資源簡介

1　探索勾股定理
第1課時
　課時目標
1.經歷探索勾股定理的過程,發展推理能力.(幾何直觀、推理能力)
2.掌握勾股定理,并能運用勾股定理解決問題.(運算能力、模型觀念)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
勾股定理 1.判斷: (1)直角三角形的兩直角邊長分別為1.5,2,斜邊長一定是2.5.(√) (2)一個直角三角形的兩邊長分別是6和8,則第三邊長為10.(×) 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角邊a=5,b=12,則斜邊c的長為(B) A.15 B.13 C.12 D.10
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　勾股定理與面積(模型觀念、運算能力)
【典例1】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,以AB為一條邊向三角形外部作正方形,則正方形的面積是(A)
A.100 B.80
C.48 D.24
舉一反三
1.(2025·無錫期中)如圖,△ABC中,∠BCA=90°,AB=5,以直角三角形三邊為直徑,向外作半圓,其面積分別為S1,S2,S3,則S1+S2+S3的值為(C)
A.25π B.9π
C.π D.π
2.(2025·武漢期中)如圖,以Rt△ABC的兩條直角邊為邊長作兩個正方形,面積分別為25,144,則斜邊AC=　13　.
3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,分別以各邊為直徑作半圓,圖中陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”,當AC=24,AB=25時,陰影部分的面積為　84　.
技法點撥
畢達哥拉斯樹
“源頭活水” 基本圖形
教材P8(第4題圖)
結論:S1+S2=S3
重點2　利用勾股定理求線段長(運算能力、推理能力)
【典例2】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,求AC邊上的高BD.
【自主解答】過A作AE⊥BC于點E,
因為AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,所以AE⊥BC,EB=EC=CB=3.在Rt△ABE中,AE2=AB2-BE2=52-32=42,所以AE=4,所以S△ABC=AC·BD=BC·AE
=×6×4=12,所以×5BD=12,解得BD=.
舉一反三
在△ABC中,已知AB=15,AC=13,BC邊上的高AD=12,求△ABC的面積.
【解析】分兩種情況討論:
①當△ABC為銳角三角形時,
在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=152-122=92,BD=9,在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=
132-122=52,CD=5,所以BC=5+9=14,所以△ABC的面積為×12×14=84;
②當△ABC為鈍角三角形時,
在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=152-122=92,
在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=132-122=52,CD=5,所以BC=9-5=4.所以△ABC的面積為×12×4=24,所以當△ABC為銳角三角形時,△ABC的面積為84;當△ABC為鈍角三角形時,△ABC的面積為24.
素養　思維提升　入境深探
趣味數學
美麗的勾股樹
勾股樹,是由畢達哥拉斯根據勾股定理畫出來的可以無限重復的樹形圖形.又因為重復數次后的形狀好似一棵樹,所以又被稱為畢達哥拉斯樹.
具體操作為以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形,再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,重復這一過程.下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹.
(1)第一代勾股樹中共有3個正方形,第二代勾股樹中共有7個正方形,第三代勾股樹中共有15個正方形……按照這一規律,第六代勾股樹中正方形的個數為　127　.
(2)如果第一個正方形面積為1,則第2 026代勾股樹中所有正方形的面積為
　2 027　.
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 一”1　探索勾股定理
第2課時
課時目標
1.經歷勾股定理的證明過程,感受數形結合的思想.(幾何直觀、推理能力)
2.掌握勾股定理,并能運用勾股定理解決實際問題.(推理能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.勾股定理的證明 拼接法割補法對圖形進行拼接、割補,通過 相等來證明
2.勾股定理的簡單應用 實際應用的問題,如大樹折斷、方位角等問題,可以借助勾股定理解決. 如圖,在A村與B村之間有一座大山,原來從A村到B村,需沿道路A→C→B (∠C=90°)繞過村莊間的大山,打通A,B間的隧道后,就可直接從A村到B村.已知AC=6 km,BC=8 km,那么打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 km B.3 km C.4 km D.5 km
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　勾股定理的驗證(幾何直觀)
【典例1】(教材再開發·P4嘗試·思考延伸)如圖,圖1是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形,兩直角邊的長分別為a和b,斜邊長為c,圖2是以c為直角邊的等腰直角三角形.請你開動腦筋,將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形,畫出拼成的這個圖形的示意圖,并用這個圖形證明勾股定理.
舉一反三
1. (2025·青島期中)“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形,如圖,大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,那么(a+b)2的值是( )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.20 B.12 C.24 D.25
2.“趙爽弦圖”巧妙地利用“出入相補”的方法證明了勾股定理.小明受此啟發,探究后發現,若將4個直角邊長分別為a,b,斜邊長為c的直角三角形拼成如圖所示的五邊形,用等積法也可以證明勾股定理,則小明用兩種方法表示五邊形的面積分別是(用含有a,b,c的式子表示) , .
