資源簡介

第2課時　基本不等式的應用
學習目標 1.熟練掌握基本不等式及其變形的應用.　2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.　3.能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題，提升數學建模的核心素養.
任務一　利用基本不等式的變形求最值
問題1.把一段長為32 cm的細鐵絲彎成形狀不同的矩形，當矩形的長、寬分別是何值時，面積最大？
提示：設矩形的長與寬分別是x cm和y cm，則x＋y＝16，由≥xy得xy≤64，當且僅當x＝y＝8時，等號成立，即這個矩形為正方形且邊長為8 cm時，其面積最大.
問題2.類比上面的方法，用一段細鐵絲彎成面積為64 cm2形狀不同的矩形，當矩形的長、寬分別是何值時，周長最??？
提示：設矩形的長與寬分別是x cm和y cm，則xy＝64，由x＋y≥2得x＋y≥16，當且僅當x＝y＝8時等號成立，即這個矩形為正方形且邊長為8 cm時，其周長最小.
兩個重要結論
當x，y均為正數時，下面的命題均成立：
(1)若x＋y＝s(s為定值)，則當且僅當x＝y時，xy取得最大值；
(2)若xy＝p(p為定值)，則當且僅當x＝y時，x＋y取得最小值2.
[微提醒]　(1)口訣：兩個正數的和定積最大，積定和最小.(2)應用基本不等式求最值時的三個關鍵點：一正、二定、三相等.①一正：各項必須為正；②二定：各項之和或各項之積為定值；③三相等：必須驗證取等號時的條件是否具備.
(一題多解)已知x＞0，y＞0，且滿足＋＝1.求x＋2y的最小值.
解：法一：因為x＞0，y＞0，＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
當且僅當時，等號成立，
故x＋2y的最小值為18.
法二：因為x＞0，y＞0，＋＝1，則8y＋x＝xy，所以x＝，所以y－1＞0.
所以x＋2y＝＋2y＝＋(2y－2)＋2＝10＋＋(2y－2)
≥10＋2＝10＋8＝18，當且僅當＝2y－2，即y＝3，x＝12時，等號成立，故x＋2y的最小值為18.
[變式探究]　(變條件，變設問)若把“＋＝1”改為“x＋2y＝1”，其他條件不變，求＋的最小值.
解：因為x＞0，y＞0，
所以＋＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，
當且僅當時取等號，
故＋的最小值為18.
利用基本不等式的變形求最值的策略
1.應根據已知條件適當進行“拆”“拼”“湊”“合”“變形”，創造應用基本不等式以及使等號成立的條件.
2.特別注意“1”的代換.
對點練1.(1)若正實數a，b滿足a＋2b＝1，則＋有(　　)
A.最小值，且最小值為 1＋
B.最小值，且最小值為 3＋2
C.最大值，且最大值為 1＋
D.最大值，且最大值為 3＋2
(2)(多選題)設正實數m，n滿足m＋n＝2，則(　　)
A.＋的最小值為3 B.＋的最大值為2
C.的最大值為1 D.m2＋n2的最小值為
答案：(1)B　(2)BC
解析：(1)已知a＞0，b＞0，且滿足a＋2b＝1，所以＋＝＝＋＋3≥2＋3＝3＋2，當且僅當a＝－1，b＝時，等號成立，因此＋的最小值為3＋2.故選B.
(2)因為正實數m，n滿足m＋n＝2，所以＋＝(m＋n)＝≥＝＋，當且僅當＝，即m＝＝2－2，n＝4－2時，等號成立，故A錯誤；＝m＋n＋2＝2＋2≤2＋m＋n＝4，當且僅當m＝n＝1時，等號成立，所以＋≤2，故B正確；m＋n≥2，所以≤＝1，當且僅當m＝n＝1時，等號成立，故C正確；m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥4－2＝2，當且僅當m＝n＝1時，等號成立，故D錯誤.故選BC.
任務二　利用基本不等式求參數范圍
當x＞1時，不等式x＋≥a＋1恒成立，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由題意，只需在x＞1時≥a＋1即可，又x＞1，則x－1＞0，故x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當x－1＝ x＝2時等號成立，故＝3，所以a＋1≤3 a≤2，即實數a的取值范圍是.故選A.
1.恒成立問題常采用分離參數的方法：若a≤y恒成立，則a≤ymin；若a≥y恒成立，則a≥ymax，從而將問題轉化為求y的最值問題.
