資源簡(jiǎn)介

1.2　集合的基本關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解子集、真子集、集合相等的概念.　2.能用符號(hào)和Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系.體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).　3.掌握列舉有限集的所有子集的方法.
任務(wù)一　集合的基本關(guān)系
問(wèn)題1.觀察下面的幾個(gè)例子，請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)出它們之間的“包含”關(guān)系：
(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(2)C為某中學(xué)高一(2)班全體女生組成的集合，D為這個(gè)班全體學(xué)生組成的集合；
(3)A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{偶數(shù)}.
提示：(1)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.(2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C.(3)集合A包含集合B，集合B也包含集合A.
1.Venn圖
為了直觀地表示集合間的關(guān)系，常用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合，稱為Venn圖.
2.子集、真子集、集合相等
定義 符號(hào)表示 圖形表示
子 集 一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都屬于集合B，即若a∈A，則a∈B，那么稱集合A是集合B的子集 A B(或B A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”) 或
集 合 相 等 對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么稱集合A與集合B相等 A＝B
真 子 集 對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果A B，且A≠B，那么稱集合A是集合B的真子集 A B(或B A)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
3.子集的性質(zhì)
(1)任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即A A.
(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.
[微提醒]　(1)用Venn圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)是能直觀地表示集合間的關(guān)系，缺點(diǎn)是集合元素的公共特征不明顯.(2)在真子集的定義中，A，B首先要滿足A B，且A≠B.(3)若出現(xiàn)A B時(shí)，應(yīng)討論A＝ 和A≠ 兩種情形.(4)若A B，且B C，則A C.
(1)(多選題)下列表述正確的是(　　)
A.{2，1，0} {0，1，2} B.{(2，4)}＝{(4，2)}
C. {0，1，2} D.0 {0}
答案：AC
解析：對(duì)于A，因?yàn)槿魏渭鲜潜旧淼淖蛹詛2，1，0} {0，1，2}，故A正確；對(duì)于B，{(2，4)}≠{(4，2)}，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?是任何集合的子集，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵嘏c集合間的關(guān)系是“∈”與“ ”，故D錯(cuò)誤.故選AC.
(2)(鏈教材P7練習(xí)T2)判斷下列各組中兩個(gè)集合之間的關(guān)系：
①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
②A＝{x｜x是等邊三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}；
③A＝(－1，4)，B＝{x｜x－5＜0}；
④M＝{x｜x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x｜x＝2n＋1，n∈N＋}.
解：①集合A的元素是數(shù)，集合B的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，故A與B之間無(wú)包含關(guān)系.
②等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故A B.
③集合B＝{x｜x＜5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如圖所示，由圖可知A B.
④由列舉法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M.
判斷集合基本關(guān)系的常用方法
對(duì)點(diǎn)練1.(1)能正確表示集合M＝{x∈R｜0≤x≤2}和集合N＝{x∈R｜x2－x＝0}關(guān)系的Venn圖是(　　)
(2)(多選題)若集合A＝，集合B＝，則A，B的關(guān)系不成立的是(　　)
A.A B B.A＝B
C.A B D.B A
答案：(1)B　(2)ABC
解析：(1)由x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其對(duì)應(yīng)的Venn圖如選項(xiàng)B所示.
(2)由B＝{x｜x＝2(2n－1)＋1，n∈Z}，而A＝，所以B A，故不成立的有A，B，C.故選ABC.
任務(wù)二　子集、真子集的個(gè)數(shù)
問(wèn)題2.填寫(xiě)下表，回答后面的問(wèn)題：
集合 元素個(gè)數(shù) 所有子集 子集個(gè)數(shù)
{a} 1
{a，b} 2
{a，b，c} 3
{a，b，c，d} 4
(1)你能找出“元素個(gè)數(shù)”與“子集個(gè)數(shù)”之間關(guān)系的規(guī)律嗎？
(2)如果一個(gè)集合的元素的個(gè)數(shù)為n，你能用n表示出這個(gè)集合的子集、真子集的個(gè)數(shù)嗎？
提示：
集合 元素 個(gè)數(shù) 所有子集 子集 個(gè)數(shù)
{a} 1 ，{a} 2
{a，b} 2 ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} 3 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
{a，b，c，d} 4 ，{a}，{b}，{c}，k8mqohq，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16
(1)能.(2)子集個(gè)數(shù)為2n，真子集個(gè)數(shù)為2n－1.
