資源簡介

§2　常用邏輯用語
2.1　必要條件與充分條件
第1課時　必要條件與性質定理、充分條件與判定定理
學習目標 1.通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系.　2.通過對典型數學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系，培養邏輯推理的核心素養.
任務一　必要條件與性質定理
問題1.請同學們觀察下列性質定理，它們的條件與結論之間具有怎樣的邏輯關系呢？
定理1　菱形的對角線互相垂直.
定理2　如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.
定理3　如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的對應角相等.
提示：在這三個性質定理中，每個定理的條件都能推出結論；但由結論不一定能得到定理的條件.
1.命題的概念及結構形式
可以判斷真假，用文字或符號表述的陳述句叫作命題.一個命題通常可以表示為“若p，則q”和“p是q”兩種形式.當命題表示為“若p，則q”時，p是命題的條件，q是命題的結論.當命題“若p，則q”是真命題時，就說由p推出q，記作p q.
2.必要條件
必要條件 一般地，當命題“若p，則q”是真命題時，稱q是p的必要條件，也就是說，一旦q不成立，p一定也不成立，即q對于p的成立是必要的
性質定理 與必要條 件的關系 數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件
[微提醒]　(1)前提p q，有方向，條件在前，結論在后.(2)只有“若p，則q”為真命題時，才有“p q”.(3)“q是p的必要條件”還可以換種說法“p的必要條件是q”.
(鏈教材P15T1)用必要條件的語言表述下面的性質：
(1)若 RA RB，則B A；
(2)正方形的對角線互相平分且相等；
(3)兩條直線被第三條直線所截，如果兩條直線平行，那么內錯角相等.
解：(1)B A是 RA RB的必要條件.
(2)四邊形的對角線互相平分且相等是該四邊形為正方形的必要條件.
(3)兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等是兩條直線平行的必要條件.
必要條件的兩種判斷方法
1.定義法
2.命題判斷法
(1)如果命題“若p，則q”是真命題，則q是p的必要條件；
(2)如果命題“若p，則q”是假命題，則q不是p的必要條件.
對點練1.下列所給的各組p，q中，q是否是p的必要條件？
(1)p：一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等；
(2)p：A B，q：A∩B＝A；
(3)p：a＞b，q：ac＞bc；
(4)若xy為無理數，則x，y為無理數.
解：(1)因為矩形的對角線相等，所以q是p的必要條件.
(2)由A B，可得A∩B＝A，所以p q，所以q是p的必要條件.
(3)當c＝0時，a＞b推不出ac＞bc，故pq，所以q不是p的必要條件.
(4)由于1×＝為無理數，但1，不全是無理數，可得pq，所以 q不是p的必要條件.
任務二　充分條件與判定定理
問題2.觀察下面的判定定理，它們的條件與結論之間具有怎樣的邏輯關系呢？
定理1　若a＞0，b＞0，則ab＞0.
定理2　對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
定理3　在一個平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.
提示：由判定定理中的條件均能得到結論，反之由結論不一定能得到條件，也就是說條件是結論的充分條件，而不一定是必要條件.
充分條件
充分條件 一般地，當命題“若p，則q”是真命題時，稱p是q的充分條件
判定定理 與充分條 件的關系 數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件
必要條件 與充分條件 對于真命題“若p，則q”，即p q時，稱q是p的必要條件，也稱p是q的充分條件
[微提醒]　(1)敘述充分、必要條件時，注意p和q的前后順序.(2)“p是q的充分條件”還可以換種說法“q的充分條件是p”.
[微思考]　(1)若p是q的充分條件，這樣的條件p是唯一的嗎？
(2)以下五種表述形式：①p q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q.這五種表述形式等價嗎？
提示：(1)不唯一，如1＜x＜3和x＞5，2＜x＜7等都是x＞0的充分條件.
(2)這五種表述形式是等價的.
(鏈教材P16例2)下列所給的各組p，q中，p是否是q的充分條件？
(1)在△ABC中，p：∠B＞∠C，q：AC＞AB；
(2)已知x∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；
(3)已知x∈R，p：x＞1，q：x＞2.
解：(1)在△ABC中，∠B＞∠C AC＞AB，即p q，所以p是q的充分條件.
