資源簡介

2　認識一次函數
第2課時
課時目標
1.理解分段函數的特點,能根據實際問題寫出分段函數的表達式.(模型觀念)
2.知道分段函數在自變量不同取值范圍內的實際意義,并能解決相關實際問題.(應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
分段函數 1.定義:在自變量的不同取值范圍內的函數表達式有不同的形式. 2.實質:分段函數其實就是函數受 影響而形成的同一條件下的不同函數表達式. 　向最大容量為60升的熱水器內注水,每分鐘注水10升,注水2分鐘后停止注水1分鐘,然后繼續注水,直至注滿.則能反映注水量與注水時間函數關系的圖象是( )
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　一次函數的應用——分段函數
【典例1】(教材再開發·P83例3拓展)某型號新能源純電動汽車充滿電后,蓄電池剩余電量y(千瓦時)與行駛路程x(千米)成分段函數關系:當0≤x≤150時,蓄電池剩余電量y(千瓦時)與行駛路程x(千米)成一次函數關系,如表:
行駛路程x/千米 0 24 48 72 …
蓄電池剩余電量y/千瓦時 60 56 52 48 …
當x>150時,蓄電池剩余電量y(千瓦時)與行駛路程x(千米)的函數關系式是y=-x+110.
(1)根據表格中的數據求0≤x≤150時,y與x的函數關系式;
(2)求該電動汽車充滿電后能行駛的最大里程.
舉一反三
某市出租車計費方法如圖所示,x(km)表示行駛里程,y(元)表示車費,請根據圖象回答下列問題:
(1)出租車的起步價是多少元 當x>3時,求y關于x的函數表達式.
(2)若某乘客有一次乘出租車的車費為32元,求這位乘客乘車的里程.
技法點撥
表達式法表示分段函數的注意點
(1)分段函數是一個函數,而非多個函數,其自變量在不同范圍內表達式不同;
(2)表示函數關系的表達式,每一段后面必須加上自變量的取值范圍.
重點2　一次函數的應用——方案問題
【典例2】(2025·咸陽質檢)“生活即教育,行為即課程.”某校將勞動教育融入立德樹人全過程,學校入冬勞動教育實踐活動包括花園除草、翻土、修剪樹木,以及清理校園周邊環境衛生等,學校現要購買勞動工具,學校與農資店店主商量后,店主給出了兩種購買方案(如表),且都送貨上門.
方案 運費 勞動工具價格
方案一 50元 12.5元/件
方案二 0元 15元/件
若學校購買x件勞動工具,按方案一購買的付款總金額為y1元,按方案二購買的付款總金額為y2元.
(1)請分別寫出y1,y2與x之間的函數關系式;
(2)若學校計劃用900元錢購買勞動工具,請你通過計算說明學校選擇哪種方案購買的勞動工具較多
舉一反三
春節期間,某批發商欲將一批海產品由A地運往B地,汽車貨運公司和鐵路貨運公司均開放海產品的運輸業務,兩貨運公司的收費項目及收費標準如表所示.已知運輸路程為120千米,汽車和火車的速度分別為60千米/小時,100千米/小時,請你選擇一種交通工具( )
運輸 工具 運輸單位 (元/噸· 千米) 冷藏單位 (元/噸· 小時) 過路 費(元) 裝卸及 管理 費(元)
汽車 2 5 200 0
火車 1.8 5 0 1 600
A.當運輸貨物重量為60噸時,選擇汽車
B.當運輸貨物重量大于50噸時,選擇汽車
C.當運輸貨物重量小于50噸時,選擇火車
D.當運輸貨物重量大于50噸時,選擇火車
素養　思維提升　入境深探
趣味數學
尋寶游戲中的分段函數
一個尋寶游戲的尋寶通道由正方形ABCD的邊組成,如圖1所示.為記錄尋寶者的行進路線,在AB的中點M處放置了一臺定位儀器,設尋寶者行進的時間為x,尋寶者與定位儀器之間的距離為y,若尋寶者勻速行進,且表示y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示,則尋寶者的行進路線可能是什么 2　認識一次函數
