資源簡介

§2　指數冪的運算性質
學習目標 1.掌握實數指數冪的運算性質及利用性質進行綜合運算，提升數學運算的核心素養.　2.能夠熟練利用指數冪的運算性質進行化簡、求值與證明，提升邏輯推理的核心素養.
任務一　指數冪的運算性質
問題.在初中我們學習了整數指數冪的運算性質：am·an＝；(am)n＝amn；(ab)n＝anbn，那么實數指數冪是否也滿足整數指數冪的運算性質呢？
提示：實數指數冪也滿足整數指數冪的運算性質，即：am·an＝；(am)n＝amn；(ab)n＝anbn.
對于任意正數a，b和實數α，β，實數指數冪均滿足下面的運算性質：
aα·aβ＝；(aα)β＝aαβ；(ab)α＝aαbα.
[微提醒]　(1)＝，＝.(2)注意公式的使用范圍.
角度1　利用指數冪的運算性質求值
(鏈教材P80例1、例2)計算下列各式的值：
(1)；
(2)6＋－；
(3)＋＋＋.
解：(1)原式＝(·＝(＝＝2.
(2)6＋－＝＋－＝16＋3－＝.
(3)＋＋＋＝－1＋1＋＋
＝＋＋＝＋＋＝＋1.
　　在進行指數冪運算時，可將系數、同類字母歸在一起，分別計算；化負指數為正指數，化小數為分數進行計算，便于進行乘除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的.
對點練1.計算下列各式：
(1)0.00－＋1＋；
(2)×＋×－.
解：(1)0.00－＋1＋＝(10－3－1＋(24＋×＝10－1＋8＋72＝89.
(2)×＋×－＝×1＋×－
＝＋－＝＋2－＝2.
角度2　利用指數冪的運算性質化簡
(鏈教材P80例3)化簡(式中的字母均是正實數)：
(1)；
(2)(2)(－6)(－3)；
(3)2÷(4)·3.
解：(1)原式＝＝＝＝＝a－1＝.
(2)原式＝2×(－6)×(－3)＝36a.
(3)原式＝2÷·＝··＝.
1.根式化簡的步驟
第一步：將根式化成分數指數冪的形式；
第二步：利用分數指數冪的運算性質求解.
2.化簡的結果，一般用分數指數冪的形式.
對點練2.化簡下列各式(式中的字母均是正實數)：
(1)；
(2)(xy－1·(5)·(2)；
(3)(6)(－)÷(－2).
解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝10(y－1＝10＝10x.
(3)原式＝(－6)÷(－2)＝3a.
任務二　整體代換求分數指數冪
(鏈教材P81例4)(1)已知10m＝2，10n＝2，①求10m＋n的值；②求1的值；
(2)已知＋＝3，求下列各式的值：
①a＋a－1；②a2＋a－2；③＋.
解：(1)①因為10m＝2，10n＝2，
所以10m＋n＝10m×10n＝2×2＝4.
②因為10m＝2，10n＝2，
所以1＝(103m－2n＝＝＝＝＝1.
(2)①因為＋＝3，所以(＋)2＝9，
即a＋2＋a－1＝9，所以a＋a－1＝7.
②因為a＋a－1＝7，
所以(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
所以a2＋a－2＝47.
③＋＝()3＋()3
＝(＋)(a－1＋a－1)
＝3×(7－1)＝18.
[變式探究]
1.(變設問)在本例(2)的條件下，求的值.
解：因為＋＝3，由例題知，a＋a－1＝7，a2＋a－2＝47，
所以＝＝4.
2.(變設問)在本例(2)的條件下，求a2－a－2的值.
解：設y＝a2－a－2，兩邊平方，
得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.
所以y＝±21，即a2－a－2＝±21.
利用整體代換法求分數指數冪
1.分析觀察條件與結論的結構特點，可將所求代數式恰當地變形，構造出與已知條件相同的結構，從而通過“整體代換法”巧妙地求出代數式的值.
2.利用“整體代換法”求值時常用的變形公式如下：
x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝(x－x－1)2＋2；(＋)(－)＝a－b(a＞0，b＞0)；
＋＝(＋)(a－＋b)；－＝(－)(a＋＋b).