(2)由于x＝1 (x－1)(x－2)＝0，即p q，所以p是q的充分條件.
(3)法一：由x＞1x＞2，即pq，所以p不是q的充分條件.
法二：設集合A＝，B＝，則B真包含于A，所以p不是q的充分條件.
充分條件的兩種判斷方法
1.定義法
2.命題判斷法
(1)如果命題“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；
(2)如果命題“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件.
對點練2.(1)(多選題)下列命題中，p是q的充分條件的是(　　)
A.p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0
B.p：兩個三角形面積相等，q：兩個三角形全等
C.p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4，ab＞4
D.已知a，b為正實數，p：a＞b＞1，q：a2＞b2＞0
(2)集合A＝，B＝{x｜－a＜x－b＜a}.若“a＝1”是“A∩B＝ ”的充分條件，則實數b的取值范圍是　　　　　　　.
答案：(1)CD　(2)∪
解析：(1)對于A，因為(x－2)(x－3)＝0，所以x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0，所以p不是q的充分條件，故A錯誤；對于B，因為兩個三角形面積相等，不能推出兩個三角形全等，所以p不是q的充分條件，故B錯誤；對于C，由a＞2且b＞2 a＋b＞4，ab＞4，所以p是q的充分條件，故C正確；對于D，因為a＞b＞1 a2＞b2＞0，所以p是q的充分條件，故D正確.故選CD.
(2)由A＝{x｜－1＜x＜1}，當a＝1時，B＝{x｜－a＜x－b＜a}＝{x｜b－a＜x＜b＋a}＝{x｜b－1＜x＜b＋1}，由“a＝1”是“A∩B＝ ”的充分條件，則b＋1≤－1或b－1≥1，解得b≤－2或b≥2，所以實數b的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
任務三　充分條件與必要條件的應用
已知p：實數x滿足3a＜x＜a，其中a＜0；q：實數x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實數a的取值范圍.
解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，
即集合A＝{x｜3a＜x＜a，a＜0}，
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}.
因為p q，所以A B，
所以
所以－≤a＜0，
所以實數a的取值范圍是.
[變式探究]
1.(變條件)將本例中條件p改為“實數x滿足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要條件，求實數a的取值范圍.
解：p：a＜x＜3a，其中a＞0，
即集合A＝{x｜a＜x＜3a，a＞0}，
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}.
因為q p，所以B A，
所以所以a∈ .
2.(變條件)將本例中的條件q改為“實數x滿足－3≤x≤0”，其他條件不變，求實數a的取值范圍.
解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，
即集合A＝{x｜3a＜x＜a，a＜0}，
q：－3≤x≤0，即集合B＝{x｜－3≤x≤0}.
因為p是q的充分條件，
所以p q，所以A B，
所以
所以－1≤a＜0.
所以實數a的取值范圍是[－1，0).
充分條件與必要條件的應用及求解技巧
1.應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題.
2.求解技巧：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解.
對點練3.已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a≠0.
(1)若p是q的充分條件，求實數a的取值范圍；
(2)若p是q的必要條件，求實數a的取值范圍.
解：根據題意，設命題p對應的集合為A＝{x｜x＞2}，命題q所對應的集合為B＝{x｜ax－4＞0}，
(1)若p是q的充分條件，則A B，則解得a≥2，則實數a的取值范圍為[2，＋∞).
(2)若p是q的必要條件，則B A，
①當a＞0時，由B A，得≥2，得0＜a≤2，
②當a＜0時，則＜0，則B＝{x｜x＜} A，不滿足題意.
綜上，實數a的取值范圍為(0，2].
任務 再現 1.必要條件、充分條件的概念.2.必要條件與性質定理、充分條件與判定定理的關系
方法 提煉 定義法、命題判斷法、化歸思想
易錯 警示 1.必要條件、充分條件不唯一.2.求參數范圍時，端點值能否取到容易出現錯誤
1.(多選題)使x＞1成立的一個必要條件可以是(　　)
A.x＞0 B.x＞－1
C.x＞2 D.x＜2
答案：AB
解析：只有x＞1 x＞0，x＞1 x＞－1，其他選項均不可由x＞1推出.故選AB.