2.在利用基本不等式求最值時，要注意能否取到等號.
對點練2.(1)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若2x＋y＞m恒成立，則實數m的取值范圍是(　　)
A.(－∞，7] B.(－∞，7)
C.(－∞，9] D.(－∞，9)
(2)當x＞2時，不等式5x－a＋＞0恒成立，則實數a的取值范圍是　　　　　　　.
答案：(1)D　(2)(－∞，10＋4)
解析：(1)因為＋＝1，x＞0，y＞0，故2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，當且僅當＝，即x＝y＝3時，等號成立，故2x＋y的最小值為9，故m＜9.故選D.
(2)不等式5x－a＋＞0恒成立，即5(x－2)＋＞a－10恒成立，又x＞2，所以5(x－2)＋≥2＝4，當且僅當x＝＋2時取等號，所以a－10＜4，解得a＜10＋4.
任務三　基本不等式在實際問題中的應用
(鏈教材P29例5)某公司建造一個長方體的糧倉，糧倉底面的長為x米，底面面積為64 m2，糧倉倉壁每平方米的造價為120元，倉頂的總造價為4 800元.如果倉壁高為3米，且不計糧倉底面的費用，設建造此糧倉的總造價為y元.
(1)設糧倉倉壁的面積為S，用x表示S，并求出x的取值范圍；
(2)糧倉底面的長x為多少米時，糧倉的總造價y最低？最低總造價是多少？
解：(1)由題意S＝2(＋x)×3＝6(＋x)，x＞0.
(2)由已知y＝6(＋x)×120＋4 800≥720×2＋4 800＝16 320元，
當且僅當＝x，即x＝8時取得最小值.
所以糧倉底面的長為8米時，糧倉的總造價y最低，最低總造價是16 320元.
實際問題中求最值的一般思路
1.先讀懂題意，理清思路，設出變量，列出函數的關系式.
2.把實際問題轉化為求函數的最大值或最小值問題.設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數.
3.解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.
4.用基本不等式求函數的最大值或最小值.
對點練3.已知某園林部門計劃對公園內一塊如圖所示的空地進行綠化，用柵欄圍4個面積相同的小矩形花池，一面可利用公園內原有綠化帶，四個花池內種植不同顏色的花，呈現“愛我中華”字樣.
(1)若用48米長的柵欄圍成小矩形花池(不考慮用料損耗)，則每個小矩形花池的長、寬各為多少米時，才能使得每個小矩形花池的面積最大？
(2)若每個小矩形的面積為平方米，則當每個小矩形花池的長、寬各為多少米時，才能使得圍成4個小矩形花池所用柵欄總長度最??？
解：(1)設每個小矩形花池的長、寬分別為x米、y米，則每個花池的面積為xy平方米.由題意可知4x＋6y＝48，所以2x＋3y＝24，
則2≤24，所以xy≤24，
當且僅當2x＝3y，即x＝6，y＝4時取得等號.
故當每個小矩形花池的長為6米、寬為4米時，才能使得每個小矩形花池的面積最大.
(2)由題意知xy＝，則y＝，
所以4x＋6y＝4x＋6×＝4
≥4×2＝56，
當且僅當x＝，即x＝7，y＝時取得等號，
故每個小矩形花池的長為7米、寬為米時，才能使得圍成4個小矩形花池所用柵欄總長度最小.
任務 再現 1.利用基本不等式的變形求最值.2.利用常數代換求最值.3.利用基本不等式解決實際問題
方法 提煉 配湊法、常數代換法以及轉化的思想方法
易錯 警示 利用基本不等式時，忽略等號成立的條件
1.已知0＜x＜1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因為0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(3－3x)＝3·x(1－x)≤3·＝，當且僅當x＝1－x，即x＝時，等號成立.故選B.
2.已知x＞1，y＞0，x＋y＝3，則(x－1)·y的最大值是(　　)
A. B.
C. D.1
答案：D
解析：由x＞1，y＞0，x＋y＝3，得(x－1)·y≤()2＝1，當且僅當x－1＝y＝1時取等號，所以(x－1)·y的最大值是1.故選D.
3.已知正數a，b滿足＋＝1，則8a＋b的最小值為(　　)
A.54 B.72
C.56 D.81
答案：B
解析：因為 ＋＝1，所以 8a＋b＝(8a＋b)(＋)＝＋32＋8＋≥40＋2＝72，當且僅當＝，即a＝6，b＝24時等號成立，故選B.
