資源簡介

1　平均數與方差
第1課時
課時目標
1.理解眾數、算術平均數、加權平均數的概念,會求一組數據的眾數、算術平均數和加權平均數.(數據觀念、運算能力)
2.經歷用平均數描述數據集中趨勢的過程;體會算術平均數與加權平均數的聯系與區別,并能利用它們解決一些現實問題.(數據觀念、運算能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
　　　　 1.已知一組數據:1,3,3,4,6,則這組數據的眾數是　3　. 2.(1)小君周一至周五的支出分別是(單位:元)7,10,14,7,12,則這組數據的平均數是(B) A.7　 B.10　 C.11　 D.11.5 (2)某學習小組有5人,在一次數學測驗中的成績分別是102,106,100,105,102,則他們成績的平均數是　103　. (3)小麗的筆試成績為100分,面試成績為90分,若筆試成績、面試成績按6∶4計算平均成績,則小麗的平均成績是　96　分.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　眾數與算術平均數(運算能力、數據觀念)
【典例1】(教材再開發·P146引入問題補充)某校組織了“在陽光下成長”主題演講比賽,比賽規則:6名裁判打分,去除一個最高分和一個最低分,剩下的4個分數的平均值為該選手成績,如表是某選手的得分情況:
裁判 1 2 3 4 5 6
分數 94 94 94 94 a b
其中,裁判4、裁判5給出的分數均被去除.經計算,該選手的成績為93.75分.
請根據上述信息,解決以下問題:
(1)求b的值;
(2)請判斷a是最高分還是最低分,并說明理由.
(3)該選手得分的眾數是多少
【自主解答】(1)由題意得,(94+94+94+b)÷4=93.75,解得b=93;
答:b的值為93.
(2)a是最低分,由題意可知a≤93,否則就不滿足去掉的是94分和a分.
(3)因為94分出現的次數最多,所以該選手得分的眾數是94分.
舉一反三
1.(2025·鹽城期中)一組數據3,5,2,x,7的平均數是4,則x的值為(A)
A.3　　B.4　　C.5　　D.6
2.射擊運動最早起源于狩獵和軍事活動,是一項用槍支對準目標打靶的競技項目.小強、小剛、小明三位選手進行男子10米氣手槍射擊比賽,比賽第一槍小強以10.9環滿環的好成績暫列第一,小剛以10環暫列第三,則這三位選手第一槍的平均成績在(C)
A.10環以下
B.10環到10.3環之間
C.10.3環到10.6環之間
D.10.6環到10.9環之間
3.抽樣調查了某校30位女生所穿鞋子的尺碼,數據如下:
尺碼 33 34 35 36 37
人數 7 6 15 1 1
這組數據的眾數是　35　.
技法點撥
計算算術平均數的三個“明確”
(1)明確需要計算的量;
(2)明確需要計算的個數;
(3)明確公式:算術平均數=各數之和÷個數.
重點2　加權平均數(運算能力、數據觀念、應用意識)
【典例2】(2025·邯鄲質檢)某校期末評價成績是由完成作業、半期檢測、期末考試三項成績構成的,如果期末評價成績在80分以上,則評為“優秀”.下表是嘉嘉和淇淇兩位同學的成績.
學生 完成作業/分 半期檢測/分 期末考試/分
嘉嘉 90 76 80
淇淇 82 70 86
(1)若將三項成績的平均分記為期末評價成績,請計算嘉嘉的期末評價成績;
(2)若將完成作業、半期檢測、期末考試三項成績按2∶3∶5的比例來確定期末評價成績,請你通過計算判斷淇淇能否被評為“優秀”.
【自主解答】(1)=82(分);
(2)=80.4(分),
因為80.4>80,
所以淇淇能被評為“優秀”.
舉一反三
1.(2025·揚州期中)小明本學期數學綜合實踐活動、期中考試及期末考試的成績分別是88分、90分和90分,各項占學期成績的百分比分別為10%,40%,50%,則小明的數學學期成績是　89.8　分.
2.某校食堂銷售三種午餐盒飯的有關數據如圖所示,該食堂銷售午餐盒飯的平均價格是　9.4　元.