2.(多選題)下列說法中正確的是(　　)
A.“A∩B＝B”是“B＝ ”的必要條件
B.“x＝3”的必要條件是“x2－2x－3＝0”
C.“m是實數”的充分條件是“m是有理數”
D.“｜x｜＝1”是“x＝1”的充分條件
答案：ABC
解析：對于A，由A∩B＝B得B A，所以“B＝ ”可推出“A∩B＝B”，故A正確；對于B，解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要條件是“x2－2x－3＝0”，故B正確；對于C，“m是有理數”可以推出“m是實數”，故C正確；對于D，解方程｜x｜＝1，得x＝±1，則由“｜x｜＝1”不能推出“x＝1”，故D錯誤.故選ABC.
3.“a＋b是偶數”是“a和b都是偶數”的　　　　條件.(用“充分”“必要”填空)
答案：必要
解析：因為當a＋b是偶數時，a，b可以都是奇數，所以“a＋b是偶數”不能推出“a和b都是偶數”，顯然“a和b都是偶數” “a＋b是偶數”.所以“a＋b是偶數”是“a和b都是偶數”的必要條件.
4.設α：2＜x≤5，β：x＞m，若α是β的充分條件，則實數m的取值范圍是　　　　　.
答案：
解析：由題意可得m≤2.
課時分層評價5　必要條件與性質定理、充分條件與判定定理
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.使x＞2 025成立的一個充分條件是(　　)
A.x＞2 026 B.x＞2 024
C.x＞2 023 D.x＜2 026
答案：A
解析：只有x＞2 026 x＞2 025，其他選項均不可推出x＞2 025.故選A.
2.兩個三角形全等的充分條件是(　　)
A.兩個三角形的兩角對應相等
B.兩個三角形的兩邊對應成比例且夾角相等
C.兩個三角形的三邊對應成比例
D.兩個三角形的兩邊對應相等且夾角相等
答案：D
解析：根據全等三角形的判定定理可得，當兩個三角形的兩邊及其夾角對應相等時，兩個三角形全等.故選D.
3.下列選項中，p是q的必要條件的是(　　)
A.p：a＝－1，q：｜a｜＝1 B.p：－1＜a＜1，q：a＜1
C.p：a＜b，q：a＜b＋1 D.p：a＞b，q：a＞b＋1
答案：D
解析：要滿足p是q的必要條件，即q p，只有q：a＞b＋1 p：a＞b符合題意.故選D.
4.(多選題)對任意實數a，b，c，下列命題中，假命題的是(　　)
A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要條件
B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件
C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分條件
D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件
答案：ACD
解析：對于A，a＞b，若c≤0，則ac≤bc，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的必要條件，A錯誤；對于B，a＝b a－b＝0 (a－b)c＝0 ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件，B正確；對于C，ac＞bc，若c＜0，則a＜b，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的充分條件，C錯誤；對于D，ac＝bc，若c＝0，則a＝b不成立，因此“ac＝bc”不是“a＝b”的充分條件，D錯誤.故選ACD.
5.已知P＝{x｜2a－4＜x＜a＋5}，Q＝{x｜2＜x＜3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數a的取值范圍是(　　)
A.[－1，5] B.(－1，5]
C.[－2，3] D.[－2，3)
答案：C
解析：因為“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，所以Q P，所以解得－2≤a≤3.故選C.
6.(多選題)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的是(　　)
A.若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似
B.若x＞5，則x＞10
C.若ac＝bc，則a＝b
D.若0＜x＜5，則｜x－1｜＜1
答案：BCD
解析：對于A，兩個相似的三角形不一定全等，故A不正確；對于B，x＞10能推出x＞5，故B正確；對于C，由a＝b能推出ac＝bc，故C正確；對于D，若｜x－1｜＜1，則0＜x＜2，能推出0＜x＜5，故D正確.故選BCD.
7.設四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的　　　　條件.(填“充分”或“必要”)
答案：充分
解析：若“四邊形ABCD為菱形”，則“AC⊥BD”成立；而若“AC⊥BD”成立，則“四邊形ABCD不一定是菱形”，所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件.