第1課時
課時目標
理解一次函數和正比例函數的概念,以及它們之間的關系,能根據條件寫出一次函數表達式.(抽象能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.“均勻”變化:一個變量增加固定的數值時,另一個變量的改變量是相同的. 2.一次函數的定義 對于兩個變量x,y間的對應關系一次 函數形如y= (k,b為常數,k≠0)的函數 正比例 函數形如y= (k為常數,k≠0)的函數 正比例函數是特殊的一次函數,即b=0
1.下列函數中,是一次函數的是( ) A.y= B.y=-2x+1 C.y=3(x-2)-3x D.y=x+x2 2.下列式子中,表示y是x的正比例函數的是( ) A.y=x B.y=x+1 C.y=2x2 D.y2=4x
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　“均勻”變化現象(抽象能力)
【典例1】(教材再開發·P80操作·思考強化)漏刻是中國古代的一種計時工具.中國最早的漏刻出現在夏朝時期,在宋朝時期,中國漏刻的發展達到了巔峰,其精確度和穩定性得到了極大的提高.漏刻的工作原理是利用均勻水流導致的水位變化來顯示時間.水從上面漏壺源源不斷地補充給下面的漏壺,再均勻地流入最下方的箭壺,使得壺中有刻度的小棍勻速升高,從而取得比較精確的時刻.某學習小組復制了一個漏刻模型,研究中發現小棍露出的部分y(厘米)是時間x(分鐘)的一次函數,且當時間x=0分鐘時,y=2厘米.表中是小明記錄的部分數據,其中有一個y的值記錄錯誤.
x(分鐘) … 10 20 30 40
y(厘米) … 2.6 3.2 3.6 4.4
(1)你認為y的值記錄錯誤的數據是_____;
(2)利用正確的數據確定函數表達式;
(3)當小棍露出部分為8厘米時,對應的時間為多少
舉一反三
在某一階段,某商品的銷售量與銷售價之間存在如表關系.設該商品的銷售價為x元,銷售量為y件,估計:當x=115時,y的值為( )
銷售價/元 90 100 110 120 130 140
銷售量/件 90 80 70 60 50 40
A.85 B.75
C.65 D.55
重點2　一次函數的概念(模型觀念、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P81定義強化)已知y=(m-3)x|m|-2+n-2.
(1)當m為何值時,y是關于x的一次函數
(2)當m,n為何值時,y是關于x的正比例函數
舉一反三
1.下列函數為一次函數的為( )
①y=2x+4;②y-4x=8(x-2);③y=x2-2x+3;④y=x4-x3+2x;⑤y=4x.
A.②④ B.①③⑤
C.①②⑤ D.①②
2.(2025·西安期中)已知關于x的函數y=(m+1)x|m|+n-3.
(1)當m取何值時,該函數是關于x的一次函數
(2)當m和n取何值時,該函數是關于x的正比例函數
技法點撥
判斷兩個變量是否為一次函數關系的三個步驟
重點3　列一次函數解決實際問題(模型觀念、運算能力)
【典例3】(教材再開發·P82例2深化)一天老王騎摩托車外出旅游,以60 km/h的速度勻速行駛,剛開始行駛時,油箱中有油9 L,行駛了1 h后發現已耗油1.5 L.
(1)求油箱中的剩余油量Q(L)與行駛的時間t(h)之間的函數關系式,并求出自變量t的取值范圍.
(2)當油箱中的剩余油量為3 L時,老王行駛了多少千米
舉一反三
　汽車由北京駛往相距120千米的天津,它的平均速度是30千米/時,則汽車距天津的路程S(千米)與行駛時間t(時)的函數關系式及自變量的取值范圍是( )
A.S=120-30t(0≤t≤4)
B.S=30t(0≤t≤4)
C.S=120-30t(t>0)
D.S=30t(t=4)
技法點撥
列一次函數關系式的三個步驟
1.找:找題目中的等量關系(有時直接將公式當作等量關系).