技法點撥
加權平均數中“權”的認知
(1)三種常見形式:①百分數的形式,②出現的次數(個數),③比例關系;
(2)反映了各個數據的“重要程度”;
(3)計算加權平均數時要將權和數據對應起來.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 三十四”1　平均數與方差
第1課時
課時目標
1.理解眾數、算術平均數、加權平均數的概念,會求一組數據的眾數、算術平均數和加權平均數.(數據觀念、運算能力)
2.經歷用平均數描述數據集中趨勢的過程;體會算術平均數與加權平均數的聯系與區別,并能利用它們解決一些現實問題.(數據觀念、運算能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
　　　　 1.已知一組數據:1,3,3,4,6,則這組數據的眾數是 . 2.(1)小君周一至周五的支出分別是(單位:元)7,10,14,7,12,則這組數據的平均數是( ) A.7　 B.10　 C.11　 D.11.5 (2)某學習小組有5人,在一次數學測驗中的成績分別是102,106,100,105,102,則他們成績的平均數是 . (3)小麗的筆試成績為100分,面試成績為90分,若筆試成績、面試成績按6∶4計算平均成績,則小麗的平均成績是 分.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　眾數與算術平均數(運算能力、數據觀念)
【典例1】(教材再開發·P146引入問題補充)某校組織了“在陽光下成長”主題演講比賽,比賽規則:6名裁判打分,去除一個最高分和一個最低分,剩下的4個分數的平均值為該選手成績,如表是某選手的得分情況:
裁判 1 2 3 4 5 6
分數 94 94 94 94 a b
其中,裁判4、裁判5給出的分數均被去除.經計算,該選手的成績為93.75分.
請根據上述信息,解決以下問題:
(1)求b的值;
(2)請判斷a是最高分還是最低分,并說明理由.
(3)該選手得分的眾數是多少
舉一反三
1.(2025·鹽城期中)一組數據3,5,2,x,7的平均數是4,則x的值為( )
A.3　　B.4　　C.5　　D.6
2.射擊運動最早起源于狩獵和軍事活動,是一項用槍支對準目標打靶的競技項目.小強、小剛、小明三位選手進行男子10米氣手槍射擊比賽,比賽第一槍小強以10.9環滿環的好成績暫列第一,小剛以10環暫列第三,則這三位選手第一槍的平均成績在( )
A.10環以下
B.10環到10.3環之間
C.10.3環到10.6環之間
D.10.6環到10.9環之間
3.抽樣調查了某校30位女生所穿鞋子的尺碼,數據如下:
尺碼 33 34 35 36 37
人數 7 6 15 1 1
這組數據的眾數是 .
技法點撥
計算算術平均數的三個“明確”
(1)明確需要計算的量;
(2)明確需要計算的個數;
(3)明確公式:算術平均數=各數之和÷個數.
重點2　加權平均數(運算能力、數據觀念、應用意識)
【典例2】(2025·邯鄲質檢)某校期末評價成績是由完成作業、半期檢測、期末考試三項成績構成的,如果期末評價成績在80分以上,則評為“優秀”.下表是嘉嘉和淇淇兩位同學的成績.
學生 完成作業/分 半期檢測/分 期末考試/分
嘉嘉 90 76 80
淇淇 82 70 86
(1)若將三項成績的平均分記為期末評價成績,請計算嘉嘉的期末評價成績;
(2)若將完成作業、半期檢測、期末考試三項成績按2∶3∶5的比例來確定期末評價成績,請你通過計算判斷淇淇能否被評為“優秀”.
舉一反三
1.(2025·揚州期中)小明本學期數學綜合實踐活動、期中考試及期末考試的成績分別是88分、90分和90分,各項占學期成績的百分比分別為10%,40%,50%,則小明的數學學期成績是 分.
2.某校食堂銷售三種午餐盒飯的有關數據如圖所示,該食堂銷售午餐盒飯的平均價格是 元.
