資源簡介

2　平行線的證明
第2課時
課時目標
1.掌握平行線的性質定理,了解平行于同一條直線的兩條直線平行.(推理能力、幾何直觀)
2.了解性質定理和判定定理的聯系,初步感受互逆的思維過程.(推理能力、幾何直觀)
3.進一步理解證明的步驟、格式和方法,發展演繹推理能力.(推理能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.平行線的性質 性質 定理文字敘述定理1兩直線平行,同位角 ∵a∥b, ∴∠1= 定理2兩直線平行,內錯角 ∵a∥b, ∴∠2= 定理3兩直線平行,同旁內角 ∵a∥b, ∴∠2+ = 定理4平行于同一條直線的兩條直線 ∵a∥c,b∥c,∴a∥b
1.(1)直線a,b均與直線c相交,且a∥b,∠1=48°,則∠2=( ) A.42° B.48° C.62° D.58° (2)如圖,直線a∥b,將三角尺的直角頂點放在直線b上,如果∠2=60°,那么∠1的度數為( ) A.30° B.40° C.50° D.60°
2.平行線的性質與判定的關系 (1)平行線的性質:由直線的 關系得出角之間的數量關系. (2)平行線的判定:由角之間的數量關系得出直線的 關系. 2.如圖,已知∠1=∠2=32°,∠D=78°,則∠BCD= .
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　平行線的性質(運算能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P194T5強化)如圖,AB∥CD,BD平分∠ABC,CA平分∠BCD.
(1)求證:AC⊥BD;
(2)若∠A=2∠D,求∠A的度數.
舉一反三
1.如圖,AB∥CD,AC⊥AD,若∠1=153°,則∠2的度數為( )
A.67° B.63° C.43° D.27°
2.如圖,已知,AB∥CD,∠1=(4x-25)°,∠2=(85-x)°,∠1的度數為 .
重點2　平行線性質和判定的綜合應用(推理能力、運算能力)
【典例2】 (教材再開發·P195T7強化)如圖,在△ABC中,點E、點G分別是邊AB、AC上的點,點F、點D是邊BC上的點,連接EF、AD和DG,DG是∠ADC的平分線,若∠1+∠2=180°,AB∥DG,∠2=145°,求∠EFC的度數.
舉一反三
　(2025·常德質檢)如圖,已知AB∥DE,∠B+∠E=180°.
(1)求證:BC∥EF;
(2)若∠BHE=60°,射線HG平分∠BHE,求∠HGE的度數.
素養　思維提升　入境深探
綜合運用
【問題情景】
如圖1,AB∥DC,點P在直線AB,CD之間,連接AP,CP.∠BAP=60°,∠DCP=20°,求∠APC的度數.小明的思路如下:先過點P作PE∥AB,再根據平行線的性質即可得到∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,進而得到∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°.
【問題解決】
(1)如圖2,AB∥DC,點P在直線AB,CD之間,連接AP,CP,∠BAP與∠DCP的平分線相交于點K.若∠APC=88°,則∠AKC=__________ .
(2)在(1)的條件下,若∠APC=α,求∠AKC的度數.2　平行線的證明
第1課時
　課時目標
1.了解證明的基本步驟和書寫格式.(推理能力)
2.會根據基本事實“同位角相等,兩直線平行”來證明“內錯角相等,兩直線平行”“同旁內角互補,兩直線平行”,并能簡單應用這些結論.(推理能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.如圖,直線a,b被直線c所截,下列條件能使a∥b的是(B) A.∠1=∠6 B.∠2=∠6 C.∠1=∠3 D.∠5=∠7 2.如圖,已知∠1=50°,要使a∥b,那么∠2等于(C) A.40° B.130° C.50° D.120°
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　平行線的判定(推理能力)
【典例1】(教材再開發·P194T2延伸)如圖,已知△ABC,∠ACB=80°,點E,F分別在AB,AC上,ED交AC于點G,交BC的延長線于點D,∠FEG=32°,∠CGD=48°.