　　如果一個(gè)集合的元素的個(gè)數(shù)為n，那么這個(gè)集合的子集的個(gè)數(shù)為2n個(gè)；真子集的個(gè)數(shù)為2n－1個(gè)；非空子集的個(gè)數(shù)為2n－1個(gè)；非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2個(gè).
(鏈教材P7例4)已知集合A＝{x｜ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，列舉集合A的子集并指出有多少個(gè)真子集.
解：依題意得4a－10＋6＝0，解得a＝1.
則x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3，
所以A＝{2，3}.
所以集合A的子集有 ，{2}，{3}，{2，3}，共4個(gè).真子集有 ，{2}，{3}，共3個(gè).
求有限集合的子集或真子集個(gè)數(shù)的思路
對(duì)點(diǎn)練2.已知集合A＝{(x，y)｜x＋y＝2，x，y∈N}，試寫(xiě)出A的所有子集及真子集.
解：因?yàn)锳＝{(x，y)｜x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
所以A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，
{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
A的真子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}.
任務(wù)三　由集合間的關(guān)系求參數(shù)(范圍)
已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，若A B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為　　　　.
答案：{m｜3≤m≤4}
解析：因?yàn)锳＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，且A B，所以解得3≤m≤4，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m｜3≤m≤4}.
[變式探究]
1.(變條件)將“A B”改為“B A”，其他條件保持不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為　　　　.
答案：{m｜m＜－5}
解析：①當(dāng)B＝ 時(shí)，有m－6＞2m－1，則m＜－5，此時(shí)B A成立；②當(dāng)B≠ 時(shí)，B A，此時(shí)滿足不等式組的解集為 .由①②可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m｜m＜－5}.
2.(變條件)將“A＝{x｜－2≤x≤5}”改為“A＝{x｜－2＜x＜5}”，其他條件保持不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為　　　　.
答案：{m｜3≤m≤4}
解析：因?yàn)锳＝{x｜－2＜x＜5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，且A B，所以解得3≤m≤4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m｜3≤m≤4}.
3.(變條件)將“B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}”改為“B＝{x｜m－6＜x＜2m－1}”，其他條件保持不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為　　　　.
答案：{m｜3＜m＜4}
解析：因?yàn)锳＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6＜x＜2m－1}，且A B，所以解得3＜m＜4.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m｜3＜m＜4}.
由集合間的關(guān)系求參數(shù)的方法
1.當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時(shí)，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時(shí)應(yīng)注意分類討論.
2.當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時(shí)，常借助數(shù)軸來(lái)建立不等關(guān)系求解，應(yīng)注意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn).
[注意]　(1)不能忽視集合為 的情形；(2)當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時(shí)，一般需要分類討論.
對(duì)點(diǎn)練3.(1)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，則a＝(　　)
A.2 B.1
C. D.－1
(2)(雙空題)已知集合A＝{x｜－2＜x＜1}，集合B＝{x｜－m＜x＜m}，若A B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　　；若B A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　　.
答案：(1)B　(2)[2，＋∞)　
解析：(1)因?yàn)锳 B，則有：若a－2＝0，解得a＝2，此時(shí)A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若2a－2＝0，解得a＝1，此時(shí)A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意；綜上所述，a＝1.故選B.
(2)由集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜－m＜x＜m}，若A B，則滿足解得m≥2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2，＋∞).若B A，若B＝ 時(shí)，則滿足－m≥m，即m≤0；若B≠ 時(shí)，則滿足解得0＜m≤1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
任務(wù) 再現(xiàn) 1.子集、真子集、集合相等的概念.2.子集、真子集的個(gè)數(shù)
方法 提煉 1.集合間關(guān)系的判斷：列舉觀察法、集合元素特征法、數(shù)形結(jié)合法.2.求給定集合的子集、真子集的個(gè)數(shù)：定義法、分類討論思想.3.集合間關(guān)系的應(yīng)用：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合法
易錯(cuò) 警示 1.忽略對(duì)集合是否為空集的討論.2.求參數(shù)范圍時(shí)，端點(diǎn)值能否取到容易出現(xiàn)錯(cuò)誤
