資源簡介

3　二次根式
第1課時
課時目標
1.了解二次根式的概念.(抽象能力、推理能力)
2.會用二次根式的乘法法則和除法法則進行二次根式的乘除運算.(運算能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.(1)下列式子中,不是二次根式的是( ) A. B. C. D. (2)要使二次根式有意義,則x的值可以為( ) A.0 B.1 C.2 D.4
2.二次根式的乘法法則和除法法則 2.計算:(1)×= . (2)÷= .
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　二次根式的概念及應用(抽象能力、運算能力)
【典例1】如果y=++4,那么x+y的值為 .
舉一反三
1.若=-x,則x的值不能是( )
A.- B.4
C.-2 D.0
2.(2025·常州期中)要使得式子有意義,則a的取值范圍是 .
3.(2025·肇慶期中)若+=0,則x+y的值為 .
技法點撥
　二次根式的雙重非負性及應用
中a≥0的應用 若有意義,則x-m≥0
若有意義,則≥0且x-n≠0
若一個式子中同時出現和,則x-m=0
≥0的應用 若+(y-b)2+=0, 則x=a,y=b,z=c
重點2　二次根式的乘除(運算能力)
【典例2】(教材再開發·P42例1強化)計算:
(1)×.　(2)×.
(3)÷.　(4).
舉一反三
1.計算:(1)×= .
(2)×= .
2.計算:(1)÷= .
(2)÷= .
3.(2025·石家莊期中)計算:
(1)×;
(2)2÷.
技法點撥
二次根式乘除中的四點注意
1.順序:按從左到右的順序計算.
2.系數:對于根式系數要與被開方數分開相乘除.
3.被開方數:如果被開方數是帶分數或小數應化成假分數.
4.結果:最后運算結果一定要化成最簡形式.
素養　思維提升　入境深探
閱讀理解
分母有理化
閱讀材料:在進行二次根式的化簡時,我們有時會碰到如,,這樣的式子,其實我們還可以將其進一步化簡:
==;==;
===-1.
以上這種化簡的步驟叫作分母有理化.如還可以用以下方法化簡:====-1.
【解決問題】
　化簡:+++…+.3　二次根式
第2課時
課時目標
1.了解最簡二次根式的概念,會對二次根式進行化簡.(運算能力、模型觀念)
2.掌握二次根式的加減法則,能熟練進行二次根式的加減運算.(推理能力、運算能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.二次根式的性質及最簡二次根式 (1)性質: = (a≥0,b≥0) = (a≥0,b>0) (2)最簡二次根式:被開方數不含 ,也不含能開得盡方的 的二次根式 2.二次根式的加減法 加減法先將二次根式化成 二次根式,如果被開方數 ,可以合并(加減)
1.下列二次根式中,是最簡二次根式的是( ) A. B. C. D. 2.計算+結果正確的是( ) A. B.3 C.3 D.5 3.計算:-= .
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　二次根式的化簡及最簡二次根式(運算能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P43例4強化)將下列二次根式化成最簡二次根式.
(1);　(2);
(3);　(4)-.
舉一反三
1.下列式子中,屬于最簡二次根式的是( )
A. B.
C. D.
2.將化為最簡二次根式的結果為 .
技法點撥
化簡二次根式的類型及方法
1.被開方數是整數:熟記能開方的整數,如4,9,16,25,36等.
2.被開方數是分數:
方法1:==;
方法2:===(m≥0,n>0).
重點2　二次根式的加減(運算能力)
【典例2】計算:(1)+.
(2)+.
(3)3-9+3.
(4)(+)+(-).
舉一反三
1.計算:-2= .
2.計算+的結果是 .
3.計算:
(1)+2-.
(2)+-.
技法點撥
二次根式加減的三步驟
1.“化”,將每個二次根式都化簡為最簡二次根式;
2.“找”,找出被開方數相同的最簡二次根式;
3.“并”,將被開方數相同的最簡二次根式合并成一項.
特別提醒:
1.整式加減運算中的交換律、結合律及去括號法則在二次根式的運算中仍然適用.
2.不能合并的二次根式不能丟掉,仍然作為結果的一部分.
素養　思維提升　入境深探
閱讀理解
二次根式中巧化簡
閱讀下列解答過程:形如的式子的化簡,只要我們找到兩個正數a,b,使a+b=m,ab=n,即()2+()2=m,·=,那么便有==±(a>b).
例如:化簡.
解:首先把化為,
這里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12,
即()2+()2=7,×=,
所以===2+.