技法點撥
加權平均數中“權”的認知
(1)三種常見形式:①百分數的形式,②出現的次數(個數),③比例關系;
(2)反映了各個數據的“重要程度”;
(3)計算加權平均數時要將權和數據對應起來.1　平均數與方差
第2課時
　課時目標
1.理解刻畫數據離散程度的三個量——離差平方和、方差和標準差;會計算一組簡單數據的相應數值,并在具體情境中應用.(數據觀念、運算能力)
2.會用樣本的方差、標準差估計總體的方差、標準差;并能用數據的波動性進行決策.(數據觀念、應用意識、運算能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.離差平方和、方差、標準差 2.組內離差平方和 (1)常用的分組方法:使“組內離差平方和達到　最小　”. (2)多組數據的組內離差平方和:每組數據的離差平方和的和. 1.(1)方差是刻畫數據波動程度的量.對于一組數據x1,x2,x3,…,xn,可用如下算式計算方差:s2=[(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+…+(xn-5)2],其中“5”是這組數據的　平均數　. (2)已知一組數據的方差是4,則這組數據的標準差是　2　. (3)甲、乙、丙、丁都參加了5次數學模擬測試,每個人這5次測試的平均成績都是125分,方差分別是=0.65,=0.55,=0.50,=0.45,最穩定的是　丁　. 2.把5個數據-1,3,1,5,4分成{-1,1}和{3,4,5}兩組,則這種分組情況的組內離差平方和為　4　.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　離差平方和、方差和標準差(運算能力、數據觀念)
【典例1】(教材再開發·P151例2強化)淇淇在計算一組數據的方差時,列得沒有化簡的算式:s2=.關于這組數據,下列說法正確的是(A)
①平均數是4;②眾數是5;③樣本容量是3.
A.①②　B.②③　C.①③　D.①②③
舉一反三
1.(2025·南京期中)若一組數據2,4,6,8,x的方差比另一組數據1,3,5,7,9的方差大,則x的值可能是(A)
A.12 B.10 C.2 D.0
2.已知一組數據離差平方和S=(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2=50,則這組數據的方差s2=　5　.
3.若2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差為16,則x1,x2,x3,x4,x5的方差為　4　.
技法點撥
若一組數據x1,x2,…,xn的方差為s2,
①x1±a,x2±a,…,xn±a的方差為s2;
②mx1,mx2,…,mxn的方差為m2s2.
重點2　方差的應用(運算能力、數據觀念、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P152嘗試·思考強化)《朗讀者》自開播以來,以其厚重的文化底蘊和真摯的人文情懷,感動了數以億計的觀眾.某中學開展“朗讀”比賽活動,九年級(1)、(2)班根據初賽成績,各選出5名選手參加復賽,兩個班各選出的5名選手的復賽成績(滿分為100分)如圖所示.
(1)根據圖示填寫表格,則n=__________;
項目 平均數 眾數
九(1)班 85 85
九(2)班 n 100
(2)結合兩班復賽成績的平均數和眾數,分析哪個班級的復賽成績較好;
(3)如果規定成績較穩定班級勝出,你認為哪個班級能勝出 說明理由.
【自主解答】(1)由題中統計圖可知:九(1)班5名選手的成績分別為75,80,85,85,100,九(2)班5名選手的成績分別為70,75,80,100,100,
所以九(2)班5名選手成績的平均數是(70+75+80+100+100)÷5=85,所以n=85;
答案:85
(2)九(2)班復賽成績較好,因為兩個班級復賽成績的平均數相同,九(2)班的眾數高,所以在平均數相同的情況下眾數高的九(2)班的復賽成績較好;
(3)九(1)班復賽成績的方差為:×[(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2]
=70,
九(2)班復賽成績的方差為:×[(70-85)2+(75-85)2+(80-85)2+(100-85)2+(100-85)2]
=160,所以九(1)班復賽成績的方差小于九(2)班復賽成績的方差,所以九(1)班成績更穩定,能勝出.
舉一反三
1.如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差:
項目 甲 乙 丙 丁
平均數(cm) 190 180 190 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根據表中數據,要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽,應選擇(A)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.(2025·鹽城期中)甲、乙兩人在5次打靶測試中命中的環數如下:甲:8,8,7,8,9;乙:5,9,7,10,9.
