資源簡介

§1　集合
1.1　集合的概念與表示
學習目標 1.通過實例了解集合與元素的含義，利用集合中元素的三個特征解決一些簡單的問題，能判斷元素與集合的關系.　2.初步掌握集合的表示方法——列舉法、描述法、區間，感受集合語言的意義和作用，培養數學抽象的核心素養.　3.會用集合的表示方法表示一些簡單集合.
任務一　元素與集合的概念
問題1.閱讀下面的例子，并回答提出的問題：
①方程x2－2 025x－2 026＝0的所有實數根；
②在平面直角坐標系中，第一象限的點的全體；
③某中學2025年入學的全體高一學生；
④所有的正方形；
⑤地球上的四大洋；
⑥著名的高等院校.
(1)以上各例子中要研究的對象分別是什么？哪個例子的對象不確定，為什么？
(2)觀察并討論①－⑤中各例有什么共同特點？
提示：(1)分別為實數根、點、學生、正方形、大洋、高等院校.其中⑥的對象不確定，因為“著名”沒有明確的劃分標準.
(2)①－⑤中各例指的都是“所有的”，即某些研究對象的全體.
[微思考]　(1)集合中的元素只能是數、點、代數式嗎？(2)“中國各地最美的鄉村”能否構成一個集合？(3)“唐宋散文八大家”能否構成一個集合？
提示：(1)集合中的元素可以是數學中的數、點、代數式，也可以是現實生活中的各種各樣的事物或人等.(2)不能.因為“最美”沒有明確的劃分標準.(3)能.因為標準確定.
(多選題)下列選項中正確的是(　　)
A.2024年參加巴黎奧運會的全體乒乓球選手能構成集合
B.小于的正整數能構成集合
C.組成集合的元素一定是有限個
D.直角坐標系中橫、縱坐標互為相反數的點能構成集合
答案：ABD
解析：對于A，2024年參加巴黎奧運會的全體乒乓球選手是確定的，可以構成集合；對于B，小于的正整數是確定的，可以構成集合；對于C，組成集合的元素可以是無限個，如所有自然數組成的集合；對于D，直角坐標系中橫、縱坐標互為相反數的點都是確定的，能構成集合.故選ABD.
　　集合是一個整體，所有滿足條件的對象都在這個集合中，集合中的元素是我們研究的對象，可以有多個也可以只有一個.
對點練1.請寫出下列集合中的元素：
(1)大于1小于10的奇數構成的集合：　　　　；
(2)我國四大名著構成的集合：　　　　　　　　　　　　　.
答案：(1)3，5，7，9　(2)《三國演義》，《水滸傳》，《西游記》，《紅樓夢》
學生用書 第2頁
任務二　元素與集合的關系
問題2.“我國的小河流”“有趣的書”“高一年級跑得快的同學”等能組成集合嗎？
提示：不能.其中的元素不確定.“小”“有趣”“跑得快”是一些含糊不清的概念，具有相對性，沒有明確的標準，是一些不能夠確定的對象，因此，不能構成集合.
問題3.在體育課上，如果體育老師說“男同學踢足球，女同學打羽毛球”，你會去踢足球嗎？
提示：是男生就去，不是男生就不去.
1.集合中元素的特性
給定的集合，它的元素必須是確定的(確定性)、互不相同的(互異性)、順序任意的(無序性).
2.元素與集合的關系
關系 說法 記法
屬于 元素a屬于集合A a∈A
不屬于 元素a不屬于集合A a A
3.常用的數集及表示符號
數集 自然 數集 正整 數集 整數集 有理 數集 實數集 正實 數集
符號 N N＋或N* Z Q R R＋
[微提醒]　符號“∈”“ ”只能用在元素與集合之間，表示元素與集合之間的從屬關系，注意開口方向.
[微思考]　集合N與N*或N＋有什么區別？
提示：集合N中的元素是0和正整數，集合N*或N＋中的元素是正整數.
(1)(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.∈R
B.0 N
C.不超過 20的素數能構成集合
D.π的近似值不能構成集合
(2)已知不等式x－a＞0的解集為集合A，若1∈A，則實數a的取值范圍是　　　　.
答案：(1)ACD　(2) a＜1
解析：(1)對于A，∈R正確；對于B，0∈N，故B不正確；對于C，不超過20的素數是確定的，可以組成集合，故C正確；對于D，π的近似值無法確切取到，不能組成集合，故D正確.故選ACD.
(2)由1∈A，得1－a＞0，解得a＜1，故答案為a＜1.
判斷元素與集合關系的兩種方法
1.直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可.
2.推理法：對于給出具有公共特征元素的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征.
對點練2.(1)設不等式3－2x＜0的解集為M，下列判斷正確的是(　　)
A.0∈M，2∈M B.0 M，2∈M
C.0∈M，2 M D.0 M，2 M
(2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三個元素組成的，且－3∈A，則實數a＝　　　　.
答案：(1)B　(2)－
解析：(1)當x＝0時，3－2x＝3＞0，0 M；當x＝2時，3－2x＝－1＜0，2∈M.故選B.
(2)由－3∈A，可得－3＝a－2，或－3＝2a2＋5a，所以a＝－1，或a＝－.當a＝－1時，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互異性，故a＝－1舍去；當a＝－時，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互異性，所以a＝－.