對點練3.(1)已知實數a滿足a＋a－1＝4，則a2＋a－2的值為(　　)
A.14 B.16
C.12 D.18
(2)已知a2m＋n＝，am－n＝256，a＞0，且a≠1，則a5m＋n＝　　　　.
答案：(1)A　(2)16
解析：(1)因為＝a2＋a－2＋2a·a－1，所以a2＋a－2＝－2a·a－1＝16－2＝14.故選A.
(2)a5m＋n＝·am－n＝×256＝16.
任務 再現 1.指數冪的運算性質.2.整體代換法求分數指數冪
方法 提煉 轉化法、整體代換法
易錯 警示 在運用分數指數冪的運算性質化簡時，其結果不能同時含有根式和分數指數，也不能既含有分母又含有負指數
1.化簡的結果是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由題意可得＝＝＝.故選C.
2.化簡·(a＜0)的結果為(　　)
A.－ B.－(－a
C.(－a D.－
答案：B
解析：·＝·(－)＝－(－a＝－(－a＝－(－a.故選B.
3.若2m＝5，4n＝3，則43n－m的值是(　　)
A.0.9 B.1.08
C.2 D.4
答案：B
解析：因為2m＝5，4n＝3，所以43n－m＝＝＝＝1.08.故選B.
4.＋2＋＋＝　　　　　.
答案：
解析：＋2＋＋＝＋＋1＋＝2＋9＋1＋＝.
課時分層評價24　指數冪的運算性質
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.化簡·的結果是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因為a＞0，所以·＝·＝＝＝.故選B.
2.已知2a＝5，8b＝3，則2a－3b的值為(　　)
A.25 B.5
C. D.
答案：D
解析：因為8b＝3，所以(23)b＝23b＝3，所以2a－3b＝＝.故選D.
3.若a，b是正整數，且滿足＝，則a與b的關系正確的是(　　)
A.a＋3＝8b B.3a＝8b
C.a＋3＝b8 D.3a＝8＋b
答案：A
解析：由題意知，正實數a，b，且滿足＝，可得8×2a＝(2b)8，即23×2a＝28b，所以a＋3＝8b.故選A.
4.(5)0.5＋(－1)5÷()－2＋(2＝(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案：C
解析：(5)0.5＋(－1)5÷()－2＋(2＝()2×0.5－()－2＋(＝－()－2＋()－2＝.故選C.
5.(多選題)下列計算正確的是(　　)
A.÷(0.3a－1)＝10a2
B.÷＝－
C.·＝a2
D.＝
答案：ABD
解析：對于A，原式＝÷(0.3a－1)＝3a×a＝10a2，故A正確；對于B，原式＝＝＝－，故B正確；對于C，·＝，故C錯誤；對于D，原式＝＝＝＝＝，故D正確.故選ABD.
6.(多選題)下列各式正確的是(　　)
A.設a＞0，則＝
B.已知2a＋b＝1，則＝3
C.若a＝，b＝，則b2－a2＝5
D.＝(其中a＞0)
答案：BD
解析：對于A，因為a＞0，所以＝(a·＝(＝，故A錯誤；對于B，＝＝33a－a·3b＝32a＋b＝3，故B正確；對于C，b2－a2＝－≠5，故C錯誤；對于D，＝＝＝＝＝，故D正確.故選BD.
7.化簡：··＝　　　　.
答案：1
解析：由題意可知a＞0，所以··＝··＝＝a0＝1.
8.設a＝100.2，則的值為　　　　.
答案：100
解析：因為a＝100.2，所以a5＝100.2×5＝10，則＝a10＝(100.2)10＝100.
9.若3m－3－m＝2，則9m＋9－m的值為　　　　　.
答案：14
解析：3m－3－m＝2，兩邊平方得＝12，即9m＋9－m－2＝12，解得9m＋9－m＝14.
10.(10分)(1)求值：－0.752＋6－2×；
(2)已知10m＋10n＝5，10m10n＝6，m＞n，求1.
解：(1)原式＝－＋×＝－＋×＝－＋×＝1.