項目 平均數 眾數 方差
甲 8 8 b
乙 a 9 3.2
(1)表格中a=__________;b=__________;
(2)教練根據這5次成績,選擇甲參加射擊比賽,教練的理由是什么
(3)如果乙再射擊1次,命中8環,那么乙的射擊成績的方差__________.(填“變大”“變小”或“不變”)
【解析】(1)乙的射擊成績的平均數a=×(5+9+7+10+9)=8,
甲的射擊成績的方差b=×[(8-8)2×3+(7-8)2+(9-8)2]=0.4;
答案:8　0.4
(2)因為他們的平均數相等,雖然乙的射擊成績的眾數大于甲,但甲的射擊成績的方差小,成績比較穩定,
所以選擇甲參加射擊比賽;
(3)乙再射擊1次,命中8環,此時乙的射擊成績的方差為×[(5-8)2+(9-8)2×2+(7-8)2+(10-8)2+(8-8)2]=,因為<3.2,所以乙的射擊成績的方差變小了.
答案:變小
重點3　組內離差平方和的應用(運算能力、數據觀念)
【典例3】(教材再開發·P153例3強化)某校隨機抽查了5名同學暑假中閱讀課外書的數量(單位:本),結果如下:14,13,6,11,8.按照“組內離差平方和達到最小”的方法,把5名同學按暑假中閱讀課外書數量的多少分成兩組.
【自主解答】將各數據由小到大排序:6,8,11,13,14.
把5個數據分成兩組,共有4種情況,第一組1個數據{6},第二組4個數據{8,11,13,14};第一組2個數據{6,8},第二組3個數據{11,13,14}……第一組4個數據{6,8,11,13},第二組1個數據{14}.
計算各種分組情況的組內離差平方和,結果如下(計算結果保留兩位小數):
分組情況 組內離差平方和
第一組1個,第二組4個 21
第一組2個,第二組3個 6.67
第一組3個,第二組2個 13.17
第一組4個,第二組1個 29
計算結果表明,第2種情況的組內離差平方和最小.因此把5名同學按暑假中閱讀課外書數量的多少分成兩組是{6,8},{11,13,14}.
舉一反三
把數據2,8,10,4,12按大小順序分成兩組,能使“組內離差平方和達到最小”的是(B)
A.{2},{4,8,10,12} B.{2,4},{8,10,12}
C.{2,4,8},{10,12} D.{2,4,8,10},{12}
素養　思維提升　入境深探
鏈接生活
為方便游客通行,某旅游景區上山的一條小路上,有一些斷斷續續的臺階.如圖是其中的甲、乙段臺階路的示意圖.
(圖中的數字表示每一級臺階的高度(單位:cm),并且數據15,16,16,14,14,15的方差=,數據11,15,18,17,10,19的方差=).
請你用所學過的有關統計知識(平均數和方差)回答下列問題:
(1)兩段臺階路有哪些相同點和不同點
(2)哪段臺階路走起來更舒服,為什么
(3)為方便游客行走,需要重新整修上山的小路.對于這兩段臺階路,在臺階數不變的情況下,請你提出合理的整修建議.
【解析】(1)因為平均數:=(15+16+16+14+14+15)=15(cm);
=(11+15+18+17+10+19)=15(cm),又因為=,=,
所以相同點:兩段臺階路高度的平均數相同.
不同點:兩段臺階路高度的方差不相同.
(2)甲段臺階路走起來更舒服,因為它的臺階高度的方差小.
(3)每個臺階高度均為15 cm(原平均數),使得方差為0(合理即可).
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 三十五”1　平均數與方差
第2課時
　課時目標
1.理解刻畫數據離散程度的三個量——離差平方和、方差和標準差;會計算一組簡單數據的相應數值,并在具體情境中應用.(數據觀念、運算能力)
2.會用樣本的方差、標準差估計總體的方差、標準差;并能用數據的波動性進行決策.(數據觀念、應用意識、運算能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.離差平方和、方差、標準差 2.組內離差平方和 (1)常用的分組方法:使“組內離差平方和達到 ”. (2)多組數據的組內離差平方和:每組數據的離差平方和的和. 1.(1)方差是刻畫數據波動程度的量.對于一組數據x1,x2,x3,…,xn,可用如下算式計算方差:s2=[(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+…+(xn-5)2],其中“5”是這組數據的 . (2)已知一組數據的方差是4,則這組數據的標準差是 . (3)甲、乙、丙、丁都參加了5次數學模擬測試,每個人這5次測試的平均成績都是125分,方差分別是=0.65,=0.55,=0.50,=0.45,最穩定的是 . 2.把5個數據-1,3,1,5,4分成{-1,1}和{3,4,5}兩組,則這種分組情況的組內離差平方和為 .
