資源簡介

第2課時　全集與補集
學習目標 1.了解全集的含義及其符號表示.　2.理解給定集合中一個子集的補集的含義，并會求給定子集的補集.　3.會用Venn圖、數軸進行集合的綜合運算，培養數學抽象和數學運算的核心素養.
任務一　全集與補集
U＝{高一(2)班全班同學}，A＝{高一(2)班中參加足球隊的同學}，B＝{高一(2)班中沒有參加足球隊的同學}.
問題1.集合U，A，B三者有何關系？
提示：U＝A∪B.
問題2.集合B中元素與U和A有何關系？
提示：B中元素都在U中，但都不在A中.
1.全集
在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫作全集，常用符號U表示，全集包含所要研究的這些集合.
[微思考]　全集一定是實數集R嗎？
提示：不一定.全集是一個相對概念，因研究問題的不同而變化，如在實數范圍內解不等式，全集為實數集R，而在整數范圍內解不等式，則全集為整數集Z.
2.補集
[微提醒]　(1)補集是相對于全集而言的，它與全集不可分割.一方面，若沒有定義全集，則不存在補集的說法；另一方面，補集的元素不超出全集的范圍.(2)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算.求集合A的補集的前提是A為全集U的子集，所選的全集不同，得到的補集也不同.
(1)(鏈教材P10例7)設集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，則 UA＝(　　)
A.{0，2，3，4，5，6} B.{2，3，4，5，6}
C.{0，1} D.
(2)已知全集U＝{x｜x＞0}，集合A＝{x｜1≤x＜2}，則 UA＝(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案：(1)C　(2)B
解析：(1)因為U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，4，5，6}，根據補集定義得 UA＝.故選C.
(2)因為U＝，A＝，所以 UA＝∪.故選B.
求集合的補集的方法
對點練1.(1)已知集合U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}， UA＝{4，5，6}，則(　　)
A.2∈A B.3 A
C.6∈A D.7 A
(2)設全集U＝，集合A＝， UA＝，則m＝(　　)
A.3 B.－2
C.4 D.2
答案：(1)A　(2)D
解析：(1)U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}＝{2，3，4，5，6，7，8}，又 UA＝{4，5，6}，所以A＝{2，3，7，8}，所以2∈A，3∈A，6 A，7∈A.故選A.
(2) 已知A＝{2，m－1}， UA＝{4}，由補集概念知，m－1≠4，由集合中元素的互異性知，m－1≠2，又全集U＝{1，2，m2}，因為 UA＝{4} U，且A U，所以4∈U，m－1∈U，則解得m＝2.故選D.
任務二　交集、并集、補集的綜合運算
(鏈教材P10例8)已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}.求A∩B，( UA)∪B，A∩( UB)， U(A∪B).
解：因為A＝{x｜－2＜x＜3}，
B＝{x｜－3≤x≤2}，
U＝{x｜x≤4}，
如圖所示.
所以 UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}，
A∩B＝{x｜－2＜x≤2}，
A∪B＝{x｜－3≤x＜3}.
故( UA)∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x｜2＜x＜3}，
U(A∪B)＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}.
求集合交、并、補運算的方法
對點練2.設U＝{x｜x是小于9的正整數}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}.
(1)求A∪B；
(2)求 UA， UB；
(3)求( UA)∪( UB)， U(A∩B).
解：(1)U＝{x｜x是小于9的正整數}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，得A∪B＝{1，2，3，4，5，6}.
(2) UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}.
(3)( UA)∪( UB)＝{1，2，4，5，6，7，8}，
由A∩B＝{3}，得 U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}.
任務三　由補集的運算求參數的值(范圍)
設集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且( UA)∩B＝ ，求實數m的取值范圍.
解：法一(直接法)：由A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，得 UA＝{x｜x＜－m}.
因為B＝{x｜－2＜x＜4}，( UA)∩B＝ ，如圖所示，
所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范圍是[2，＋∞).
法二(集合間的關系)：由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x｜－2＜x＜4}，A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，結合數軸(如圖)，得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范圍是[2，＋∞).