求證:EF∥BC.
【證明】∵∠CGD=48°,
∴∠EGF=∠CGD=48°,
∵∠FEG=32°,∴∠GFE=180°-∠EGF-∠FEG=180°-48°-32°=100°,
∵∠ACB=80°,∴∠GFE+∠ACB=180°,∴EF∥BC.
舉一反三
1.(2025·長沙期中)如圖,點E在CD延長線上,下列條件中能判定AB∥CE的是(D)
A.∠5=∠C
B.∠1=∠2
C.∠B=∠C
D.∠C+∠CAB=180°
2.如圖∠B=∠D=∠E,那么圖形中的平行線有　CD∥EF　.
3.如圖所示,已知BE⊥MN,垂足為B,DF⊥MN,垂足為D,∠1=∠2.求證:AB∥CD.
【證明】∵BE⊥MN,DF⊥MN,
∴∠MBE=90°,∠MDF=90°,
即∠ABM+∠1=90°,∠CDM+∠2=90°,
又∵∠1=∠2,∴∠ABM=∠CDM,
∴AB∥CD.
重點2　平行線判定定理的應用(推理能力、運算能力)
【典例2】 (教材再開發·P194T4拓展)生活中,經過薄凸透鏡光心的光線,其傳播方向不變.如圖,光線AB從空氣中射入薄凸透鏡,再經過凸透鏡的光心,射入到空氣中,形成光線CD,由光學知識有∠1=∠2,∠3=∠4,求證:AB∥CD.
【證明】∵∠1=∠2,
∴∠EBC=∠NCB,∵∠3=∠4,
∴∠EBC+∠3=∠NCB+∠4,
即∠ABC=∠DCB,∴AB∥CD.
舉一反三
1.如圖,一條街道有兩個拐角∠ABC和∠BCD,測得∠ABC=145°,則∠BCD=145°,就可以知道AB∥CD,其依據是(C)
A.同位角相等,兩直線平行
B.同旁內角互補,兩直線平行
C.內錯角相等,兩直線平行
D.平行于同一條直線的兩直線平行
2.已知直線BC,嘉嘉和琪琪想畫出BC的平行線,他們的方法如下:
下列說法正確的是(A)
A.嘉嘉和琪琪的方法都正確
B.嘉嘉的方法不正確,琪琪的方法正確
C.嘉嘉的方法正確,琪琪的方法不正確
D.嘉嘉和琪琪的方法都不正確
素養　思維提升　入境深探
鏈接生活
在臺球游戲中,有一種用平行線找母球撞點的方法:目標球進球線路的平行線穿過母球中心平行線接觸母球的表面的點就是母球的撞點.我們可以把母球撞點到進球點的線作為瞄準線路,兩點一線就可以在臺球游戲中做到有的放矢.
如圖,臺球運動中,臺桌為一個長方形DEFG,如果母球P擊中點A,經桌邊反彈后擊中相鄰的另一桌邊上的點B,再次反彈經過點C.
(1)若∠PAD=32°,求∠PAB的度數;
(2)母球P經過的路線BC與PA一定平行嗎 請說明理由.
【解析】(1)∵∠PAD=32°,∠PAD=∠BAE,∠PAD+∠PAB+∠BAE=180°,
∴∠PAB=180°-32°-32°=116°.
(2)BC∥PA.理由如下:
∵∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,
∴∠PAB=180°-2∠BAE.
同理:∠ABC=180°-2∠ABE.
