資源簡介

第一章　勾股定理 單元復習課
體系　自我構建　條分縷析
目標　維度評價　破譯考向
維度1　知識技能應用
1.如圖,兩個大正方形的面積分別為132和108,則小正方形M的面積為( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.140 B.240
C.100 D.24
2.(2025·揭陽期中)如圖,△ABC的頂點在邊長為1的正方形網格的格點上,CD⊥AB于點D,則CD的長為( )
A. B.4
C. D.
3.(新趨勢·數學文化)(2024·巴中中考)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問:水深幾何 ”這是我國數學史上的“葭生池中”問題.即AC=5,DC=1,BD=BA,則BC=( )
A.8 B.10
C.12 D.13
4.如圖,在Rt△ABC中,分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形,面積分別記為S1,S2,S3.若S3+S2-S1=18,則圖中陰影部分的面積為( )
A.6 B.
C.5 D.
5.(新趨勢·數學文化)(2023·瀘州中考)《九章算術》是中國古代重要的數學著作,該著作中給出了勾股數a,b,c的計算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互質的奇數.下列四組勾股數中,不能由該勾股數計算公式直接得出的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
6.(2024·眉山中考)如圖,圖1是北京國際數學家大會的會標,它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”,是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現將這四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為( )
A.24 B.36
C.40 D.44
7.(2025·綿陽期中)若△ABC的三邊長a,b,c滿足(a+b)(a2+b2-c2)=0,則△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
8.(2024·甘孜州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折疊△ABC,使點A與點B重合,折痕DE與AB交于點D,與AC交于點E,則CE的長為 .
9.(2023·東營中考)一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,則A,C兩港之間的距離為 km.
10.(2024·常州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是邊AC的中點,E是邊BC上一點,連接BD,DE.將△CDE沿DE翻折,點C落在BD上的點F處,則CE= .
11.(2023·隨州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D為AC上一點,若BD是∠ABC的平分線,則AD= .
12.(2023·長沙中考)如圖,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D,E.
(1)求證:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的長.
13.我們把滿足a2+b2=c2的三個正整數a,b,c稱為“勾股數”.已知a,b,c(a(1)當b=n+7,c=n+8時,請用含n的代數式表示a2,并直接寫出n取何值時,a為滿足題意的最小整數;
(2)當b=2n2+2n,c=b+1時,用含n的代數式表示a2,再完成下列勾股數表.
a b c
_____ 40 41
11 60 _____
維度2　思想方法應用
14.(分類討論思想)(2025·濟南期中)已知一個直角三角形的兩條邊長為5和13,則第三邊的平方是( )
A.12 B.169
C.144或194 D.144或169
15.(方程思想)(2023·南京中考)我國南宋數學家秦九韶的著作《數書九章》中有一道問題:“問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知為田幾何 ”問題大意:如圖,在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC=15里,則△ABC的面積是( )
A.80平方里 B.82平方里
C.84平方里 D.86平方里
16.(分類討論思想)(2024·齊齊哈爾中考改編)已知長方形紙片ABCD,AB=5,BC=4,點P在邊BC上,連接AP,將△ABP沿AP所在的直線折疊,點B的對應點為B',把紙片展平,連接BB',CB',當△BCB'為直角三角形時,線段CP的長為 .
維度3　生產生活應用
17.(時代科技)小瑩計劃購買一臺圓形自動掃地機,有以下6種不同的尺寸可供選擇,直徑(單位: cm)分別是34,34.5,37,39.5,40,42.如圖是小瑩家衣帽間的平面示意圖,掃地機放置在該房間的角落(鞋柜、衣柜與地面均無縫隙),在沒有障礙物阻擋的前提下,掃地機能從底座脫離后打掃全屋地面,小瑩可選擇的掃地機尺寸有 種.
18.某臺風登陸,使很多地區受到嚴重影響,風力影響半徑為260 km(即以臺風中心為圓心,260 km為半徑的圓形區域都會受臺風影響).如圖,線段BC是臺風中心從C市向西北方向移動到B市的大致路線,A是某個大型農場,且AB⊥AC.若A,C之間相距300 km,A,B之間相距400 km.
(1)判斷農場A是否會受到臺風的影響,請說明理由.
(2)若臺風中心的移動速度為25 km/h,則臺風影響該農場持續時間有多長
19.綜合實踐:閱讀下列材料,解答問題.
任務:如圖1,現要測量某校旗桿的高度(系在旗桿頂端的繩子垂到地面,并多出一小段).
工具:一把皮尺(測量長度達不到旗桿長一半).