任務三　集合的表示
問題4.(1)用A表示“大于－2且小于2的整數”構成的集合，這是利用哪種方法表示集合？你能把集合A中的所有元素逐一列舉出來嗎？
(2)“大于－2且小于2的實數”構成的集合能用列舉法表示嗎？為什么？
提示：(1)這是用自然語言法表示集合；我們可以一一寫出其元素為－1，0，1.
(2)不能，集合中的元素有無數多個，元素不能完全列舉.
列舉法 把集合中的元素一一列舉出來寫在花括號“{}”內表示集合的方法叫作列舉法，一般可將集合表示為{a，b，c，…}
描述法 通過描述元素滿足的條件表示集合的方法叫作描述法.一般可將集合表示為{x及x的范圍｜x滿足的條件}，即在花括號內先寫出集合中元素的一般符號及范圍，再畫一條豎線“｜”，在豎線后寫出集合中元素所具有的共同特征
有限集、無 限集、空集 含有有限個元素的集合叫作有限集；含有無限個元素的集合叫作無限集；不含任何元素的集合叫作空集，記作
[微提醒]　(1)列舉法元素間用“，”隔開，把元素一一列舉出來并用“{ }”括起來即可.對于無限集，有時也可用列舉法，比如正整數集可表示為{1，2，3，4，5，…}.(2)描述法應寫清該集合中元素的代表符號，代表元素的取值(或變化)范圍，從上下文的關系來看，若x∈R是明確的，則x∈R可省略不寫.
學生用書 第3頁
(1)(鏈教材P3例1)用列舉法表示下列集合：
①由大于1且小于6的整數組成的集合A；
②方程x2－16＝0的實數根組成的集合B；
③一次函數y＝x＋2的圖象與坐標軸的所有交點組成的集合C.
(2)(鏈教材P3例2)用描述法表示下列集合：
①小于6的所有的整數組成的集合A；
②被3除余2的正整數組成的集合B；
③平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合C.
解：(1)①因為大于1且小于6的整數包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.
②方程x2－16＝0的實數根為－4，4，
所以B＝{－4，4}.
③由y＝x＋2，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝－2；所以一次函數y＝x＋2的圖象與坐標軸的所有交點為(0，2)，(－2，0)，所以C＝{(0，2)，(－2，0)}.
(2)①設x∈A，則x∈Z，且使x＜6成立，因此用描述法可以表示為A＝{x∈Z｜x＜6}.
②設被3除余2的數為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整數組成的集合B＝{x｜x＝3n＋2，n∈N}.
③平面直角坐標系中第二象限內的點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，即x＜0，y＞0，故第二象限內的點組成的集合為C＝{(x，y)｜x＜0，y＞0}.
1.用列舉法表示集合應注意
(1)應先弄清集合中的元素是什么，是數還是點，還是其他元素；
(2)若集合中的元素是點，則應將有序實數對用小括號括起來表示一個元素.
2.利用描述法表示集合應注意
對點練3.選擇適當的方法表示下列集合：
(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解組成的集合；
(2)不大于15的質數集；
(3)坐標平面內，所有不在第一、三象限的點組成的集合.
解：(1)因為方程(x－1)2(x－2)＝0的解為1或2，故用列舉法表示為{1，2}.
(2)不大于15的質數有2，3，5，7，11，13，故用列舉法表示為{2，3，5，7，11，13}.
(3)因為不在第一、三象限的點分布在第二、四象限或坐標軸上，所以坐標平面內，所有不在第一、三象限的點組成的集合用描述法表示為{(x，y)｜xy≤0，x∈R，y∈R}.
任務四　區間及其表示
問題5.你能用列舉法表示集合{x｜x－5＜2}嗎？你還有其他的方法表示{x｜x－5＜2}嗎？
提示：集合{x｜x－5＜2}可化簡為{x｜x＜7}，因為滿足x＜7的實數有無數多個，所以無法用列舉法表示；還可以用區間表示.
1.區間的概念(a，b為實數，且a＜b)
集合表示 名稱 符號表示 數軸表示
{x｜a≤x≤b} 閉區間 [a，b]
{x｜a＜x＜b} 開區間 (a，b)
{x｜a≤x＜b} 半開半 閉區間 [a，b)
{x｜a＜x≤b} 半開半 閉區間 (a，b]
2.特殊區間的表示
定義 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜x≤b} {x｜x＜b}
區間 (－∞， ＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b)
[微思考]　(1)區間是數集的另一種表示方法，那么任何數集都能用區間表示嗎？
(2)“∞”是數嗎？以“－∞”或“＋∞”作為區間一端時，這一端可以是中括號嗎？
提示：(1)不是任何數集都能用區間表示，如集合{0}就不能用區間表示.
(2)“∞”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數.以“－∞”或“＋∞”作為區間一端時，這一端必須是小括號.
(1)不等式x－2≥0的所有解組成的集合表示成區間是(　　)
A.(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(－∞，2]
(2)若[a，5a－2]為一個確定區間，則實數a的取值范圍是　　　　.
答案：(1)B　(2)
解析：(1)不等式x－2≥0的所有解組成的集合為{x｜x≥2}，表示成區間為[2，＋∞).故選B.
(2)由題設知，5a－2＞a，可得a＞，則實數a的取值范圍為.
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區間表示的關注點
1.(1)區間左端點值小于右端點值；(2)區間兩端點之間用“，”隔開；(3)含端點值的一端用中括號，不含端點值的一端用小括號.
