資源簡介

§1　對數的概念
學習目標 1.理解對數的概念.　2.會進行對數式與指數式的互化，培養邏輯推理的核心素養.　3.會求簡單的對數值，提升數學運算的核心素養.
任務一　對數的概念
問題1.我們知道若2x＝4，則x＝2；若3x＝81，則x＝4；若＝128，則x＝－7等這些方程，我們可以輕松求出x的值，但對于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等這樣的指數方程，你能求出方程的解嗎？
提示：不能解出上述方程，為了解決這個問題，早在18世紀的歐拉為我們提供了解決問題的方案，那就是發現了指數與對數的互逆關系，用對數來表示指數方程的解.
1.對數的概念
一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么數b稱為以a為底N的對數，記作logaN＝b.其中a叫作對數的底數，N叫作真數.
2.兩種特殊對數
名稱 定義 記法
常用對數 以10為底數的對數 lg N
自然對數 以無理數e＝2.718 281…為底數的對數 ln N
[微思考]　1.式子logaN中，底數a的范圍是什么？
提示：a＞0，且a≠1.
2.對數式logaN是不是loga與N的乘積？
提示：不是，logaN是一個整體，是求冪指數的一種運算，其運算結果是一個實數.
(1)對數log(a＋3)(5－a)中實數a的取值范圍是(　　)
A.(－∞，5) B.(－3，5)
C.(－3，－2)∪(－2，5) D.(－3，＋∞)
(2)對數式log2(1－3x)中x的取值范圍為　　　　.
答案：(1)C　(2)
解析：(1)因為對數式的底數為大于零不等于1的實數，真數為正實數，所以有 a∈∪.故選C.
(2)由題意可得1－3x＞0，解得x＜，所以x的取值范圍為.
　　關于對數式中字母的范圍，可利用式子logab 求字母的范圍.
對點練1.(1)若對數式log(t－2)3有意義，則實數t的取值范圍是(　　)
A.[2，＋∞) B.(2，3)∪(3，＋∞)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
(2)在b＝loga(5－a)中，實數a的取值范圍是(　　)
A.a＞5或a＜0 B.0＜a＜1或1＜a＜5
C.0＜a＜1 D.1＜a＜5
答案：(1)B　(2)B
解析：(1)要使對數式log(t－2)3有意義，需解得t＞2，且t≠3.所以實數t的取值范圍是(2，3)∪(3，＋∞).故選B.
(2)由對數的定義可知解得0＜a＜5，且a≠1.故選B.
任務二　對數式與指數式的互化
問題2.現在你能解指數方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了嗎？
提示：能.x＝log23；x＝log1.112；x＝log105＝lg 5.
對數與指數的關系
[微思考]　對數logaN中，底數a能不能是0或者負數？a的值為什么不取1？真數N的取值范圍是什么？
提示：不能.在指數式中要求a＞0，且a≠1，所以在對數logaN中a＞0，且a≠1，真數N大于0.
(鏈教材P99例1、例2)將下列指數式與對數式互化：
(1)53＝125；(2)4－2＝；(3)lo8＝－3；
(4)log3＝－3；(5)lg 1 000＝3.
解：由對數的定義，得
(1)53＝125 log5125＝3.
(2)4－2＝ log4＝－2.
(3)lo8＝－3 ＝8.
(4)log3＝－3 3－3＝.
(5)lg 1 000＝3 103＝1 000.
指數式與對數式互化的思路
對點練2.(多選題)下列指數式與對數式互化正確的有(　　)
A.e0＝1與ln 1＝0
B.log39＝2與＝3
C.＝與log8＝－
D.log77＝1與71＝7
答案：ACD
解析：對于A，e0＝1可化為0＝loge1＝ln 1，故A正確；對于B，log39＝2可化為32＝9，故B錯誤；對于C，＝可化為log8＝－，故C正確；對于D，log77＝1可化為71＝7，故D正確.故選ACD.
任務三　對數的基本性質
問題3.對于任意的a＞0且a≠1，loga1，logaa，loga， 的值有什么特點？
提示：loga1＝0，logaa＝1，loga＝－1，＝1，都是常數.
1.對數恒等式：＝N.
2.對數的性質
(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)零和負數沒有對數.
(鏈教材P99例3)求下列各式中x的值：
(1)log2(2x＋1)＝3；(2)logx ＝3；(3)log28x＝－3；(4)x＝.
解：(1)因為log2(2x＋1)＝3，所以2x＋1＝23＝8，解得x＝.
(2)因為logx ＝3，
所以＝x3＝，
所以x＝.
(3)因為log28x＝－3，
所以8x＝2－3＝8－1，
所以x＝－1.
(4)由題意可得x＝＝＝.
利用對數的性質及對數恒等式求值
1.對于多重對數符號的，可以先把內層視為整體，逐層使用對數的性質：loga1＝0和logaa＝1(a＞0，且a≠1)，進行變形求解.
2.對于指數中含有對數值的式子進行化簡，應充分考慮對數恒等式： ＝N的應用.
對點練3.(1)(多選題)有以下四個結論，其中正確的有(　　)
A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0