8.下列說法中正確的有　　　　(填序號).
①x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分條件；
②x＞1是x＞2的充分條件；
③x＋y＞2是x＞1，y＞1的必要條件.
答案：①③
解析：①正確，因為x＝1 (x－1)(x－2)＝0；②錯誤，因為x＞1不能推出x＞2；③正確，因為x＞1，y＞1 x＋y＞2.
9.設條件p：｜x｜≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分條件，則m的最大值為　　　　.
答案： 1
解析：因為｜x｜≤m(m＞0)，所以－m≤x≤m(m＞0)，由p是q的充分條件，得解得0＜m≤1，所以m的最大值為1.
10.(10分)已知命題p：實數x滿足a＜x＜4a，其中a＞0；命題q：實數x滿足2＜x＜4.
(1)若a＝1，則p是q的什么條件？(充分、必要)
(2)若p是q的必要條件，求實數a的取值范圍.
解：(1)由a＝1，得p：1＜x＜4，記集合A＝{x｜1＜x＜4}，
q：2＜x＜4，記集合B＝{x｜2＜x＜4}.
因為B是A的真子集，所以p是q的必要條件.
(2)p：a＜x＜4a，其中a＞0，記集合A＝{x｜a＜x＜4a，a＞0}，
q：2＜x＜4，記集合B＝{x｜2＜x＜4}，
因為p是q的必要條件，
所以B A，即所以1≤a≤2.
所以實數a的取值范圍為{a｜1≤a≤2}.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.(多選題)如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么(　　)
A.丙是甲的充分條件 B.丙不是甲的充分條件
C.丙是甲的必要條件 D.丙不是甲的必要條件
答案：AD
解析： 因為甲是乙的必要條件，所以乙 甲.又因為丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，所以丙 乙，但乙不能推出丙，如圖.綜上，有丙 甲，但甲不能推出丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件.故選AD.
12.已知p：x∈A＝{x｜x＜－1，或x≥3}，q：x∈B＝}，若p是q的必要條件，則實數a的范圍是(　　)
A. B.
C.∪ D.∪
答案：A
解析：由題意知：B A，①當a＜0時，B＝＝，B A，故－≥3，解得a≥－，故－≤a＜0；②當a＝0時，B＝＝ ，滿足B A；③當a＞0時，B＝＝，B A，故－＜－1，解得a＜1，故0＜a＜1.綜上所述：a∈.故選A.
13.(多選題)已知a＞b＞0，則使得＞成立的充分條件可以是(　　)
A.c＝－2 B.c＝－1
C.c＝1 D.c＝2
答案：AB
解析：＞可化為1＋＞1＋，即＞，由a＞b＞0，故bc＞ac，即(a－b)c＜0，即c＜0，故A，B正確；C，D錯誤.故選AB.
14.(10分)設全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤5}，非空集合B＝{x｜2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數a的取值范圍；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分條件，求實數a的取值范圍.
解：(1)因為“x∈A”是“x∈B”的充分條件，
所以A B，所以
所以a≥2，
故實數a的取值范圍是{a｜a≥2}.
(2)因為“x∈B”是“x∈A”的充分條件，
所以B A.則
解得≤a≤1.
故實數a的取值范圍是.
15.(5分)(新情境) (多選題)設計如圖所示的四個電路圖，條件A：“開關S1閉合”；條件B：“燈泡L亮”，則A是B的必要條件的圖為(　　)
答案：BC
解析：對于A，開關S1閉合燈亮，反過來燈泡L亮，也可能是開關S2閉合，所以A是B的充分條件；對于B，只有一個開關，燈如果要亮，開關S1必須閉合，所以A既是B的充分條件也是B的必要條件；對于C，因為燈亮必須S1和S2同時閉合，所以A是B的必要條件；對于D，燈一直亮，跟開關沒有關系，所以A是B的既不充分也不必要條件.故選BC.
16.(15分)(開放題)已知集合A＝{x｜－2≤x≤6}，B＝{x｜1－m≤x≤1＋m}，m＞0.請在①充分條件，②必要條件，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題(2)的橫線上，若問題(2)中的實數m存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
(1)若A∪B＝A，求實數m的取值范圍；
(2)若x∈A是x∈B的　　　　條件，判斷實數m是否存在？
解：(1)若A∪B＝A，則B A，則
解得0＜m≤3，
所以實數m的取值范圍是(0，3] .
