝x2－x，
設0＜x≤1，則－1≤－x＜0，所以f(－x)＝x2＋x＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－x，
所以f(x)＝
(2)由(1)知f(x)＝可得f(x)在[－1，1]上是減函數，
又f(x)為奇函數，f＞f，所以解得0≤t＜，
所以實數t的取值范圍是［0，).
15.(5分)(開放題)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數，則f(x)＝　　　　　.
①定義域為R，值域為；②y＝f(x)在定義域內是偶函數；③f(x)＝0有3個根.
答案：x2－2｜x｜(答案不唯一)
解析：根據題意，取函數f(x)＝x2－2｜x｜，可得函數f(x)＝x2－2｜x｜＝(｜x｜－1)2－1的定義域為R，值域為，故①符合；因為f(－x)＝x2－2｜x｜＝f(x)，所以函數f(x)為偶函數，故②符合；令f(x)＝x2－2｜x｜＝0，解得x＝0或x＝±2，所以y＝f(x)的圖象與x軸有3個交點，即f(x)＝0有3個根，所以③符合.綜上，函數f(x)＝x2－2｜x｜符合題意(答案不唯一).
16.(15分)已知函數f(x)＝是定義在[－1，1]上的奇函數，且f(1)＝1.
(1)求m，n的值；
(2)判斷f(x)的單調性，并用定義法證明你的結論；
(3)求使f(a－1)＋f＜0成立的實數a的取值范圍.
解：(1)由題意可知f(0)＝0，故n＝0，
又由f(1)＝1可得f(1)＝＝1，解得m＝2；所以f(x)＝，x∈[－1，1]，
此時f(x)定義域關于原點對稱，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數，滿足題意，所以m＝2，n＝0.
(2)f(x)在[－1，1]上單調遞增，證明如下：
取任意x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因為x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
所以x1－x2＜0，＋1＞0，＋1＞0，x1x2＜1，
所以1－x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＝＜0，即f(x1)＜f(x2)，
因此f(x)在[－1，1]上單調遞增.
(3)由(1)(2)可知，f(x)是在[－1，1]上單調遞增的奇函數，
所以由f(a－1)＋f(a2－1)＜0可得f(a－1)＜－f(a2－1)＝f(1－a2)，
因此需滿足
解得即0≤a＜1.
故實數a的取值范圍為.
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第2課時　函數奇偶性的應用
　
第二章　§4　4.1　函數的奇偶性
學習目標
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.　
2.理解奇偶性對單調性的影響并能用于比較大小、求最值和解不等式，培養數學抽象及數學運算的核心素養.
任務一　根據函數奇偶性求函數的解析式
問題導思
關于奇、偶函數的幾個性質
(1)兩個奇函數的和(差)仍是________，兩個偶函數的和(差)仍是________.
(2)奇偶性相同的兩個函數的積(商，分母不為零)為________；奇偶性相反的兩個函數的積(商，分母不為零)為________.
(3)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，則_________.
(4)如果函數f(x)為偶函數，則f(x)＝f(－x)＝f(｜x｜).
新知構建
奇函數
偶函數
偶函數
奇函數
f(0)＝0
典例
1
(2)設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函數f(x)，g(x)的解析式.
解：因為f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
因為f(x)＋g(x)＝2x＋x2，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
所以f(x)＝x2，g(x)＝2x.
變式探究
　(變條件)將本例(1)中的“奇函數”改為“偶函數”，“x＞0”改為“x＜0”，其他條件不變，求函數f(x)的解析式.
解：當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
因為函數f(x)是偶函數，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即當x＜0時，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函數奇偶性求函數解析式的步驟
第一步：“求誰設誰”，即在哪個區間上求解析式，x就應在哪個區間上設；
第二步：轉化到已知區間上，代入已知的解析式；
第三步：利用f(x) 的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x).
規律方法
對點練1.(1)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x).則當x＜0時，f(x)的解析式為
A.f(x)＝x(1＋x) B.f(x)＝x(x－1)
C.f(x)＝－x(x＋1) D.f(x)＝x(1－x)
√
(2)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x，則f(1)＋g(1)＝
A.1 B.3
C.－3 D.－1
因為f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，則有：f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x①，將其中的x取為－x，則可化簡得，f(－x)－g(－x)＝f(x)＋g(x)＝－x3＋x2－x②，由①②聯立可求得，f(x)＝x2，g(x)＝－x3－x，于是f(1)＋g(1)＝1－1－1＝－1.故選D.
√
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任務二　利用函數奇偶性與單調性比較大小
問題2.想一想奇函數與偶函數的圖象特點，如果奇函數在(－2，－1)上單調遞減，那么它在(1，2)上的單調性如何？如果偶函數在(－2，－1)上單調遞減，那么它在(1，2)上的單調性又如何？
提示：奇函數在(1，2)上單調遞減，偶函數在(1，2)上單調遞增.
問題導思
若a，b符號相同
1.若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a＜b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上__________，即在對稱區間上單調性____________.
2.若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a＜b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上__________，即在對稱區間上單調性______.
3.若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a＜b)上有最大值為M，則f(x)在[－b，－a]上有最小值為______.
4.若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a＜b)上有最大值為N，則f(x)在[－b，－a]上有最大值為____.
新知構建
單調遞增
一致(相同)
單調遞減
相反
－M
N
(1)已知偶函數f(x)在(－∞，0]上單調遞減，則下列結論正確的是
A.f(－1)＞f(5)＞f(2) B.f(2)＞f(－1)＞f(5)
C.f(－1)＞f(2)＞f(5) D.f(5)＞f(2)＞f(－1)
√
典例
2
(2)已知f(x)是奇函數，且在區間[0，＋∞)上單調遞增，則f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小關系是
A.f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B.f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C.f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D.f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
√
因為函數f(x)為奇函數，且f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)在R上單調遞增，所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0).故選B.
利用函數奇偶性與單調性比較大小的求解策略
1.若自變量在同一個單調區間上，直接利用函數的單調性比較大小.
2.若自變量不在同一個單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一個單調區間上，然后利用單調性比較大小.
規律方法
對點練2.(1)已知定義在[2a－1，3a]上的奇函數f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關系為
A.f(a)＞f(b)＞f(c) B.f(c)＞f(b)＞f(a)
C.f(b)＞f(a)＞f(c) D.f(b)＞f(c)＞f(a)
√
√

