資源簡介

§4　一元二次函數與一元二次不等式
4.1　一元二次函數
學習目標 1.理解函數y＝ax2(a≠0)與y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象之間的關系，培養直觀想象的核心素養.　2.能利用配方法或圖象法掌握一元二次函數的重要性質，培養邏輯推理的核心素養.
任務一　一元二次函數的圖象
問題1.函數y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的圖象可以由函數y＝ax2(a≠0)的圖象經過怎樣的變換得到？
提示：函數y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的圖象可以看作由y＝ax2的圖象平移得到的，h決定了一元二次函數圖象的左右平移，而且“h正右移，h負左移”；k決定了一元二次函數圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”.
1.拋物線
一元二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通過配方化為y＝a＋，
若設h＝－，k＝，則有y＝a(x－h)2＋k，通常把一元二次函數的圖象叫作拋物線.
2.一元二次函數的圖象變換
一元二次函數y＝a(x－h)2＋k的圖象可以由y＝ax2的圖象經過向左(或向右)平移｜h｜個單位長度，再向上(或向下)平移｜k｜個單位長度而得到.
[微提醒]　在畫二次函數的圖象或利用圖象解決問題時，應注意以下幾點：(1)a決定函數圖象的開口方向；(2)對應方程的判別式Δ決定函數圖象與x軸是否有交點；(3)過定點(0，c)；(4)對稱軸的位置.
(鏈教材P34例1)函數y＝4x2＋2x＋1的圖象可以由函數y＝4x2的圖象經過怎樣的變換得到？
解：配方，得y＝4x2＋2x＋1＝4＋1＝4(x2＋x＋－)＋1＝4＋1＝4＋，
所以函數y＝4x2＋2x＋1的圖象可以由函數y＝4x2的圖象向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到.
　　任意一元二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通過配方都可轉化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2圖象經過適當的平移得到，具體平移方法如圖所示：
上述平移規律為：“h正左移，h負右移”；“k正上移，k負下移”.
對點練1.(1)一次函數y＝ax－b(a≠0)與二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐標系中的圖象大致是(　　)
(2)將函數圖象向左平移一個單位長度，再向下平移兩個單位長度得到的函數解析式為y＝2x2＋7x＋4，則原函數的解析式為(　　)
A.y＝2x2＋11x＋11 B.y＝2x2＋3x＋7
C.y＝2x2＋3x＋1 D.y＝2x2＋11x＋5
答案：(1)B　(2)C
解析：(1)若a＞0，則一次函數y＝ax－b(a≠0)為增函數，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的開口向上，故可排除A；若a＜0，則一次函數y＝ax－b(a≠0)為減函數，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的開口向下，故可排除D；對于C，由直線可知a＜0，b＞0，從而－＞0，而圖中二次函數的對稱軸在y軸的左側，故應排除C.故選B.
(2)將函數y＝2x2＋7x＋4的圖象向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單位長度可得到y＝2(x－1)2＋7(x－1)＋4＋2的圖象，化簡可得y＝2x2＋3x＋1.故選C.
任務二　一元二次函數的解析式
問題2.一元二次函數的解析式有幾種形式？
提示：三種不同形式.即一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
一元二次函數的解析式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(3)兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
根據下列條件，求一元二次函數的解析式：
(1)圖象過點(1，1)，(0，2)，(3，5)；
(2)圖象過點(1，4)，(－1，0)和(3，0)；
(3)圖象過點(2，－1)，(－1，－1)，且最大值為8.
解：(1)設函數解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由題設知
所以函數解析式為y＝x2－2x＋2.
(2)法一：設函數解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將(1，4)，(－1，0)，(3，0)分別代入上式，
得
所以函數解析式為y＝－x2＋2x＋3.
法二：設函數解析式為y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，
將(1，4)代入上式，得4＝a(1＋1)(1－3)，
所以a＝－1，所以y＝－(x＋1)(x－3)，
即函數解析式為y＝－x2＋2x＋3.
(3)法一：設函數解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由題意，得
故函數解析式為y＝－4x2＋4x＋7.
法二：因為函數圖象過點(2，－1)，(－1，－1)，
所以拋物線的對稱軸為直線x＝＝，
又因為函數最大值為8，所以y＝a＋8.
將(2，－1)代入，得a＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
故函數解析式為y＝－4x2＋4x＋7.
利用待定系數法求一元二次函數解析式的步驟