李明學習小組測量過程和部分求解過程如下(如圖2).
測量過程:
步驟1:測得多出一小段繩子的長度為a m;
步驟2:將繩子拉直,繩子末端與地面接觸點為A,測得A點到旗桿底部C點距離AC=b m.
部分求解過程:
設旗桿高度BC=h,
因為在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
所以BC2+AC2=AB2.
因為AC=b,AB=h+a,
所以h2+b2=(h+a)2.
(1)根據李明學習小組求解過程,請直接寫出旗桿高度h=__________ m(用含a,b的代數式表示);
(2)李明學習小組求解過程所用到的幾何知識是__________;
(3)請你利用所提供的工具,通過2次測量,設計另外一種方案,寫出你的測量和求解過程.(測量得到的長度用字母m,n表示)第一章　勾股定理 單元復習課
體系　自我構建　條分縷析
目標　維度評價　破譯考向
維度1　知識技能應用
1.如圖,兩個大正方形的面積分別為132和108,則小正方形M的面積為(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.140 B.240
C.100 D.24
2.(2025·揭陽期中)如圖,△ABC的頂點在邊長為1的正方形網格的格點上,CD⊥AB于點D,則CD的長為(A)
A. B.4
C. D.
3.(新趨勢·數學文化)(2024·巴中中考)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問:水深幾何 ”這是我國數學史上的“葭生池中”問題.即AC=5,DC=1,BD=BA,則BC=(C)
A.8 B.10
C.12 D.13
4.如圖,在Rt△ABC中,分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形,面積分別記為S1,S2,S3.若S3+S2-S1=18,則圖中陰影部分的面積為(B)
A.6 B.
C.5 D.
5.(新趨勢·數學文化)(2023·瀘州中考)《九章算術》是中國古代重要的數學著作,該著作中給出了勾股數a,b,c的計算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互質的奇數.下列四組勾股數中,不能由該勾股數計算公式直接得出的是(C)
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
6.(2024·眉山中考)如圖,圖1是北京國際數學家大會的會標,它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”,是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現將這四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為(D)
A.24 B.36
C.40 D.44
7.(2025·綿陽期中)若△ABC的三邊長a,b,c滿足(a+b)(a2+b2-c2)=0,則△ABC一定是(B)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
8.(2024·甘孜州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折疊△ABC,使點A與點B重合,折痕DE與AB交于點D,與AC交于點E,則CE的長為　3　.
9.(2023·東營中考)一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,則A,C兩港之間的距離為　50　km.
10.(2024·常州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是邊AC的中點,E是邊BC上一點,連接BD,DE.將△CDE沿DE翻折,點C落在BD上的點F處,則CE= 　.
11.(2023·隨州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D為AC上一點,若BD是∠ABC的平分線,則AD=　5　.
12.(2023·長沙中考)如圖,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D,E.
(1)求證:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的長.
【解析】(1)因為CD⊥AB,BE⊥AC,
所以∠AEB=∠ADC=90°.
在△ABE和△ACD中,
所以△ABE≌△ACD(AAS).
(2)因為△ABE≌△ACD,
所以AD=AE=6.
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=62+82=100,AC=10.
因為AB=AC=10,
所以BD=AB-AD=10-6=4.
13.我們把滿足a2+b2=c2的三個正整數a,b,c稱為“勾股數”.已知a,b,c(a(1)當b=n+7,c=n+8時,請用含n的代數式表示a2,并直接寫出n取何值時,a為滿足題意的最小整數;
(2)當b=2n2+2n,c=b+1時,用含n的代數式表示a2,再完成下列勾股數表.
a b c
_____ 40 41
11 60 _____
【解析】(1)a2=c2-b2,
把b=n+7,c=n+8代入a2=c2-b2中,得a2=(n+8)2-(n+7)2=(n+8+n+7)(n+8-n-7)=2n+15.
因為n為正整數,所以當n=5時,滿足題意的最小整數a=5.
(2)a2=c2-b2=(b+1)2-b2=2b+1=4n2+4n+1=(2n+1)2.
b=40,c=41,a=9,a=11,b=60,c=61,
補全勾股數表如下:
a b c
　9　 40 41
11 60 　61　
維度2　思想方法應用
14.(分類討論思想)(2025·濟南期中)已知一個直角三角形的兩條邊長為5和13,則第三邊的平方是(C)
A.12 B.169
C.144或194 D.144或169
15.(方程思想)(2023·南京中考)我國南宋數學家秦九韶的著作《數書九章》中有一道問題:“問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知為田幾何 ”問題大意:如圖,在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC=15里,則△ABC的面積是(C)
A.80平方里 B.82平方里
C.84平方里 D.86平方里
16.(分類討論思想)(2024·齊齊哈爾中考改編)已知長方形紙片ABCD,AB=5,BC=4,點P在邊BC上,連接AP,將△ABP沿AP所在的直線折疊,點B的對應點為B',把紙片展平,連接BB',CB',當△BCB'為直角三角形時,線段CP的長為　2或　.