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任務三　利用函數的單調性與奇偶性解不等式
典例
3
利用函數奇偶性與單調性解不等式的步驟
第一步：將所給的不等式轉化為兩個函數值的大小關系；
第二步：由已知或利用奇偶性得出在區間上的單調性，再利用單調性“脫去”函數的對應法則“f”，轉化為解不等式(組)的 問題.
規律方法
√


[教材拓展5]　奇偶函數與對稱性(源于教材P65B組T3)
常用結論：
1.函數 y＝f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x＋a)－b為奇函數.
2.函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a成軸對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x＋a)為偶函數.
典例
4
√
因為函數y＝f(2x－1)的圖象關于點(1，－1)對稱，所以將函數圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，可以得到函數y＝f(2(x＋1)－1)＋1，其圖象關于原點對稱，即y＝f(2x＋1)＋1圖象關于原點對稱，函數為奇函數.故選B.
(2)已知函數f(x＋1)為偶函數，當x＞1時，f(x)＝x2－4x＋1，則當x＜1時，f(x)＝__________.
x2－3
由f(x＋1)是偶函數可得：f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(2－x)，所以當x＜1時，2－x＞1，即f(x)＝f(2－x)＝(2－x)2－4(2－x)＋1＝x2－3.
(3)已知函數f(x)定義域為[a－1，2a]，且y＝f(x－1)的圖象關于x＝1對稱，當x∈[0，2a]時，f(x)單調遞減，則關于x的不等式f(x－1)＞f(2x－3a)的解
集是__________.


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課堂小結
任務
再現 1.利用奇偶性求函數的解析式.2.利用奇偶性和單調性比較大小、解不等式
方法
提煉 轉化法、數形結合法
易錯
警示 解不等式時易忽視函數的定義域
隨堂評價
1.已知偶函數f(x)，當x＞0時，f(x)＝x2＋x，則當x＜0時，f(x)＝
A.－x2＋x B.－x2－x
C.x2＋x D.x2－x
√
當x＜0，則－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，又f(x)為偶函數，所以當x＜0時，f(x)＝f(－x)＝x2－x.故選D.
2.若奇函數f(x)在區間[3，7]上單調遞增，且最小值為5，則f(x)在區間[－7，－3]上
A.單調遞增且有最大值－5 B.單調遞增且有最小值－5
C.單調遞減且有最大值－5 D.單調遞減且有最小值－5
√
因為f(x)在區間[3，7]上單調遞增，且最小值為5，所以f(3)＝5.由奇函數在對稱區間上單調性相同，可知f(x)在區間[－7，－3]上單調遞增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故選A.
3.已知定義在R上的奇函數f(x)在(－∞，0]上單調遞增，則不等式f(x＋1)＞f(2x)的解集為
A.(－∞，－1) B.(－∞，－1]
C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
√
因為奇函數f(x)在(－∞，0]上單調遞增，所以f(x)在R上單調遞增，因為f(x＋1)＞f(2x)，所以x＋1＞2x，解得x＜1，所以不等式的解集為(－∞，1).故選C.
4.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)＝2x(x＋4)，則函數f(x)在R上的表達式為______________________.