對點練2.已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象過點(0，3)，(3，0)，(－1，0)，求二次函數y＝ax2＋bx＋c的解析式.
解：依題意知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象過點(0，3)，(3，0)，(－1，0)，
所以則y＝－x2＋2x＋3.
任務三　一元二次函數的性質
問題3.你能找出一元二次函數y＝2(x－1)2＋5圖象的對稱軸和頂點坐標嗎？你能找出函數值y隨x的增大而減小，函數值y隨x的增大而增大所對應的區間嗎？你能求出函數的最值嗎？
提示：能.對稱軸是直線x＝1，頂點坐標是(1，5).
函數值y隨x的增大而減小的區間是(－∞，1]，函數值y隨x的增大而增大的區間是[1，＋∞).
當x＝1時，ymin＝5，無最大值.
一元二次函數y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的圖象和性質
a＞0(開口向上) a＜0(開口向下)
圖象
性 質 對稱軸 直線x＝h
頂點坐標 (h，k)
x的取值 范圍 (－∞，＋∞)或R
y的取值 范圍 [k，＋∞) (－∞，k]
函數值的 變化趨勢 在區間(－∞，h]上，y隨x的增大而減小，在區間[h，＋∞)上，y隨x的增大而增大 在區間(－∞，h]上，y隨x的增大而增大，在區間[h，＋∞)上，y隨x的增大而減小
最值 x＝h時，y有最小值，ymin＝k x＝h時，y有最大值，ymax＝k
[微提醒]　在求一元二次函數的最值問題時常利用圖象解決問題.
(鏈教材P34例1)已知一元二次函數y＝x2－3x－.
(1)指出它的圖象的對稱軸，試述函數值的變化趨勢及函數的最大值或最小值；
(2)若x∈[1，4]，求函數值的取值范圍.
解：(1)配方，得y＝x2－3x－＝(x－3)2－，該函數的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝3；
在區間(－∞，3]上，函數值y隨x的增大而減小，在區間[3，＋∞)上，函數值y隨x的增大而增大；函數在x＝3處取得最小值－，即ymin＝－，無最大值.
(2)由于3∈[1，4]，所以函數值在區間[1，3]上隨x的增大而減小，在區間[3，4]上隨x的增大而增大，
所以當x＝3時，ymin＝－，
當x＝1時，ymax＝×4－＝－，
所以當x∈[1，4]時，函數值的取值范圍為.
研究一元二次函數在給定區間上的性質
　　一看開口方向，二看對稱軸和區間的相對位置，簡稱“兩看法”.只需作出一元二次函數相關的部分簡圖，利用數形結合法就可以得到問題的解.
對點練3.(1)已知二次函數y＝－2(x＋1)2＋3，下列結論正確的是(　　)
A.其圖象的開口向上
B.圖象的對稱軸為直線x＝1
C.當x＞－1時，y隨x的增大而減小
D.函數有最小值3
(2)(多選題)如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分，圖象過點A，對稱軸為x＝－1，下面四個結論正確的為(　　)
A.b2＞4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＜0 D.5a＜b
答案：(1)C　(2)AD
解析：(1)對于A，二次函數y＝－2(x＋1)2＋3開口向下，判斷錯誤；對于B，二次函數y＝－2(x＋1)2＋3圖象的對稱軸為直線x＝－1，判斷錯誤；對于C，二次函數y＝－2(x＋1)2＋3，當x＞－1時，y隨x的增大而減小，判斷正確；對于D，當x＝－1時，函數有最大值3，該函數無最小值，判斷錯誤.故選C.
(2)因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正確；對稱軸為x＝－1，即－＝－1，所以2a－b＝0，故B錯誤；結合圖象，當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，故C錯誤；由對稱軸為x＝－1知，b＝2a，根據拋物線開口向下，知a＜0，所以5a＜2a＝b，即5a＜b，故D正確.故選AD.
任務四　一元二次函數在閉區間上的最值問題
已知二次函數的圖象過點(1，4)，(0，1)，(3，4).
(1)求二次函數的解析式；
(2)若x∈，求此二次函數的最小值和最大值.
解：(1)設二次函數為y＝ax2＋bx＋c，a≠0，
因為二次函數的圖象過點(1，4)，(0，1)，(3，4)，可得
所以二次函數的解析式為y＝－x2＋4x＋1.
(2)函數y＝－x2＋4x＋1，開口向下，對稱軸方程為x＝2，
即函數y＝－x2＋4x＋1在[－1，2]上y隨x的增大而增大，在[2，5]上y隨x的增大而減小，
所以ymin＝f(－1)＝f(5)＝－4，ymax＝f(2)＝5.
　　求一元二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m，n]上的最值的步驟
第一步：配方，找對稱軸；
第二步：判斷對稱軸與區間的關系；
第三步：求最值.若對稱軸在區間外，則一元二次函數在[m，n]的端點處取得最值；若對稱軸在區間內，則在對稱軸處取得最小值，最大值在[m，n]的端點處取得.
對點練4.已知函數y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]上有最大值2，求a的值.
解：函數y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
對稱軸為直線x＝a.
當a＜0時，函數在[0，1]上單調遞減，ymax＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；
當0≤a≤1時，ymax＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，
所以a＝(舍去)；
當a＞1時，函數在[0，1]上單調遞增，ymax＝a，
所以a＝2.
綜上可知，a＝－1，或a＝2.
任務 再現 1.一元二次函數解析式的三種形式.2.一元二次函數的圖象及變換.3.一元二次函數的性質
方法 提煉 配方法與數形結合法
易錯 警示 1.易忽視一元二次函數的開口方向.2.二次項含參時，要注意是否需要對二次項系數進行討論