4.(開放題)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1.請寫出使得“m＜＋”恒成立的一個充分不必要條件為　　　　　.(用含m的式子作答)
答案：m＜15(答案不唯一)
解析：由題意可知：x＞0，y＞0，故＋＝＝10＋＋≥10＋2＝16，當且僅當y＝3x＝時取等號，故“m＜＋”恒成立的充要條件為m＜16，故“m＜＋”恒成立的一個充分不必要條件為m＜15.(答案不唯一).
課時分層評價11　基本不等式的應用
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.已知x＞0，y＞0，且滿足x＋6y＝6，則xy有(　　)
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
答案：A
解析：xy＝≤＝×9＝，當且僅當時等號成立.故選A.
2. y＝x＋的最小值為(　　)
A.4 B.6
C.8 D.10
答案：B
解析：因為x＞－2，所以y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，當且僅當x＋2＝，即x＝2時取等號，故選B.
3.用28 cm長的鐵絲折成一個矩形，則該矩形面積的最大值為(　　)
A.49 cm2 B.196 cm2
C.36 cm2 D.81 cm2
答案：A
解析：設該矩形相鄰的兩邊長為x cm，y cm，則2x＋2y＝28，即x＋y＝14.由x＞0，y＞0，則x＋y＝14≥2，得xy≤49，當且僅當x＝y＝7時，等號成立.故該矩形面積的最大值為49 cm2.故選A.
4.已知0＜x＜1，則＋的最小值是(　　)
A.16 B.25
C.27 D.34
答案：B
解析：由0＜x＜1，得1－x＞0，因此＋＝＝17＋＋≥17＋2＝25，當且僅當＝，即x＝時取等號，所以當x＝時，＋取得最小值25.故選B.
5.(多選題)下列命題中正確的是(　　)
A.任意非零實數a，b，都有＋≥2
B.當x＞1時，x＋的最小值是2
C.當0＜x＜10時，的最大值是5
D.若正數x，y滿足＋＝3，則2x＋y的最小值為3
答案：CD
解析：對于A，取a＝－1，b＝1，而＋＝－2＜2，故A錯誤；對于B，當x＞1時，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當x＝2時取等號，故B錯誤；對于C，當0＜x＜10時，≤＝5，當且僅當x＝5時取等號，故C正確；對于D，正數x，y滿足＋＝3，則2x＋y＝＋)(2x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝3，當且僅當x＝y＝1時取等號，故D正確.故選CD.
6.(多選題)已知x，y為正數，且xy＝1，m＝x＋y，n＝＋，下列選項中正確的有(　　)
A.m的最小值為2
B.n的最小值為10
C.mn的最小值為16
D.m＋n的最小值為4
答案：ACD
解析：對于A，m＝x＋y≥2＝2，當且僅當x＝y＝1時等號成立，故A正確；對于B，n＝＋≥2＝6，當且僅當＝，即x＝，y＝3時等號成立，故B錯誤；對于C，mn＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝16，當且僅當＝，即x＝，y＝時等號成立，故C正確；對于D，因為xy＝1，則y＝，所以m＋n＝(x＋y)＋＝＋＝10x＋≥2＝4，當且僅當10x＝，即x＝，y＝時等號成立，故D正確.故選ACD.
7.已知y＝2x＋，則y的最小值為　　　　.
答案：14
解析：因為x＞3，所以x－3＞0，則y＝2x＋＝2(x－3)＋＋6≥2＋6＝14，當且僅當2(x－3)＝，即x＝5時取等號，所以當x＝5時，y取最小值為14.
8.青島某科技公司要購買一批機器人投入使用，據分析，這批機器人可獲得的利潤y(單位：萬元)與投入使用時間x(單位：年)滿足y＝－x2＋14x－4(x∈N*，x≤15)，當投入使用　　　　年時，這批機器人的年平均利潤最大.
答案：2
解析：由題意可得年平均利潤為＝－x－＋14(x∈N*，x≤15)，因為－x－＝－(x＋)≤－2＝－4，當且僅當x＝，即x＝2＜15時，等號成立，所以年平均利潤的最大值為14－4＝10(萬元).所以當投入使用2年時，年平均利潤最大.
9.已知不等式x＋＞m對任意x∈(2，＋∞)恒成立，則實數m的取值范圍為　　　　.
