資源簡介

§3　不等式
3.1　不等式的性質
學習目標 1.初步學會作差法比較兩實數(代數式)的大小.　2.掌握不等式的性質，并能運用這些性質解決有關問題.　3.通過不等式性質的應用，培養邏輯推理素養和數學運算的核心素養.
任務一　實數大小比較的基本事實
問題1.一般認為，民用住宅的窗戶面積x m2必須小于地板面積y m2，但窗戶面積與地板面積的比應不小于10％，而且這個比值越大，采光效果越好.若同時增加相同的窗戶面積l m2和地板面積l m2，公寓的采光效果是變好了還是變壞了？你能將這種關系用含字母x，y，l的不等式表示出來嗎？
提示：公寓的采光效果變好了.能.用不等式表示為：＞.
實數大小比較的基本事實
基 本 事 實 文字表示 符號表示
如果a－b是正數，那么a＞b a＞b a－b＞0
如果a－b等于0，那么a＝b a＝b a－b＝0
如果a－b是負數，那么a＜b a＜b a－b＜0
結論 要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的差與0的大小
[微提醒]　(1)比較兩實數(代數式)的大小常用作差法，作差后需對差式進行恒等變形，常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法，直到能明顯判斷出其正負號(通常將差化為完全平方的形式或多個因式的積或商的形式)為止.(2)對于兩個正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大小.
(1)(鏈教材P25例1)比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大小；
(2)(鏈教材P25例2)試證明：若x＜y＜0，則(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y).
解：(1)(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋，
因為≥0，所以＋≥＞0，
所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
所以2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
(2)證明：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)＝－2xy(x－y)，
因為x＜y＜0，所以xy＞0，x－y＜0，
所以－2xy(x－y)＞0，
所以(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y).
作差法比較(或證明)大小的四個步驟
對點練1.(1)已知a＞0，b＞0，比較a3＋b3與ab2＋a2b的大小；
(2)試證明：若a，b為實數，則2a2＋b2＋1≥ab＋2a.
解：(1)因為a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)
＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因為a＞0，b＞0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
(2)證明：2a2＋b2＋1－ab－2a＝＋(a－1)2≥0，當且僅當a＝1，b＝2時取等號.
所以2a2＋b2＋1≥ab＋2a.
任務二　不等式的性質
問題2.如果某月某公司員工甲比乙的薪水高，公司又給他們發了相同數額的獎金，那么這個月甲和乙誰的收入更高？扣除了相同數額的保險費用后呢？你能提煉出什么不等關系？
提示：甲比乙的收入高，扣除相同數額的保險費用后仍然是甲比乙的收入高.
若a＞b，則a－c＞b－c.
問題3.若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，則甲班的人數比乙班多.這里反映出的不等關系如何用符號語言表述？
提示：若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.
不等式的性質
性質 別名 性質內容 注意
1 傳遞性 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c 不可逆
2 可加性 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c 可逆
3 可乘性 (1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc； (2)如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc c的符號
4 同向可加性 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d 同向
5 同向同正 可乘性 (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd.特殊地，當a＞b＞0時，an＞bn，其中n∈N＋，n≥2 是否變號
6 可開方性 當a＞b＞0時，＞，其中n∈N＋，n≥2 同正
[微思考]　(1)同向不等式相加與相乘的條件是一致的嗎？
(2)若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立嗎？
(3)若a與b同號，且a＞b，那么＜嗎？
提示：(1)不一致，同向不等式相乘時各項均為正數.
(2)不一定，但當a＞b＞0，c＞d＞0時，一定成立.
(3)若a與b同號，即當ab＞0時，a＞b ＜.
(1)(多選題)下列命題是真命題的為(　　)
A.若a＞b＞0＞c＞d，則ab＞cd
B.若a＞b，則ac2＞bc2
C.若a＞b＞0且c＜0，則＞
D.若a＞b且＞，則ab＜0
答案：CD
解析：對于A，設a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則ab＝cd，故A錯誤；對于B，當c＝0時，ac2＝bc2，故B錯誤；對于C，－＝，因為a＞b＞0且c＜0，所以b2－a2＜0，所以c＞0，且a2b2＞0，所以－＝＞0，所以＞，故C正確；對于D，－＝，因為a＞b，所以b－a＜0，又＞，所以ab＜0，故D正確.故選CD.