1.一元二次函數y＝－2x2＋2x＋1的頂點坐標是(　　)
A.(1，1) B.(－1，－3)
C. D.
答案：C
解析：y＝－2x2＋2x＋1＝－2＋，所以頂點坐標為.故選C.
2.將y＝x2的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后所得函數解析式為(　　)
A.y＝(x＋2)2＋1 B.y＝(x－2)2＋1
C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x＋2)2－1
答案：C
解析：將y＝x2的圖象向右平移2個單位長度可得到y＝(x－2)2的圖象，再向下平移1個單位長度可得到y＝(x－2)2－1的圖象.故選C.
3.函數y＝x2－4x＋1在上的最小值是(　　)
A.－1 B.－2
C.－3 D.－4
答案：C
解析：由函數y＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，因為x∈，所以當x＝2時，函數取得最小值，最小值為ymin＝－3.故選C.
4.已知二次函數y＝x2－3x＋m(m為常數)的圖象與x軸的一個交點為，則關于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的兩實數根是　　　　.
答案：1，2
解析：由于y＝x2－3x＋m(m為常數)的圖象與x軸的一個交點為，所以1－3＋m＝0，所以m＝2，故x2－3x＋m＝(x－1)(x－2)＝0，解得x1＝1，x2＝2.
課時分層評價12　一元二次函數
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.函數y＝x2的圖象大致形狀是(　　)
A.開口向上的拋物線 B.開口向下的拋物線
C.直線 D.折線
答案：A
解析：函數y＝x2的圖象為開口向上的拋物線，故選A.
2.如果一元二次函數y＝5x2＋mx＋4的對稱軸是x＝1，則當x＝1時，y＝(　　)
A.10 B.－10
C.－1 D.19
答案：C
解析：對稱軸為－＝1，解得m＝－10，則y＝5x2－10x＋4，所以當x＝1時，y＝5－10＋4＝－1.故選C.
3.二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象開口向下，與y軸正半軸相交，則函數圖象與x軸交點的個數是(　　)
A.1 B.2
C.0 D.無法確定
答案：B
解析：由于y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象開口向下，與y軸正半軸相交，所以a＜0，c＞0，故Δ＝b2－4ac＞0，因此函數圖象與x軸的交點有2個.故選B.
4.若y＝(m－1)x2＋2mx＋3關于y軸對稱，則該函數的函數值在區間(－3，1)上(　　)
A.隨x的增大而增大
B.隨x的增大而減小
C.隨x的增大先增大后減小
D.隨x的增大先減小后增大
答案：C
解析：y＝(m－1)x2＋2mx＋3關于y軸對稱，所以m＝0，此時y＝－x2＋3，所以該函數的圖象是開口向下的拋物線，函數值在區間(－3，1)上先增大后減小.故選C.
5.在同一平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2與一次函數y＝bx＋c的圖象如圖所示，則二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)
答案：D
解析：根據一次函數y＝bx＋c與二次函數y＝ax2在同一平面直角坐標系中的圖象可判斷出a＞0，b＞0，c＜0，則y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上，對稱軸為x＝－＜0，D正確.故選D.
6.(多選題)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(　　)
A.a＋b＋c＞0
B.ac＞0
C.a－b＋c＝0
D.b2－4ac＞0
答案：ACD
解析：對于A，由圖可知，當x＝1時，y＞0，即a＋b＋c＞0，故A正確；對于B，圖象開口向下，a＜0，又對稱軸x＝－＞0，故b＞0，圖象與y軸交點在x軸上方，故c＞0，所以ac＜0，故B錯誤；對于C，D，二次函數圖象與x軸交于兩點，故Δ＝b2－4ac＞0，故D正確；將代入解析式得a－b＋c＝0，故C正確.故選ACD.
7.(開放題)請你寫出一個對稱軸為直線x＝2的函數解析式　　　　　.
答案：y＝(x－2)2(答案不唯一)
解析：設y＝(x－2)2，則二次函數的對稱軸為x＝2.故答案為y＝(x－2)2(答案不唯一).
8.若函數y＝x2－2ax＋3在x∈上的最大值為6，則實數a＝　　　　　.
答案：1
解析：因為y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，x∈，所以當a≤2時，x＝3，ymax＝9－6a＋3＝6，解得a＝1；當a＞2時，x＝1，ymax＝1－2a＋3＝6，解得a＝－1，又a＞2，故不成立.綜上，a＝1.
9.已知二次函數的圖象過點，圖象向左平移2個單位長度后的對稱軸是y軸，向下平移1個單位長度后與x軸只有一個交點，則此二次函數的解析式為　　　　　　　　.
答案：y＝(x－2)2＋1
解析：因為二次函數圖象向左平移2個單位長度后的對稱軸是y軸，再向下平移1個單位長度后與x軸只有一個交點，所以二次函數的圖象的頂點坐標為，設二次函數的解析式為y＝a(x－2)2＋1，又因為二次函數的圖象過點，代入可得a＝，所以二次函數的解析式為y＝(x－2)2＋1.
10.(15分)已知一元二次函數y＝－x2＋4x＋6.
(1)指出它的圖象可以由函數y＝－x2的圖象經過怎樣的變換而得到；
(2)指出它的圖象的對稱軸，試述函數值的變化趨勢及函數的最大值或最小值.
解：(1)配方，得y＝－(x2－8x)＋6＝－(x2－8x＋16－16)＋6＝－(x－4)2＋14.
所以函數y＝－x2＋4x＋6的圖象可以由y＝－x2的圖象向右平移4個單位長度，再向上平移14個單位長度而得到.
(2)由(1)可知：該函數的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝4；