[變式探究]
1.(變條件)將本例中條件“( UA)∩B＝ ”改為“( UA)∩B≠ ”，其他條件不變，求實數m的取值范圍.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
又( UA)∩B≠ ，所以－m＞－2，解得m＜2.
所以m的取值范圍是(－∞，2).
2.(變條件)將本例中條件“( UA)∩B＝ ”改為“( UA)∩B＝B”，其他條件不變，求實數m的取值范圍.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
所以m的取值范圍是(－∞，－4].
由集合的補集求解參數的方法
1.直接法：如果所給集合是有限集，由補集求參數問題時，可利用補集定義直接求解.
2.數軸分析法：如果所給集合是無限集，與集合交、并、補運算有關的求參數問題時，一般利用數軸分析法求解.
對點練3.設全集U＝R，集合A＝{x｜3－a＜x＜a}，B＝{x｜－2≤x≤6}.
(1)當a＝4時，求( UA)∩B；
(2)若A∩( UB)＝ ，求實數a的取值范圍.
解：(1)當a＝4時，A＝，
所以 UA＝∪，
所以( UA)∩B＝∪.
(2)因為A∩( UB)＝ ，所以A B.
當3－a≥a，即a≤時，A＝ ，此時A B成立；
當a＞時，由A B得：－2≤3－a＜a≤6，
所以＜a≤5.
綜上，a的取值范圍是{a｜a≤5}.
[教材拓展1]　集合中的德摩根定律(源于教材P11：思考交流)
常用結論： U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
(1)(多選題)已知集合A中含有6個元素，全集U＝A∪B中共有12個元素，( UA)∪( UB)中有m個元素，已知m≥8，則集合B中元素個數可能為(　　)
A.2 B.6
C.8 D.12
(2)設U為全集，S1，S2是U的兩個非空子集，且S1∪S2＝U，則下列結論正確的是(　　)
A.S1∪S2＝
B.S1 ( US2)
C.( US1)∩( US2)＝
D.( US1)∩( US2)＝U
答案：(1)BC　(2)C
解析：(1)因為( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有m個元素，所以A∩B中有12－m個元素，
設集合B中元素個數為x，又集合A中含有6個元素，則x＋6－(12－m)＝12，即m＝18－x，
因為m≥8，所以x≤10，又U＝A∪B中共有12個元素，所以x≥6，則6≤x≤10.故選BC.
(2)由題S1，S2不為空集，所以S1∪S2≠ ，故A錯誤；當S1 S2，S2＝U時，滿足S1∪S2＝U，但 US2＝ ，故B錯誤；因為S1∪S2＝U，所以 US1∩ US2＝ U(S1∪S2)＝ UU＝ ，故C正確，D錯誤.故選C.
任務 再現 1.全集和補集的概念及運算.2.并、交、補集的混合運算.3.與補集有關的參數的求解
方法 提煉 分類討論、數形結合法
易錯 警示 正難則反，求補集時易忽視全集，運算時易忽視端點的取舍
1.已知集合U＝R，A＝{x｜x＜－1，或x＞2}，則 UA等于(　　)
A.{x｜x＜－1，或x＞2} B.{x｜x≤－1，或x≥2}
C.{x｜－1＜x＜2} D.{x｜－1≤x≤2}
答案：D
解析：由題意可得， UA＝.故選D.
2.設全集U＝R，M＝{x｜x＜－1，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤4}，如圖，陰影部分所表示的集合為(　　)
A.{x｜－1≤x≤4} B.{x｜－1≤x＜1}
C.{x｜x≤1，或x＞2} D.{x｜－1≤x≤2}
答案：B
解析：由題意得，陰影部分可表示為 U，因為M＝{x｜x＜－1，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤4}，則M∪N＝{x｜x＜－1，或x≥1}，且U＝R，所以 U＝{x｜－1≤x＜1}.故選B.
3.已知集合A＝{x｜x＜a}，B＝{x｜－2＜x＜1}，且A∪ RB＝R，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由B＝{x｜－2＜x＜1}，得 RB＝{x｜x≤－2，或x≥1}，而A＝{x｜x＜a}，A∪ RB＝R，則a≥1，所以實數a的取值范圍是.故選A.