(2)(鏈教材P26例3)已知a＞b＞c＞0，求證：＞.
證明：因為a＞b＞c＞0，所以a－c＞b－c＞0，
所以＞＞0，可得＞＞0，
即＞，得證.
1.利用不等式的性質判斷命題真假的方法
(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關性質證明；對于說法錯誤的，只需舉出一個反例即可.
(2)特殊值法：解有關不等式的選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性.
(3)作差法：將結論移項作差后，判斷符號.
2.利用不等式的性質證明不等式的注意事項
(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎上記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用.
(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.
對點練2.(1)下列命題中正確的是(　　)
A.若a＞b，則＜
B.若ac2＞bc2，則a＞b
C.若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d
D.若a＞b，c＜d，則＞
答案：B
解析：對于A，當a＝1，b＝－1時，a＞b，但是＞，故A錯誤；對于B，當ac2＞bc2時，c2＞0，＞0，所以a＞b，故B正確；對于C，當a＝1，b＝0，c＝1，d＝0時，a－c＝b－d，故C錯誤；對于D，當a＝3，b＝2，c＝－1，d＝1時，a＞b，c＜d，則＜，故D錯誤.故選B.
(2)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：＞.
證明：因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又因為a＞b＞0，所以a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，所以0＜＜.
又因為e＜0，所以＞.
任務三　利用不等式的性質求代數式的取值范圍
已知－1＜x＜4，2＜y＜3.
(1)求x－y的取值范圍；
(2)求3x＋2y的取值范圍.
解：(1)因為－1＜x＜4，2＜y＜3，
所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.
(2)由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18.
[變式探究]
1.(變條件)若將本例條件改為－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，求3x＋2y的取值范圍.
解：設3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
則
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又因為－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，
所以－＜(x＋y)＜10，1＜(x－y)＜，
所以－＜(x＋y)＋(x－y)＜，
即－＜3x＋2y＜，
所以3x＋2y的取值范圍為.
2.(變設問)本例的條件不變，求的取值范圍.
解：因為2＜y＜3，所以＜＜，
又因為－1＜x＜4，所以當－1＜x＜0時，－＜＜0，
當x＝0時，＝0，當0＜x＜4時，0＜＜2，
所以.
利用不等式的性質求取值范圍的策略
1.建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系，最后利用一次不等式的性質進行運算，求得待求的范圍.
2.同向不等式的兩邊可以相加，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其取值范圍.
[注意]　求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地先分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍.
對點練3.已知實數a，b滿足1≤a＋b≤8，3≤a－b≤4.
(1)求實數a，b的取值范圍；
(2)求2a－5b的取值范圍.
解：(1)由1≤a＋b≤8，3≤a－b≤4，
所以4≤(a＋b)＋(a－b)≤12，
即4≤2a≤12，所以2≤a≤6，
即實數a的取值范圍為[2，6].
因為b＝[(a＋b)－(a－b)]＝[(a＋b)＋(b－a)]，
由3≤a－b≤4，所以－4≤b－a≤－3，
又1≤a＋b≤8，
所以－3≤(a＋b)－(a－b)≤5，
所以－≤[(a＋b)－(a－b)]≤，
即－≤b≤，即實數b的取值范圍為.
(2)設2a－5b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
則
所以2a－5b＝－(a＋b)＋(a－b)，
因為1≤a＋b≤8，3≤a－b≤4，
所以－12≤－(a＋b)≤－，≤(a－b)≤14，所以－≤2a－5b≤，
即2a－5b的取值范圍為.
[教材拓展2]　糖水不等式(源于教材P25例2與思考交流)
常用結論：若b＞a＞0，m＞0，則＞或＜.(分子分母都加上同一個正數時，真分數越加越大，假分數越加越小)
(1)(多選題)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假設全部溶解)，糖水變甜了.能夠表示這一事實的不等式是(　　)
A.＜ B.＜
C.＞ D.＜
(2)設a＞b＞0，則 　　　.(填“＞”或“＜”)
答案：(1)CD　(2)＜
解析：(1)由題意可知糖水原濃度為，加糖之后的濃度為，則有＞，故C正確；然后取倒數得到＜，故D正確.故選CD.
(2)由－＝＝＝，因為a＞b＞0，可得a＋2b＞0，b＋a＞0，b－a＜0，所以＜0，即－＜0，所以＜.