2.列:用字母表示自變量、因變量,并根據等量關系列出等式.
3.變形:將等式變形為一次函數的一般形式,即y=kx+b或y=kx.
素養　思維提升　入境深探
【火眼金睛】(找錯并糾正)
函數y=(k+3)x+k2-9是關于x的正比例函數,求k的值.2　認識一次函數
第2課時
課時目標
1.理解分段函數的特點,能根據實際問題寫出分段函數的表達式.(模型觀念)
2.知道分段函數在自變量不同取值范圍內的實際意義,并能解決相關實際問題.(應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
分段函數 1.定義:在自變量的不同取值范圍內的函數表達式有不同的形式. 2.實質:分段函數其實就是函數受　自變量的取值范圍　影響而形成的同一條件下的不同函數表達式. 　向最大容量為60升的熱水器內注水,每分鐘注水10升,注水2分鐘后停止注水1分鐘,然后繼續注水,直至注滿.則能反映注水量與注水時間函數關系的圖象是(D)
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　一次函數的應用——分段函數
【典例1】(教材再開發·P83例3拓展)某型號新能源純電動汽車充滿電后,蓄電池剩余電量y(千瓦時)與行駛路程x(千米)成分段函數關系:當0≤x≤150時,蓄電池剩余電量y(千瓦時)與行駛路程x(千米)成一次函數關系,如表:
行駛路程x/千米 0 24 48 72 …
蓄電池剩余電量y/千瓦時 60 56 52 48 …
當x>150時,蓄電池剩余電量y(千瓦時)與行駛路程x(千米)的函數關系式是y=-x+110.
(1)根據表格中的數據求0≤x≤150時,y與x的函數關系式;
(2)求該電動汽車充滿電后能行駛的最大里程.
【自主解答】(1)由題意可知,行駛路程每增加24千米,蓄電池剩余電量減少4千瓦時,
所以每行駛1千米所消耗的電量為=千瓦時,所以0≤x≤150時y與x的函數關系式為y=60-x.
(2)因為當x>150時,蓄電池剩余電量y(千瓦時)與行駛路程x(千米)的函數關系式是y=-x+110,所以當y=0時,-x+110=0,解得x=220.
答:該電動汽車充滿電后能行駛的最大里程為220千米.
舉一反三
某市出租車計費方法如圖所示,x(km)表示行駛里程,y(元)表示車費,請根據圖象回答下列問題:
(1)出租車的起步價是多少元 當x>3時,求y關于x的函數表達式.
(2)若某乘客有一次乘出租車的車費為32元,求這位乘客乘車的里程.
【解析】(1)由圖象可知,出租車的起步價是8元.當x>3時,x每增加2 km,y增加4元,所以y=2x+2.
(2)當y=32時,2x+2=32,解得x=15.
答:這位乘客乘車的里程是15 km.
技法點撥
表達式法表示分段函數的注意點
(1)分段函數是一個函數,而非多個函數,其自變量在不同范圍內表達式不同;
(2)表示函數關系的表達式,每一段后面必須加上自變量的取值范圍.
重點2　一次函數的應用——方案問題
【典例2】(2025·咸陽質檢)“生活即教育,行為即課程.”某校將勞動教育融入立德樹人全過程,學校入冬勞動教育實踐活動包括花園除草、翻土、修剪樹木,以及清理校園周邊環境衛生等,學校現要購買勞動工具,學校與農資店店主商量后,店主給出了兩種購買方案(如表),且都送貨上門.
方案 運費 勞動工具價格
方案一 50元 12.5元/件
方案二 0元 15元/件
若學校購買x件勞動工具,按方案一購買的付款總金額為y1元,按方案二購買的付款總金額為y2元.