4.(多選題)已知全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，則{x｜x≤－2}＝(　　)
A.M∩( UN) B. U(M∪N)
C.( UM)∩N D.( UM)∩( UN)
答案：BD
解析：全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，則 UM＝{x｜x≤3}， UN＝{x｜x≤－2，或x≥4}，對于A，M∩( UN)＝{x｜x≥4}，故A錯誤；對于B，M∪N＝{x｜x＞－2}， U(M∪N)＝{x｜x≤－2}，故B正確；對于C，( UM)∩N＝{x｜－2＜x≤3}，故C錯誤；對于D，( UM)∩( UN)＝{x｜x≤－2}，故D正確.故選BD.
課時分層評價4　全集與補集
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.已知全集U＝{x｜x＞0}，集合A＝{x｜1≤x＜2}，則 UA＝(　　)
A.{x｜x≤－1，或x≥2}
B.{x｜0＜x＜1，或x≥2}
C.{x｜x＜－1，或x＞2}
D.{x｜0＜x＜1，或x＞2}
答案：B
解析：因為U＝{x}，A＝{x}，所以 UA＝{x｜0＜x＜1，或x≥2}.故選B.
2.已知集合U＝{2，4，6，8，10}，A＝{2，4}，B＝{4，6}，則 U＝(　　)
A.{4} B.{2，4}
C.{8，10} D.{2，4，6}
答案：C
解析：由題意，得A∪B＝{2，4，6}，所以 U＝{8，10}.故選C.
3.設集合A＝，B＝，A∪( RB)＝A，則實數a的取值范圍為(　　)
A.a＞2 B.a＜2
C.a≥2 D.a≤2
答案：C
解析：因為集合B＝{x｜x≥2}，可得 RB＝{x｜x＜2}，又由集合A＝{x｜x≤a}，要使得A∪( RB)＝A，可得( RB) A，則滿足a≥2.故選C.
4.已知全集U＝A∪B＝{x∈N｜1≤x≤8}，A∩( UB)＝{1，3，5，7}，則集合B＝(　　)
A.{2，6，8} B.{4，6，8}
C.{2，4，6，8} D.{1，2，4，6}
答案：C
解析：由A∩( UB)＝{1，3，5，7}，如右圖所示，且U＝A∪B＝{x∈N｜1≤x≤8}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，則B＝ U(A∩( UB))＝{2，4，6，8}.故選C.
5.(多選題)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x2－x＜6}，B＝{－2，0，1，3}，則圖中陰影部分所表示的集合為(　　)
A.{－1，2} B. (A∪B)B
C.A∩( UB) D.( UA)∩( UB)
答案：ABC
解析：由圖可知陰影部分所表示的集合為 (A∪B)B，A∩( UB)，故B，C正確，D錯誤；因為A＝{x∈Z｜x2－x＜6}＝{－1，0，1，2}， UB＝{－1，2，4}，所以A∩( UB)＝{－1，2}，故A正確.故選ABC.
6.(多選題)圖中陰影部分用集合符號可以表示為(　　)
A.( UB)∩(A∪C)
B. U((A∩B)∪(B∩C))
C.A∪(C∩ UB)
D.(A∩ UB)∪(C∩ UB)
答案：AD
解析：對于A，( UB)∩(A∪C)即為題圖中所示；對于B， U((A∩B)∪(B∩C))應為如圖①；
對于C，A∪(C∩ UB)應為如圖②； 對于D，(A∩ UB)∪(C∩ UB)＝( UB)∩(A∪C)即為題圖中所示.故選AD.
7.已知集合A＝{x}，B＝{x}，則A∩( RB)＝　　　　.
答案：{x｜－3≤x＜1}
解析：由B＝{x｜x≥1}，得 RB＝{x｜x＜1}，而A＝{x｜－3≤x＜3}，所以A∩( RB)＝{x｜－3≤x＜1}.
8.(開放題)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，試寫出一個符合要求的集合B＝　　　　　.
答案：{2}(答案不唯一)
解析：U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，則{3，4，5} UB U，所以B＝{1}或{2}或{1，2}或 (答案不唯一).