C.若e＝ln x，則x＝e2 D.ln(lg 1)＝0
(2)若a＝log102，b＝log103，則的值為　　　　.
答案：(1)AB　(2)
解析：(1)lg(lg 10)＝lg 1＝0，lg(ln e)＝lg 1＝0，所以A、B均正確；對于C，若e＝ln x，則x＝ee，故C錯誤；對于D，lg 1＝0，而ln 0沒有意義，故D錯誤.故選AB.
(2)因為a＝log102，b＝log103，則10a＝2，10b＝3，所以＝＝.
任務四　利用對數式和指數式互化關系求值
(雙空題)設loga2＝m，loga3＝n(a＞0，且a≠1)，則a2m＋n＝　　　　，a2m－n＝　　　　.
答案：12　
解析：因為loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，所以a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12，
a2m－n＝a2m÷an＝4÷3＝.
利用指數式與對數式的互化求變量值的策略
1.已知底數與指數，用指數式求冪.
2.已知指數與冪，用指數式求底數.
3.已知底數與冪，利用對數式表示指數.
對點練4.(1)(多選題)已知x＝log43，則下列計算正確的有(　　)
A.2x＝ B.2－x＝
C.(2x－2－x)2＝ D.4x＝9
(2)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，則x＋y＋z的值為(　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
答案：(1)ABC　(2)A
解析：(1)因為x＝log43，所以4x＝3，故2x＝，2－x＝，(2x－2－x)2＝＝＝.因此選項A、B、C正確，D不正確.故選ABC.
(2)因為log2(log3x)＝0，所以log3x＝20＝1，所以x＝3，同理可得y＝4，z＝2，所以x＋y＋z＝9.
任務 再現 1.對數的概念和兩種特殊對數：自然對數、常用對數.2.對數式與指數式的互化.3.對數恒等式及對數的基本性質
方法 提煉 轉化與化歸法
易錯 警示 易忽視對數式中底數與真數的范圍
1.將23＝8化為對數式，正確的是(　　)
A.log23＝8 B.log28＝3
C.log82＝3 D.log32＝8
答案：B
解析：23＝8化為對數式為log28＝3.故選B.
2.若loga8＝－3，則a＝(　　)
A.2 B.4
C. D.
答案：C
解析：顯然a＞0且a≠1，若loga8＝－3，則a－3＝8，即a3＝，所以a＝.故選C.
3.計算＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝　　　　.
答案：0
解析：＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.故答案為0.
4.若對數log3a(－2a＋1)有意義，則實數a的取值范圍是　　　　　　　　　.
答案：(0，)∪(，)
解析：由題意，得解得0＜a＜且a≠，所以實數a的取值范圍是(0，)∪(，).
課時分層評價27　對數的概念
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.若7x＝8，則x等于(　　)
A. B.log87
C.log78 D.log7x
答案：C
解析：把指數式轉化為對數式可知x＝ log78.故選C.
2.方程＝的解是(　　)
A. B.
C. D.9
答案：A
解析：由＝，得＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.故選A.
3.log2的值為(　　)
A.－　　　 B.
C.－　　 D.
答案：D
解析：設log2＝x，則2x＝＝，所以x＝.故選D.
4.(多選題)下列指數式與對數式的互化，正確的一組是(　　)
A.100＝1與lg 1＝0
B.2＝與log27＝－
C.log24＝2與＝2
D.log55＝1與51＝5
答案：ABD
解析：由aN＝b logab＝N(a＞0，且a≠1，b＞0)可知，A、B、D正確；對于C，log24＝2 4＝22，故C錯誤.故選ABD.
5.設＝25，則x的值等于(　　)
A.10 B.13
C.100 D.12
答案：B
解析：由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.故選B.
6.(多選題)下列命題正確的是(　　)
A.若lox＝3，則x＝2
B.若logx＝－，則x＝64
C.若＝，則x＝4
D.若lob2＝1，則a＝b
答案：AB
解析：對于A，若lox＝3，所以x＝＝2，故A正確；對于B，若logx＝－，則＝＝2－4，所以x＝＝26＝64，故B正確；對于C，因為log3＝－2，所以＝x－2＝＝，可得x2＝4，即x＝±2，故C錯誤；對于D，例如a＝2，b＝－2，則a2＝b2＝4，可得lob2＝1，符合題意，但a＝－b，故D錯誤.故選AB.
7.若log(a－1)(5－a)有意義，則實數a的取值范圍是　　　　　　　　.
答案：(1，2)∪(2，5)
解析：要使log(a－1)(5－a)有意義，須解得1＜a＜2或2＜a＜5，即實數a的取值范圍是(1，2)∪(2，5).