任務 再現 1.實數大小比較的基本事實.2.不等式的性質及其應用
方法 提煉 比較法、取特殊值法、待定系數法
易錯 警示 注意不等式性質的單向性或雙向性，即每條性質是否具有可逆性
1.設P＝a(2a＋5)，Q＝(2a＋1)(a＋2)，則(　　)
A.P＞Q B.P＝Q
C.P＜Q D.P與Q的大小與a有關
答案：C
解析：因為P－Q＝a(2a＋5)－(2a＋1)(a＋2)＝2a2＋5a－(2a2＋5a＋2)＝－2＜0，所以P＜Q.故選C.
2.(多選題)下列命題正確的是(　　)
A.若a＞b，則ac3＞bc3
B.若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d
C.若ac＞bc，則a＞b
D.若a＞b，則a－c＞b－c
答案：BD
解析：對于A，當c＝0時，若a＞b，則ac3＝bc3，故 A錯誤；對于B，當a＞b，c＞d時，得a＋c＞b＋d，故 B正確；對于C，當c＜0時，若ac＞bc，則a＜b，故C錯誤；對于D，當a＞b時，則a－c＞b－c，故D正確.故選BD.
3.已知1≤a≤2，3≤b≤5，則下列結論錯誤的是(　　)
A.4≤a＋b≤7 B.2≤b－a≤3
C.3≤ab≤10 D.≤≤
答案：B
解析：對于A，由1≤a≤2，3≤b≤5，得4≤a＋b≤7，故A正確；對于B，由1≤a≤2，得－2≤－a≤－1，而3≤b≤5，則1≤b－a≤4，故B錯誤；對于C，由1≤a≤2，3≤b≤5，得3≤ab≤10，故C正確；對于D，由3≤b≤5，得≤≤，而1≤a≤2，則≤≤，故D正確.故選B.
4.已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，則M，N的大小關系是　　　　.
答案：M＞N
解析：M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2＞0，所以M＞N.
課時分層評價9　不等式的性質
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.若x≠2且y≠－1，則M＝x2＋y2－4x＋2y的值與－5的大小關系是(　　)
A.M＝－5 B.M＜－5
C.M＞－5 D.不能確定
答案：C
解析：M－＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋，由x≠2且y≠－1，故M－＝(x－2)2＋＞0，即M＞－5.故選C.
2.設a，b，c為實數，且a＜0＜b，則下列不等式恒成立的是(　　)
A.｜a｜＜｜b｜ B.ac2≤bc2
C.＞ D.a2＞ab＞b2
答案：B
解析：設a，b，c為實數，且a＜0＜b，當a＝－2，b＝1時，｜a｜＞｜b｜，選項A錯誤；因為c2≥0，a＜b，所以ac2≤bc2，選項B正確；當a＝－1，b＝2時，＜，選項C錯誤；當a＝－1，b＝2時，b2＞a2＞ab，選項D錯誤，故選B.
3.已知a＜0，－1＜b＜0，則(　　)
A.a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞a
C.ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a
答案：D
解析：因為a＜0，－1＜b＜0，所以ab＞0，0＜b2＜1，所以0＞ab2＞a，所以ab＞ab2＞a.故選D.
4.(多選題)已知a，b，c∈R.下列命題正確的有(　　)
A.若a＞b，則ab＞b2
B.若a＞b，則a3＞b3
C.若a＞b＞0，則＞
D.若a＞b＞0，則a2＞b2
答案：BD
解析：對于A，由a＞b，當b＝0時，ab＝b2，故A錯誤；對于B，由奇數次冪的正負不變，所以若a＞b，則a3＞b3，故B正確；對于C，設a＝1，b＝，則＝＝＜＝＝2，故C錯誤；對于D，由不等式的性質可得，若a＞b＞0，則a2＞b2，故D正確.故選BD.
5.若a，b，m都是正數，則不等式＞成立的條件是(　　)
A.a＞b B.b＞a
C.a＞m D.m＞b
答案：B
解析：＞ －＞0 －＝＞0，因為a，b，m都是正數，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a.故選B.