在區間(－∞，4]上，函數值y隨x的增大而增大，在[4，＋∞)上，函數值y隨x的增大而減小；
函數在x＝4處取得最大值14，無最小值.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.已知二次函數C1的圖象的頂點坐標是，且截x軸所得線段的長度是4，將函數C1的圖象向右平移2個單位長度，得到拋物線C2的圖象，則拋物線C2與y軸的交點是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因為二次函數C1的圖象的頂點為(2，2)，故C1的對稱軸為直線x＝2，又C1的圖象截x軸所得線段的長度是4，所以C1的圖象與x軸的交點坐標為(0，0)和(4，0)，設y＝a(x－2)2＋2(a≠0)，將點(0，0)代入得a＋2＝0，解得a＝－，所以y＝－(x－2)2＋2，因為C2的圖象是由C1的圖象向右平移2個單位長度得到的，所以C2的解析式為y＝－＋2＝－＋2，令x＝0，則y＝－＋2＝－6，所以C2與y軸交點坐標為(0，－6).故選B.
12.當0≤x≤m時，函數y＝x2－2x＋3有最大值3，最小值2，則實數m的取值范圍是(　　)
A.m≥－1 B.1≤m≤2
C.0≤m≤2 D.m≤2
答案：B
解析：二次函數y＝x2－2x＋3圖象的對稱軸為x＝1，并且函數圖象的開口向上，因為x＝0時y＝3，x＝1時y＝2，x＝2時y＝3，所以若函數在上的最大值為3，最小值為2，則1≤m≤2.故選B.
13.(多選題)如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，其對稱軸是直線x＝－1，且過點，下列說法正確的是(　　)
A.abc＜0
B.2a－b＝0
C.3a＋c＝0
D.，是拋物線上兩點，y1＞y2
答案：ABC
解析：由圖知該拋物線開口向上，故a＞0，因為對稱軸是直線x＝－1，所以－＝－1，故b＝2a＞0，即2a－b＝0，故B正確；因為拋物線與y軸的交點在x軸下方，所以c＜0，故A正確；由拋物線對稱性得該函數圖象必過，可得a＋b＋c＝0，結合b＝2a，可得3a＋c＝0，故C正確；易知點，到對稱軸距離相等，故y1＝y2，故D錯誤.故選ABC.
14.(15分)已知二次函數y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈R，a＞b＞c且a＋b＋c＝0.
(1)證明：函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個不同的交點；
(2)設函數y＝ax2＋bx＋c的圖象截x軸所得線段的長為l，求t＝l2－4l的最小值.
解：(1)證明：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，則a＞0，c＜0，
所以－4ac＞0且b2≥0，所以Δ＝b2－4ac＞0，
則函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個不同的交點.
(2)由a＞－a－c＞c及a＞0，得1＞－1－＞，
所以－2＜＜－，
不妨設函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點為(1，0)，(x1，0)，則x1＝＜0，
所以函數y＝ax2＋bx＋c的圖象截x軸所得線段的長l＝1－∈(，3)，
則t＝l2－4l的最小值是－4.
(15、16題，每小題5分，共10分)
15.已知二次函數y＝x2－2tx＋2t2－2t，則下列選項正確的是(　　)
A.二次函數的圖象恒過點(0，0)
B.二次函數的圖象必與x軸有兩個不同的交點
C.二次函數的最小值可能為－2
D.二次函數的最小值可能為－1
答案：D
解析：對于A，當x＝0時，y＝2t2－2t不恒為0，所以二次函數的圖象不恒過點，故A錯誤；對于B，當t＝0時，Δ＝4t2－4＝－4t2＋8t＝0，此時二次函數的圖象與x軸只有1個交點，故B錯誤；對于C，D，y＝x2－2tx＋2t2－2t＝(x－t)2＋t2－2t，則二次函數的最小值為t2－2t＝(t－1)2－1≥－1，所以函數的最小值不可能是－2，可能為－1，故C錯誤，D正確.故選D.
16.(新定義)對于一個函數：當自變量x取a時，其函數值等于2a，則稱a為這個函數的H數.若二次函數y＝ax2＋4x＋c(a，c為常數且a≠0)有且只有一個H數1，且當0≤x≤m時，函數y＝ax2＋4x＋c－2的最小值為－3，最大值為1，則m的取值范圍是(　　)
A.0≤m≤2 B.1≤m≤3
C.2≤m≤3 D.2≤m≤4
答案：D
解析：由題意，令ax2＋4x＋c＝2x，則方程ax2＋2x＋c＝0的解為1，所以故可得y＝－x2＋4x－1－2＝－(x－2)2＋1，顯然當x＝0時，y＝－3；當x＝2時，y＝1；當y＝－3時，x＝0或4.由題意可得2≤m≤4.故選D.
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4.1　一元二次函數
　
第一章　§4　一元二次函數與一元二次不等式
學習目標
1.理解函數y＝ax2(a≠0)與y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象之間的關系，培養直觀想象的核心素養.　
2.能利用配方法或圖象法掌握一元二次函數的重要性質，培養邏輯推理的核心素養.
任務一　一元二次函數的圖象
問題1.函數y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的圖象可以由函數y＝ax2(a≠0)的圖象經過怎樣的變換得到？
提示：函數y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的圖象可以看作由y＝ax2的圖象平移得到的，h決定了一元二次函數圖象的左右平移，而且“h正右移，h負左移”；k決定了一元二次函數圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”.
問題導思
新知構建
－
拋物線
｜h｜
｜k｜

