資源簡介

4　二元一次方程與一次函數
第2課時
　課時目標
1.進一步理解二元一次方程與一次函數的聯系,體會知識間的聯系和相互轉化.(模型觀念、應用意識、幾何直觀)
2.了解待定系數法,會用二元一次方程組確定一次函數的表達式.(運算能力、應用意識、幾何直觀)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
用待定系數法求函數表達式的一般步驟 1.設函數表達式為 ; 2.根據已知條件列出關于 的二元一次方程(組); 3.解方程(組)求出待定系數 的值; 4.把求出的 的值代入表達式中,從而寫出函數表達式. 1.若直線y=kx+b經過A(2,0)和B(0,4)兩點,則這個一次函數的關系式是( )　 A.y=2x+3 B.y=-2x+4 C.y=-x+2 D.y=x-4 2.過點(2,3)的正比例函數表達式是 . 3.直線y=kx+b經過點A(1,-1)與點B(-1,5),則函數表達式為 .
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　利用二元一次方程組確定一次函數的表達式(運算能力、幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P131T1拓展)如圖,點A的坐標為(1,3),點B的坐標為(2,0),過點C(-2,0)作直線l交AO于點D,交AB于點E,且使△ADE和△DCO的面積相等.
(1)求△AOB的面積;
(2)求直線l的函數表達式.
舉一反三
如圖,正比例函數y=-3x的圖象與一次函數y=kx+b的圖象交于點P(m,3),一次函數圖象與x軸交于點A(2,0),與y軸交于點B.
(1)求一次函數表達式;
(2)不解關于x,y的方程組直接寫出方程組的解;
(3)求△OBP的面積.
重點2　二元一次方程組與一次函數的實際應
用(運算能力、應用意識、模型觀念、幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P133T7拓展)為了鼓勵公民節約用電,某市采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的電費.每戶家庭每月電費y(元)與用電量x(kW·h)之間的函數圖象如圖所示.
(1)求y與x之間的函數表達式;
(2)若乙用戶某月需繳電費132元,求乙用戶該月的用電量.
舉一反三
1.(2025·沈陽期中)在彈性限度內,某彈簧的長度y(cm)是所掛物體質量x(kg)的一次函數.該彈簧掛質量為3 kg物體時,彈簧長度為16 cm,掛質量為9 kg物體時,彈簧長度為19 cm,那么該彈簧不掛物體時的長度為( )
A.12 cm B.13.5 cm C.14 cm D.14.5 cm
2.(2025·深圳期中)如圖,大拇指與小拇指盡量張開時,兩指尖的距離稱為“指距”.研究表明,一般情況下人的身高y(cm)與指距x(cm)滿足一次函數y=kx+b(k≠0).當人的身高為160 cm時,指距為20 cm;當人的身高為169 cm時,指距為21 cm.某籃球運動員的身高為226 cm,則據此估計他的指距是 cm.
(結果精確到0.1 cm)
技法點撥
用方程與函數解決實際問題
1.數學方法:數形結合的方法.
2.基本步驟:
(1)分析題意中的等量關系或圖象信息.
(2)建立函數模型.
(3)構造二元一次方程組求解.
素養　思維提升　入境深探
閱讀材料
將平面直角坐標系中過某一定點且不與坐標軸垂直的直線叫該定點的“友好線”,若點P(1,0),則點P的“友好線”可記為y=k(x-1)(k≠0).
解決問題
(1)已知點A的“友好線”可記為y=kx-3k+,則點A的坐標為__________;
(2)若點(3,2)的“友好線”恰好經過點(1,1),求該“友好線”的函數表達式.4　二元一次方程與一次函數
第2課時
　課時目標
1.進一步理解二元一次方程與一次函數的聯系,體會知識間的聯系和相互轉化.(模型觀念、應用意識、幾何直觀)
2.了解待定系數法,會用二元一次方程組確定一次函數的表達式.(運算能力、應用意識、幾何直觀)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
用待定系數法求函數表達式的一般步驟 1.設函數表達式為　y=kx+b　; 2.根據已知條件列出關于　k,b　的二元一次方程(組); 3.解方程(組)求出待定系數　k,b　的值; 4.把求出的　k,b　的值代入表達式中,從而寫出函數表達式. 1.若直線y=kx+b經過A(2,0)和B(0,4)兩點,則這個一次函數的關系式是(B)　 A.y=2x+3 B.y=-2x+4 C.y=-x+2 D.y=x-4 2.過點(2,3)的正比例函數表達式是　y=x　. 3.直線y=kx+b經過點A(1,-1)與點B(-1,5),則函數表達式為　y=-3x+2　.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　利用二元一次方程組確定一次函數的表達式(運算能力、幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P131T1拓展)如圖,點A的坐標為(1,3),點B的坐標為(2,0),過點C(-2,0)作直線l交AO于點D,交AB于點E,且使△ADE和△DCO的面積相等.
(1)求△AOB的面積;
(2)求直線l的函數表達式.