∵∠BAE+∠ABE=90°,∴∠PAB+∠ABC=360°-2(∠BAE+∠ABE)=180°,∴BC∥PA.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 四十一”2　平行線的證明
第1課時
　課時目標
1.了解證明的基本步驟和書寫格式.(推理能力)
2.會根據基本事實“同位角相等,兩直線平行”來證明“內錯角相等,兩直線平行”“同旁內角互補,兩直線平行”,并能簡單應用這些結論.(推理能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.如圖,直線a,b被直線c所截,下列條件能使a∥b的是( ) A.∠1=∠6 B.∠2=∠6 C.∠1=∠3 D.∠5=∠7 2.如圖,已知∠1=50°,要使a∥b,那么∠2等于( ) A.40° B.130° C.50° D.120°
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　平行線的判定(推理能力)
【典例1】(教材再開發·P194T2延伸)如圖,已知△ABC,∠ACB=80°,點E,F分別在AB,AC上,ED交AC于點G,交BC的延長線于點D,∠FEG=32°,∠CGD=48°.
求證:EF∥BC.
舉一反三
1.(2025·長沙期中)如圖,點E在CD延長線上,下列條件中能判定AB∥CE的是( )
A.∠5=∠C
B.∠1=∠2
C.∠B=∠C
D.∠C+∠CAB=180°
2.如圖∠B=∠D=∠E,那么圖形中的平行線有 .
3.如圖所示,已知BE⊥MN,垂足為B,DF⊥MN,垂足為D,∠1=∠2.求證:AB∥CD.
重點2　平行線判定定理的應用(推理能力、運算能力)
【典例2】 (教材再開發·P194T4拓展)生活中,經過薄凸透鏡光心的光線,其傳播方向不變.如圖,光線AB從空氣中射入薄凸透鏡,再經過凸透鏡的光心,射入到空氣中,形成光線CD,由光學知識有∠1=∠2,∠3=∠4,求證:AB∥CD.
舉一反三
1.如圖,一條街道有兩個拐角∠ABC和∠BCD,測得∠ABC=145°,則∠BCD=145°,就可以知道AB∥CD,其依據是( )
A.同位角相等,兩直線平行
B.同旁內角互補,兩直線平行
C.內錯角相等,兩直線平行
D.平行于同一條直線的兩直線平行
2.已知直線BC,嘉嘉和琪琪想畫出BC的平行線,他們的方法如下:
下列說法正確的是( )
A.嘉嘉和琪琪的方法都正確
B.嘉嘉的方法不正確,琪琪的方法正確
C.嘉嘉的方法正確,琪琪的方法不正確
D.嘉嘉和琪琪的方法都不正確
素養　思維提升　入境深探
鏈接生活
在臺球游戲中,有一種用平行線找母球撞點的方法:目標球進球線路的平行線穿過母球中心平行線接觸母球的表面的點就是母球的撞點.我們可以把母球撞點到進球點的線作為瞄準線路,兩點一線就可以在臺球游戲中做到有的放矢.
如圖,臺球運動中,臺桌為一個長方形DEFG,如果母球P擊中點A,經桌邊反彈后擊中相鄰的另一桌邊上的點B,再次反彈經過點C.
(1)若∠PAD=32°,求∠PAB的度數;
(2)母球P經過的路線BC與PA一定平行嗎 請說明理由.2　平行線的證明
第2課時
課時目標
1.掌握平行線的性質定理,了解平行于同一條直線的兩條直線平行.(推理能力、幾何直觀)
2.了解性質定理和判定定理的聯系,初步感受互逆的思維過程.(推理能力、幾何直觀)
3.進一步理解證明的步驟、格式和方法,發展演繹推理能力.(推理能力)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.平行線的性質 性質 定理文字敘述定理1兩直線平行,同位角　相等　 ∵a∥b, ∴∠1=　∠2　 定理2兩直線平行,內錯角　相等　 ∵a∥b, ∴∠2=　∠3　 定理3兩直線平行,同旁內角　互補　 ∵a∥b, ∴∠2+　∠4　=　180°　 定理4平行于同一條直線的兩條直線　平行　 ∵a∥c,b∥c,∴a∥b
1.(1)直線a,b均與直線c相交,且a∥b,∠1=48°,則∠2=(B) A.42° B.48° C.62° D.58° (2)如圖,直線a∥b,將三角尺的直角頂點放在直線b上,如果∠2=60°,那么∠1的度數為(A) A.30° B.40° C.50° D.60°
2.平行線的性質與判定的關系 (1)平行線的性質:由直線的　位置　關系得出角之間的數量關系. (2)平行線的判定:由角之間的數量關系得出直線的　位置　關系. 2.如圖,已知∠1=∠2=32°,∠D=78°,則∠BCD=　102°　 .