請根據材料解答下列問題:
(1)填空:=__________;
(2)化簡:(請寫出計算過程).3　二次根式
第2課時
課時目標
1.了解最簡二次根式的概念,會對二次根式進行化簡.(運算能力、模型觀念)
2.掌握二次根式的加減法則,能熟練進行二次根式的加減運算.(推理能力、運算能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.二次根式的性質及最簡二次根式 (1)性質: = ·　(a≥0,b≥0) = 　(a≥0,b>0) (2)最簡二次根式:被開方數不含　分母　,也不含能開得盡方的　因數或因式　的二次根式 2.二次根式的加減法 加減法先將二次根式化成　最簡　二次根式,如果被開方數　相同　,可以合并(加減)
1.下列二次根式中,是最簡二次根式的是(A) A. B. C. D. 2.計算+結果正確的是(C) A. B.3 C.3 D.5 3.計算:-=　-　.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　二次根式的化簡及最簡二次根式(運算能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P43例4強化)將下列二次根式化成最簡二次根式.
(1);　(2);
(3);　(4)-.
【自主解答】
(1)原式==10;
(2)原式==;
(3)原式==;
(4)原式=-=-.
舉一反三
1.下列式子中,屬于最簡二次根式的是(B)
A. B.
C. D.
2.將化為最簡二次根式的結果為　3　.
技法點撥
化簡二次根式的類型及方法
1.被開方數是整數:熟記能開方的整數,如4,9,16,25,36等.
2.被開方數是分數:
方法1:==;
方法2:===(m≥0,n>0).
重點2　二次根式的加減(運算能力)
【典例2】計算:(1)+.
(2)+.
(3)3-9+3.
(4)(+)+(-).
【自主解答】(1)+=+2=(1+2)×=3.
(2)+
=4+8
=(4+8)
=12.
(3)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)×=15.
(4)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+.
舉一反三
1.計算:-2= 　.
2.計算+的結果是　5　.
3.計算:
(1)+2-.
(2)+-.
【解析】(1)+2-=4+2-5=.
(2)+-=+-=.
技法點撥
二次根式加減的三步驟
1.“化”,將每個二次根式都化簡為最簡二次根式;
2.“找”,找出被開方數相同的最簡二次根式;
3.“并”,將被開方數相同的最簡二次根式合并成一項.
特別提醒:
1.整式加減運算中的交換律、結合律及去括號法則在二次根式的運算中仍然適用.
2.不能合并的二次根式不能丟掉,仍然作為結果的一部分.
素養　思維提升　入境深探
閱讀理解
二次根式中巧化簡
閱讀下列解答過程:形如的式子的化簡,只要我們找到兩個正數a,b,使a+b=m,ab=n,即()2+()2=m,·=,那么便有==±(a>b).
例如:化簡.
解:首先把化為,
這里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12,
即()2+()2=7,×=,
所以===2+.
請根據材料解答下列問題:
(1)填空:=__________;
(2)化簡:(請寫出計算過程).
【解析】(1)-1
(2)首先把化為,這里m=19,n=60,因為15+4=19,15×4=60,
即()2+()2=19,×=,
所以=
==-=-2.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 十二”3　二次根式
第1課時
課時目標
1.了解二次根式的概念.(抽象能力、推理能力)
2.會用二次根式的乘法法則和除法法則進行二次根式的乘除運算.(運算能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.(1)下列式子中,不是二次根式的是(D) A. B. C. D. (2)要使二次根式有意義,則x的值可以為(D) A.0 B.1 C.2 D.4
2.二次根式的乘法法則和除法法則 2.計算:(1)×=　2　. (2)÷= 　.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　二次根式的概念及應用(抽象能力、運算能力)
【典例1】如果y=++4,那么x+y的值為　7　.
舉一反三
1.若=-x,則x的值不能是(B)
A.- B.4
C.-2 D.0
2.(2025·常州期中)要使得式子有意義,則a的取值范圍是　a≥1　.
3.(2025·肇慶期中)若+=0,則x+y的值為　-1　.
技法點撥
　二次根式的雙重非負性及應用
中a≥0的應用 若有意義,則x-m≥0
若有意義,則≥0且x-n≠0
若一個式子中同時出現和,則x-m=0
≥0的應用 若+(y-b)2+=0, 則x=a,y=b,z=c
重點2　二次根式的乘除(運算能力)
【典例2】(教材再開發·P42例1強化)計算:
(1)×.　(2)×.
(3)÷.　(4).
【自主解答】(1)×=.
(2)×==.
(3)÷=
===2.
(4)===2.
舉一反三
1.計算:(1)×= 　.
(2)×=　2　.
2.計算:(1)÷= 　.
(2)÷=　6　.
3.(2025·石家莊期中)計算:
(1)×;
(2)2÷.
【解析】(1)×===3.
(2)2÷=2=2=2×=.
技法點撥
二次根式乘除中的四點注意
1.順序:按從左到右的順序計算.
2.系數:對于根式系數要與被開方數分開相乘除.
3.被開方數:如果被開方數是帶分數或小數應化成假分數.
4.結果:最后運算結果一定要化成最簡形式.
素養　思維提升　入境深探
閱讀理解
分母有理化
閱讀材料:在進行二次根式的化簡時,我們有時會碰到如,,這樣的式子,其實我們還可以將其進一步化簡:
==;==;
===-1.