【自主解答】(1)因為點A的坐標為(1,3),點B的坐標為(2,0),
所以S△AOB=×2×3=3.
(2)因為△ADE和△DCO的面積相等,所以△AOB和△CBE的面積相等.
因為C(-2,0),B(2,0),
所以×4×yE=3,
所以點E的縱坐標為.
設直線AB的函數表達式為y=kx+b,點B(2,0),A(1,3)在直線AB上,
所以解得
所以直線AB的函數表達式為y=-3x+6.
將點E的縱坐標代入直線AB的函數表達式,得=-3x+6,解得x=,
所以E(,).
設直線l的函數表達式為y=mx+n,點E、點C在直線l上,
所以解得
所以直線l的函數表達式為y=x+.
舉一反三
如圖,正比例函數y=-3x的圖象與一次函數y=kx+b的圖象交于點P(m,3),一次函數圖象與x軸交于點A(2,0),與y軸交于點B.
(1)求一次函數表達式;
(2)不解關于x,y的方程組直接寫出方程組的解;
(3)求△OBP的面積.
【解析】(1)因為正比例函數y=-3x的圖象與一次函數y=kx+b的圖象交于點P(m,3),所以-3m=3,則m=-1,所以P(-1,3).
把A(2,0)和P(-1,3)代入一次函數y=kx+b,得解得
所以一次函數表達式是y=-x+2.
(2)由(1)可知,正比例函數y=-3x的圖象與一次函數y=kx+b的圖象交于點P(-1,3),
所以方程組的解為
(3)由(1)知一次函數表達式是y=-x+2,令x=0,得y=2,即點B(0,2),所以OB=2,所以S△OBP=OB·|xP|=×2×1=1.
重點2　二元一次方程組與一次函數的實際應
用(運算能力、應用意識、模型觀念、幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P133T7拓展)為了鼓勵公民節約用電,某市采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的電費.每戶家庭每月電費y(元)與用電量x(kW·h)之間的函數圖象如圖所示.
(1)求y與x之間的函數表達式;
(2)若乙用戶某月需繳電費132元,求乙用戶該月的用電量.
【自主解答】(1)根據題中圖象可得,當0≤x≤200時,設y=kx,則100=200k,解得k=0.5.
所以當0≤x≤200時,y=0.5x.
當x>200時,設y=mx+b,
則解得
所以當x>200時,y=0.8x-60.
綜上可得,y與x之間的函數表達式是y=
(2)將y=132代入y=0.8x-60得,x=240,即乙用戶該月的用電量是240 kW·h.
舉一反三
1.(2025·沈陽期中)在彈性限度內,某彈簧的長度y(cm)是所掛物體質量x(kg)的一次函數.該彈簧掛質量為3 kg物體時,彈簧長度為16 cm,掛質量為9 kg物體時,彈簧長度為19 cm,那么該彈簧不掛物體時的長度為(D)
A.12 cm B.13.5 cm C.14 cm D.14.5 cm
2.(2025·深圳期中)如圖,大拇指與小拇指盡量張開時,兩指尖的距離稱為“指距”.研究表明,一般情況下人的身高y(cm)與指距x(cm)滿足一次函數y=kx+b(k≠0).當人的身高為160 cm時,指距為20 cm;當人的身高為169 cm時,指距為21 cm.某籃球運動員的身高為226 cm,則據此估計他的指距是　27.3　cm.
(結果精確到0.1 cm)
技法點撥
用方程與函數解決實際問題
1.數學方法:數形結合的方法.
2.基本步驟:
(1)分析題意中的等量關系或圖象信息.
(2)建立函數模型.
(3)構造二元一次方程組求解.
素養　思維提升　入境深探
閱讀材料
將平面直角坐標系中過某一定點且不與坐標軸垂直的直線叫該定點的“友好線”,若點P(1,0),則點P的“友好線”可記為y=k(x-1)(k≠0).
解決問題
(1)已知點A的“友好線”可記為y=kx-3k+,則點A的坐標為__________;
(2)若點(3,2)的“友好線”恰好經過點(1,1),求該“友好線”的函數表達式.
【解析】(1)因為y=kx-3k+=k(x-3)+,所以點A的坐標為(3,).
答案:(3,)
(2)由題意可設點(3,2)的“友好線”的函數表達式為y=k(x-3)+2,
將點(1,1)代入y=k(x-3)+2得1=-2k+2,解得k=,所以該“友好線”的函數表達式為y=(x-3)+2.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 三十二”4　二元一次方程與一次函數
第1課時
　課時目標
1.了解二元一次方程與一次函數的關系.(模型觀念、應用意識)
2.能從“數”和“形”兩個角度理解二元一次方程和二元一次方程組.(幾何直觀、模型觀念、抽象能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.二元一次方程與一次函數的關系是方程與函數之間的轉換(由數到形),二元一次方程的解就是函數圖象上的點的坐標,函數圖象上的點的坐標就是二元一次方程的解. 1.如圖,y=kx+b(k≠0)過點A(2,0)和點B(0,-1),則方程kx+b=0的解是( ) A.x=-1　 B.x=1 C.x=-2　 D.x=2
2.二元一次方程組與一次函數的關系 2.(1)一次函數y=x+1與y=kx+b的圖象交于點P(1,2),則關于x,y的方程組的解是 . (2)如果一次函數y=x+1與一次函數y=kx+b平行,那么關于x,y的方程組的解的情況是 .