1.(多選題)已知集合A＝{x｜－1－x＜0}，則下列各式正確的是(　　)
A.0 A B.{0}∈A
C.0∈A D.{0} A
答案：CD
解析：集合A＝{x｜－1－x＜0}＝{x｜x＞－1}，所以0∈A，{0} A，CD正確.
2.設(shè)集合M＝{菱形}，N＝{平行四邊形}，P＝{四邊形}，Q＝{正方形}，則這些集合之間的關(guān)系為(　　)
A.P N M Q B.Q M N P
C.P M N Q D.Q N M P
答案：B
解析：正方形都是菱形，菱形都是平行四邊形，平行四邊形都是四邊形，則Q M N P.故選B.
3.集合M＝{x∈N｜0≤x＜3}的子集的個(gè)數(shù)是(　　)
A.16 B.8
C.7 D.4
答案：B
解析：集合M＝{x∈N｜0≤x＜3}＝，集合M含有3個(gè)元素，所以集合M的子集個(gè)數(shù)是23＝8.故選B.
4.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}，且滿足Q P，則a可能取的一切值組成的集合為　　　　.
答案：
解析：因?yàn)镻＝＝，Q＝，且Q P.當(dāng)a＝0時(shí)，Q＝ P，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，Q＝＝，因?yàn)镼 P，則－＝－3或－＝2，解得a＝或a＝－.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值集合為.
課時(shí)分層評(píng)價(jià)2　集合的基本關(guān)系
(時(shí)間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.下列四個(gè)集合中，是空集的是(　　)
A.{x｜x＋3＝3}
B.{(x，y)｜y2＝－x2，x，y∈R}
C.{x｜x2≤0}
D.{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}
答案：D
解析：因?yàn)閤2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程無(wú)解，所以{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}＝ .故選D.
2.下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是(　　)
①∈；② ；③ ；④＝{(0，1)}.
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：B
解析：對(duì)于①，兩個(gè)數(shù)集不能用∈符號(hào)，應(yīng)為 ，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，任何集合都是本身的子集，故②正確；對(duì)于③，空集是任何集合的子集，故③正確；對(duì)于④，集合是數(shù)集，有2個(gè)元素，集合{(0，1)}是點(diǎn)集，只有1個(gè)元素，故④錯(cuò)誤；所以正確的個(gè)數(shù)有2個(gè).故選B.
3.已知集合A＝{x∈Z｜0＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，則(　　)
A.A∈B B.A＝B
C.A B D.B A
答案：C
解析：集合A＝{x∈Z｜0＜x＜5}＝，B＝，則A B.故選C.
4.(多選題)已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，則集合A可以是(　　)
A.{1，8} B.{2，3}
C.{1} D.{2}
答案：AC
解析：因?yàn)锳 B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以集合A中的元素是集合B，C的公共元素，結(jié)合選項(xiàng)可知A，C滿足題意.故選AC.
5.已知集合A＝，B＝，若A，B關(guān)系如圖所示，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是(　　)
A.a≥2 B.a＜2
C.a≤2 D.a＞2
答案：D
解析：由集合A＝＝{1，2}，B＝，由給定A，B關(guān)系圖，可得A B，所以a＞2.故選D.
6.(多選題)已知集合M＝{x｜x＝m＋，m∈Z}，N＝{x｜x＝2n－，n∈Z}，P＝{x｜x＝，p∈Z}，則(　　)
A.N P B.P M
C.N M D.M N
答案：AC
解析：由題意得，集合M＝{x｜x＝，m∈Z}，P＝{x｜x＝，p∈Z}，N＝{x｜x＝＝，n∈Z}＝＝，所以N M P，結(jié)合選項(xiàng)，可得A，C正確，B，D錯(cuò)誤.故選AC.
7.設(shè)x，y∈R，A＝{(x，y)｜y＝x}，B＝，則A，B準(zhǔn)確的關(guān)系是　　　　.
答案：B A
解析：因?yàn)锽＝＝{(x，y)｜y＝x，且x≠0}，故B A.
8.(雙空題)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x｜1＜x－1＜4}.
(1)若A＝B，則y的值為　　　　；
(2)若A C，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　　　　.
答案：(1)1或3　(2){a｜3＜a＜5}
解析：(1)若a＝2，則A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，則a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.綜上，y的值為1或3.
(2)因?yàn)镃＝{x｜2＜x＜5}，A C，所以所以3＜a＜5.
9.(開(kāi)放題)已知集合A＝，B＝{x｜y＝＋}，若A B，則實(shí)數(shù)a的值可以是　　　　.(寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的值即可)
答案：1(a≤0，或a＝1均可，答案不唯一)
解析：根據(jù)題意得B＝，因?yàn)锳 B，若A＝ ，則a≤0，滿足題意；若a＞0，則＝4，得a＝1，故實(shí)數(shù)a的值滿足a≤0，或a＝1均可.
10.(10分)已知A＝{x｜1＜x＜5}，B＝{x｜a－1＜x＜a}，a∈R.
(1)當(dāng)x∈N時(shí)，寫(xiě)出集合A的所有子集，共有多少個(gè)？
(2)若B A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：(1)當(dāng)x∈N時(shí)，A＝{2，3，4}，
所以集合A的子集有 ，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}，所以共有8個(gè)子集.
(2)因?yàn)锽 A，且B不可能是空集，所以解得2≤a≤5，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，5].
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.(多選題)下列命題中，是真命題的有(　　)
A.集合的所有真子集為，
B.若＝(其中a，b∈R)，則a＋b＝3
C.{x｜x是等邊三角形} {x｜x是等腰三角形}