(2)若選擇條件①，即x∈A是x∈B的充分條件，則A B，
所以解得m≥5，
所以實數m的取值范圍是[5，＋∞).
若選擇條件②，即x∈A是x∈B的必要條件，則B A，
所以解得0＜m≤3.
所以實數m的取值范圍是.
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第1課時　必要條件與性質定理、充分條件與判定定理
　
第一章　§2　2.1　必要條件與充分條件
學習目標
1.通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系.　
2.通過對典型數學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系，培養邏輯推理的核心素養.
任務一　必要條件與性質定理
問題1.請同學們觀察下列性質定理，它們的條件與結論之間具有怎樣的邏輯關系呢？
定理1　菱形的對角線互相垂直.
定理2　如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.
定理3　如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的對應角相等.
提示：在這三個性質定理中，每個定理的條件都能推出結論；但由結論不一定能得到定理的條件.
問題導思
1.命題的概念及結構形式
可以判斷______，用____________表述的陳述句叫作命題.一個命題通常可以表示為“若p，則q”和“p是q”兩種形式.當命題表示為“若p，則q”時，p是命題的______，q是命題的______.當命題“若p，則q”是真命題時，就說__________，記作______.
2.必要條件
新知構建
必要條件 一般地，當命題“若p，則q”是____命題時，稱q是p的必要條件，也就是說，一旦q不成立，p一定也不成立，即q對于p的成立是______的
性質定理
與必要條
件的關系 數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個______條件
真假
文字或符號
條件
結論
由p推出q
p q
真
必要
必要
(1)前提p q，有方向，條件在前，結論在后.(2)只有“若p，則q”為真命題時，才有“p q”.(3)“q是p的必要條件”還可以換種說法“p的必要條件是q”.
微提醒
(鏈教材P15T1)用必要條件的語言表述下面的性質：
(1)若 RA RB，則B A；
解：B A是 RA RB的必要條件.
典例
1
(2)正方形的對角線互相平分且相等；
解：四邊形的對角線互相平分且相等是該四邊形為正方形的必要條件.
(3)兩條直線被第三條直線所截，如果兩條直線平行，那么內錯角相等.
解：兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等是兩條直線平行的必要條件.
必要條件的兩種判斷方法
1.定義法
2.命題判斷法
(1)如果命題“若p，則q”是真命題，則q是p的必要條件；
(2)如果命題“若p，則q”是假命題，則q不是p的必要條件.
規律方法
對點練1.下列所給的各組p，q中，q是否是p的必要條件？
(1)p：一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等；
解：因為矩形的對角線相等，所以q是p的必要條件.
(2)p：A B，q：A∩B＝A；
解：由A B，可得A∩B＝A，所以p q，所以q是p的必要條件.
(3)p：a＞b，q：ac＞bc；
解：當c＝0時，a＞b推不出ac＞bc，故p q，所以q不是p的必要條件.
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任務二　充分條件與判定定理
問題2.觀察下面的判定定理，它們的條件與結論之間具有怎樣的邏輯關系呢？
定理1　若a＞0，b＞0，則ab＞0.
定理2　對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
定理3　在一個平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.
提示：由判定定理中的條件均能得到結論，反之由結論不一定能得到條件，也就是說條件是結論的充分條件，而不一定是必要條件.
問題導思
充分條件
新知構建
充分條件 一般地，當命題“若p，則q”是真命題時，稱p是q的______條件
判定定理
與充分條
件的關系 數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個______條件
必要條件
與充分條件 對于真命題“若p，則q”，即p q時，稱q是p的______條件，也稱p是q的______條件
充分
充分
必要
充分
(1)敘述充分、必要條件時，注意p和q的前后順序.(2)“p是q的充分條件”還可以換種說法“q的充分條件是p”.
微提醒
(1)若p是q的充分條件，這樣的條件p是唯一的嗎？
提示：不唯一，如1＜x＜3和x＞5，2＜x＜7等都是x＞0的充分條件.