(1)請分別寫出y1,y2與x之間的函數關系式;
(2)若學校計劃用900元錢購買勞動工具,請你通過計算說明學校選擇哪種方案購買的勞動工具較多
【自主解答】(1)由題意得:y1=12.5x+50,y2=15x.
(2)當y1=900時,12.5x+50=900,解得:x=68,當y2=900時,15x=900,解得x=60,因為68>60,所以學校選擇方案一購買的勞動工具較多.
舉一反三
春節期間,某批發商欲將一批海產品由A地運往B地,汽車貨運公司和鐵路貨運公司均開放海產品的運輸業務,兩貨運公司的收費項目及收費標準如表所示.已知運輸路程為120千米,汽車和火車的速度分別為60千米/小時,100千米/小時,請你選擇一種交通工具(D)
運輸 工具 運輸單位 (元/噸· 千米) 冷藏單位 (元/噸· 小時) 過路 費(元) 裝卸及 管理 費(元)
汽車 2 5 200 0
火車 1.8 5 0 1 600
A.當運輸貨物重量為60噸時,選擇汽車
B.當運輸貨物重量大于50噸時,選擇汽車
C.當運輸貨物重量小于50噸時,選擇火車
D.當運輸貨物重量大于50噸時,選擇火車
素養　思維提升　入境深探
趣味數學
尋寶游戲中的分段函數
一個尋寶游戲的尋寶通道由正方形ABCD的邊組成,如圖1所示.為記錄尋寶者的行進路線,在AB的中點M處放置了一臺定位儀器,設尋寶者行進的時間為x,尋寶者與定位儀器之間的距離為y,若尋寶者勻速行進,且表示y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示,則尋寶者的行進路線可能是什么
【解析】觀察題圖2得:該函數關系為一個分段函數,尋寶者與定位儀器之間的距離先越來越近,到達M后再越來越遠,結合題圖1得:尋寶者的行進路線可能為A→B.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 二十”2　認識一次函數
第1課時
課時目標
理解一次函數和正比例函數的概念,以及它們之間的關系,能根據條件寫出一次函數表達式.(抽象能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.“均勻”變化:一個變量增加固定的數值時,另一個變量的改變量是相同的. 2.一次函數的定義 對于兩個變量x,y間的對應關系一次 函數形如y=　kx+b　(k,b為常數,k≠0)的函數 正比例 函數形如y=　kx　(k為常數,k≠0)的函數 正比例函數是特殊的一次函數,即b=0
1.下列函數中,是一次函數的是(B) A.y= B.y=-2x+1 C.y=3(x-2)-3x D.y=x+x2 2.下列式子中,表示y是x的正比例函數的是(A) A.y=x B.y=x+1 C.y=2x2 D.y2=4x
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　“均勻”變化現象(抽象能力)
【典例1】(教材再開發·P80操作·思考強化)漏刻是中國古代的一種計時工具.中國最早的漏刻出現在夏朝時期,在宋朝時期,中國漏刻的發展達到了巔峰,其精確度和穩定性得到了極大的提高.漏刻的工作原理是利用均勻水流導致的水位變化來顯示時間.水從上面漏壺源源不斷地補充給下面的漏壺,再均勻地流入最下方的箭壺,使得壺中有刻度的小棍勻速升高,從而取得比較精確的時刻.某學習小組復制了一個漏刻模型,研究中發現小棍露出的部分y(厘米)是時間x(分鐘)的一次函數,且當時間x=0分鐘時,y=2厘米.表中是小明記錄的部分數據,其中有一個y的值記錄錯誤.
x(分鐘) … 10 20 30 40
y(厘米) … 2.6 3.2 3.6 4.4
(1)你認為y的值記錄錯誤的數據是_____;
(2)利用正確的數據確定函數表達式;
(3)當小棍露出部分為8厘米時,對應的時間為多少
【自主解答】(1)因為=,=,=,
所以y的值記錄錯誤的數據是3.6.