以上這種化簡的步驟叫作分母有理化.如還可以用以下方法化簡:====-1.
【解決問題】
　化簡:+++…+.
【解析】+++…+
=++…+
=-1+-+-+…+-=-1+.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 十一”3　二次根式
第3課時
課時目標
1.掌握二次根式的混合運算法則及運算順序.(推理能力)
2.能運用二次根式的混合運算法則進行有關的運算.(運算能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
二次根式的混合運算 運算種類二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方運算順序先乘方或　開方　,再乘除,最后算加減;如果有括號先算　括號　里面的 運算結果化為　最簡二次根式　
1.下列計算中正確的是(B) A. (+ )=3　 B.(- )÷=-1 C.÷=2 D. (+)=+2 2.計算÷(+)的結果是 　.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　二次根式的混合運算(運算能力)
【典例1】計算:
(1)(+)×;
(2)(+1)(-1)-(-1)2;
(3)(-)÷-×.
【自主解答】(1)原式=(3+4)×=7×=14;
(2)原式=3-1-(3+1-2)
=3-1-4+2
=-2+2;
(3)原式=(2-)÷-2=-2=-.
舉一反三
1.下列計算,正確的是(C)
A.+= B.3-2=1
C.(-2)(+2)=1 D.2+7=54
2.計算×(+)的結果是(B)
A.2 B.4
C. D.1+
3.計算:
(1)÷+-×;
(2)(-1)2+(+1)(-1).
【解析】(1)÷+-×
=+3-
=2+3-4
=2-;
(2)(-1)2+(+1)(-1)
=3-2+1+6-1
=9-2.
技法點撥
二次根式混合運算的常見類型
(1)(++)=++;
(2)(+)(+)=+++;
(3)(+)(-)=a-b;
(4)(±)2=a±2+b.
重點2　與二次根式有關的化簡求值(運算能力、推理能力)
【典例2】設M=(-)·,其中a=3,b=2,求M的值.
【自主解答】原式=×-×=1-=1-|a|,
因為a=3,b=2,
所以原式=1-3=-2.
舉一反三
1.(2025·長沙質檢)先化簡,再求值:(2+a)(2-a)+(a-2)2,其中a=2-.
【解析】(2+a)(2-a)+(a-2)2=4-a2+a2-4a+4=-4a+8,
當a=2-時,原式=-4(2-)+8=4.
2.先化簡,再求值:x(-x)+(x+)(x-),其中x=-.
【解析】x(-x)+(x+)(x-)=x-x2+x2-5=x-5.
將x=-代入得:原式=(-)-5=6-2-5=1-2.
技法點撥
含字母的二次根式化簡求值的三點注意
1.的隱含條件為a≥0.
2.化簡時,先讓=|a|,再利用絕對值意義化簡.
3.最后的結果化為最簡.
素養　思維提升　入境深探
【火眼金睛】(找錯并糾正)
計算,其中a=-1.
【陷阱】忽略二次根式的性質≥0.
【正解】====3.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 十三”3　二次根式
第3課時
課時目標
1.掌握二次根式的混合運算法則及運算順序.(推理能力)
2.能運用二次根式的混合運算法則進行有關的運算.(運算能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
二次根式的混合運算 運算種類二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方運算順序先乘方或 ,再乘除,最后算加減;如果有括號先算 里面的 運算結果化為
1.下列計算中正確的是( ) A. (+ )=3　 B.(- )÷=-1 C.÷=2 D. (+)=+2 2.計算÷(+)的結果是 .
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　二次根式的混合運算(運算能力)
【典例1】計算:
(1)(+)×;
(2)(+1)(-1)-(-1)2;
(3)(-)÷-×.
舉一反三
1.下列計算,正確的是( )
A.+= B.3-2=1
C.(-2)(+2)=1 D.2+7=54
2.計算×(+)的結果是( )
A.2 B.4
C. D.1+
3.計算:
(1)÷+-×;
(2)(-1)2+(+1)(-1).
技法點撥
二次根式混合運算的常見類型
(1)(++)=++;
(2)(+)(+)=+++;
(3)(+)(-)=a-b;
(4)(±)2=a±2+b.
重點2　與二次根式有關的化簡求值(運算能力、推理能力)
【典例2】設M=(-)·,其中a=3,b=2,求M的值.
舉一反三
1.(2025·長沙質檢)先化簡,再求值:(2+a)(2-a)+(a-2)2,其中a=2-.
2.先化簡,再求值:x(-x)+(x+)(x-),其中x=-.
技法點撥
含字母的二次根式化簡求值的三點注意
1.的隱含條件為a≥0.
2.化簡時,先讓=|a|,再利用絕對值意義化簡.
3.最后的結果化為最簡.
素養　思維提升　入境深探
【火眼金睛】(找錯并糾正)
計算,其中a=-1.

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