在畫二次函數的圖象或利用圖象解決問題時，應注意以下幾點：(1)a決定函數圖象的開口方向；(2)對應方程的判別式Δ決定函數圖象與x軸是否有交點；(3)過定點(0，c)；(4)對稱軸的位置.
微提醒
典例
1
　　任意一元二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通過配方都可轉化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2圖象經過適當的平移得到，具體平移方法如圖所示：
上述平移規律為：“h正左移，h負右移”；“k正上移，k負下移”.
規律方法
對點練1.(1)一次函數y＝ax－b(a≠0)與二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐標系中的圖象大致是
√

(2)將函數圖象向左平移一個單位長度，再向下平移兩個單位長度得到的函數解析式為y＝2x2＋7x＋4，則原函數的解析式為
A.y＝2x2＋11x＋11 B.y＝2x2＋3x＋7
C.y＝2x2＋3x＋1 D.y＝2x2＋11x＋5
√
將函數y＝2x2＋7x＋4的圖象向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單位長度可得到y＝2(x－1)2＋7(x－1)＋4＋2的圖象，化簡可得y＝2x2＋3x＋1.故選C.
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任務二　一元二次函數的解析式
問題2.一元二次函數的解析式有幾種形式？
提示：三種不同形式.即一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
問題導思
一元二次函數的解析式
(1)一般式：_____________________；
(2)頂點式：______________________；
(3)兩根式：__________________________.
新知構建
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
典例
2
利用待定系數法求一元二次函數解析式的步驟
規律方法
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任務三　一元二次函數的性質
問題3.你能找出一元二次函數y＝2(x－1)2＋5圖象的對稱軸和頂點坐標嗎？你能找出函數值y隨x的增大而減小，函數值y隨x的增大而增大所對應的區間嗎？你能求出函數的最值嗎？
提示：能.對稱軸是直線x＝1，頂點坐標是(1，5).
函數值y隨x的增大而減小的區間是(－∞，1]，函數值y隨x的增大而增大的區間是[1，＋∞).
當x＝1時，ymin＝5，無最大值.
問題導思
一元二次函數y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的圖象和性質
新知構建
a＞0(開口向上) a＜0(開口向下)
圖象