9.設U＝R，已知集合A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜x＞a}，且( UA)∪B＝R，則實數a的取值范圍是　　　　　.
答案：
解析：由題設，可得 UA＝{x｜x＜0}，因為( UA)∪B＝R，B＝{x｜x＞a}，所以a＜0.
10.(10分)已知集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜m＜x＜m＋9}.
(1)若m＝－3，求A∪B， R；
(2)若( UB)∩A＝ ，求實數m的取值范圍.
解：(1)當m＝－3時，B＝{x｜－3＜x＜6}，
又A＝{x｜－2＜x＜3}，
所以A∪B＝{x｜－3＜x＜6}，
A∩B＝{x｜－2＜x＜3}，
所以 R＝{x，或x≥3}.
(2)因為B＝{x｜m＜x＜m＋9}，
所以 RB＝{x｜x≤m，或x≥m＋9}，
又A＝{x｜－2＜x＜3}，( UB)∩A＝ ，
所以解得－6≤m≤－2，
所以實數m的取值范圍為[－6，－2].
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.設全集U＝，集合M，N滿足M＝，( UM)∩N＝，則＝(　　)
A.M∪( UN) B.( UM)∪( UN)
C.M∩( UN) D.( UM)∩( UN)
答案：D
解析：U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，M＝，故 UM＝{0，1，2，4，5，6}，又( UM)∩N＝，故4∈N，5∈N，0，1，2，6 N，對于A，由題意得3，7∈M∪( UN)，故A錯誤；對于B，由于 UM＝{0，1，2，4，5，6}，故4，5∈( UM)∪( UN)，B錯誤；對于C，由于0，1，2，6 M，故0，1，2，6 M∩( UN)，C錯誤；對于D，由于0，1，2，6 N，故0，1，2，6∈ UN，且4 UN，5 UN，又 UM＝{0，1，2，4，5，6}，故( UM)∩( UN)＝.故選D.
12.(多選題)設全集U＝，集合A，B U，若A∩B＝，A∩ UB＝， UA∩ UB＝，則(　　)
A.A＝ B.B＝
C.B真子集的個數31 D.9
答案：ACD
解析：由題意知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，作出Venn圖，如圖，由圖可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}，故A正確，B錯誤；所以集合B的真子集個數為25－1＝31個，故C正確；A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，故9 (A∪B)，故D正確.故選ACD.
13.設全集U＝，A∩( UB)＝，B∩( UA)＝，( UA)∩( UB)＝，則集合B＝　　　　　.
答案：
解析：因為U＝，A∩( UB)＝，所以集合B中沒有0，1，8，9，又B∩( UA)＝，所以集合B中有2，4，因為( UA)∩( UB)＝，說明集合B中沒有5，7，10，所以3，6∈A∩B，綜上，集合B＝{2，3，4，6}.
14.(10分)已知集合A＝[0，2]，B＝[a，a＋3].
(1)若( RA)∪B＝R，求實數a的取值范圍；
(2)是否存在實數a使( RA)∪B＝R且A∩B＝ ？
解：(1)集合A＝[0，2]，
則 RA＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
而B＝[a，a＋3]，且( RA)∪B＝R，
因此解得－1≤a≤0，
所以實數a的取值范圍是[－1，0].
(2)由(1)知－1≤a≤0，由A∩B＝ ，得a＋3＜0，或a＞2，解得a＜－3，或a＞2，
所以不存在實數a使( RA)∪B＝R且A∩B＝ 成立.
15.(5分)(新題型)(多選題)設U為全集，集合A，B，C滿足條件A∪B＝A∪C，那么下列各式中不一定成立的是(　　)
A.B A
B.C A
C.A∩( UB)＝A∩( UC)
D.( UA)∩B＝( UA)∩C
答案：ABC
解析：當U＝，A＝，B＝，C＝時，滿足A∪B＝A∪C，此時，B，C不是A的子集，所以A，B不一定成立； UB＝， UC＝ ，A∩( UB)＝，A∩( UC)＝ ，所以C不一定成立；對于D，若 x∈( UA)∩B，則x A，但x∈B，因為A∪B＝A∪C，所以x∈C，于是x∈( UA)∩C，所以( UA)∩B ( UA)∩C，同理若 x∈( UA)∩C，則x∈( UA)∩B，( UA)∩C ( UA)∩B，因此，( UA)∩B＝( UA)∩C成立，所以D成立.故選ABC.