重點2　勾股定理的應用(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】如圖,有一只擺鐘,擺錘看作一個點,當擺錘靜止時,它離底座的垂直高度DE=6 cm,當擺錘擺動到最高位置時,它離底座的垂直高度BF=8 cm,此時擺錘與靜止位置時的水平距離BC=10 cm,鐘擺AD的長度是( )
A.17 cm B.24 cm C.26 cm D.28 cm
舉一反三
(2025·深圳期中)勾股定理是用代數思想解決幾何問題最重要的工具之一,也是數形結合的紐帶之一.如圖,當秋千靜止時,踏板B離地的垂直高度BE=0.8 m,將它往前推3 m至C處時(即水平距離CD=3 m),踏板離地的垂直高度CF=2.6 m,它的繩索始終拉直,則繩索AC的長是( )
A.3.4 m B.3.6 m C.3.8 m D.4.2 m
素養　思維提升　入境深探
閱讀理解
　漫話勾股定理
勾股定理,是幾何學中一顆光彩奪目的明珠,被稱為“幾何學的基石”.在我國最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽.
(1)如圖1是著名的趙爽弦圖,由四個全等的直角三角形拼成,用它可以驗證勾股定理,思路是:大正方形的面積有兩種求法,一種是等于c2,另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和,即ab×4+(b-a)2,從而得到等式c2=ab×4+(b-a)2,化簡便得結論a2+b2=c2.這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法,我們稱之為“雙求法”.
現在,請你用“雙求法”解決下面問題:
如圖2,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AB=4,AC=5,BC=6,設BD=x,求x的值.
(2)2002年在北京召開的國際數學家大會會標和2021年在上海召開的國際數學教育大會會標都包含了趙爽的弦圖.如圖3,如果大正方形的面積為18,直角三角形中較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,且a2+b2=ab+10,那么小正方形的面積為__________.
(3)勾股定理本身及其驗證和應用過程都體現的一種重要的數學思想是__________.
A.函數思想 B.整體思想
C.分類討論思想 D.數形結合思想1　探索勾股定理
第1課時
　課時目標
1.經歷探索勾股定理的過程,發展推理能力.(幾何直觀、推理能力)
2.掌握勾股定理,并能運用勾股定理解決問題.(運算能力、模型觀念)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
勾股定理 1.判斷: (1)直角三角形的兩直角邊長分別為1.5,2,斜邊長一定是2.5.(√) (2)一個直角三角形的兩邊長分別是6和8,則第三邊長為10.(×) 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角邊a=5,b=12,則斜邊c的長為( ) A.15 B.13 C.12 D.10
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　勾股定理與面積(模型觀念、運算能力)
【典例1】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,以AB為一條邊向三角形外部作正方形,則正方形的面積是( )
A.100 B.80
C.48 D.24
舉一反三
1.(2025·無錫期中)如圖,△ABC中,∠BCA=90°,AB=5,以直角三角形三邊為直徑,向外作半圓,其面積分別為S1,S2,S3,則S1+S2+S3的值為( )
A.25π B.9π
C.π D.π
2.(2025·武漢期中)如圖,以Rt△ABC的兩條直角邊為邊長作兩個正方形,面積分別為25,144,則斜邊AC= .
3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,分別以各邊為直徑作半圓,圖中陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”,當AC=24,AB=25時,陰影部分的面積為 .
技法點撥
畢達哥拉斯樹
“源頭活水” 基本圖形
教材P8(第4題圖)
結論:S1+S2=S3
重點2　利用勾股定理求線段長(運算能力、推理能力)
【典例2】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,求AC邊上的高BD.
舉一反三
在△ABC中,已知AB=15,AC=13,BC邊上的高AD=12,求△ABC的面積.
素養　思維提升　入境深探
趣味數學
美麗的勾股樹
勾股樹,是由畢達哥拉斯根據勾股定理畫出來的可以無限重復的樹形圖形.又因為重復數次后的形狀好似一棵樹,所以又被稱為畢達哥拉斯樹.
具體操作為以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形,再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,重復這一過程.下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹.
(1)第一代勾股樹中共有3個正方形,第二代勾股樹中共有7個正方形,第三代勾股樹中共有15個正方形……按照這一規律,第六代勾股樹中正方形的個數為 .