2.區間的幾何意義可用數軸表示，用實心點表示包括在區間內的端點，用空心點表示不包括在區間內的端點.
對點練4.(多選題)下列敘述正確的是(　　)
A.{x｜x＞1}用區間可表示為[1，＋∞)
B.{x｜－3＜x≤2}用區間可表示為(－3，2]
C.(－∞，3]用集合可表示為{x｜x＜3}
D.[2，4]用集合可表示為{x｜2≤x≤4}
答案：BD
解析：對于A，{x｜x＞1}用區間可表示為(1，＋∞)，故A錯誤；對于B，{x｜－3＜x≤2}用區間可表示為(－3，2]，故B正確；對于C，(－∞，3]用集合可表示為{x｜x≤3}，故C錯誤；對于D，[2，4]用集合可表示為{x｜2≤x≤4}，故D正確.故選BD.
任務五　利用集合中元素的性質求參數
已知集合A＝{a2＋4a＋1，a＋1}，B＝{x｜x2＋px＋q＝0}，1∈A.
(1)求實數a的值；
(2)如果集合A是集合B的列舉表示法，求實數p，q的值.
解：(1)因為1∈A，所以a2＋4a＋1＝1，或a＋1＝1，得a＝－4，或a＝0.
當a＝0時，a2＋4a＋1＝a＋1＝1，不符合元素的互異性，故a＝0舍去；
當a＝－4時，a2＋4a＋1＝1，a＋1＝－3，符合題意.所以a＝－4.
(2)由(1)得A＝{1，－3}，故集合B中，方程x2＋px＋q＝0的兩根為1，－3.
由一元二次方程根與系數的關系，得p＝－[1＋(－3)]＝2，q＝1×(－3)＝－3.
[變式探究]
　(變條件)若將本例中“1∈A”換成“2a∈A”，求實數a的值.
解：因為2a∈A，所以a2＋4a＋1＝2a，或a＋1＝2a，解得a＝－1，或a＝1.
當a＝－1時，此時集合A中有兩個元素－2，0，符合題意；
當a＝1時，此時集合A中有兩個元素6，2，符合題意.
故所求a的值為－1或1.
根據集合中元素的特性求值的三個步驟
對點練5.(開放題)有限數集S中至少含有1個元素且滿足：若a，b∈S，則必有a2，b2，ab∈S.則滿足條件且含有兩個元素的數集S＝　　　　　.(寫出一個即可)
答案：{0，1}(或{－1，1})
解析：不妨設S＝{a，b}，根據題意有a2，ab，b2∈S，所以a2，b2，ab中必有兩個是相等的.若a2＝b2，則a＝－b，故ab＝－a2，又a2＝a，或a2＝b＝－a，所以a＝0(舍去)，或a＝1，或a＝－1，此時S＝{－1，1}.
若a2＝ab，則a＝0，此時b2＝b，故b＝1，
此時S＝{0，1}.若b2＝ab，則b＝0，此時a2＝a，故a＝1，此時S＝{0，1}.
綜上，S＝{0，1}或S＝{－1，1}.
任務 再現 1.元素與集合的概念、元素與集合的關系.2.常用數集的表示.3.集合中元素的特性及應用.4.集合的表示方法：列舉法、描述法、區間
方法 提煉 1.判斷元素與集合的關系：直接法、推理法.2.利用集合中元素的性質求參數：分類討論思想、等價轉化思想
易錯 警示 1.集合中忽略互異性的判斷.2.自然數集中容易遺忘0這個元素
1.下列四組對象，能構成集合的是(　　)
A.某中學所有高個子的學生
B.倒數等于它自身的實數
C.一切較大的數
D.中國著名的藝術家
答案：B
解析：某中學所有高個子的學生，一切較大的數，中國著名的藝術家，元素不明確；倒數等于它自身的實數，符合集合元素的確定性.故選B.
2.若x1，x2，x3，x4為集合A的4個元素，則以x1，x2，x3，x4為邊長的四邊形可能是(　　)
A.等腰梯形 B.直角梯形
C.菱形 D.矩形
答案：B
解析：根據集合中元素的互異性，以x1，x2，x3，x4為邊長的四邊形，四條邊均不相等，選項中只有直角梯形可能滿足要求.故選B.
3.設集合B＝{x∈N*｜－1≤x＜3}，則(　　)
A.－1∈B B.0∈B
C.2∈B D.3∈B
答案：C
解析：由題意可知：集合B＝{1，2}，所以－1 B，0 B，2∈B，3 B，即A，B，D錯誤，C正確.故選C.
4.若實數x滿足{x｜3≤x＜7}，則用區間表示為　　　　.
答案：[3，7)
解析：由3≤x＜7可知x可以等于3，不能等于7，所以是半開半閉區間，故表示為[3，7).
課時分層評價1　集合的概念與表示
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.(多選題)下列對象能構成集合的有(　　)
A.接近于2 025的所有正整數
B.小于－3的實數
C.未來10年內的房價趨勢
D.點M(3，2)與點N(4，3)
答案：BD
解析：對于A，接近于2 025的所有正整數的標準不明確，不能構成集合；對于B，小于－3的實數是確定的，能構成集合；對于C，未來10年內的房價趨勢不明確，不能構成集合；對于D，點M(3，2)與點N(4，3)是兩個不同的點，是確定的，能構成集合.故選BD.
