資源簡介

3　勾股定理的應(yīng)用
課時(shí)目標(biāo)
應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決簡單的實(shí)際問題.(抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí))
基礎(chǔ)　主干落實(shí)　筑牢根基
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
1.勾股定理在折疊中的應(yīng)用 在勾股定理的應(yīng)用中,通常會(huì)通過圖形的折疊得到直角三角形,然后利用勾股定理解決問題. 1.如圖,在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,將△ABC折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處,AD是折痕,則△BDE的周長為( ) A.6　　　B.8　　　C.12　　　D.14
2.勾股定理及其逆定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用 一般情況下,遇到求高度、長度、距離、面積等實(shí)際問題時(shí),可以構(gòu)造 ,運(yùn)用 求解. 2.如圖,學(xué)校有一塊長方形花圃,有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”,在花圃內(nèi)走出了一條“路”.他們僅僅少走了幾步路,卻踩傷了花草.他們少走的路長為 .
重點(diǎn)　典例研析　啟思凝智
重點(diǎn)1　勾股定理在折疊中的應(yīng)用(抽象能力、運(yùn)算能力)
【典例1】如圖,將長方形ABCD對(duì)折,使得邊AB、邊CD重合,折痕與邊BC、邊AD交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,AB=3,BC=10,點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn),將∠B沿著EP折疊得到
∠M,線段PM、線段EM分別交邊AD于點(diǎn)N、點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)M,N重合時(shí),線段PB的長是多少
(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)H是邊CD上一點(diǎn),將∠C沿著線段EH折疊,使得點(diǎn)C落在邊AD上的點(diǎn)G,線段GQ的長是多少
舉一反三
1.如圖所示,E為長方形ABCD的邊BC上的一點(diǎn),將長方形ABCD沿直線DE折疊,使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處.已知AD=8 cm,BE=3 cm則圖中陰影部分的面積為( )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.10 cm2 B.20 cm2
C.30 cm2 D.40 cm2
2.(2025·重慶期末)如圖,在長方形紙片ABCD中,AB=6,BC=8.將△ABD沿BD折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,PD交CB于點(diǎn)Q,則CQ的長為 .
重點(diǎn)2　勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用(模型觀念、運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P13例拓展)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時(shí),梯子底端到左墻角的距離為0.7 m,頂端距離地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不動(dòng),將梯子斜靠在右墻時(shí),頂端距離地面2 m,則小巷的寬度為( )
A.0.7 m B.1.5 m C.2.2 m D.2.4 m
舉一反三
1.(2025·成都期中)一架長5 m的梯子,如圖所示斜靠在一面墻上,梯子的底端離墻1.4 m,如果梯子的頂端下滑0.8 m,那么它的底部滑行了( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.8 m B.1 m C.1.2 m D.1.6 m
2.(2025·溫州期中)如圖,一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上,這時(shí)B到墻底端C的距離為0.7米.當(dāng)梯子的頂端沿墻面下滑 米后,梯子處于A1B1位置,恰與原位置AB關(guān)于墻角∠ACB的平分線所在的直線軸對(duì)稱.
技法點(diǎn)撥
勾股定理的實(shí)際應(yīng)用
素養(yǎng)　思維提升　入境深探
鏈接生活
勾股定理與放風(fēng)箏
學(xué)習(xí)了“勾股定理”后,小明發(fā)現(xiàn)可以利用勾股定理測量風(fēng)箏的垂直高度.具體操作如下:
先測量水平距離BD=16米,然后根據(jù)手中剩余線的長度得出風(fēng)箏線長BF=20米,小明的身高AB=1.7米.
(1)求此時(shí)風(fēng)箏的垂直高度EF;
(2)若站在點(diǎn)A不動(dòng),想把風(fēng)箏沿DC方向從點(diǎn)F的位置上升18米至點(diǎn)C的位置(即CF=18米,點(diǎn)C,F,D在一條直線上,圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)),則還需放出風(fēng)箏線多少米 3　勾股定理的應(yīng)用
課時(shí)目標(biāo)
應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決簡單的實(shí)際問題.(抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí))
基礎(chǔ)　主干落實(shí)　筑牢根基
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
1.勾股定理在折疊中的應(yīng)用 在勾股定理的應(yīng)用中,通常會(huì)通過圖形的折疊得到直角三角形,然后利用勾股定理解決問題. 1.如圖,在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,將△ABC折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處,AD是折痕,則△BDE的周長為(C) A.6　　　B.8　　　C.12　　　D.14
2.勾股定理及其逆定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用 一般情況下,遇到求高度、長度、距離、面積等實(shí)際問題時(shí),可以構(gòu)造　直角三角形　,運(yùn)用　勾股定理　求解. 2.如圖,學(xué)校有一塊長方形花圃,有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”,在花圃內(nèi)走出了一條“路”.他們僅僅少走了幾步路,卻踩傷了花草.他們少走的路長為　4 m　.
