資源簡介

1　認識證明
第2課時
課時目標
1.通過具體實例,了解定義、命題、定理、推論的意義;會區分命題的條件和結論,了解判斷命題真假的方法.(推理能力)
2.通過實例感受證明的過程與格式,知道八條基本事實.(推理能力)
3.感受證明的必要性,了解反例的作用,知道利用反例可以判斷一個命題是否錯誤.(推理能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.定義 對名稱和術語的含義加以描述,作出明確的 . 2.命題 3.公理、定理和證明 (1)公理:公認的 命題. (2)定理:經過證明的 命題. (3)證明:演繹推理的 . 4.命題證明的步驟 (1)根據命題,畫出圖形.(2)結合圖形,寫出已知和求證.(3)寫出證明過程. 1.“在同一平面內,不相交的兩條直線叫作平行線”這個句子是( ) A.定義 B.命題 C.公理 D.定理 2.下列句子中,是定理的是 ,是公理的是 ,是定義的是 .(填序號) ①兩點確定一條直線; ②對頂角相等; ③全等三角形的對應邊相等,對應角相等; ④有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形; ⑤兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　命題的結構(推理能力)
【典例1】(教材再開發·P182思考·交流拓展)指出下列命題的條件和結論,并改寫成“如果……那么……”的形式.
(1)絕對值不相等的兩個數一定不相等.
(2)與同一個角互補的兩個角相等.
(3)三角形的內角和等于180°.
舉一反三
命題“互為相反數的兩個數的和為0”的條件是 ,結論是 .
重點2　命題的真假(推理能力)
【典例2】(教材再開發·P183嘗試·思考強化)判斷下列命題是真命題還是假命題.如果是假命題,舉一個反例.
(1)若a2>b2,則a>b.
(2)不是對頂角的兩個角不相等.
(3)一個角的余角小于這個角.
舉一反三
1.(2025·泉州期中)下列命題是真命題的是( )
A.若a=b,則a2=b2 B.若|a|=|b|,則a=b
C.若ab=0,則a=0 D.若a2=b2,則a=b
2.(2025·溫州質檢)判斷下列命題的真假,并說明理由.
(1)三個角對應相等的兩個三角形全等.
(2)有公共頂點且角度相等的兩個角是對頂角.
重點3　命題的證明(推理能力)
【典例3】(2025·北京期中)探究并解決問題:
定義一種新的運算,叫作“ ”運算.按照“ ”運算的運算法則進行計算:
①(+2) (+3)=+5;
②(-2) (+3)=-5;
③(-2) (-3)=+5;
④(+2) (-3)=-5;
⑤0 (+5)=5;
⑥(+4) 0=4;
⑦(-5) 0=5;
⑧0 (-3)=3.
(1)觀察上面的算式,請類比有理數的運算法則的學習,歸納“ ”運算的運算法則:
兩數進行“ ”運算時,____________________;
一個數與0進行“ ”運算時,_________________________________________________________________.
(2)計算:(-3) [2 (-4)];
(3)有理數加法有結合律,結合律在有理數的“ ”運算中還適用嗎 請你判斷并舉例驗證(注:如果不適用,舉出一個反例即可).
舉一反三
對于命題“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能說明它是假命題的反例是( )
A.∠1=∠2=45° B.∠1=40°,∠2=50°
C.∠1=50°,∠2=50° D.∠1=40°,∠2=40°1　認識證明
第2課時
課時目標
1.通過具體實例,了解定義、命題、定理、推論的意義;會區分命題的條件和結論,了解判斷命題真假的方法.(推理能力)
2.通過實例感受證明的過程與格式,知道八條基本事實.(推理能力)
3.感受證明的必要性,了解反例的作用,知道利用反例可以判斷一個命題是否錯誤.(推理能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.定義 對名稱和術語的含義加以描述,作出明確的　規定　. 2.命題 3.公理、定理和證明 (1)公理:公認的　真　命題. (2)定理:經過證明的　真　命題. (3)證明:演繹推理的　過程　. 4.命題證明的步驟 (1)根據命題,畫出圖形.(2)結合圖形,寫出已知和求證.(3)寫出證明過程. 1.“在同一平面內,不相交的兩條直線叫作平行線”這個句子是(A) A.定義 B.命題 C.公理 D.定理 2.下列句子中,是定理的是　②③⑤　,是公理的是　①　,是定義的是　④　.(填序號) ①兩點確定一條直線; ②對頂角相等; ③全等三角形的對應邊相等,對應角相等; ④有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形; ⑤兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　命題的結構(推理能力)
【典例1】(教材再開發·P182思考·交流拓展)指出下列命題的條件和結論,并改寫成“如果……那么……”的形式.