2.集合{x∈N＋｜x＜5}的另一種表示法是(　　)
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
答案：B
解析：由x＜5，且x∈N＋，得x＝1，2，3，4，故集合可表示為{1，2，3，4}.故選B.
3.下列集合是空集的是(　　)
A.{x｜x＞0，或x＜－5} B.{x｜x＞4}
C.{x｜x2≤0} D.{x｜x＞5，且x＜－4}
答案：D
解析：A，B，C選項的集合中均含有元素，均不為空集；D中集合沒有任何元素，為空集.故選D.
4.已知集合A＝{a，｜a｜，a－3}，若3∈A，則實數a的值為(　　)
A.－3 B.3
C.3或－3 D.6
答案：A
解析：因為3∈A，所以｜a｜＝3或a－3＝3，當｜a｜＝3時，得到a＝－3或a＝3，又a＝－3時，A＝{－3，3，－6}，滿足題意，a＝3時，a＝｜a｜＝3，不滿足集合元素的互異性，當a－3＝3，得到a＝6，此時a＝｜a｜＝6，不滿足集合元素的互異性.故選A.
5.(多選題)下列說法正確的有(　　)
A.10以內的質數組成的集合是{0，2，3，5，7}
B.由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，1，2}
C.方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1}
D.若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是等腰三角形
答案：BD
解析：對于A，0不是質數，故A錯誤；對于B，根據集合元素的無序性可知{1，2，3}＝{3，1，2}，故B正確；對于C，根據集合元素的互異性可知方程x2－2x＋1＝0的解集是{1}，故C錯誤；對于D，根據集合元素的互異性可知a，b，c兩兩不相等，故△ABC一定不是等腰三角形，故D正確.故選BD.
6.能被8整除的所有正整數組成的集合可表示為(　　)
A.{x｜x＝8k，k∈N} B.{x｜x＝8k＋8，k∈N}
C.{1，2，4} D.{1，2，4，8}
答案：B
解析：能被8整除的所有正整數組成的集合應為無限集，因此C，D排除；由于A中的集合包含0，因此不符合正整數的要求，故A排除；對于B，符合能被8整除的所有正整數組成的集合，因此B正確.故選B.
7.設x，y∈R，用列舉法表示＋所有可能取值組成的集合，結果是　　　　.
答案：{2，0，－2}
解析：根據x，y的符號，分情況去絕對值：若x＞0，y＞0，＋＝2；若x＞0，y＜0，＋＝0；若x＜0，y＞0，＋＝0；若x＜0，y＜0，＋＝－2.＋所有可能取值組成的集合為{2，0，－2}.
8.集合S＝{x｜x＝m＋n，m∈Z，n∈Z}，則－　　　S.(用“∈”或“ ”連接)
答案：∈
解析：當m＋n＝－時，有m＝0，n＝－1，滿足m∈Z，n∈Z.所以－∈S.
9.(開放題)已知a≥1，集合A＝{x｜2－a≤x≤a}中有且只有三個整數，則符合條件的實數a的一個值是　　　　.
答案：2(答案不唯一)
解析：由題設4＞a－(2－a)≥2且a≥1，可得2≤a＜3，所以符合條件的一個a值為2(答案不唯一).
10.(10分)已知含有兩個元素的集合A＝{m，m2－3m}，其中m∈R.
(1)實數m不能取哪些數？
(2)若4∈A，求實數m的值.
解：(1)根據題意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，實數m不能取0和4.
(2)由(1)的結論，可知m≠4，若4∈A，則m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合題意)，因此，實數m的值是－1.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.若集合M＝{(x－y，x＋y)｜y＝2x}，則(　　)
A.(1，3)∈M B.(－1，3)∈M
C.(－1，2)∈M D.(1，2)∈M
答案：B
解析：由已知M＝{(x－y，x＋y)｜y＝2x}，令x－y＝a，x＋y＝b，解得x＝，y＝，又y＝2x，則＝a＋b，化簡得b＝－3a.故選B.
12.若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5個元素，則實數m的取值范圍為(　　)
A.[－1，0) B.(－1，0]
C.(－1，0) D.[－2，－1)
答案：D
解析：若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5個元素，則這5個元素只能是3，2，1，0，－1，這表明m＜－1，m≥－2，即實數m的取值范圍為[－2，－1).故選D.
13.(多選題)設a，b∈A＝{x｜x＝3m＋1，m∈Z}，c∈B＝{x｜x＝3k－1，k∈Z}，則(　　)
A.a＋b∈A B.ab∈A
C.a＋b∈B D.ac∈B
答案：BCD
解析：設a＝3u＋1，b＝3v＋1，c＝3w－1(u，v，w∈Z)，而a＋b＝3(u＋v)＋2＝3(u＋v＋1)－1∈B，即A錯誤，C正確；ab＝9uv＋3(u＋v)＋1＝3(3uv＋u＋v)＋1∈A，即B正確；ac＝9uw＋3(w－u)－1＝3(3uw－u＋w)－1∈B，即D正確.故選BCD.
14.(10分)已知集合A＝{x∈R｜ax2－3x＋1＝0，a∈R}.
(1)若1∈A，求實數a的值；
(2)若a＝－10，用列舉法表示集合A；
(3)若集合A中僅含有一個元素，求實數a的值.