16.(15分)(新定義)(1)對于數集A，B，定義A＋B＝，A÷B＝{x｜x＝，a∈A，b∈B}，若集合A＝，求集合(A＋A)÷A中所有元素之和.
(2)設A，B是R上的兩個子集，對任意x∈R，定義：m＝n＝
①若A B，則對任意x∈R，求m的值；
②若對任意x∈R，m＋n＝1，求A，B的關系.
解：(1)由A＋B＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}及A＝，得A＋A＝{2，3，4}，
由A÷B＝{x｜x＝，a∈A，b∈B}，
得(A＋A)÷A＝{1，，2，3，4}，
所以集合(A＋A)÷A中所有元素之和為1＋＋2＋3＋4＝.
(2)①由A B，得x A或x∈A，
當x A時，m＝0，m(1－n)＝0；
當x∈A時，必有x∈B，則m＝n＝1，m(1－n)＝0，
所以m(1－n)＝0.
②對任意x∈R，m＋n＝1，則m，n的值一個為0，另一個為1，
則x∈A且x B，或x∈B且x A，于是A∪B＝R，且A∩B＝ ，
因此集合A，B的關系為A＝ RB.
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第2課時　全集與補集
　
第一章　§1　1.3　集合的基本運算
學習目標
1.了解全集的含義及其符號表示.　
2.理解給定集合中一個子集的補集的含義，并會求給定子集的 補集.　
3.會用Venn圖、數軸進行集合的綜合運算，培養數學抽象和數學運算的核心素養.
任務一　全集與補集
U＝{高一(2)班全班同學}，A＝{高一(2)班中參加足球隊的同學}，B＝{高一(2)班中沒有參加足球隊的同學}.
問題1.集合U，A，B三者有何關系？
提示：U＝A∪B.
問題2.集合B中元素與U和A有何關系？
提示：B中元素都在U中，但都不在A中.
問題導思
1.全集
在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫作______，常用符號____表示，全集______所要研究的這些集合.
新知構建
全集
U
包含
全集一定是實數集R嗎？
提示：不一定.全集是一個相對概念，因研究問題的不同而變化，如在實數范圍內解不等式，全集為實數集R，而在整數范圍內解不等式，則全集為整數集Z.
微思考
2.補集
UA
{x｜x∈U，且x A}
U

A
(1)補集是相對于全集而言的，它與全集不可分割.一方面，若沒有定義全集，則不存在補集的說法；另一方面，補集的元素不超出全集的范圍.(2)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算.求集合A的補集的前提是A為全集U的子集，所選的全集不同，得到的補集也不同.
微提醒
(1)(鏈教材P10例7)設集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，則 UA＝
A.{0，2，3，4，5，6} B.{2，3，4，5，6}
C.{0，1} D.
√
典例
1
√
求集合的補集的方法
規律方法
對點練1.(1)已知集合U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}， UA＝{4，5，6}，則
A.2∈A B.3 A
C.6∈A D.7 A
√
U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}＝{2，3，4，5，6，7，8}，又 UA＝{4，5，6}，所以A＝{2，3，7，8}，所以2∈A，3∈A，6 A，7∈A.故選A.
√

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任務二　交集、并集、補集的綜合運算
(鏈教材P10例8)已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}.求A∩B，( UA)∪B，A∩( UB)， U(A∪B).
解：因為A＝{x｜－2＜x＜3}，
B＝{x｜－3≤x≤2}，
U＝{x｜x≤4}，
如圖所示.
所以 UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}，
A∩B＝{x｜－2＜x≤2}，
A∪B＝{x｜－3≤x＜3}.
故( UA)∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x｜2＜x＜3}，
U(A∪B)＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}.
典例
2
求集合交、并、補運算的方法
規律方法
對點練2.設U＝{x｜x是小于9的正整數}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}.