D.{x｜x＝3k，k∈N} {x｜x＝6z，z∈N}
答案：BC
解析：集合的真子集是 ，，共3個(gè)，所以A為假命題；由＝，知a＝2，b＝1，則a＋b＝3，則B為真命題；等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以C為真命題；{x｜x＝6z＝3×2z，z∈N}，所以 ，所以D為假命題.故選BC.
12.已知集合M＝，N＝，若M A N，則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為(　　)
A.4 B.6
C.7 D.8
答案：A
解析：由M A，所以集合A里的元素必須有1，2，3，又因?yàn)锳 N，所以A＝，，，，共4個(gè).故選A.
13. (多選題)已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜2a－3＜x＜a－2}，下列結(jié)論正確的是(　　)
A.不存在實(shí)數(shù)a使得A＝B
B.存在實(shí)數(shù)a使得A B
C.當(dāng)0≤a≤4時(shí)，B A
D.存在實(shí)數(shù)a使得B A
答案：AD
解析：對(duì)于A，由集合相等的概念可得此方程組無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)a使得A＝B，故A正確；對(duì)于B，由A B，得此不等式組無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)2a－3≥a－2，即a≥1時(shí)，B＝ A，符合B A，當(dāng)a＜1時(shí)，要使B A，需滿足解得2≤a≤4，不滿足a＜1，故這樣的實(shí)數(shù)a不存在，故當(dāng)a≥1時(shí)，B A，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C選項(xiàng)分析可得存在實(shí)數(shù)a使得B A，故D正確.故選AD.
14.(10分)已知集合A＝{x｜1－a≤x≤1＋a}，B＝{x｜－4＜x＜2}.
(1)若B A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若A B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：(1)因?yàn)锽 A，所以所以a≥5.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[5，＋∞).
(2)因?yàn)锳 B，
若A＝ ，此時(shí)1－a＞1＋a，解得a＜0，
若A≠ ，此時(shí)解得0≤a＜1，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1).
15.(5分)(新定義)已知集合M＝{1，2，3，4}，A M，集合A中所有元素的乘積稱為集合A的“累積值”，且規(guī)定：當(dāng)集合A只有一個(gè)元素時(shí)，其累積值即為該元素的數(shù)值，空集的累積值為0.設(shè)集合A的累積值為S.
(1)若S＝3，則這樣的集合A共有　　　個(gè)；
(2)若S為偶數(shù)，則這樣的集合A共有　　個(gè).
答案：(1)2　(2)13
解析：(1)若S＝3，據(jù)“累積值”的定義，得A＝{3}或A＝{1，3}，這樣的集合A共有2個(gè).(2)因?yàn)榧螹的子集共有24＝16個(gè)，其中“累積值”為奇數(shù)的子集為{1}，{3}，{1，3}共3個(gè)，所以“累積值”為偶數(shù)的集合共有13個(gè).
16.(15分)(新角度)集合P＝{x｜x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{－4，－1，1}.
(1)若b＝4，存在集合M使得P M Q，求出這樣的集合M；
(2)試問(wèn)P能否成為Q的一個(gè)子集？若能，求實(shí)數(shù)b的取值或取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：(1)若b＝4，則P＝{x｜x2－3x＋4＝0，x∈R}＝ ，
因?yàn)镻 M Q，所以M＝ ，，，，，，.
(2)方程x2－3x＋b＝0的判別式為Δ＝(－3)2－4b＝9－4b，
當(dāng)Δ＜0，即b＞時(shí)，P＝{x｜x2－3x＋b＝0，x∈R}＝ ，此時(shí)顯然P是Q的一個(gè)子集；
當(dāng)Δ＝0，即b＝時(shí)，
P＝＝，
此時(shí)顯然P不是Q的一個(gè)子集；
當(dāng)Δ＞0，即b＜時(shí)，要使P是Q的一個(gè)子集，－4，－1，1中必有兩個(gè)元素是集合P中的元素，根據(jù)一元二次方程x2－3x＋b＝0根與系數(shù)的關(guān)系，這兩個(gè)根之和為3，顯然－4，－1，1中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的和為3，所以此時(shí)P不可能是Q的一個(gè)子集.
綜上所述，P能成為Q的一個(gè)子集，此時(shí)實(shí)數(shù)b的取值范圍為.
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1.2　集合的基本關(guān)系
　
第一章　§1　集合
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解子集、真子集、集合相等的概念.　
2.能用符號(hào)和Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系.體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).　
3.掌握列舉有限集的所有子集的方法.
任務(wù)一　集合的基本關(guān)系
問(wèn)題1.觀察下面的幾個(gè)例子，請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)出它們之間的“包含”關(guān)系：
(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
提示：集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.
問(wèn)題導(dǎo)思
(2)C為某中學(xué)高一(2)班全體女生組成的集合，D為這個(gè)班全體學(xué)生組成的集合；
提示：集合C包含于集合D，或集合D包含集合C.
(3)A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{偶數(shù)}.
提示：集合A包含集合B，集合B也包含集合A.
1.Venn圖
為了直觀地表示集合間的關(guān)系，常用平面上______曲線的內(nèi)部表示集合，稱為Venn圖.
2.子集、真子集、集合相等
新知構(gòu)建
定義 符號(hào)表示 圖形表示
子
集 一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都屬于集合B，即若a∈A，則a∈B，那么稱集合A是集合B的子集 A____B(或B____A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”) 或