8.已知log32x＝1，則2x＋4x＝　　　　.
答案：12
解析：由log32x＝1得2x＝3，則4x＝＝9，所以2x＋4x＝3＋9＝12.
9.(新情境)(雙空題)十六、十七世紀，隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急，數學家納皮爾在研究天文學的過程中，為簡化計算發明了對數，直到十八世紀才由瑞士數學家歐拉發現了指數與對數的互逆關系，即ab＝N b＝logaN.現在已知a＝log48，b＝log24，則4a＝　　　　，a＋b＝　　　　(用最簡結果作答).
答案：8　
解析：因為a＝log48，則4a＝8，即22a＝23，所以2a＝3，所以a＝.因為b＝log24，所以2b＝4，即2b＝22，所以b＝2，所以a＋b＝＋2＝.
10.(10分)求下列各式中的x的值：
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
解：(1)由logx27＝，得＝27，
所以x＝2＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得＝x，
所以x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，即x＝(3＋2＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，
所以x＝21＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，
所以x＝－.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.若logx＝z，則x，y，z之間滿足(　　)
A.y7＝xz B.y＝x7z
C.y＝7xz　　 D.y＝z7x
答案：B
解析：由題意得＝xz，所以y＝(xz)7＝x7z.故選B.
12.已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是(　　)
A.d＝ac B.a＝dc
C.c＝ad D.d＝a＋c
答案：B
解析：由已知得5a＝b，10c＝b，所以5a＝10c，因為5d＝10，所以5dc＝10c，所以5dc＝5a，所以a＝dc.故選B.
13.已知正實數x，y滿足ln x＝2m，y＝e2m－1，則＝　　　　.
答案：e
解析：ln x＝2m x＝e2m，所以＝＝e.
14.(10分)已知lo(3x2＋2x－1)＝1，求x的值.
解：3x2＋2x－1＝2x2－1，解得x＝0，或－2，
當x＝0時，2x2－1＝－1，不合要求，舍去，
當x＝－2時，2x2－1＝7，滿足要求.
綜上：x＝－2.
15.(5分)盡管目前人類還無法精準預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解.例如，地震釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關系式為：lg E＝4.8＋1.5M.若甲地發生7.8級地震，它所釋放出來的能量為E1，乙地發生4.6級地震，它所釋放出來的能量為E2.則E1大約是E2的(　　)
A.102.8倍 B.101.8倍
C.103.8倍 D.104.8倍
答案：D
解析：由題設lg E1＝4.8＋1.5×7.8＝16.5，lg E2＝4.8＋1.5×4.6＝11.7，所以E1＝1016.5，E2＝1011.7，故＝＝104.8，則E1＝104.8E2.故選D.
16.(15分)已知log2[lo(log2x)]＝log3[lo(log3y)]＝log5＝0，試比較x，y，z的大小.
解：由log2＝0，
得lo(log2x)＝1，log2x＝，即x＝；
同理y＝，z＝.
因為y＝＝＝，x＝＝＝，
所以y＞x.又x＝＝＝3，z＝＝＝2，
所以x＞z，所以y＞x＞z.
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§1　對數的概念
　
第四章　對數運算與對數函數
學習目標
1.理解對數的概念.
2.會進行對數式與指數式的互化，培養邏輯推理的核心素養.
3.會求簡單的對數值，提升數學運算的核心素養.
任務一　對數的概念
問題導思
新知構建
1.對數的概念
一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么數b稱為以___為底____的對數，記作___________.其中a叫作對數的______，N叫作______.
2.兩種特殊對數
名稱 定義 記法
常用對數 以____為底數的對數 _______
自然對數 以______________________為底數的對數 _______
a
N
logaN＝b
底數
真數
10
lg N
無理數e＝2.718 281…
ln N
1.式子logaN中，底數a的范圍是什么？
提示：a＞0，且a≠1.
2.對數式logaN是不是loga與N的乘積？
提示：不是，logaN是一個整體，是求冪指數的一種運算，其運算結果是一個實數.
微思考
(1)對數log(a＋3)(5－a)中實數a的取值范圍是
A.(－∞，5) B.(－3，5)
C.(－3，－2)∪(－2，5) D.(－3，＋∞)
√
典例
1