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課時分層評價
1.設f(x)為奇函數，且當x≥0時，f(x)＝x3＋x，則當x＜0時，f(x)＝
A.－x3＋x B.－x3－x
C.x3－x D.x3＋x
√
f(x)為奇函數，當x≥0時，f(x)＝x3＋x，則當x＜0時，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋(－x)]＝x3＋x.故選D.
√
3.若奇函數f(x)在區間[3，6]上單調遞增，且在區間[3，6]上的最大值為7，最小值為－1，則f(－3)＋2f(－6)＝
A.13 B.－13
C.5 D.－5
√
由f(x)在區間[3，6]上單調遞增，在區間[3，6]上的最大值為7，最小值為－1，得f(3)＝－1，f(6)＝7.因為f(x)是奇函數，所以f(－3)＝－f(3)＝1，f(－6)＝－f(6)＝－7，所以f(－3)＋2f(－6)＝1＋2×(－7)＝－13.故選B.
4.已知函數f(x)為奇函數，函數g(x)為偶函數，f(x)＋g(x)＝x2－x＋1，則f(1)＝
A.1 B.－1
C.2 D.－2
√
因為f(x)＋g(x)＝x2－x＋1①，所以f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋1，因為f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋1②，①－②得2f(x)＝－2x，所以f(x)＝－x，則f(1)＝－1.故選B.
√
√

√


1
－x(答案不唯一)
9.已知f(x)是定義域為(－1，1)的奇函數，而且f(x)是減函數，如果f(m－2)＋f(2m－3)＞0，那么實數m的取值范圍是__________.


10.(10分)函數y＝f(x)是偶函數，且在(－∞，0]上是減函數.
(1)比較f(－1)與f(2)的大小；
解：因為函數y＝f(x)是偶函數，
所以f(2)＝f(－2)，
又f(x)在(－∞，0]上是減函數，－2＜－1＜0，所以有f(－2)＞f(－1)，即f(－1)＜f(2).
11.已知a＞0，設函數f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z.若f(x)的最大值為M，最小值為m，則M和m的值可能為
A.4和3 B.3和1
C.5和2 D.7和4
√
設g(x)＝x5＋2x，則g(x)＝x5＋2x為奇函數，函數g(x)＝x5＋2x在[－a，a]上的最大值與最小值的和為0，所以函數f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z的最大值M，最小值m滿足M＋m＝2b，為偶數.故選B.
12.(多選題)已知函數f(x)與g(x)的定義域均為R，且f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，則下列說法正確的有
A.g(2)＝9 B.f(x)在R上單調遞增
C.f(x)·g(x)為奇函數 D.xf(x)≤0
√
f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，則f(－x)＋g(－x)＝2x2＋x＋1，即－f(x)＋g(x)＝2x2＋x＋1，解得f(x)＝－x，g(x)＝2x2＋1.對于A，g(2)＝9，故A正確；對于B，f(x)＝－x在R上單調遞減，故B錯誤；對于C，設F(x)＝f(x)·g(x)，函數定義域為R，F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，函數為奇函數，故C正確；對于D，xf(x)＝－x2≤0，故D正確.故選ACD.
√
√
13.f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)＝x2＋x，則x＜0時，f(x)＝__________；不等式f(2x＋1)＋f(－5)＞0的解集是__________.
－x2＋x
(2，＋∞)
當x＜0時，－x＞0，所以f(－x)＝x2－x，因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x，所以x＜0時，f(x)＝－x2＋x；由f(2x＋1)＋f(－5)＞0可得：f(2x＋1)＞－f(－5)＝f(5)，當x≥0時，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上單調遞增，因為f(x)是奇函數，所以f(x)在R上單調遞增，所以2x＋1＞5，所以x＞2，所以不等式的解集為(2，＋∞).
x2－2｜x｜(答案不唯一)
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