封閉


定義 符號(hào)表示 圖形表示
集
合
相
等 對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么稱集合A與集合B相等 A____B
真
子
集 對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果A B，且A≠B，那么稱集合A是集合B的真子集 A____B(或B____A)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
＝


3.子集的性質(zhì)
(1)任何一個(gè)集合都是它本身的______，即A A.
(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.
子集
(1)用Venn圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)是能直觀地表示集合間的關(guān)系，缺點(diǎn)是集合元素的公共特征不明顯.(2)在真子集的定義中，A，B首先要滿足A B，且A≠B.(3)若出現(xiàn)A B時(shí)，應(yīng)討論A＝ 和A≠ 兩種情形.(4)若A B，且B C，則A C.
微提醒
(1)(多選題)下列表述正確的是
A.{2，1，0} {0，1，2} B.{(2，4)}＝{(4，2)}
C. {0，1，2} D.0 {0}
√
典例
1
√
對(duì)于A，因?yàn)槿魏渭鲜潜旧淼淖蛹詛2，1，0} {0，1，2}，故A正確；對(duì)于B，{(2，4)}≠{(4，2)}，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?是任何集合的子集，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵嘏c集合間的關(guān)系是“∈”與“ ”，故D錯(cuò)誤.故選AC.
(2)(鏈教材P7練習(xí)T2)判斷下列各組中兩個(gè)集合之間的關(guān)系：
①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
解：集合A的元素是數(shù)，集合B的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，故A與B之間無(wú)包含關(guān)系.
②A＝{x｜x是等邊三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}；
解：等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故A B.
③A＝(－1，4)，B＝{x｜x－5＜0}；
解：集合B＝{x｜x＜5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如圖所示，由圖可知A B.
④M＝{x｜x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x｜x＝2n＋1，n∈N＋}.
解：由列舉法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M.
判斷集合基本關(guān)系的常用方法
規(guī)律方法
對(duì)點(diǎn)練1.(1)能正確表示集合M＝{x∈R｜0≤x≤2}和集合N＝{x∈R｜x2－x＝0}關(guān)系的Venn圖是
√
由x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其對(duì)應(yīng)的Venn圖如選項(xiàng)B所示.
√
√
√
返回
任務(wù)二　子集、真子集的個(gè)數(shù)
問(wèn)題2.填寫(xiě)下表，回答后面的問(wèn)題：
問(wèn)題導(dǎo)思
集合 元素個(gè)數(shù) 所有子集 子集個(gè)數(shù)
{a} 1
{a，b} 2
{a，b，c} 3