(2)對數式log2(1－3x)中x的取值范圍為__________.


規律方法
對點練1.(1)若對數式log(t－2)3有意義，則實數t的取值范圍是
A.[2，＋∞) B.(2，3)∪(3，＋∞)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)

√
(2)在b＝loga(5－a)中，實數a的取值范圍是
A.a＞5或a＜0 B.0＜a＜1或1＜a＜5
C.0＜a＜1 D.1＜a＜5
√

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任務二　對數式與指數式的互化
問題2.現在你能解指數方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了嗎？
提示：能.x＝log23；x＝log1.112；x＝log105＝lg 5.
問題導思
對數與指數的關系
新知構建
對數logaN中，底數a能不能是0或者負數？a的值為什么不取1？真數N的取值范圍是什么？
提示：不能.在指數式中要求a＞0，且a≠1，所以在對數logaN中a＞0，且a≠1，真數N大于0.
微思考
(鏈教材P99例1、例2)將下列指數式與對數式互化：
(1)53＝125；
解：由對數的定義，得
53＝125 log5125＝3.
典例
2
(5)lg 1 000＝3.
解：由對數的定義，得
lg 1 000＝3 103＝1 000.
指數式與對數式互化的思路
規律方法
√
√
√
返回
任務三　對數的基本性質
問題導思
新知構建
N
0
1
典例
3
(3)log28x＝－3；
解：因為log28x＝－3，
所以8x＝2－3＝8－1，
所以x＝－1.

規律方法
對點練3.(1)(多選題)有以下四個結論，其中正確的有
A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0
C.若e＝ln x，則x＝e2 D.ln(lg 1)＝0
√
√
lg(lg 10)＝lg 1＝0，lg(ln e)＝lg 1＝0，所以A、B均正確；對于C，若e＝ln x，則x＝ee，故C錯誤；對于D，lg 1＝0，而ln 0沒有意義，故D錯誤.故選AB.

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任務四　利用對數式和指數式互化關系求值
(雙空題)設loga2＝m，loga3＝n(a＞0，且a≠1)，則a2m＋n＝_____，a2m－n＝_______.
典例
4
12


利用指數式與對數式的互化求變量值的策略
1.已知底數與指數，用指數式求冪.
2.已知指數與冪，用指數式求底數.
3.已知底數與冪，利用對數式表示指數.
規律方法
√
√
√

(2)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，則x＋y＋z的值為
A.9 B.8
C.7 D.6
√
因為log2(log3x)＝0，所以log3x＝20＝1，所以x＝3，同理可得y＝4，z＝2，所以x＋y＋z＝9.
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課堂小結
任務
再現 1.對數的概念和兩種特殊對數：自然對數、常用對數.2.對數式與指數式的互化.3.對數恒等式及對數的基本性質
方法
提煉 轉化與化歸法
易錯
警示 易忽視對數式中底數與真數的范圍
隨堂評價
1.將23＝8化為對數式，正確的是
A.log23＝8 B.log28＝3
C.log82＝3 D.log32＝8
√
23＝8化為對數式為log28＝3.故選B.
√
0
4.若對數log3a(－2a＋1)有意義，則實數a的取值范圍是________________.

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課時分層評價
√
把指數式轉化為對數式可知x＝ log78.故選C.
√
√
√
由aN＝b logab＝N(a＞0，且a≠1，b＞0)可知，A、B、D正確；對于C，log24＝2 4＝22，故C錯誤.故選ABD.
√
√
√
√
√
7.若log(a－1)(5－a)有意義，則實數a的取值范圍是__________________.
(1，2)∪(2，5)
8.已知log32x＝1，則2x＋4x＝_____.
12
9.(新情境)(雙空題)十六、十七世紀，隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急，數學家納皮爾在研究天文學的過程中，為簡化計算發明了對數，直到十八世紀才由瑞士數學家歐拉發現了指數與對數的互逆關系，即ab＝N b＝logaN.現在已知a＝log48，b＝log24，則4a＝______，a＋b＝______(用最簡結果作答).
8

(4)log5(log2x)＝0；
解：由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，
所以x＝21＝2.
√
12.已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是
A.d＝ac B.a＝dc
C.c＝ad D.d＝a＋c
√
由已知得5a＝b，10c＝b，所以5a＝10c，因為5d＝10，所以5dc＝10c，所以5dc＝5a，所以a＝dc.故選B.
e
15.(5分)盡管目前人類還無法精準預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解.例如，地震釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關系式為：lg E＝4.8＋1.5M.若甲地發生7.8級地震，它所釋放出來的能量為E1，乙地發生4.6級地震，它所釋放出來的能量為E2.則E1大約是E2的
A.102.8倍 B.101.8倍
C.103.8倍 D.104.8倍
√
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