性
質 對稱軸 直線______
頂點坐標 ________
x＝h
(h，k)
a＞0(開口向上) a＜0(開口向下)
性
質 x的取值范圍 (－∞，＋∞)或R
y的取值范圍 [k，＋∞) (－∞，k]
函數值的
變化趨勢 在區間(－∞，h]上，y隨x的增大而______，在區間[h，＋∞)上，y隨x的增大而______ 在區間(－∞，h]上，y隨x的增大而______，在區間[h，＋∞)上，y隨x的增大而______
最值 x＝h時，y有最小值，ymin＝___ x＝h時，y有最大值，ymax＝___
減小
增大
增大
減小
k
k
在求一元二次函數的最值問題時常利用圖象解決問題.
微提醒
典例
3
研究一元二次函數在給定區間上的性質
　　一看開口方向，二看對稱軸和區間的相對位置，簡稱“兩看法”.只需作出一元二次函數相關的部分簡圖，利用數形結合法就可以得到問題的解.
規律方法
對點練3.(1)已知二次函數y＝－2(x＋1)2＋3，下列結論正確的是
A.其圖象的開口向上
B.圖象的對稱軸為直線x＝1
C.當x＞－1時，y隨x的增大而減小
D.函數有最小值3
√
對于A，二次函數y＝－2(x＋1)2＋3開口向下，判斷錯誤；對于B，二次函數y＝－2(x＋1)2＋3圖象的對稱軸為直線x＝－1，判斷錯誤；對于C，二次函數y＝－2(x＋1)2＋3，當x＞－1時，y隨x的增大而減小，判斷正確；對于D，當x＝－1時，函數有最大值3，該函數無最小值，判斷錯誤.故選C.
√
√