(2)如果第一個正方形面積為1,則第2 026代勾股樹中所有正方形的面積為
. 1　探索勾股定理
第2課時
課時目標
1.經歷勾股定理的證明過程,感受數形結合的思想.(幾何直觀、推理能力)
2.掌握勾股定理,并能運用勾股定理解決實際問題.(推理能力、應用意識)
基礎　主干落實　筑牢根基
新知要點 對點小練
1.勾股定理的證明 拼接法割補法對圖形進行拼接、割補,通過　面積　相等來證明
2.勾股定理的簡單應用 實際應用的問題,如大樹折斷、方位角等問題,可以借助勾股定理解決. 如圖,在A村與B村之間有一座大山,原來從A村到B村,需沿道路A→C→B (∠C=90°)繞過村莊間的大山,打通A,B間的隧道后,就可直接從A村到B村.已知AC=6 km,BC=8 km,那么打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為(C) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 km B.3 km C.4 km D.5 km
重點　典例研析　啟思凝智
重點1　勾股定理的驗證(幾何直觀)
【典例1】(教材再開發·P4嘗試·思考延伸)如圖,圖1是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形,兩直角邊的長分別為a和b,斜邊長為c,圖2是以c為直角邊的等腰直角三角形.請你開動腦筋,將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形,畫出拼成的這個圖形的示意圖,并用這個圖形證明勾股定理.
【自主解答】如圖所示,圖形是梯形;
根據梯形的面積公式可知,梯形的面積=(a+b)(a+b).從如圖我們還發現梯形的面積=三個三角形的面積和,即ab+ab+c2,所以(a+b)(a+b)=ab+ab+c2,化簡,得a2+b2=c2.
舉一反三
1. (2025·青島期中)“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形,如圖,大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,那么(a+b)2的值是(D)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.20 B.12 C.24 D.25
2.“趙爽弦圖”巧妙地利用“出入相補”的方法證明了勾股定理.小明受此啟發,探究后發現,若將4個直角邊長分別為a,b,斜邊長為c的直角三角形拼成如圖所示的五邊形,用等積法也可以證明勾股定理,則小明用兩種方法表示五邊形的面積分別是(用含有a,b,c的式子表示)　c2+ab　,　a2+b2+ab　.
重點2　勾股定理的應用(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】如圖,有一只擺鐘,擺錘看作一個點,當擺錘靜止時,它離底座的垂直高度DE=6 cm,當擺錘擺動到最高位置時,它離底座的垂直高度BF=8 cm,此時擺錘與靜止位置時的水平距離BC=10 cm,鐘擺AD的長度是(C)
A.17 cm B.24 cm C.26 cm D.28 cm
舉一反三
(2025·深圳期中)勾股定理是用代數思想解決幾何問題最重要的工具之一,也是數形結合的紐帶之一.如圖,當秋千靜止時,踏板B離地的垂直高度BE=0.8 m,將它往前推3 m至C處時(即水平距離CD=3 m),踏板離地的垂直高度CF=2.6 m,它的繩索始終拉直,則繩索AC的長是(A)
A.3.4 m B.3.6 m C.3.8 m D.4.2 m
素養　思維提升　入境深探
閱讀理解
　漫話勾股定理
勾股定理,是幾何學中一顆光彩奪目的明珠,被稱為“幾何學的基石”.在我國最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽.
(1)如圖1是著名的趙爽弦圖,由四個全等的直角三角形拼成,用它可以驗證勾股定理,思路是:大正方形的面積有兩種求法,一種是等于c2,另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和,即ab×4+(b-a)2,從而得到等式c2=ab×4+(b-a)2,化簡便得結論a2+b2=c2.這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法,我們稱之為“雙求法”.
現在,請你用“雙求法”解決下面問題:
如圖2,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AB=4,AC=5,BC=6,設BD=x,求x的值.
(2)2002年在北京召開的國際數學家大會會標和2021年在上海召開的國際數學教育大會會標都包含了趙爽的弦圖.如圖3,如果大正方形的面積為18,直角三角形中較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,且a2+b2=ab+10,那么小正方形的面積為__________.
(3)勾股定理本身及其驗證和應用過程都體現的一種重要的數學思想是__________.
A.函數思想 B.整體思想
C.分類討論思想 D.數形結合思想
【解析】(1)在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=42-x2=16-x2,因為BD+CD=BC=6,
所以CD=BC-BD=6-x,
在Rt△ACD中,由勾股定理得AD2=AC2-CD2=52-(6-x)2=-11+12x-x2,
所以16-x2=-11+12x-x2,所以x=.
(2)設大正方形的邊長為c,
因為大正方形的面積是18,所以c2=18,所以a2+b2=c2=18.
因為a2+b2=ab+10,所以ab+10=18,所以ab=8,
所以小正方形的面積=(b-a)2=a2+b2-2ab=18-2×8=2.
答案:2
(3)答案:D
課時鞏固訓練,請使用　“課時過程性評價 二”

展開更多......

收起↑