(1)絕對值不相等的兩個數一定不相等.
(2)與同一個角互補的兩個角相等.
(3)三角形的內角和等于180°.
【自主解答】(1)這個命題的條件是“兩個數的絕對值不相等”,結論是“這兩個數一定不相等”,可以改寫成“如果兩個數的絕對值不相等,那么這兩個數一定不相等”;
(2)這個命題的條件是“兩個角與同一個角互補”,結論是“這兩個角相等”,可以改寫成“如果兩個角與同一個角互補,那么這兩個角相等”;
(3)這個命題的條件是“三個角都是一個三角形的內角”,結論是“這三個角的和等于180°”,可以改寫成“如果三個角都是一個三角形的內角,那么這三個角的和等于180°”.
舉一反三
命題“互為相反數的兩個數的和為0”的條件是　兩個數互為相反數　,結論是　這兩個數的和為0　.
重點2　命題的真假(推理能力)
【典例2】(教材再開發·P183嘗試·思考強化)判斷下列命題是真命題還是假命題.如果是假命題,舉一個反例.
(1)若a2>b2,則a>b.
(2)不是對頂角的兩個角不相等.
(3)一個角的余角小于這個角.
【自主解答】(1)命題“若a2>b2,則a>b”是假命題,如:a=-1,b=0,滿足a2>b2,但-1<0;
(2)命題“不是對頂角的兩個角不相等”是假命題,如:等腰三角形的兩個底角,不是對頂角,但它們相等;
(3)命題“一個角的余角小于這個角”是假命題,如:一個角為30°,它的余角是60°,30°的余角大于30°.
舉一反三
1.(2025·泉州期中)下列命題是真命題的是(A)
A.若a=b,則a2=b2 B.若|a|=|b|,則a=b
C.若ab=0,則a=0 D.若a2=b2,則a=b
2.(2025·溫州質檢)判斷下列命題的真假,并說明理由.
(1)三個角對應相等的兩個三角形全等.
(2)有公共頂點且角度相等的兩個角是對頂角.
【解析】(1)假命題,理由如下:兩個邊長不相等的等邊三角形不是全等三角形.
(2)假命題,理由如下:
如圖,∠AOB=∠COD,有公共頂點O,但不是對頂角.
重點3　命題的證明(推理能力)
【典例3】(2025·北京期中)探究并解決問題:
定義一種新的運算,叫作“ ”運算.按照“ ”運算的運算法則進行計算:
①(+2) (+3)=+5;
②(-2) (+3)=-5;
③(-2) (-3)=+5;
④(+2) (-3)=-5;
⑤0 (+5)=5;
⑥(+4) 0=4;
⑦(-5) 0=5;
⑧0 (-3)=3.
(1)觀察上面的算式,請類比有理數的運算法則的學習,歸納“ ”運算的運算法則:
兩數進行“ ”運算時,____________________;
一個數與0進行“ ”運算時,_________________________________________________________________.
(2)計算:(-3) [2 (-4)];
(3)有理數加法有結合律,結合律在有理數的“ ”運算中還適用嗎 請你判斷并舉例驗證(注:如果不適用,舉出一個反例即可).
【自主解答】(1)“ ”運算的運算法則:兩數進行“ ”運算時,同號得正,異號得負,再把絕對值相加,
一個數與0進行“ ”運算時,正數與0“ ”運算得它本身,負數與0“ ”運算得它的相反數.(或等于這個數的絕對值)
答案:同號得正,異號得負,再把絕對值相加
正數與0“ ”運算得它本身,負數與0“ ”運算得它的相反數
(2)(-3) [2 (-4)]=(-3) (-6)=+9;
(3)結合律在有理數的“ ”運算中不適用.
例如:[(-3) (-2)] 0=(+5) 0=5,
(-3) [(-2) 0]=(-3) 2=-5,這時,[(-3) (-2)] 0≠(-3) [(-2) 0],所以結合律在有理數的“ ”運算中不適用.