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任務四　一元二次函數在閉區間上的最值問題
典例
4
　求一元二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m，n]上的最值的步驟
第一步：配方，找對稱軸；
第二步：判斷對稱軸與區間的關系；
第三步：求最值.若對稱軸在區間外，則一元二次函數在[m，n]的端點處取得最值；若對稱軸在區間內，則在對稱軸處取得最小值，最大值在[m，n]的端點處取得.
規律方法
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課堂小結
任務
再現 1.一元二次函數解析式的三種形式.
2.一元二次函數的圖象及變換.
3.一元二次函數的性質
方法
提煉 配方法與數形結合法
易錯
警示 1.易忽視一元二次函數的開口方向.
2.二次項含參時，要注意是否需要對二次項系數進行討論
隨堂評價
√
2.將y＝x2的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后所得函數解析式為
A.y＝(x＋2)2＋1 B.y＝(x－2)2＋1
C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x＋2)2－1
√
將y＝x2的圖象向右平移2個單位長度可得到y＝(x－2)2的圖象，再向下平移1個單位長度可得到y＝(x－2)2－1的圖象.故選C.
√
1，2

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課時分層評價
1.函數y＝x2的圖象大致形狀是
A.開口向上的拋物線 B.開口向下的拋物線
C.直線 D.折線
√
函數y＝x2的圖象為開口向上的拋物線，故選A.
2.如果一元二次函數y＝5x2＋mx＋4的對稱軸是x＝1，則當x＝1時，y＝
A.10 B.－10
C.－1 D.19
√
3.二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象開口向下，與y軸正半軸相交，則函數圖象與x軸交點的個數是
A.1 B.2
C.0 D.無法確定
√
由于y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象開口向下，與y軸正半軸相交，所以a＜0，c＞0，故Δ＝b2－4ac＞0，因此函數圖象與x軸的交點有2個.故選B.
4.若y＝(m－1)x2＋2mx＋3關于y軸對稱，則該函數的函數值在區間(－3，1)上
A.隨x的增大而增大
B.隨x的增大而減小
C.隨x的增大先增大后減小
D.隨x的增大先減小后增大
√
y＝(m－1)x2＋2mx＋3關于y軸對稱，所以m＝0，此時y＝－x2＋3，所以該函數的圖象是開口向下的拋物線，函數值在區間(－3，1)上先增大后減小.故選C.
5.在同一平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2與一次函數y＝bx＋c的圖象如圖所示，則二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是

√
6.(多選題)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是
A.a＋b＋c＞0
B.ac＞0
C.a－b＋c＝0
D.b2－4ac＞0
√
√
√

7.(開放題)請你寫出一個對稱軸為直線x＝2的函數解析式______________
______________.
設y＝(x－2)2，則二次函數的對稱軸為x＝2.故答案為y＝(x－2)2(答案不唯一).
y＝(x－2)2
(答案不唯一)

1

(2)指出它的圖象的對稱軸，試述函數值的變化趨勢及函數的最大值或最 小值.
解：由(1)可知：該函數的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝4；
在區間(－∞，4]上，函數值y隨x的增大而增大，在[4，＋∞)上，函數值y隨x的增大而減小；
函數在x＝4處取得最大值14，無最小值.
√

12.當0≤x≤m時，函數y＝x2－2x＋3有最大值3，最小值2，則實數m的取值范圍是
A.m≥－1 B.1≤m≤2
C.0≤m≤2 D.m≤2
√

√
√
√

14.(15分)已知二次函數y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈R，a＞b＞c且a＋b＋c＝0.
(1)證明：函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個不同的交點；
解：證明：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，則a＞0，c＜0，
所以－4ac＞0且b2≥0，所以Δ＝b2－4ac＞0，
則函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個不同的交點.
15.已知二次函數y＝x2－2tx＋2t2－2t，則下列選項正確的是
A.二次函數的圖象恒過點(0，0)
B.二次函數的圖象必與x軸有兩個不同的交點
C.二次函數的最小值可能為－2
D.二次函數的最小值可能為－1
√

16.(新定義)對于一個函數：當自變量x取a時，其函數值等于2a，則稱a為這個函數的H數.若二次函數y＝ax2＋4x＋c(a，c為常數且a≠0)有且只有一個H數1，且當0≤x≤m時，函數y＝ax2＋4x＋c－2的最小值為－3，最大值為1，則m的取值范圍是
A.0≤m≤2 B.1≤m≤3
C.2≤m≤3 D.2≤m≤4
√
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