(1)求A∪B；
解：U＝{x｜x是小于9的正整數}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，得A∪B＝{1，2，3，4，5，6}.
(2)求 UA， UB；
解： UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}.
(3)求( UA)∪( UB)， U(A∩B).
解：( UA)∪( UB)＝{1，2，4，5，6，7，8}，
由A∩B＝{3}，得 U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}.
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任務三　由補集的運算求參數的值(范圍)
設集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且( UA)∩B＝ ，求實數m的取值范圍.
解：法一(直接法)：由A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，得 UA＝{x｜x＜－m}.
因為B＝{x｜－2＜x＜4}，( UA)∩B＝ ，如圖所示，
所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范圍是[2，＋∞).
典例
3
法二(集合間的關系)：由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x｜－2＜x＜4}，A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，結合數軸(如圖)，得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范圍是[2，＋∞).
變式探究
1.(變條件)將本例中條件“( UA)∩B＝ ”改為“( UA)∩B≠ ”，其他條件不變，求實數m的取值范圍.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
又( UA)∩B≠ ，所以－m＞－2，解得m＜2.
所以m的取值范圍是(－∞，2).
2.(變條件)將本例中條件“( UA)∩B＝ ”改為“( UA)∩B＝B”，其他條件不變，求實數m的取值范圍.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
所以m的取值范圍是(－∞，－4].
由集合的補集求解參數的方法
1.直接法：如果所給集合是有限集，由補集求參數問題時，可利用補集定義直接求解.
2.數軸分析法：如果所給集合是無限集，與集合交、并、補運算有關的求參數問題時，一般利用數軸分析法求解.
規律方法
[教材拓展1]　集合中的德摩根定律(源于教材P11：思考交流)
常用結論： U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
(1)(多選題)已知集合A中含有6個元素，全集U＝A∪B中共有12個元素，( UA)∪( UB)中有m個元素，已知m≥8，則集合B中元素個數可能為
A.2 B.6
C.8 D.12
典例
4
√
√
因為( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有m個元素，所以A∩B中有12－m個 元素，
設集合B中元素個數為x，又集合A中含有6個元素，則x＋6－(12－m)＝12，即m＝18－x，
因為m≥8，所以x≤10，又U＝A∪B中共有12個元素，所以x≥6，則6≤x≤10.故選BC.
(2)設U為全集，S1，S2是U的兩個非空子集，且S1∪S2＝U，則下列結論正確的是
A.S1∪S2＝ B.S1 ( US2)
C.( US1)∩( US2)＝ D.( US1)∩( US2)＝U
√
由題S1，S2不為空集，所以S1∪S2≠ ，故A錯誤；當S1 S2，S2＝U時，滿足S1∪S2＝U，但 US2＝ ，故B錯誤；因為S1∪S2＝U，所以 US1∩ US2＝ U(S1∪S2)＝ UU＝ ，故C正確，D錯誤.故選C.
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課堂小結
任務再現 1.全集和補集的概念及運算.
2.并、交、補集的混合運算.
3.與補集有關的參數的求解
方法提煉 分類討論、數形結合法
易錯警示 正難則反，求補集時易忽視全集，運算時易忽視端點的取舍
隨堂評價
1.已知集合U＝R，A＝{x｜x＜－1，或x＞2}，則 UA等于
A.{x｜x＜－1，或x＞2} B.{x｜x≤－1，或x≥2}
C.{x｜－1＜x＜2} D.{x｜－1≤x≤2}
√
2.設全集U＝R，M＝{x｜x＜－1，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤4}，如圖，陰影部分所表示的集合為
A.{x｜－1≤x≤4}
B.{x｜－1≤x＜1}
C.{x｜x≤1，或x＞2}
D.{x｜－1≤x≤2}
√

√
4.(多選題)已知全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，則{x｜x≤－2}＝
A.M∩( UN) B. U(M∪N)
C.( UM)∩N D.( UM)∩( UN)
√
√
全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，則 UM＝{x｜x≤3}， UN＝{x｜x≤－2，或x≥4}，對于A，M∩( UN)＝{x｜x≥4}，故A錯誤；對于B，M∪N＝{x｜x＞－2}， U(M∪N)＝{x｜x≤－2}，故B正確；對于C，( UM)∩N＝{x｜－2＜x≤3}，故C錯誤；對于D，( UM)∩( UN)＝{x｜x≤－2}，故D正確.故選BD.