舉一反三
對于命題“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能說明它是假命題的反例是(A)
A.∠1=∠2=45° B.∠1=40°,∠2=50°
C.∠1=50°,∠2=50° D.∠1=40°,∠2=40°
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 四十”1　認識證明
第1課時
　課時目標
1.知道證明的意義和證明的必要性.(推理能力)
2.知道要判斷一個數學結論是否正確,僅僅靠實驗、觀察、歸納是不夠的,必須進行有根有據的證明.(推理能力、應用意識)
3.會用實驗驗證、舉出反例、推理等方法簡單地驗證一個數學結論是否正確.(推理能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
證明的必要性 1.　實驗　、　觀察　、　歸納　是人們認識事物的重要手段.但通過以上手段得到的結論　不一定　正確. 2.判斷一個數學結論是否正確,必須進行有根有據的　證明　. 判斷(對的畫“√”,錯的畫“×”) 1.憑經驗觀察甚至實驗得到的數學結論都正確.(×) 2.在數學上要判斷一個結論是否正確,有時也不需要有根有據的證明.(×) 3.檢驗數學結論常用的方法有實驗驗證、舉出反例和推理論證等.(√)
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　證明的必要性(推理能力、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P180嘗試·思考補充)在學習中,小明發現:當n=1,2,3時,n2-6n的值為負數,于是小明猜想:當n為任意正整數時,n2-6n的值都是負數.小明的猜想正確嗎 請簡要說明你的理由.
【自主解答】小明的猜想不正確.
因為當n=7時,n2-6n=72-6×7=7>0,所以小明的猜想不正確.
舉一反三
1.下列關于判斷一個數學結論是否正確的敘述正確的是(D)
A.只需觀察得出
B.只需依靠經驗獲得
C.通過親自試驗得出
D.必須進行有根據地推理
2.小芳和小明在手工課上用鐵絲制作樓梯模型,他們制作的模型如圖所示,下列關于所用鐵絲長短的說法中正確的是(A)
A.一樣長 B.小明的長
C.小芳的長 D.不能確定
技法點撥
推理證明必要性的四點注意
(1)直覺有時候會產生錯誤,不是永遠可信的.
(2)圖形的性質并不是都能通過測量得出的.
(3)通過對少數情況觀察、測量、計算得出的結論,并不能保證一般情況下都能成立.
(4)通過推理的方法研究問題,能夠解釋問題的本質.
重點2　推理論證(推理能力)
【典例2】(教材再開發·P187T4拓展)
發現:兩個正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數,且該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和.
驗證:如,(2+1)2+(2-1)2=10為偶數.請把10的一半表示為兩個正整數的平方和;
探究:設“發現”中的兩個已知正整數為m,n,請論證“發現”中的結論正確.
【自主解答】驗證:10的一半為5,5=1+4=12+22,
探究:兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數,且該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和.理由如下:(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),
故兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數;顯然該偶數的一半是m2+n2,所以該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和.
舉一反三
1.下列推理正確的是(B)
A.弟弟今年13歲,哥哥比弟弟大6歲,到了明年,哥哥比弟弟只大5歲了,因為弟弟明年比今年長大了1歲
B.如果a>b,b>c,則a>c
C.∠A與∠B相等,原因是它們看起來大小也差不多
D.因為對頂角必然相等,所以相等角也必是對頂角
2.一只皮箱的密碼是一個三位數.小光說:“它是954.”小明說:“它是358.”小亮說:“它是214.”小強說:“你們每人都只猜對了位置不同的一個數字.”這只皮箱的密碼是　918　.
3.(2025·徐州期中)已知a與b互為相反數,m,n互為倒數,|c|=2,求3a+3b+的值.
解:∵a與b互為相反數,
∴a+b=__________.
∵m,n互為倒數,
∴mn=__________.
∵|c|=2,
∴c=__________.
∴3a+3b+=3(a+b)+=__________.
(1)數學離不開推理,請把上面推理的空白部分補充完整;
(2)請用推理的方式解決下面的問題:
已知x,y,z是三個有理數,若x0,試判斷x+z的符號并且說明理由.
【解析】(1)∵a與b互為相反數,
∴a+b=0.∵m,n互為倒數,∴mn=1.
∵|c|=2,∴c=±2.
∴3a+3b+=3(a+b)+=±.
答案:0　1　±2　±
(2)x+z的符號為負,理由如下:
∵x+y=0,且x∴x與y互為相反數,∴x為負數,y為正數,∴xy<0.
又∵xyz>0,∴z<0,
∴x+z<0,∴x+z的符號為負.
技法點撥
　檢驗數學結論的具體過程
觀察、度量、實驗→猜想歸納→驗證猜想
素養　思維提升　入境深探
趣味數學
　　　有三個人去投宿,一晚30元,三人每人給10元湊齊30元給了老板.后來老板說今晚優惠只要25元,就掏出5元命令服務生還給他們.服務生偷偷藏起了2元,然后把剩下3元以每人1元退還給他們.這樣,一開始每人掏了10元,現又找回1元,也就是10-1=9,3個人每人9元,3×9=27元+服務生藏的2元=29元,還有1元去哪了 聰明的同學,你知道嗎
【解析】每人所花費的9元錢已經包括了服務生藏起來的2元(即優惠價25元+服務生私藏2元=27元=3×9元).因此,在計算這30元的組成時不能算上服務生私藏的那2元錢,而應當加上返還給每人的1元錢.即:3×9+3×1=30元正好!