{a，b，c，d} 4

(1)你能找出“元素個(gè)數(shù)”與“子集個(gè)數(shù)”之間關(guān)系的規(guī)律嗎？
，{a}
2
，{a}，{b}，{a，b}
，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
4
8
，{a}，{b}，{c}，d8axh38，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}
16
提示：能.
(2)如果一個(gè)集合的元素的個(gè)數(shù)為n，你能用n表示出這個(gè)集合的子集、真子集的個(gè)數(shù)嗎？
提示：子集個(gè)數(shù)為2n，真子集個(gè)數(shù)為2n－1.
　　如果一個(gè)集合的元素的個(gè)數(shù)為n，那么這個(gè)集合的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)___個(gè)；真子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)______個(gè)；非空子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)______個(gè)；非空真子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)______個(gè).
新知構(gòu)建
2n－1
2n
2n－1
2n－2
(鏈教材P7例4)已知集合A＝{x｜ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，列舉集合A的子集并指出有多少個(gè)真子集.
解：依題意得4a－10＋6＝0，解得a＝1.
則x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3，
所以A＝{2，3}.
所以集合A的子集有 ，{2}，{3}，{2，3}，共4個(gè).真子集有 ，{2}，{3}，共3個(gè).
典例
2
求有限集合的子集或真子集個(gè)數(shù)的思路
規(guī)律方法
對(duì)點(diǎn)練2.已知集合A＝{(x，y)｜x＋y＝2，x，y∈N}，試寫(xiě)出A的所有子集及真子集.
解：因?yàn)锳＝{(x，y)｜x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
所以A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，
{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
A的真子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}.
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任務(wù)三　由集合間的關(guān)系求參數(shù)(范圍)
已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，若A B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)____________.
典例
3
{m｜3≤m≤4}

變式探究
1.(變條件)將“A B”改為“B A”，其他條件保持不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___________.
{m｜m＜－5}
2.(變條件)將“A＝{x｜－2≤x≤5}”改為“A＝{x｜－2＜x＜5}”，其他條件保持不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)______________.
{m｜3≤m≤4}

3.(變條件)將“B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}”改為“B＝{x｜m－6＜x＜2m－1}”，其他條件保持不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)______________.
{m｜3＜m＜4}

由集合間的關(guān)系求參數(shù)的方法
1.當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時(shí)，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時(shí)應(yīng)注意分類討論.
2.當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時(shí)，常借助數(shù)軸來(lái)建立不等關(guān)系求解，應(yīng)注意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn).
[注意]　(1)不能忽視集合為 的情形；(2)當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時(shí)，一般需要分類討論.
規(guī)律方法
√
因?yàn)锳 B，則有：若a－2＝0，解得a＝2，此時(shí)A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若2a－2＝0，解得a＝1，此時(shí)A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意；綜上所述，a＝1.故選B.
(2)(雙空題)已知集合A＝{x｜－2＜x＜1}，集合B＝{x｜－m＜x＜m}，若A B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________；若B A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.
[2，＋∞)