微思考
(2)以下五種表述形式：①p q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q.這五種表述形式等價嗎？
提示：這五種表述形式是等價的.
(鏈教材P16例2)下列所給的各組p，q中，p是否是q的充分條件？
(1)在△ABC中，p：∠B＞∠C，q：AC＞AB；
解：在△ABC中，∠B＞∠C AC＞AB，即p q，所以p是q的充分條件.
典例
2
(2)已知x∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；
解：由于x＝1 (x－1)(x－2)＝0，即p q，所以p是q的充分條件.
充分條件的兩種判斷方法
1.定義法
規律方法
2.命題判斷法
(1)如果命題“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；
(2)如果命題“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件.
規律方法
對點練2.(1)(多選題)下列命題中，p是q的充分條件的是
A.p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0
B.p：兩個三角形面積相等，q：兩個三角形全等
C.p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4，ab＞4
D.已知a，b為正實數，p：a＞b＞1，q：a2＞b2＞0
√
√
對于A，因為(x－2)(x－3)＝0，所以x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0，所以p不是q的充分條件，故A錯誤；對于B，因為兩個三角形面積相等，不能推出兩個三角形全等，所以p不是q的充分條件，故B錯誤；對于C，由a＞2且b＞2 a＋b＞4，ab＞4，所以p是q的充分條件，故C正確；對于D，因為a＞b＞1 a2＞b2＞0，所以p是q的充分條件，故D正確.故選CD.
由A＝{x｜－1＜x＜1}，當a＝1時，B＝{x｜－a＜x－b＜a}＝{x｜b－a＜x＜b＋a}＝{x｜b－1＜x＜b＋1}，由“a＝1”是“A∩B＝ ”的充分條件，則b＋1≤－1或b－1≥1，解得b≤－2或b≥2，所以實數b的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
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任務三　充分條件與必要條件的應用
典例
3
充分條件與必要條件的應用及求解技巧
1.應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題.
2.求解技巧：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解.
規律方法
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課堂小結
任務
再現 1.必要條件、充分條件的概念.
2.必要條件與性質定理、充分條件與判定定理的關系
方法
提煉 定義法、命題判斷法、化歸思想
易錯
警示 1.必要條件、充分條件不唯一.
2.求參數范圍時，端點值能否取到容易出現錯誤
隨堂評價
1.(多選題)使x＞1成立的一個必要條件可以是
A.x＞0 B.x＞－1
C.x＞2 D.x＜2
√
√
只有x＞1 x＞0，x＞1 x＞－1，其他選項均不可由x＞1推出.故選AB.
2.(多選題)下列說法中正確的是
A.“A∩B＝B”是“B＝ ”的必要條件
B.“x＝3”的必要條件是“x2－2x－3＝0”
C.“m是實數”的充分條件是“m是有理數”
D.“｜x｜＝1”是“x＝1”的充分條件
√
√
√
對于A，由A∩B＝B得B A，所以“B＝ ”可推出“A∩B＝B”，故A正確；對于B，解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要條件是“x2－2x－3＝0”，故B正確；對于C，“m是有理數”可以推出“m是實數”，故C正確；對于D，解方程｜x｜＝1，得x＝±1，則由“｜x｜＝1”不能推出“x＝1”，故D錯誤.故選ABC.
3.“a＋b是偶數”是“a和b都是偶數”的________條件.(用“充分”“必要”填空)
必要
因為當a＋b是偶數時，a，b可以都是奇數，所以“a＋b是偶數”不能推出“a和b都是偶數”，顯然“a和b都是偶數” “a＋b是偶數”.所以“a＋b是偶數”是“a和b都是偶數”的必要條件.
4.設α：2＜x≤5，β：x＞m，若α是β的充分條件，則實數m的取值范圍是____________.

由題意可得m≤2.
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課時分層評價
1.使x＞2 025成立的一個充分條件是
A.x＞2 026 B.x＞2 024
C.x＞2 023 D.x＜2 026
√
只有x＞2 026 x＞2 025，其他選項均不可推出x＞2 025.故選A.