解：(1)由1∈A，得a×12－3×1＋1＝0，解得a＝2，所以實數a的值為2.
(2)當a＝－10時，A＝{x∈R｜－10x2－3x＋1＝0}＝.
(3)當a＝0時，方程－3x＋1＝0的根為x＝，符合題意，因此a＝0；
當a≠0時，集合A中僅有一個元素，則Δ＝9－4a＝0，解得a＝，所以實數a的值為0或.
15.(5分)(新情境)十九世紀下半葉集合論的創立，奠定了現代數學的基礎.著名的“康托爾三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區間[0，1]均分為三段，去掉中間的開區間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區間，分別均分為三段，并各自去掉中間的開區間段，記為第二次操作；…如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的開區間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區間集合即是“康托爾三分集”.第三次操作后，從左到右第四個區間為(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：第一次操作剩下：，；第二次操作剩下：，，，；第三次操作剩下：，，，，，，，；即從左到右第四個區間為.故選C.
16.(15分)已知集合A＝{x｜x＝m2－n2，m∈Z，n∈Z}.
(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；
(2)寫出所有滿足集合A的偶數.
解：(1)因為8＝32－12，9＝52－42，
所以8∈A，9∈A，
假設10＝m2－n2，m∈Z，n∈Z，
則｜m｜2－｜n｜2＝10，
即(｜m｜＋｜n｜)(｜m｜－｜n｜)＝10，
且｜m｜＋｜n｜＞｜m｜－｜n｜＞0，(｜m｜＋｜n｜)∈Z，
(｜m｜－｜n｜)∈Z，
所以顯然均無整數解，所以10 A.
綜上，8∈A，9∈A，10 A.
(2)由m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m∈Z，n∈Z，
當m和n同為奇數和偶數時，m＋n，m－n均為偶數，
所以(m＋n)(m－n)為4的倍數；
當m和n為一奇一偶時，m＋n，m－n均為奇數，所以(m＋n)(m－n)為奇數.
綜上，所有滿足集合A的偶數為4k(k∈Z).
學生用書 第5頁
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1.1　集合的概念與表示
　
第一章　§1　集合
學習目標
1.通過實例了解集合與元素的含義，利用集合中元素的三個特征解決一些簡單的問題，能判斷元素與集合的關系.　
2.初步掌握集合的表示方法——列舉法、描述法、區間，感受集合語言的意義和作用，培養數學抽象的核心素養.
3.會用集合的表示方法表示一些簡單集合.
任務一　元素與集合的概念
問題1.閱讀下面的例子，并回答提出的問題：
①方程x2－2 025x－2 026＝0的所有實數根；
②在平面直角坐標系中，第一象限的點的全體；
③某中學2025年入學的全體高一學生；
④所有的正方形；
⑤地球上的四大洋；
⑥著名的高等院校.
(1)以上各例子中要研究的對象分別是什么？哪個例子的對象不確定，為什么？
提示：分別為實數根、點、學生、正方形、大洋、高等院校.其中⑥的對象不確定，因為“著名”沒有明確的劃分標準.
問題導思
(2)觀察并討論①－⑤中各例有什么共同特點？
提示：①－⑤中各例指的都是“所有的”，即某些研究對象的全體.
新知構建
(1)集合中的元素只能是數、點、代數式嗎？
提示：集合中的元素可以是數學中的數、點、代數式，也可以是現實生活中的各種各樣的事物或人等.
微思考
(2)“中國各地最美的鄉村”能否構成一個集合？
提示：不能.因為“最美”沒有明確的劃分標準.
(3)“唐宋散文八大家”能否構成一個集合？
提示：能.因為標準確定.
√
典例
1
√
√
　　集合是一個整體，所有滿足條件的對象都在這個集合中，集合中的元素是我們研究的對象，可以有多個也可以只有一個.
規律方法
對點練1.請寫出下列集合中的元素：
(1)大于1小于10的奇數構成的集合：_____________；
(2)我國四大名著構成的集合：______________________________________
___________.
3，5，7，9
《三國演義》，《水滸傳》，《西游記》，
《紅樓夢》
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任務二　元素與集合的關系
問題2.“我國的小河流”“有趣的書”“高一年級跑得快的同學”等能組成集合嗎？
提示：不能.其中的元素不確定.“小”“有趣”“跑得快”是一些含糊不清的概念，具有相對性，沒有明確的標準，是一些不能夠確定的對象，因此，不能構成集合.
問題導思
問題3.在體育課上，如果體育老師說“男同學踢足球，女同學打羽毛球”，你會去踢足球嗎？
提示：是男生就去，不是男生就不去.
1.集合中元素的特性
給定的集合，它的元素必須是確定的(確定性)、互不相同的(互異性)、順序任意的(無序性).
2.元素與集合的關系
新知構建
關系 說法 記法
屬于 元素a屬于集合A a____A
不屬于 元素a不屬于集合A a____A
∈

3.常用的數集及表示符號
數集 自然
數集 正整
數集 ________ 有理
數集 ________ 正實
數集
符號 ____ ____________ Z Q R R＋
整數集
實數集
N
N＋或N*
符號“∈”“ ”只能用在元素與集合之間，表示元素與集合之間的從屬關系，注意開口方向.
微提醒
集合N與N*或N＋有什么區別？
提示：集合N中的元素是0和正整數，集合N*或N＋中的元素是正整數.