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　平行線的性質(運算能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P194T5強化)如圖,AB∥CD,BD平分∠ABC,CA平分∠BCD.
(1)求證:AC⊥BD;
(2)若∠A=2∠D,求∠A的度數.
【自主解答】(1)∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵BD平分∠ABC,CA平分∠BCD,
∴∠CBE=∠ABC,∠BCE=∠BCD,
∴∠CBE+∠BCE=(∠ABC+∠BCD)=×180°=90°,
∴∠BEC=90°,∴AC⊥BD;
(2)∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠D,
∵AC⊥BD,
∴∠A+∠ABE=90°,
∵∠A=2∠D,
∴2∠D+∠D=90°,
∴∠D=30°,
∴∠A=2×30°=60°.
舉一反三
1.如圖,AB∥CD,AC⊥AD,若∠1=153°,則∠2的度數為(B)
A.67° B.63° C.43° D.27°
2.如圖,已知,AB∥CD,∠1=(4x-25)°,∠2=(85-x)°,∠1的度數為　135°　.
重點2　平行線性質和判定的綜合應用(推理能力、運算能力)
【典例2】 (教材再開發·P195T7強化)如圖,在△ABC中,點E、點G分別是邊AB、AC上的點,點F、點D是邊BC上的點,連接EF、AD和DG,DG是∠ADC的平分線,若∠1+∠2=180°,AB∥DG,∠2=145°,求∠EFC的度數.
【自主解答】∵∠1+∠2=180°,∠2=145°,∴∠1=180-145°=35°,
∵DG是∠ADC的平分線,
∴∠ADC=2∠1=70°,
∵AB∥DG,∴∠1=∠BAD,
∵∠1+∠2=180°,
∴∠BAD+∠2=180°,
∴AD∥EF,∴∠EFC=∠ADC=70°.
舉一反三
　(2025·常德質檢)如圖,已知AB∥DE,∠B+∠E=180°.
(1)求證:BC∥EF;
(2)若∠BHE=60°,射線HG平分∠BHE,求∠HGE的度數.
【解析】(1)∵AB∥DE,
∴∠B+∠BHD=180°,
∵∠B+∠E=180°,
∴∠E=∠BHD,∴BC∥EF;
(2)由角平分線定義可知:∠BHG=∠BHE=30°,
∵BC∥EF,∴∠HGE=∠BHG=30°.
素養　思維提升　入境深探
綜合運用
【問題情景】
如圖1,AB∥DC,點P在直線AB,CD之間,連接AP,CP.∠BAP=60°,∠DCP=20°,求∠APC的度數.小明的思路如下:先過點P作PE∥AB,再根據平行線的性質即可得到∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,進而得到∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°.
【問題解決】
(1)如圖2,AB∥DC,點P在直線AB,CD之間,連接AP,CP,∠BAP與∠DCP的平分線相交于點K.若∠APC=88°,則∠AKC=__________　.
(2)在(1)的條件下,若∠APC=α,求∠AKC的度數.
【解析】(1)如圖,過K作KE∥AB,
∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,
∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,過P作PF∥AB,
同理可得∠APC=∠BAP+∠DCP,
∵∠BAP與∠DCP的平分線相交于點K,∴∠DCK=∠DCP,∠BAK=∠BAP,∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=(∠BAP+∠DCP)=∠APC,
∴∠AKC=∠APC,∵∠APC=88°,∴∠AKC=×88°=44°.
答案:44°
(2)根據解析(1)可知∠AKC=∠APC,∵∠APC=α,
∴∠AKC=α.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 四十二”

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