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課堂小結(jié)
任務(wù)
再現(xiàn) 1.子集、真子集、集合相等的概念.
2.子集、真子集的個(gè)數(shù)
方法
提煉 1.集合間關(guān)系的判斷：列舉觀察法、集合元素特征法、數(shù)形結(jié)合法.
2.求給定集合的子集、真子集的個(gè)數(shù)：定義法、分類討論思想.
3.集合間關(guān)系的應(yīng)用：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合法
易錯(cuò)
警示 1.忽略對(duì)集合是否為空集的討論.
2.求參數(shù)范圍時(shí)，端點(diǎn)值能否取到容易出現(xiàn)錯(cuò)誤
隨堂評(píng)價(jià)
1.(多選題)已知集合A＝{x｜－1－x＜0}，則下列各式正確的是
A.0 A B.{0}∈A
C.0∈A D.{0} A
√
√
集合A＝{x｜－1－x＜0}＝{x｜x＞－1}，所以0∈A，{0} A，CD正確.
2.設(shè)集合M＝{菱形}，N＝{平行四邊形}，P＝{四邊形}，Q＝{正方形}，則這些集合之間的關(guān)系為
A.P N M Q B.Q M N P
C.P M N Q D.Q N M P
√
正方形都是菱形，菱形都是平行四邊形，平行四邊形都是四邊形，則Q M N P.故選B.
3.集合M＝{x∈N｜0≤x＜3}的子集的個(gè)數(shù)是
A.16 B.8
C.7 D.4
√
4.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}，且滿足Q P，則a可能取的一切值組成的集合為_(kāi)_____________.


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課時(shí)分層評(píng)價(jià)
1.下列四個(gè)集合中，是空集的是
A.{x｜x＋3＝3}
B.{(x，y)｜y2＝－x2，x，y∈R}
C.{x｜x2≤0}
D.{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}
√
因?yàn)閤2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程無(wú)解，所以{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}＝ .故選D.
√
3.已知集合A＝{x∈Z｜0＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，則
A.A∈B B.A＝B
C.A B D.B A
√
4.(多選題)已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，則集合A可以是
A.{1，8} B.{2，3}
C.{1} D.{2}
√
因?yàn)锳 B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以集合A中的元素是集合B，C的公共元素，結(jié)合選項(xiàng)可知A，C滿足題意.故選AC.
√
√
√
√
B A
8.(雙空題)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x｜1＜x－1＜4}.
(1)若A＝B，則y的值為_(kāi)_________；
若a＝2，則A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，則a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.綜上，y的值為1或3.
1或3
(2)若A C，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______________.
{a｜3＜a＜5}
1(a≤0，或a＝1均可，答案不唯一)
10.(10分)已知A＝{x｜1＜x＜5}，B＝{x｜a－1＜x＜a}，a∈R.
(1)當(dāng)x∈N時(shí)，寫(xiě)出集合A的所有子集，共有多少個(gè)？
解：當(dāng)x∈N時(shí)，A＝{2，3，4}，
所以集合A的子集有 ，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}，所以共有8個(gè)子集.
√

√
√
13. (多選題)已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜2a－3＜x＜a－2}，下列結(jié)論正確的是
A.不存在實(shí)數(shù)a使得A＝B
B.存在實(shí)數(shù)a使得A B
C.當(dāng)0≤a≤4時(shí)，B A
D.存在實(shí)數(shù)a使得B A
√
√

15.(5分)(新定義)已知集合M＝{1，2，3，4}，A M，集合A中所有元素的乘積稱為集合A的“累積值”，且規(guī)定：當(dāng)集合A只有一個(gè)元素時(shí)，其累積值即為該元素的數(shù)值，空集的累積值為0.設(shè)集合A的累積值為S.
(1)若S＝3，則這樣的集合A共有_____個(gè)；
2
若S＝3，據(jù)“累積值”的定義，得A＝{3}或A＝{1，3}，這樣的集合A共有2個(gè).
(2)若S為偶數(shù)，則這樣的集合A共有______個(gè).
13
因?yàn)榧螹的子集共有24＝16個(gè)，其中“累積值”為奇數(shù)的子集為{1}，{3}，{1，3}共3個(gè)，所以“累積值”為偶數(shù)的集合共有13個(gè).
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