微思考
√
典例
2
√
√
(2)已知不等式x－a＞0的解集為集合A，若1∈A，則實數a的取值范圍是__________.
a＜1
由1∈A，得1－a＞0，解得a＜1，故答案為a＜1.
判斷元素與集合關系的兩種方法
1.直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可.
2.推理法：對于給出具有公共特征元素的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征.
規律方法
對點練2.(1)設不等式3－2x＜0的解集為M，下列判斷正確的是
A.0∈M，2∈M B.0 M，2∈M
C.0∈M，2 M D.0 M，2 M
√
當x＝0時，3－2x＝3＞0，0 M；當x＝2時，3－2x＝－1＜0，2∈M.故選B.
(2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三個元素組成的，且－3∈A，則實數a＝______.

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任務三　集合的表示
問題4.(1)用A表示“大于－2且小于2的整數”構成的集合，這是利用哪種方法表示集合？你能把集合A中的所有元素逐一列舉出來嗎？
提示：這是用自然語言法表示集合；我們可以一一寫出其元素為－1，0，1.
問題導思
(2)“大于－2且小于2的實數”構成的集合能用列舉法表示嗎？為什么？
提示：不能，集合中的元素有無數多個，元素不能完全列舉.
新知構建
列舉法 把集合中的元素__________出來寫在________________內表示集合的方法叫作列舉法，一般可將集合表示為{a，b，c，…}
描述法 通過描述元素滿足的條件表示集合的方法叫作描述法.一般可將集合表示為_____________________________，即在花括號內先寫出集合中元素的一般符號及范圍，再畫一條豎線“｜”，在豎線后寫出集合中元素所具有的__________
有限集、無
限集、空集 含有________元素的集合叫作有限集；含有________元素的集合叫作無限集；不含任何元素的集合叫作______，記作____
一一列舉
花括號“{}”
{x及x的范圍｜x滿足的條件}
共同特征
有限個
無限個
空集

(1)列舉法元素間用“，”隔開，把元素一一列舉出來并用“{ }”括起來即可.對于無限集，有時也可用列舉法，比如正整數集可表示為{1，2，3，4，5，…}.(2)描述法應寫清該集合中元素的代表符號，代表元素的取值(或變化)范圍，從上下文的關系來看，若x∈R是明確的，則x∈R可省略不寫.
微提醒
(1)(鏈教材P3例1)用列舉法表示下列集合：
①由大于1且小于6的整數組成的集合A；
典例
3
解：因為大于1且小于6的整數包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.
②方程x2－16＝0的實數根組成的集合B；
解：方程x2－16＝0的實數根為－4，4，
所以B＝{－4，4}.
③一次函數y＝x＋2的圖象與坐標軸的所有交點組成的集合C.
解：由y＝x＋2，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝－2；所以一次函數y＝x＋2的圖象與坐標軸的所有交點為(0，2)，(－2，0)，所以C＝{(0，2)，(－2，0)}.
(2)(鏈教材P3例2)用描述法表示下列集合：
①小于6的所有的整數組成的集合A；
解：設x∈A，則x∈Z，且使x＜6成立，因此用描述法可以表示為A＝{x∈Z｜x＜6}.
②被3除余2的正整數組成的集合B；
解：設被3除余2的數為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整數組成的集合B＝{x｜x＝3n＋2，n∈N}.
③平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合C.
解：平面直角坐標系中第二象限內的點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，即x＜0，y＞0，故第二象限內的點組成的集合為C＝{(x，y)｜x＜0，y＞0}.
1.用列舉法表示集合應注意
(1)應先弄清集合中的元素是什么，是數還是點，還是其他元素；
(2)若集合中的元素是點，則應將有序實數對用小括號括起來表示一個元素.
2.利用描述法表示集合應注意
規律方法
對點練3.選擇適當的方法表示下列集合：
(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解組成的集合；
解：因為方程(x－1)2(x－2)＝0的解為1或2，故用列舉法表示為{1，2}.
(2)不大于15的質數集；
解：不大于15的質數有2，3，5，7，11，13，故用列舉法表示為{2，3，5，7，11，13}.
(3)坐標平面內，所有不在第一、三象限的點組成的集合.
解：因為不在第一、三象限的點分布在第二、四象限或坐標軸上，所以坐標平面內，所有不在第一、三象限的點組成的集合用描述法表示為{(x，y)｜xy≤0，x∈R，y∈R}.
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任務四　區間及其表示
問題5.你能用列舉法表示集合{x｜x－5＜2}嗎？你還有其他的方法表示{x｜x－5＜2}嗎？
提示：集合{x｜x－5＜2}可化簡為{x｜x＜7}，因為滿足x＜7的實數有無數多個，所以無法用列舉法表示；還可以用區間表示.
問題導思
1.區間的概念(a，b為實數，且a＜b)
新知構建
集合表示 名稱 符號表示 數軸表示
{x｜a≤x≤b} 閉區間 ________
{x｜a＜x＜b} 開區間 ________
{x｜a≤x＜b} 半開半閉區間 ________
{x｜a＜x≤b} 半開半閉區間 ________
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
2.特殊區間的表示
定義 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜x≤b} {x｜x＜b}
區間 _________
_________ ___________ ___________ ____________ ___________
(－∞，
＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
(1)區間是數集的另一種表示方法，那么任何數集都能用區間表示嗎？
提示：不是任何數集都能用區間表示，如集合{0}就不能用區間表示.