6.(新情境)(多選題)十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號表示不等關系，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠，下列命題為真命題的是(　　)
A.若a＞b＞0，則a＋＞b＋
B.若m＞n＞0，則＜
C.如果c＞a＞b＞0，那么＞
D.a≥b＞－1，則≥
答案：BCD
解析：對于A，a＞b＞0，a＋－＝(a－b)，無法判斷正負，故A錯誤；對于B，m＞n＞0，－＝＝＜0，所以＜，故B正確；對于C，c＞a＞b＞0，－＝＝＞0，即＞，故C正確；對于D，a≥b＞－1，－＝≥0，即≥，故D正確.故選BCD.
7.比較大小：－　　　－.(用“＞”或“＜”填空)
答案：＞
解析：要比較－－的大小關系，即比較＋＋的大小關系，(＋)2－(＋)2＝2－2＞0，即(＋)2＞(＋)2 ＋＞＋，所以－＞－.
8.若4≤a≤8，－2≤b≤5，則2a－的取值范圍為　　　　.
答案：[3，16]
解析：由－2≤b≤5，得0≤｜b｜≤5，則－5≤－｜b｜≤0，而4≤a≤8，則8≤2a≤16，因此3≤2a－≤16，所以2a－的取值范圍為[3，16].
9.(開放題)能夠說明“若a＞b，則＜”是假命題的一組整數a，b的值依次是　　　　　.
答案：1，－1(答案不唯一)
解析：取a＝1，b＝－1，滿足a＞b，但＞，所以命題“若a＞b，則＜”是假命題.(答案不唯一)
10.(10分)解答下列各題：
(1)設x＞1，M＝－，N＝－，比較M，N的大小；
(2)設x，y，z∈R，M＝5x2＋y2＋z2，N＝2xy＋4x＋2z－2，比較M，N的大小；
(3)設a＞b＞0，M＝，N＝，比較M，N的大小.
解：(1)M＝－
＝＝，
N＝－＝
＝，
由x＞1，－＝－＞0，
故＋＞＋，即有M＞N.
(2)M－N＝5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝(x－y)2＋4x2－4x＋z2－2z＋2＝(x－y)2＋(2x－1)2＋(z－1)2，
因為x，y，z∈R，所以(x－y)2≥0，(2x－1)2≥0，(z－1)2≥0，所以M－N≥0，M≥N.
(3)M－N＝－
＝－
＝
＝
＝，
由a＞b＞0，
故a－b＞0，a＋b＞0，ab＞0，a2＋b2＞0，
即M－N＞0，故M＞N.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.(多選題)已知a，b，c滿足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是(　　)
A.ac(a－c)＜0 B.c(b－a)＜0
C.cb2＞ab2 D.ab＞ac
答案：ABD
解析：對于A，因為c＜a，所以a－c＞0，又ac＜0，故ac(a－c)＜0，故A正確；對于B，因為c＜a，ac＜0，所以c＜0，a＞0，又a＜b，故b－a＞0，所以c(b－a)＜0，故B正確；對于C，因為b＞a＞0，所以b2＞0，c＜a兩邊同乘以b2，得cb2＜ab2，故C錯誤；對于D，因為a＞0，b＞c，所以ab－ac＝a(b－c)＞0，故ab＞ac，故D正確.故選ABD.
12.(新角度)有外表一樣，重量不同的四個小球，它們的重量分別是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，則這四個小球由重到輕的排列順序是(　　)
A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a
C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b
答案：A
解析：因為a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，所以a＋d＋(a＋b)＞b＋c＋(c＋d)，即a＞c.所以b＜d.又a＋c＜b，所以a＜b.綜上可得，d＞b＞a＞c.故選A.
13.(開放題)設x，y∈R，使＞和＞同時成立的一個充分條件是　　　　.
答案：y＞x＞1(答案不唯一)
解析：根據不等式的性質可知，當y＞x＞0時，＞＞同時成立，所以“y＞x＞0”是“＞＞同時成立”的充分條件，即只要滿足y＞x＞0，就均是“＞＞同時成立”的充分條件，所以充分條件可以是y＞x＞1.(答案不唯一).
14.(10分)根據要求完成下列問題：若a＞b＞0，c＜d＜0，＞.
(1)求證：b＋c＞0；
(2)求證：＜；
(3)在(2)中的不等式中，能否找到一個代數式，滿足＜所求式＜？若能，請直接寫出該代數式；若不能，請說明理由.
解：(1)證明：因為｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，
所以b＞－c，所以b＋c＞0.