重點(diǎn)　典例研析　啟思凝智
重點(diǎn)1　勾股定理在折疊中的應(yīng)用(抽象能力、運(yùn)算能力)
【典例1】如圖,將長方形ABCD對(duì)折,使得邊AB、邊CD重合,折痕與邊BC、邊AD交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,AB=3,BC=10,點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn),將∠B沿著EP折疊得到
∠M,線段PM、線段EM分別交邊AD于點(diǎn)N、點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)M,N重合時(shí),線段PB的長是多少
(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)H是邊CD上一點(diǎn),將∠C沿著線段EH折疊,使得點(diǎn)C落在邊AD上的點(diǎn)G,線段GQ的長是多少
【自主解答】(1)如圖,
由折疊可知,PB=PM,ME=BE=5,
由勾股定理,可得MF2=ME2-EF2=52-32=16,MF=4,所以AM=1,
設(shè)PB=PM=x,則AP=3-x,
在Rt△APM中,由勾股定理,可得AP2+AM2=PM2,所以(3-x)2+12=x2,解得:x=,所以PB=,所以當(dāng)M,N重合時(shí),PB的長為.
(2)如圖,
因?yàn)閷ⅰ螩沿著線段EH折疊,使得點(diǎn)C落在邊AD上的點(diǎn)G,
所以EC=EG=5.因?yàn)镋F=3,所以GF=4.
由折疊可得:∠MEP=∠BEP,PB=PM=3,BE=ME=5,
又因?yàn)镻F∥BE,所以∠QPE=∠BEP,
所以∠MEP=∠QPE,所以PQ=EQ.
設(shè)PQ=EQ=y,則MQ=5-y,
在Rt△PMQ中, 由勾股定理,可得PM2+MQ2=PQ2,
所以32+=y2.解得:y=.
在Rt△QFE中,由勾股定理,可得QF2=QE2-EF2=()2-32=,
即QF=,
所以GQ=GF+QF=4+=.
舉一反三
1.如圖所示,E為長方形ABCD的邊BC上的一點(diǎn),將長方形ABCD沿直線DE折疊,使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處.已知AD=8 cm,BE=3 cm則圖中陰影部分的面積為(C)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.10 cm2 B.20 cm2
C.30 cm2 D.40 cm2
2.(2025·重慶期末)如圖,在長方形紙片ABCD中,AB=6,BC=8.將△ABD沿BD折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,PD交CB于點(diǎn)Q,則CQ的長為 　.
重點(diǎn)2　勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用(模型觀念、運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P13例拓展)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時(shí),梯子底端到左墻角的距離為0.7 m,頂端距離地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不動(dòng),將梯子斜靠在右墻時(shí),頂端距離地面2 m,則小巷的寬度為(C)
A.0.7 m B.1.5 m C.2.2 m D.2.4 m
舉一反三
1.(2025·成都期中)一架長5 m的梯子,如圖所示斜靠在一面墻上,梯子的底端離墻1.4 m,如果梯子的頂端下滑0.8 m,那么它的底部滑行了(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.8 m B.1 m C.1.2 m D.1.6 m
2.(2025·溫州期中)如圖,一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上,這時(shí)B到墻底端C的距離為0.7米.當(dāng)梯子的頂端沿墻面下滑　1.7　米后,梯子處于A1B1位置,恰與原位置AB關(guān)于墻角∠ACB的平分線所在的直線軸對(duì)稱.
技法點(diǎn)撥
勾股定理的實(shí)際應(yīng)用
素養(yǎng)　思維提升　入境深探
鏈接生活
勾股定理與放風(fēng)箏
學(xué)習(xí)了“勾股定理”后,小明發(fā)現(xiàn)可以利用勾股定理測量風(fēng)箏的垂直高度.具體操作如下:
先測量水平距離BD=16米,然后根據(jù)手中剩余線的長度得出風(fēng)箏線長BF=20米,小明的身高AB=1.7米.
(1)求此時(shí)風(fēng)箏的垂直高度EF;
(2)若站在點(diǎn)A不動(dòng),想把風(fēng)箏沿DC方向從點(diǎn)F的位置上升18米至點(diǎn)C的位置(即CF=18米,點(diǎn)C,F,D在一條直線上,圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)),則還需放出風(fēng)箏線多少米
【解析】(1)由題意得,AB=DE=1.7米,
在Rt△BDF中,由勾股定理得DF2=BF2-BD2=202-162=144,
所以DF=12米.
所以EF=DF+DE=12+1.7=13.7(米).
(2)由題意得CF=18米,
因?yàn)镈F=12米,所以CD=30米.
在Rt△BCD中,BC2=BD2+CD2=162+302=1 156,所以BC=34米,
所以BC-BF=34-20=14(米),
故還需放出風(fēng)箏線14米.
課時(shí)鞏固訓(xùn)練,請(qǐng)使用　“課時(shí)過程性評(píng)價(jià) 四”

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