微思考
(2)“∞”是數嗎？以“－∞”或“＋∞”作為區間一端時，這一端可以是中括號嗎？
提示：“∞”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數.以“－∞”或“＋∞”作為區間一端時，這一端必須是小括號.
(1)不等式x－2≥0的所有解組成的集合表示成區間是
A.(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(－∞，2]
√
典例
4
不等式x－2≥0的所有解組成的集合為{x｜x≥2}，表示成區間為[2，＋∞).故選B.
(2)若[a，5a－2]為一個確定區間，則實數a的取值范圍是__________.

區間表示的關注點
1.(1)區間左端點值小于右端點值；(2)區間兩端點之間用“，”隔開；(3)含端點值的一端用中括號，不含端點值的一端用小 括號.
2.區間的幾何意義可用數軸表示，用實心點表示包括在區間內的端點，用空心點表示不包括在區間內的端點.
規律方法
對點練4.(多選題)下列敘述正確的是
A.{x｜x＞1}用區間可表示為[1，＋∞)
B.{x｜－3＜x≤2}用區間可表示為(－3，2]
C.(－∞，3]用集合可表示為{x｜x＜3}
D.[2，4]用集合可表示為{x｜2≤x≤4}
√
√
對于A，{x｜x＞1}用區間可表示為(1，＋∞)，故A錯誤；對于B，{x｜－3＜x≤2}用區間可表示為(－3，2]，故B正確；對于C，(－∞，3]用集合可表示為{x｜x≤3}，故C錯誤；對于D，[2，4]用集合可表示為{x｜2≤x≤4}，故D正確.故選BD.
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任務五　利用集合中元素的性質求參數
已知集合A＝{a2＋4a＋1，a＋1}，B＝{x｜x2＋px＋q＝0}，1∈A.
(1)求實數a的值；
解：因為1∈A，所以a2＋4a＋1＝1，或a＋1＝1，得a＝－4，或a＝0.
當a＝0時，a2＋4a＋1＝a＋1＝1，不符合元素的互異性，故a＝0舍去；
當a＝－4時，a2＋4a＋1＝1，a＋1＝－3，符合題意.所以a＝－4.
典例
5
(2)如果集合A是集合B的列舉表示法，求實數p，q的值.
解：由(1)得A＝{1，－3}，故集合B中，方程x2＋px＋q＝0的兩根為1， －3.
由一元二次方程根與系數的關系，得p＝－[1＋(－3)]＝2，q＝1×(－3)＝－3.
變式探究
(變條件)若將本例中“1∈A”換成“2a∈A”，求實數a的值.
解：因為2a∈A，所以a2＋4a＋1＝2a，或a＋1＝2a，解得a＝－1，或a＝1.
當a＝－1時，此時集合A中有兩個元素－2，0，符合題意；
當a＝1時，此時集合A中有兩個元素6，2，符合題意.
故所求a的值為－1或1.
根據集合中元素的特性求值的三個步驟
規律方法
對點練5.(開放題)有限數集S中至少含有1個元素且滿足：若a，b∈S，則必有a2，b2，ab∈S.則滿足條件且含有兩個元素的數集S＝________________.
(寫出一個即可)
{0，1}(或{－1，1})
不妨設S＝{a，b}，根據題意有a2，ab，b2∈S，所以a2，b2，ab中必有兩個是相等的.若a2＝b2，則a＝－b，故ab＝－a2，又a2＝a，或a2＝b＝－a，所以a＝0(舍去)，或a＝1，或a＝－1，此時S＝{－1，1}.
若a2＝ab，則a＝0，此時b2＝b，故b＝1，
此時S＝{0，1}.若b2＝ab，則b＝0，此時a2＝a，故a＝1，此時S＝{0，1}.
綜上，S＝{0，1}或S＝{－1，1}.
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課堂小結
任務
再現 1.元素與集合的概念、元素與集合的關系.
2.常用數集的表示.
3.集合中元素的特性及應用.
4.集合的表示方法：列舉法、描述法、區間
方法
提煉 1.判斷元素與集合的關系：直接法、推理法.
2.利用集合中元素的性質求參數：分類討論思想、等價轉化思想
易錯
警示 1.集合中忽略互異性的判斷.
2.自然數集中容易遺忘0這個元素
隨堂評價
1.下列四組對象，能構成集合的是
A.某中學所有高個子的學生
B.倒數等于它自身的實數
C.一切較大的數
D.中國著名的藝術家
√
某中學所有高個子的學生，一切較大的數，中國著名的藝術家，元素不明確；倒數等于它自身的實數，符合集合元素的確定性.故選B.
2.若x1，x2，x3，x4為集合A的4個元素，則以x1，x2，x3，x4為邊長的四邊形可能是
A.等腰梯形 B.直角梯形
C.菱形 D.矩形
√
根據集合中元素的互異性，以x1，x2，x3，x4為邊長的四邊形，四條邊均不相等，選項中只有直角梯形可能滿足要求.故選B.
3.設集合B＝{x∈N*｜－1≤x＜3}，則
A.－1∈B B.0∈B
C.2∈B D.3∈B
√
由題意可知：集合B＝{1，2}，所以－1 B，0 B，2∈B，3 B，即A，B，D錯誤，C正確.故選C.