答案:3.6
(2)由表格可知,x每增加10分鐘,y增加0.6厘米,所以=,
所以y與x的表達式為y=x+2.
(3)將y=8代入y=x+2得:x+2=8,解得x=100.
答:對應的時間是100分鐘.
舉一反三
在某一階段,某商品的銷售量與銷售價之間存在如表關系.設該商品的銷售價為x元,銷售量為y件,估計:當x=115時,y的值為(C)
銷售價/元 90 100 110 120 130 140
銷售量/件 90 80 70 60 50 40
A.85 B.75
C.65 D.55
重點2　一次函數的概念(模型觀念、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P81定義強化)已知y=(m-3)x|m|-2+n-2.
(1)當m為何值時,y是關于x的一次函數
(2)當m,n為何值時,y是關于x的正比例函數
【自主解答】(1)當|m|-2=1,m-3≠0時,y=(m-3)x|m|-2+n-2是一次函數,
所以m=-3,所以當m=-3時,y=(m-3)x|m|-2+n-2是一次函數;
(2)當|m|-2=1,m-3≠0,n-2=0時,y=(m-3)x|m|-2+n-2是正比例函數,
所以m=-3,n=2,
所以當m=-3,n=2時,y=(m-3)x|m|-2+n-2是正比例函數.
舉一反三
1.下列函數為一次函數的為(C)
①y=2x+4;②y-4x=8(x-2);③y=x2-2x+3;④y=x4-x3+2x;⑤y=4x.
A.②④ B.①③⑤
C.①②⑤ D.①②
2.(2025·西安期中)已知關于x的函數y=(m+1)x|m|+n-3.
(1)當m取何值時,該函數是關于x的一次函數
(2)當m和n取何值時,該函數是關于x的正比例函數
【解析】(1)由題意知:|m|=1,m+1≠0,
所以m=1,即當m=1時,該函數是關于x的一次函數;
(2)由(1)知,m=1,由題意知:n-3=0,所以n=3,即當m=1,n=3時,該函數是關于x的正比例函數.
技法點撥
判斷兩個變量是否為一次函數關系的三個步驟
重點3　列一次函數解決實際問題(模型觀念、運算能力)
【典例3】(教材再開發·P82例2深化)一天老王騎摩托車外出旅游,以60 km/h的速度勻速行駛,剛開始行駛時,油箱中有油9 L,行駛了1 h后發現已耗油1.5 L.
(1)求油箱中的剩余油量Q(L)與行駛的時間t(h)之間的函數關系式,并求出自變量t的取值范圍.
(2)當油箱中的剩余油量為3 L時,老王行駛了多少千米
【自主解答】(1)Q=9-1.5t,
由9-1.5t=0,得到t=6,
故t的取值范圍為0≤t≤6.
(2)由3=9-1.5t,得t=4.
于是s=vt=60×4=240(km).
答:老王行駛了240 km.
舉一反三
　汽車由北京駛往相距120千米的天津,它的平均速度是30千米/時,則汽車距天津的路程S(千米)與行駛時間t(時)的函數關系式及自變量的取值范圍是(A)
A.S=120-30t(0≤t≤4)
B.S=30t(0≤t≤4)
C.S=120-30t(t>0)
D.S=30t(t=4)
技法點撥
列一次函數關系式的三個步驟
1.找:找題目中的等量關系(有時直接將公式當作等量關系).
2.列:用字母表示自變量、因變量,并根據等量關系列出等式.
3.變形:將等式變形為一次函數的一般形式,即y=kx+b或y=kx.
素養　思維提升　入境深探
【火眼金睛】(找錯并糾正)
函數y=(k+3)x+k2-9是關于x的正比例函數,求k的值.
【陷阱】忽視一次函數表達式y=kx+b中k≠0的條件.
【正解】因為y=(k+3)x+k2-9是關于x的正比例函數,
所以k2-9=0且k+3≠0,解得k=3.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 十九”

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