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　　二元一次方程與一次函數的關系(運算能力、抽象能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P128引入問題補充)若以二元一次方程x+2y-b=0的解為坐標的點(x,y)都在直線y=-x+1上,則常數b=( )
A. B.2
C.-1 D.1
舉一反三
1.下列圖形是以方程2x-y=2的解為坐標的點組成的圖象的是( )
2.如圖,y=kx+6的圖象經過點(3,0),則關于x的方程kx+6=0的解為 .
重點2　二元一次方程組與一次函數的關系(模型觀念、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P128操作·思考強化)如圖,直線l1:y=x+1與直線l2:y=mx+n相交于點P(1,b).
(1)求b的值.
(2)不解關于x,y的方程組請你直接寫出它的解.
(3)直線l3:y=nx+m是否也經過點P 請說明理由.
舉一反三
1.如圖,已知一次函數y=ax+b和y=kx的圖象交于點P,則根據圖象可得關于x,y的二元一次方程組的解是( )
A. B. C. D.
2.如圖,直線l1:y=x+5分別交y軸、x軸于A,B兩點,直線l2:y=-x-1分別交y軸、x軸于C,D兩點,直線l1,l2相交于點P.
(1)方程組的解是__________;
(2)求直線l1,l2與x軸圍成的三角形的面積.
素養　思維提升　入境深探
閱讀理解4　二元一次方程與一次函數
第1課時
　課時目標
1.了解二元一次方程與一次函數的關系.(模型觀念、應用意識)
2.能從“數”和“形”兩個角度理解二元一次方程和二元一次方程組.(幾何直觀、模型觀念、抽象能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.二元一次方程與一次函數的關系是方程與函數之間的轉換(由數到形),二元一次方程的解就是函數圖象上的點的坐標,函數圖象上的點的坐標就是二元一次方程的解. 1.如圖,y=kx+b(k≠0)過點A(2,0)和點B(0,-1),則方程kx+b=0的解是(D) A.x=-1　 B.x=1 C.x=-2　 D.x=2
2.二元一次方程組與一次函數的關系 2.(1)一次函數y=x+1與y=kx+b的圖象交于點P(1,2),則關于x,y的方程組的解是 　. (2)如果一次函數y=x+1與一次函數y=kx+b平行,那么關于x,y的方程組的解的情況是　無解　.
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　　二元一次方程與一次函數的關系(運算能力、抽象能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P128引入問題補充)若以二元一次方程x+2y-b=0的解為坐標的點(x,y)都在直線y=-x+1上,則常數b=(B)
A. B.2
C.-1 D.1
舉一反三
1.下列圖形是以方程2x-y=2的解為坐標的點組成的圖象的是(B)
2.如圖,y=kx+6的圖象經過點(3,0),則關于x的方程kx+6=0的解為　x=3　.
重點2　二元一次方程組與一次函數的關系(模型觀念、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P128操作·思考強化)如圖,直線l1:y=x+1與直線l2:y=mx+n相交于點P(1,b).
(1)求b的值.
(2)不解關于x,y的方程組請你直接寫出它的解.
(3)直線l3:y=nx+m是否也經過點P 請說明理由.
【自主解答】(1)把P(1,b)代入y=x+1得b=1+1=2.
(2)由(1)得P(1,2),所以方程組的解為.
(3)直線l3:y=nx+m經過點P.
理由如下:因為y=mx+n經過點P(1,2),
所以m+n=2,所以直線y=nx+m也經過點P.
舉一反三
1.如圖,已知一次函數y=ax+b和y=kx的圖象交于點P,則根據圖象可得關于x,y的二元一次方程組的解是(C)
A. B. C. D.
2.如圖,直線l1:y=x+5分別交y軸、x軸于A,B兩點,直線l2:y=-x-1分別交y軸、x軸于C,D兩點,直線l1,l2相交于點P.
(1)方程組的解是__________;
(2)求直線l1,l2與x軸圍成的三角形的面積.
【解析】(1)因為直線l1:y=x+5和直線l2:y=-x-1都經過點(-4,1),
所以兩條直線的交點為P(-4,1),所以方程組的解是
答案:
(2)把y=0代入y=x+5,得x=-5,把y=0代入y=-x-1得x=-2,
所以B(-5,0),D(-2,0).
因為P(-4,1),所以直線l1,l2與x軸圍成的三角形的面積為×(-2+5)×1=.
素養　思維提升　入境深探
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課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 三十一”

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