2.兩個三角形全等的充分條件是
A.兩個三角形的兩角對應相等
B.兩個三角形的兩邊對應成比例且夾角相等
C.兩個三角形的三邊對應成比例
D.兩個三角形的兩邊對應相等且夾角相等
√
根據全等三角形的判定定理可得，當兩個三角形的兩邊及其夾角對應相等時，兩個三角形全等.故選D.
3.下列選項中，p是q的必要條件的是
A.p：a＝－1，q：｜a｜＝1 B.p：－1＜a＜1，q：a＜1
C.p：a＜b，q：a＜b＋1 D.p：a＞b，q：a＞b＋1
√
要滿足p是q的必要條件，即q p，只有q：a＞b＋1 p：a＞b符合題意.故選D.
4.(多選題)對任意實數a，b，c，下列命題中，假命題的是
A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要條件
B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件
C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分條件
D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件
√
對于A，a＞b，若c≤0，則ac≤bc，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的必要條件，A錯誤；對于B，a＝b a－b＝0 (a－b)c＝0 ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件，B正確；對于C，ac＞bc，若c＜0，則a＜b，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的充分條件，C錯誤；對于D，ac＝bc，若c＝0，則a＝b不成立，因此“ac＝bc”不是“a＝b”的充分條件，D錯誤.故選ACD.
√
√
5.已知P＝{x｜2a－4＜x＜a＋5}，Q＝{x｜2＜x＜3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數a的取值范圍是
A.[－1，5] B.(－1，5]
C.[－2，3] D.[－2，3)
√

6.(多選題)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的是
A.若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似
B.若x＞5，則x＞10
C.若ac＝bc，則a＝b
D.若0＜x＜5，則｜x－1｜＜1
√
對于A，兩個相似的三角形不一定全等，故A不正確；對于B，x＞10能推出x＞5，故B正確；對于C，由a＝b能推出ac＝bc，故C正確；對于D，若｜x－1｜＜1，則0＜x＜2，能推出0＜x＜5，故D正確.故選BCD.
√
√
7.設四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的_______條件.(填“充分”或“必要”)
若“四邊形ABCD為菱形”，則“AC⊥BD”成立；而若“AC⊥BD”成立，則“四邊形ABCD不一定是菱形”，所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件.
充分
8.下列說法中正確的有_______(填序號).
①x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分條件；
②x＞1是x＞2的充分條件；
③x＋y＞2是x＞1，y＞1的必要條件.
①正確，因為x＝1 (x－1)(x－2)＝0；②錯誤，因為x＞1不能推出x＞2；③正確，因為x＞1，y＞1 x＋y＞2.
①③
9.設條件p：｜x｜≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分條件，則m的最大值為_____.

1
10.(10分)已知命題p：實數x滿足a＜x＜4a，其中a＞0；命題q：實數x滿足2＜x＜4.
(1)若a＝1，則p是q的什么條件？(充分、必要)
解：由a＝1，得p：1＜x＜4，記集合A＝{x｜1＜x＜4}，
q：2＜x＜4，記集合B＝{x｜2＜x＜4}.
因為B是A的真子集，所以p是q的必要條件.
11.(多選題)如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么
A.丙是甲的充分條件 B.丙不是甲的充分條件
C.丙是甲的必要條件 D.丙不是甲的必要條件
√
因為甲是乙的必要條件，所以乙 甲.又因為丙是乙的充
分條件，但不是乙的必要條件，所以丙 乙，但乙不能
推出丙，如圖.綜上，有丙 甲，但甲不能推出丙，即丙
是甲的充分條件，但不是甲的必要條件.故選AD.
√
√

√
√
15.(5分)(新情境) (多選題)設計如圖所示的四個電路圖，條件A：“開關S1閉合”；條件B：“燈泡L亮”，則A是B的必要條件的圖為
√
√
對于A，開關S1閉合燈亮，反過來燈泡L亮，也可能是開關S2閉合，所以A是B的充分條件；對于B，只有一個開關，燈如果要亮，開關S1必須閉合，所以A既是B的充分條件也是B的必要條件；對于C，因為燈亮必須S1和S2同時閉合，所以A是B的必要條件；對于D，燈一直亮，跟開關沒有關系，所以A是B的既不充分也不必要條件.故選BC.
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