維度3　生產生活應用
17.(時代科技)小瑩計劃購買一臺圓形自動掃地機,有以下6種不同的尺寸可供選擇,直徑(單位: cm)分別是34,34.5,37,39.5,40,42.如圖是小瑩家衣帽間的平面示意圖,掃地機放置在該房間的角落(鞋柜、衣柜與地面均無縫隙),在沒有障礙物阻擋的前提下,掃地機能從底座脫離后打掃全屋地面,小瑩可選擇的掃地機尺寸有　2　種.
18.某臺風登陸,使很多地區受到嚴重影響,風力影響半徑為260 km(即以臺風中心為圓心,260 km為半徑的圓形區域都會受臺風影響).如圖,線段BC是臺風中心從C市向西北方向移動到B市的大致路線,A是某個大型農場,且AB⊥AC.若A,C之間相距300 km,A,B之間相距400 km.
(1)判斷農場A是否會受到臺風的影響,請說明理由.
(2)若臺風中心的移動速度為25 km/h,則臺風影響該農場持續時間有多長
【解析】(1)農場A會受到臺風的影響.理由如下:如圖,
過點A作AD⊥BC于D,因為AB⊥AC,所以∠BAC=90°.
因為AB=400 km,AC=300 km,所以BC=500 km.因為AD⊥BC,
所以S△ABC=BC·AD=AB·AC,
所以AD===240(km).
因為240 km<260 km,
所以農場A會受到臺風的影響.
(2)如圖,
假設臺風在線段EF上移動時,會對農場A造成影響,所以AD=240 km,AE= AF=260 km.
在Rt△ADF中,由勾股定理得DF2=AF2-AD2,即DF2=2602-2402=10 000,
所以DF=100 km,
所以EF=2DF=2×100=200(km).
因為臺風的速度是25 km/h,
所以受臺風影響的時間為200÷25=8(h).
19.綜合實踐:閱讀下列材料,解答問題.
任務:如圖1,現要測量某校旗桿的高度(系在旗桿頂端的繩子垂到地面,并多出一小段).
工具:一把皮尺(測量長度達不到旗桿長一半).
李明學習小組測量過程和部分求解過程如下(如圖2).
測量過程:
步驟1:測得多出一小段繩子的長度為a m;
步驟2:將繩子拉直,繩子末端與地面接觸點為A,測得A點到旗桿底部C點距離AC=b m.
部分求解過程:
設旗桿高度BC=h,
因為在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
所以BC2+AC2=AB2.
因為AC=b,AB=h+a,
所以h2+b2=(h+a)2.
(1)根據李明學習小組求解過程,請直接寫出旗桿高度h=__________ m(用含a,b的代數式表示);
(2)李明學習小組求解過程所用到的幾何知識是__________;
(3)請你利用所提供的工具,通過2次測量,設計另外一種方案,寫出你的測量和求解過程.(測量得到的長度用字母m,n表示)
【解析】(1)設旗桿高度BC=h,
因為在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
所以BC2+AC2=AB2.
因為AC=b,AB=h+a,
所以h2+b2=(h+a)2,
所以h2+b2=h2+2ah+a2,
所以2ah=b2-a2,所以h=(m).
答案:
(2)由(1)知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根據勾股定理得:
BC2+AC2=AB2,即h2+b2=(h+a)2,
所以所用到的幾何知識是勾股定理.
答案:勾股定理
(3)測量方案如下:
先在旗桿底端的繩子上打一個結,然后舉起繩結拉到點D處(BD=BC),將繩結舉至離旗桿m(m)遠,此時繩結離地面n(m)遠.
求解過程:作DE⊥BC,垂足為點E,如圖:
設旗桿高度為h,由測量得,DE=m,CE=DF=n,BE=BC-CE=h-n,
在Rt△DBE中,∠DEB=90°,
所以(h-n)2+m2=h2,
所以h2-2hn+n2+m2=h2,
所以2hn=m2+n2,所以h=(m).
階段測評,請使用　“單元質量評價(一)”

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