(2)證明：因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
又a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0，
所以0＜＜，
因為a＞b，d＞c，所以a＋d＞b＋c，
由①知b＋c＞0，
所以a＋d＞b＋c＞0，所以＜.
(3)能找到.
因為a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，
所以＜＜＜＜(只要寫出其中一個即可).
15.(5分)(開放題)已知三個不等式：①ab＞0，②＞，③bc＞ad，用其中兩個作為條件，剩下的一個作為結論，則可組成　　　　個真命題.
答案：3
解析：由不等式性質，得 bc＞ad； ＞； ab＞0.故可組成3個真命題.
16.(15分)(新定義)對于四個正數m，n，p，q，若滿足mq＜np，則稱有序數對(m，n)是(p，q)的“下位序列”.
(1)對于2，3，7，11，有序數對(3，11)是(2，7)的“下位序列”嗎？請簡單說明理由；
(2)設a，b，c，d均為正數，且(a，b)是(c，d)的“下位序列”，試判斷，，之間的大小關系.
解：(1)因為3×7＜11×2，
所以(3，11)是(2，7)的“下位序列”.
(2)因為(a，b)是(c，d)的“下位序列”，所以ad＜bc，
因為a，b，c，d均為正數，
故－＝＞0，
即－＞0，所以＞，同理＜，
綜上所述：＜＜.
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3.1　不等式的性質
　
第一章　§3　不等式
學習目標
1.初步學會作差法比較兩實數(代數式)的大小.　
2.掌握不等式的性質，并能運用這些性質解決有關問題.　
3.通過不等式性質的應用，培養邏輯推理素養和數學運算的核心素養.
任務一　實數大小比較的基本事實
問題導思
實數大小比較的基本事實
新知構建
基
本
事
實 文字表示 符號表示
如果a－b是正數，那么______ a＞b _________
如果a－b等于0，那么______ a＝b _________
如果a－b是負數，那么______ a＜b _________
結論 要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的____與___的大小
a＞b
a－b＞0
a＝b
a－b＝0
a＜b
a－b＜0
差
0
(1)比較兩實數(代數式)的大小常用作差法，作差后需對差式進行恒等變形，常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法，直到能明顯判斷出其正負號(通常將差化為完全平方的形式或多個因式的積或商的形式)為止.(2)對于兩個正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大小.
微提醒
典例
1
作差法比較(或證明)大小的四個步驟
規律方法
對點練1.(1)已知a＞0，b＞0，比較a3＋b3與ab2＋a2b的大小；
解：因為a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)
＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因為a＞0，b＞0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
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任務二　不等式的性質
問題2.如果某月某公司員工甲比乙的薪水高，公司又給他們發了相同數額的獎金，那么這個月甲和乙誰的收入更高？扣除了相同數額的保險費用后呢？你能提煉出什么不等關系？
提示：甲比乙的收入高，扣除相同數額的保險費用后仍然是甲比乙的收 入高.
若a＞b，則a－c＞b－c.
問題導思
問題3.若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，則甲班的人數比乙班多.這里反映出的不等關系如何用符號語言表述？
提示：若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.
不等式的性質
新知構建
性質 別名 性質內容 注意
1 傳遞性 如果a＞b，且b＞c，那么a____c 不可逆
2 可加性 如果a＞b，那么a＋c____b＋c 可逆
3 可乘性 (1)如果a＞b，c＞0，那么________；
(2)如果a＞b，c＜0，那么________ c的符號
4 同向可加性 如果a＞b，c＞d，那么____________ 同向
5 同向同正
可乘性 (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么________；
(2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd.特殊地，當a＞b＞0時，an____bn，其中n∈N＋，n≥2 是否變號
6 可開方性 同正
＞
＞
ac＞bc
ac＜bc
a＋c＞b＋d
ac＞bd
＞
＞
(1)同向不等式相加與相乘的條件是一致的嗎？
提示：不一致，同向不等式相乘時各項均為正數.
微思考
(2)若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立嗎？
提示：不一定，但當a＞b＞0，c＞d＞0時，一定成立.
√
典例
2
√

1.利用不等式的性質判斷命題真假的方法
(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關性質證明；對于說法錯誤的，只需舉出一個反例即可.
(2)特殊值法：解有關不等式的選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性.
(3)作差法：將結論移項作差后，判斷符號.
規律方法
2.利用不等式的性質證明不等式的注意事項
(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎上記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用.
(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.