還可以換個角度想:那三個人一共出了30元,花了25元,服務生藏起來了2元,所以每人花了9元,加上返還的1元,剛好是30元,因此這一元錢就找到了.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 三十九”1　認識證明
第1課時
　課時目標
1.知道證明的意義和證明的必要性.(推理能力)
2.知道要判斷一個數學結論是否正確,僅僅靠實驗、觀察、歸納是不夠的,必須進行有根有據的證明.(推理能力、應用意識)
3.會用實驗驗證、舉出反例、推理等方法簡單地驗證一個數學結論是否正確.(推理能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
證明的必要性 1. 、 、 是人們認識事物的重要手段.但通過以上手段得到的結論 正確. 2.判斷一個數學結論是否正確,必須進行有根有據的 . 判斷(對的畫“√”,錯的畫“×”) 1.憑經驗觀察甚至實驗得到的數學結論都正確.( ) 2.在數學上要判斷一個結論是否正確,有時也不需要有根有據的證明.( ) 3.檢驗數學結論常用的方法有實驗驗證、舉出反例和推理論證等.( )
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　證明的必要性(推理能力、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P180嘗試·思考補充)在學習中,小明發現:當n=1,2,3時,n2-6n的值為負數,于是小明猜想:當n為任意正整數時,n2-6n的值都是負數.小明的猜想正確嗎 請簡要說明你的理由.
舉一反三
1.下列關于判斷一個數學結論是否正確的敘述正確的是( )
A.只需觀察得出
B.只需依靠經驗獲得
C.通過親自試驗得出
D.必須進行有根據地推理
2.小芳和小明在手工課上用鐵絲制作樓梯模型,他們制作的模型如圖所示,下列關于所用鐵絲長短的說法中正確的是( )
A.一樣長 B.小明的長
C.小芳的長 D.不能確定
技法點撥
推理證明必要性的四點注意
(1)直覺有時候會產生錯誤,不是永遠可信的.
(2)圖形的性質并不是都能通過測量得出的.
(3)通過對少數情況觀察、測量、計算得出的結論,并不能保證一般情況下都能成立.
(4)通過推理的方法研究問題,能夠解釋問題的本質.
重點2　推理論證(推理能力)
【典例2】(教材再開發·P187T4拓展)
發現:兩個正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數,且該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和.
驗證:如,(2+1)2+(2-1)2=10為偶數.請把10的一半表示為兩個正整數的平方和;
探究:設“發現”中的兩個已知正整數為m,n,請論證“發現”中的結論正確.
【自主解答】驗證:10的一半為5,5=1+4=12+22,
探究:兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數,且該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和.理由如下:(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),
故兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數;顯然該偶數的一半是m2+n2,所以該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和.
舉一反三
1.下列推理正確的是( )
A.弟弟今年13歲,哥哥比弟弟大6歲,到了明年,哥哥比弟弟只大5歲了,因為弟弟明年比今年長大了1歲
B.如果a>b,b>c,則a>c
C.∠A與∠B相等,原因是它們看起來大小也差不多
D.因為對頂角必然相等,所以相等角也必是對頂角
2.一只皮箱的密碼是一個三位數.小光說:“它是954.”小明說:“它是358.”小亮說:“它是214.”小強說:“你們每人都只猜對了位置不同的一個數字.”這只皮箱的密碼是 .
3.(2025·徐州期中)已知a與b互為相反數,m,n互為倒數,|c|=2,求3a+3b+的值.
解:∵a與b互為相反數,
∴a+b=__________.
∵m,n互為倒數,
∴mn=__________.
∵|c|=2,
∴c=__________.
∴3a+3b+=3(a+b)+=__________.
(1)數學離不開推理,請把上面推理的空白部分補充完整;
(2)請用推理的方式解決下面的問題:
已知x,y,z是三個有理數,若x0,試判斷x+z的符號并且說明理由.
技法點撥
　檢驗數學結論的具體過程
觀察、度量、實驗→猜想歸納→驗證猜想
素養　思維提升　入境深探
趣味數學
　　　有三個人去投宿,一晚30元,三人每人給10元湊齊30元給了老板.后來老板說今晚優惠只要25元,就掏出5元命令服務生還給他們.服務生偷偷藏起了2元,然后把剩下3元以每人1元退還給他們.這樣,一開始每人掏了10元,現又找回1元,也就是10-1=9,3個人每人9元,3×9=27元+服務生藏的2元=29元,還有1元去哪了 聰明的同學,你知道嗎

展開更多......

收起↑