答案：(－∞，6)
解析：x∈(2，＋∞)，所以x－2∈(0，＋∞)，x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，當且僅當x－2＝，即x＝4時等號成立，又不等式x＋＞m對任意x∈(2，＋∞)恒成立，所以＞m，即m＜6，故實數m的取值范圍為(－∞，6).
10.(10分)解答下列各題.
(1)若x＞3，求x＋的最小值；
(2)若正數x，y滿足9x＋y＝xy，
①求xy的最小值；
②求2x＋3y的最小值.
解：(1)由x＞3，得x－3＞0，x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，
當且僅當x－3＝，即x＝5時取等號，
故x＋的最小值為7.
(2)①由9x＋y＝xy結合基本不等式可得，
xy＝9x＋y≥2＝6 ≥0，又x，y為正數，
則≥6 xy≥36，當且僅當9x＝y，即x＝2，y＝18時取等號，故xy的最小值為36.
②由9x＋y＝xy可得＋＝1，
則2x＋3y＝＝29＋＋≥29＋2＝29＋6，
當且僅當＝ 18x2＝3y2 x＝y，又9x＋y＝xy，即x＝＋1，y＝9＋時取等號，
故2x＋3y的最小值為29＋6.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.(新定義)權方和不等式在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a，b，x，y＞0，則＋≥，當且僅當＝時等號成立.根據權方和不等式，函數y＝＋的最小值為(　　)
A.1 B.4
C.9 D.16
答案：D
解析：由0＜x＜，得1－4x＞0，由權方和不等式可得y＝＋＝＋≥＝16，當且僅當＝，即x＝時取等號.故選D.
12.(多選題)已知正實數a，b滿足2a＋b＝3ab，下列結論中正確的是(　　)
A.ab的最大值是
B.2a＋b的最小值是
C.a＋2b的最小值是3
D.b－的最小值為2－3
答案：BCD
解析：正實數a，b滿足2a＋b＝3ab，3ab＝2a＋b≥2 3≥2 ab≥，當且僅當a＝，b＝時取等號，故A錯誤；由A得，2a＋b＝3ab≥，當且僅當a＝，b＝時取等號，故B正確；由2a＋b＝3ab，得＋＝3，所以3(a＋2b)＝(a＋2b)＝5＋＋≥9，a＋2b≥3，當且僅當a＝b＝1時取等號，故C正確；b－＝b－＝b＋－3≥2－3，當且僅當b＝時取等號，故D正確.故選BCD.
13.對任意的正實數x，y，＋≤k恒成立，則k的最小值為　　　　.
答案：
解析：依題意x，y為正實數，則＞0，則k≥恒成立，因為＝，2＝2≤5x＋y，所以＝≤＝＝6，當且僅當y＝5x時等號成立，所以≤，且當x，y取滿足y＝5x的任意正實數時等號成立.所以＝.所以k≥，即k的最小值為.
14.(10分)利用所學知識解決以下問題：
(1)把36寫成兩個正數的積，當這兩個正數取什么值時，它們的和最??？
(2)把18寫成兩個正數的和，當這兩個正數取什么值時，它們的積最大？
(3)正實數a，b滿足＋＝1，求(a＋2)(b＋4)的最小值.
解：(1)ab＝36，則a＋b≥2＝12，
當且僅當a＝b＝6時等號成立，
即a＝b＝6時，它們的和最小，為12.
(2)a＋b＝18，則ab≤＝81，
當且僅當a＝b＝9時等號成立，
即a＝b＝9時，它們的積最大，為81.
(3)正實數ab滿足＋＝1，
所以1≥2，ab≥8，
當且僅當b＝2a＝4時取等號，
由＋＝1化簡得ab＝2a＋b，
所以(a＋2)(b＋4)＝ab＋2＋8＝3ab＋8≥32，當且僅當a＝2，b＝4時等號成立.
即(a＋2)(b＋4)的最小值為32.
15.(5分)(多選題)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，下列結論中正確的是(　　)
A.xy的最大值是
B.xy＋y2的最大值是1
C.＋的最小值是9
D.x2＋4y2的最小值是
答案：ACD
解析：對于A，因為x＋2y＝1≥2，xy≤，當且僅當x＝2y＝時等號成立，故A正確；對于B，因為x＝1－2y＞0，所以0＜y＜，則xy＋y2＝－y2＋y，當y＝時ymax＝，故B錯誤；對于C，＋＝(＋)(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當＝，即x＝y＝時等號成立，故C正確；對于D，x2＋4y2＝－4xy＝1－4xy，由A知(xy)max＝，所以(x2＋4y2)min＝1－4×＝，故D正確.故選ACD.