4.若實數x滿足{x｜3≤x＜7}，則用區間表示為__________.
[3，7)
由3≤x＜7可知x可以等于3，不能等于7，所以是半開半閉區間，故表示為[3，7).
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課時分層評價
1.(多選題)下列對象能構成集合的有
A.接近于2 025的所有正整數
B.小于－3的實數
C.未來10年內的房價趨勢
D.點M(3，2)與點N(4，3)
√
對于A，接近于2 025的所有正整數的標準不明確，不能構成集合；對于B，小于－3的實數是確定的，能構成集合；對于C，未來10年內的房價趨勢不明確，不能構成集合；對于D，點M(3，2)與點N(4，3)是兩個不同的點，是確定的，能構成集合.故選BD.
√
2.集合{x∈N＋｜x＜5}的另一種表示法是
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
√
由x＜5，且x∈N＋，得x＝1，2，3，4，故集合可表示為{1，2，3，4}.故選B.
3.下列集合是空集的是
A.{x｜x＞0，或x＜－5} B.{x｜x＞4}
C.{x｜x2≤0} D.{x｜x＞5，且x＜－4}
√
A，B，C選項的集合中均含有元素，均不為空集；D中集合沒有任何元素，為空集.故選D.
4.已知集合A＝{a，｜a｜，a－3}，若3∈A，則實數a的值為
A.－3 B.3
C.3或－3 D.6
√
因為3∈A，所以｜a｜＝3或a－3＝3，當｜a｜＝3時，得到a＝－3或a＝3，又a＝－3時，A＝{－3，3，－6}，滿足題意，a＝3時，a＝｜a｜＝3，不滿足集合元素的互異性，當a－3＝3，得到a＝6，此時a＝｜a｜＝6，不滿足集合元素的互異性.故選A.
5.(多選題)下列說法正確的有
A.10以內的質數組成的集合是{0，2，3，5，7}
B.由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，1，2}
C.方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1}
D.若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是等腰三角形
√
√
對于A，0不是質數，故A錯誤；對于B，根據集合元素的無序性可知{1，2，3}＝{3，1，2}，故B正確；對于C，根據集合元素的互異性可知方程x2－2x＋1＝0的解集是{1}，故C錯誤；對于D，根據集合元素的互異性可知a，b，c兩兩不相等，故△ABC一定不是等腰三角形，故D正確.故選BD.
6.能被8整除的所有正整數組成的集合可表示為
A.{x｜x＝8k，k∈N} B.{x｜x＝8k＋8，k∈N}
C.{1，2，4} D.{1，2，4，8}
√
能被8整除的所有正整數組成的集合應為無限集，因此C，D排除；由于A中的集合包含0，因此不符合正整數的要求，故A排除；對于B，符合能被8整除的所有正整數組成的集合，因此B正確.故選B.
{2，0，－2}
∈
9.(開放題)已知a≥1，集合A＝{x｜2－a≤x≤a}中有且只有三個整數，則符合條件的實數a的一個值是_____________.
由題設4＞a－(2－a)≥2且a≥1，可得2≤a＜3，所以符合條件的一個a值為2(答案不唯一).
2(答案不唯一)
10.(10分)已知含有兩個元素的集合A＝{m，m2－3m}，其中m∈R.
(1)實數m不能取哪些數？
解：根據題意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，實數m不能取0和4.
(2)若4∈A，求實數m的值.
解：由(1)的結論，可知m≠4，若4∈A，則m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合題意)，因此，實數m的值是－1.
11.若集合M＝{(x－y，x＋y)｜y＝2x}，則
A.(1，3)∈M B.(－1，3)∈M
C.(－1，2)∈M D.(1，2)∈M
√
12.若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5個元素，則實數m的取值范圍為
A.[－1，0) B.(－1，0]
C.(－1，0) D.[－2，－1)
√
若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5個元素，則這5個元素只能是3，2，1，0，－1，這表明m＜－1，m≥－2，即實數m的取值范圍為[－2，－1).故選D.
13.(多選題)設a，b∈A＝{x｜x＝3m＋1，m∈Z}，c∈B＝{x｜x＝3k－1，k∈Z}，則
A.a＋b∈A B.ab∈A
C.a＋b∈B D.ac∈B
√
√
√
設a＝3u＋1，b＝3v＋1，c＝3w－1(u，v，w∈Z)，而a＋b＝3(u＋v)＋2＝3(u＋v＋1)－1∈B，即A錯誤，C正確；ab＝9uv＋3(u＋v)＋1＝3(3uv＋u＋v)＋1∈A，即B正確；ac＝9uw＋3(w－u)－1＝3(3uw－u＋w)－1∈B，即D正確.故選BCD.
14.(10分)已知集合A＝{x∈R｜ax2－3x＋1＝0，a∈R}.
(1)若1∈A，求實數a的值；
解：由1∈A，得a×12－3×1＋1＝0，解得a＝2，所以實數a的值為2.
√

(2)寫出所有滿足集合A的偶數.
解：由m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m∈Z，n∈Z，
當m和n同為奇數和偶數時，m＋n，m－n均為偶數，
所以(m＋n)(m－n)為4的倍數；
當m和n為一奇一偶時，m＋n，m－n均為奇數，所以(m＋n)(m－n)為奇數.
綜上，所有滿足集合A的偶數為4k(k∈Z).
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