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課時分層評價
1.已知全集U＝{x｜x＞0}，集合A＝{x｜1≤x＜2}，則 UA＝
A.{x｜x≤－1，或x≥2}
B.{x｜0＜x＜1，或x≥2}
C.{x｜x＜－1，或x＞2}
D.{x｜0＜x＜1，或x＞2}
√
√
√
因為集合B＝{x｜x≥2}，可得 RB＝{x｜x＜2}，又由集合A＝{x｜x≤a}，要使得A∪( RB)＝A，可得( RB) A，則滿足a≥2.故選C.
4.已知全集U＝A∪B＝{x∈N｜1≤x≤8}，A∩( UB)＝{1，3，5，7}，則集合B＝
A.{2，6，8} B.{4，6，8}
C.{2，4，6，8} D.{1，2，4，6}
√
由A∩( UB)＝{1，3，5，7}，如右圖所示，且U＝A∪B＝
{x∈N｜1≤x≤8}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，則B＝
U(A∩( UB))＝{2，4，6，8}.故選C.
√
由圖可知陰影部分所表示的集合為 (A∪B)B，A∩( UB)，故B，C正確，D錯誤；因為A＝{x∈Z｜x2－x＜6}＝{－1，0，1，2}， UB＝{－1，2，4}，所以A∩( UB)＝{－1，2}，故A正確.故選ABC.
√
√
6.(多選題)圖中陰影部分用集合符號可以表示為
A.( UB)∩(A∪C)
B. U((A∩B)∪(B∩C))
C.A∪(C∩ UB)
D.(A∩ UB)∪(C∩ UB)
√
對于A，( UB)∩(A∪C)即為題圖中所示；
對于B， U((A∩B)∪(B∩C))應為如圖①；
對于C，A∪(C∩ UB)應為如圖②；對于D，
(A∩ UB)∪(C∩ UB)＝( UB)∩(A∪C)即為題圖中所示.故選AD.
√
由B＝{x｜x≥1}，得 RB＝{x｜x＜1}，而A＝{x｜－3≤x＜3}，所以A∩( RB)＝{x｜－3≤x＜1}.
{x｜－3≤x
＜1}
8.(開放題)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，試寫出一個符合要求的集合B＝________________.
U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，則{3，4，5} UB U，所以B＝{1}或{2}或{1，2}或 (答案不唯一).
{2}(答案不唯一)
9.設U＝R，已知集合A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜x＞a}，且( UA)∪B＝R，則實數a的取值范圍是____________.
由題設，可得 UA＝{x｜x＜0}，因為( UA)∪B＝R，B＝{x｜x＞a}，所以a＜0.

√
√
由題意知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，作出Venn
圖，如圖，由圖可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，
6，8}，故A正確，B錯誤；所以集合B的真子集個數為
25－1＝31個，故C正確；A∪B＝{1，2，3，4，5，6，
7，8}，故9 (A∪B)，故D正確.故選ACD.
√
√


(2)是否存在實數a使( RA)∪B＝R且A∩B＝ ？
解：由(1)知－1≤a≤0，由A∩B＝ ，得a＋3＜0，或a＞2，解得a＜－3，或a＞2，
所以不存在實數a使( RA)∪B＝R且A∩B＝ 成立.
15.(5分)(新題型)(多選題)設U為全集，集合A，B，C滿足條件A∪B＝A∪C，那么下列各式中不一定成立的是
A.B A B.C A
C.A∩( UB)＝A∩( UC) D.( UA)∩B＝( UA)∩C
√
√
√

②若對任意x∈R，m＋n＝1，求A，B的關系.
解：對任意x∈R，m＋n＝1，則m，n的值一個為0，另一個為1，
則x∈A且x B，或x∈B且x A，于是A∪B＝R，且A∩B＝ ，
因此集合A，B的關系為A＝ RB.
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