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　離差平方和、方差和標準差(運算能力、數據觀念)
【典例1】(教材再開發·P151例2強化)淇淇在計算一組數據的方差時,列得沒有化簡的算式:s2=.關于這組數據,下列說法正確的是( )
①平均數是4;②眾數是5;③樣本容量是3.
A.①②　B.②③　C.①③　D.①②③
舉一反三
1.(2025·南京期中)若一組數據2,4,6,8,x的方差比另一組數據1,3,5,7,9的方差大,則x的值可能是( )
A.12 B.10 C.2 D.0
2.已知一組數據離差平方和S=(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2=50,則這組數據的方差s2= .
3.若2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差為16,則x1,x2,x3,x4,x5的方差為 .
技法點撥
若一組數據x1,x2,…,xn的方差為s2,
①x1±a,x2±a,…,xn±a的方差為s2;
②mx1,mx2,…,mxn的方差為m2s2.
重點2　方差的應用(運算能力、數據觀念、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P152嘗試·思考強化)《朗讀者》自開播以來,以其厚重的文化底蘊和真摯的人文情懷,感動了數以億計的觀眾.某中學開展“朗讀”比賽活動,九年級(1)、(2)班根據初賽成績,各選出5名選手參加復賽,兩個班各選出的5名選手的復賽成績(滿分為100分)如圖所示.
(1)根據圖示填寫表格,則n=__________;
項目 平均數 眾數
九(1)班 85 85
九(2)班 n 100
(2)結合兩班復賽成績的平均數和眾數,分析哪個班級的復賽成績較好;
(3)如果規定成績較穩定班級勝出,你認為哪個班級能勝出 說明理由.
舉一反三
1.如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差:
項目 甲 乙 丙 丁
平均數(cm) 190 180 190 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根據表中數據,要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽,應選擇( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.(2025·鹽城期中)甲、乙兩人在5次打靶測試中命中的環數如下:甲:8,8,7,8,9;乙:5,9,7,10,9.
項目 平均數 眾數 方差
甲 8 8 b
乙 a 9 3.2
(1)表格中a=__________;b=__________;
(2)教練根據這5次成績,選擇甲參加射擊比賽,教練的理由是什么
(3)如果乙再射擊1次,命中8環,那么乙的射擊成績的方差__________.(填“變大”“變小”或“不變”)
重點3　組內離差平方和的應用(運算能力、數據觀念)
【典例3】(教材再開發·P153例3強化)某校隨機抽查了5名同學暑假中閱讀課外書的數量(單位:本),結果如下:14,13,6,11,8.按照“組內離差平方和達到最小”的方法,把5名同學按暑假中閱讀課外書數量的多少分成兩組.
舉一反三
把數據2,8,10,4,12按大小順序分成兩組,能使“組內離差平方和達到最小”的是( )
A.{2},{4,8,10,12} B.{2,4},{8,10,12}
C.{2,4,8},{10,12} D.{2,4,8,10},{12}
素養　思維提升　入境深探
鏈接生活
為方便游客通行,某旅游景區上山的一條小路上,有一些斷斷續續的臺階.如圖是其中的甲、乙段臺階路的示意圖.
(圖中的數字表示每一級臺階的高度(單位:cm),并且數據15,16,16,14,14,15的方差=,數據11,15,18,17,10,19的方差=).
請你用所學過的有關統計知識(平均數和方差)回答下列問題:
(1)兩段臺階路有哪些相同點和不同點
(2)哪段臺階路走起來更舒服,為什么
(3)為方便游客行走,需要重新整修上山的小路.對于這兩段臺階路,在臺階數不變的情況下,請你提出合理的整修建議.

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