規律方法
√

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任務三　利用不等式的性質求代數式的取值范圍
已知－1＜x＜4，2＜y＜3.
(1)求x－y的取值范圍；
解：因為－1＜x＜4，2＜y＜3，
所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.
典例
3
(2)求3x＋2y的取值范圍.
解：由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18.
利用不等式的性質求取值范圍的策略
1.建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系，最后利用一次不等式的性質進行運算，求得待求的范圍.
2.同向不等式的兩邊可以相加，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其取值范圍.
[注意]　求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地先分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍.
規律方法
典例
4
√
√
＜

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課堂小結
任務
再現 1.實數大小比較的基本事實.
2.不等式的性質及其應用
方法
提煉 比較法、取特殊值法、待定系數法
易錯
警示 注意不等式性質的單向性或雙向性，即每條性質是否具有可逆性
隨堂評價
1.設P＝a(2a＋5)，Q＝(2a＋1)(a＋2)，則
A.P＞Q B.P＝Q
C.P＜Q D.P與Q的大小與a有關
√
因為P－Q＝a(2a＋5)－(2a＋1)(a＋2)＝2a2＋5a－(2a2＋5a＋2)＝－2＜0，所以P＜Q.故選C.
2.(多選題)下列命題正確的是
A.若a＞b，則ac3＞bc3
B.若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d
C.若ac＞bc，則a＞b
D.若a＞b，則a－c＞b－c
√
√
對于A，當c＝0時，若a＞b，則ac3＝bc3，故 A錯誤；對于B，當a＞b，c＞d時，得a＋c＞b＋d，故 B正確；對于C，當c＜0時，若ac＞bc，則a＜b，故C錯誤；對于D，當a＞b時，則a－c＞b－c，故D正確.故選BD.
√

4.已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，則M，N的大小關系是__________.
M＞N
M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2＞0，所以M＞N.
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課時分層評價
1.若x≠2且y≠－1，則M＝x2＋y2－4x＋2y的值與－5的大小關系是
A.M＝－5 B.M＜－5
C.M＞－5 D.不能確定
√
√
3.已知a＜0，－1＜b＜0，則
A.a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞a
C.ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a
√
因為a＜0，－1＜b＜0，所以ab＞0，0＜b2＜1，所以0＞ab2＞a，所以ab＞ab2＞a.故選D.
√
√
√
√
√
√

＞
[3，16]
1，－1(答案不唯一)
(2)設x，y，z∈R，M＝5x2＋y2＋z2，N＝2xy＋4x＋2z－2，比較M，N的 大小；
解：M－N＝5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝(x－y)2＋4x2－4x＋z2－2z＋2＝(x－y)2＋(2x－1)2＋(z－1)2，
因為x，y，z∈R，所以(x－y)2≥0，(2x－1)2≥0，(z－1)2≥0，所以M－N≥0，M≥N.
11.(多選題)已知a，b，c滿足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是
A.ac(a－c)＜0 B.c(b－a)＜0
C.cb2＞ab2 D.ab＞ac
√
對于A，因為c＜a，所以a－c＞0，又ac＜0，故ac(a－c)＜0，故A正確；對于B，因為c＜a，ac＜0，所以c＜0，a＞0，又a＜b，故b－a＞0，所以c(b－a)＜0，故B正確；對于C，因為b＞a＞0，所以b2＞0，c＜a兩邊同乘以b2，得cb2＜ab2，故C錯誤；對于D，因為a＞0，b＞c，所以ab－ac＝a(b－c)＞0，故ab＞ac，故D正確.故選ABD.
√
√
12.(新角度)有外表一樣，重量不同的四個小球，它們的重量分別是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，則這四個小球由重到輕的排列順序是
A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a
C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b
√
因為a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，所以a＋d＋(a＋b)＞b＋c＋(c＋d)，即a＞c.所以b＜d.又a＋c＜b，所以a＜b.綜上可得，d＞b＞a＞c.故選A.
y＞x＞1(答案不唯一)
3

16.(15分)(新定義)對于四個正數m，n，p，q，若滿足mq＜np，則稱有序數對(m，n)是(p，q)的“下位序列”.
(1)對于2，3，7，11，有序數對(3，11)是(2，7)的“下位序列”嗎？請簡單說明理由；
解：因為3×7＜11×2，
所以(3，11)是(2，7)的“下位序列”.
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