16.(15分)某企業要建造一個形如長方體的體育館，其地面面積為540平方米，高為6米.已知甲工程隊報價如下：館頂的造價為每平方米200元，由于利用現成的水泥地面，因此地面不需要花錢，體育館前、后兩側墻壁的造價為每平方米300元，左、右兩側墻壁的造價為每平方米500元.設體育館前墻長為x米.
(1)當前墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？
(2)現有乙工程隊也參與該體育館的建造競標，其給出的整體報價為3 600＋86 400(a＞0)元，且報價低的工程隊競標成功.若無論前墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求a的取值范圍.
解：(1)因為體育館前墻長為x米，地面面積為540平方米，所以體育館的左、右兩側墻的長度均為(x＞0)米，設甲工程隊報價為y元，
則y＝×6×500×2＋300×6x×2＋540×200＝3 600＋108 000，
因為y≥3 600×2＋108 000＝324 000，
當且僅當＝x，即x＝30時，等號成立，
所以當前墻的長度為30米時，甲工程隊報價最低為324 000元.
(2)根據題意可知3 600＋108 000＞3 600＋86 400，對任意的x＞0恒成立，
即x2＋6x＋14＞a對任意的x＞0恒成立，
所以a＜對任意的x＞0恒成立，
因為x＞0，＝＝(x＋1)＋＋4≥2＋4＝10，
當且僅當x＋1＝，即x＝2時，等號成立，
所以0＜a＜10，
故當0＜a＜10時，無論前墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功.
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第2課時　基本不等式的應用
　
第一章　§3　3.2　基本不等式
學習目標
1.熟練掌握基本不等式及其變形的應用.　
2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.　
3.能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題，提升數學建模的核心素養.
任務一　利用基本不等式的變形求最值
問題導思
新知構建
2

(1)口訣：兩個正數的和定積最大，積定和最小.(2)應用基本不等式求最值時的三個關鍵點：一正、二定、三相等.①一正：各項必須為正；②二定：各項之和或各項之積為定值；③三相等：必須驗證取等號時的條件是否具備.
微提醒
典例
1
利用基本不等式的變形求最值的策略
1.應根據已知條件適當進行“拆”“拼”“湊”“合”“變形”，創造應用基本不等式以及使等號成立的條件.
2.特別注意“1”的代換.
規律方法

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任務二　利用基本不等式求參數范圍
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典例
2
1.恒成立問題常采用分離參數的方法：若a≤y恒成立，則a≤ymin；若a≥y恒成立，則a≥ymax，從而將問題轉化為求y的最值問題.
2.在利用基本不等式求最值時，要注意能否取到等號.
規律方法
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任務三　基本不等式在實際問題中的應用
典例
3
實際問題中求最值的一般思路
1.先讀懂題意，理清思路，設出變量，列出函數的關系式.
2.把實際問題轉化為求函數的最大值或最小值問題.設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數.
3.解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.
4.用基本不等式求函數的最大值或最小值.
規律方法
對點練3.已知某園林部門計劃對公園內一塊如圖所示的空
地進行綠化，用柵欄圍4個面積相同的小矩形花池，一面
可利用公園內原有綠化帶，四個花池內種植不同顏色的花，
呈現“愛我中華”字樣.
(1)若用48米長的柵欄圍成小矩形花池(不考慮用料損耗)，則每個小矩形花池的長、寬各為多少米時，才能使得每個小矩形花池的面積最大？
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課堂小結
任務
再現 1.利用基本不等式的變形求最值.
2.利用常數代換求最值.
3.利用基本不等式解決實際問題
方法
提煉 配湊法、常數代換法以及轉化的思想方法
易錯
警示 利用基本不等式時，忽略等號成立的條件
隨堂評價
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m＜15(答案不唯一)

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課時分層評價
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3.用28 cm長的鐵絲折成一個矩形，則該矩形面積的最大值為
A.49 cm2 B.196 cm2
C.36 cm2 D.81 cm2
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8.青島某科技公司要購買一批機器人投入使用，據分析，這批機器人可獲得的利潤y(單位：萬元)與投入使用時間x(單位：年)滿足y＝－x2＋14x－4(x∈N*，x≤15)，當投入使用_____年時，這批機器人的年平均利潤最大.
2
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