(2)1＝＝，
由10m＋10n＝5和10m10n＝6，m＞n可得10m＝3，10n＝2，
則1＝＝＝.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.在算式2中＋2國＋2精＋2神＝29中，“中、國、精、神”分別代表四個不同的數字，且依次從大到小，則“國”字所對應的數字為(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案：B
解析：由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，可得“國”字所對應的數字為3.故選B.
12.(多選題)已知x＋x－1＝3，則下列結論正確的是(　　)
A.x3＋x－3＝1 B.x2＋x－2＝7
C.＋＝ D.x2－x－2＝3
答案：BC
解析：由x＋x－1＝3可知：x＞0，x＋x－1＝3 ＝9 x2＋x－2＋2＝9 x2＋x－2＝7，故B正確；x3＋x－3＝＝3×＝18，故A錯誤；x＋x－1＝3 －2＝3 ＝5，因為x＞0，所以＋＝，故C正確；＝－4＝49－4＝45 x2－x－2＝±3，故D錯誤.故選BC.
13.已知3a＋2b＋1＝0，則8a·4b＝　　　　，＝　　　　.
答案：　
解析：8a·4b＝23a·22b＝23a＋2b＝2－1＝.由題意得a＋b＝－，所以＝＝×＝×＝.
14.(10分)(1)已知ax＝，求的值；
(2)已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值.
解：(1)原式＝＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋＝.
(2)因為a＞0，b＞0，又ab＝ba，b＝8a，所以(ab＝(ba，
即a＝＝(8a＝(8a，所以＝，所以a7＝8，所以a＝.
15.(5分)(新情境)1947年，生物學家Max Kleiber發表了一篇題為《body size and metabolic rate》的論文，在論文中提出了一個克萊伯定律：對于哺乳動物，其基礎代謝率與體重的次冪成正比，即F＝c0，其中F為基礎代謝率，M為體重.若某哺乳動物經過一段時間生長，其體重為原來的10倍，則基礎代謝率為原來的(參考數據： ≈1.778 3)(　　)
A.5.4倍 B.5.5倍
C.5.6倍 D.5.7倍
答案：C
解析：設該哺乳動物原體重為M1，基礎代謝率為F1，則F1＝c0，經過一段時間生長，其體重為10M1，基礎代謝率為F2，則F2＝c0·(10M1＝1·c0·＝1F1，則＝1≈1.778 33≈5.6.故選C.
16.(15分)(1)已知a＝3，求＋＋＋的值；
(2)已知2a·3b＝2c·3d＝6，求證：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1).
解：(1)原式＝＋＋＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
(2)證明：因為2a·3b＝6，所以2a－1·3b－1＝1，
所以(2a－1·3b－1)d－1＝1，
即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1，①
又因為2c·3d＝6，所以2c－1·3d－1＝1，
所以(2c－1·3d－1)b－1＝1，
即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1，②
由①②可得，2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，
所以(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1).
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§2　指數冪的運算性質
　
第三章　指數運算與指數函數
學習目標
1.掌握實數指數冪的運算性質及利用性質進行綜合運算，提升數學運算的核心素養.　
2.能夠熟練利用指數冪的運算性質進行化簡、求值與證明，提升邏輯推理的核心素養.
任務一　指數冪的運算性質
問題導思
新知構建
aαβ
aαbα
微提醒
典例
1
　　在進行指數冪運算時，可將系數、同類字母歸在一起，分別計算；化負指數為正指數，化小數為分數進行計算，便于進行乘除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的.
規律方法
典例
1
1.根式化簡的步驟
第一步：將根式化成分數指數冪的形式；
第二步：利用分數指數冪的運算性質求解.
2.化簡的結果，一般用分數指數冪的形式.
規律方法
返回
任務二　整體代換求分數指數冪
典例
3
②a2＋a－2；
解：因為a＋a－1＝7，
所以(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
所以a2＋a－2＝47.

規律方法
對點練3.(1)已知實數a滿足a＋a－1＝4，則a2＋a－2的值為
A.14 B.16
C.12 D.18
√
16
返回
課堂小結
任務
再現 1.指數冪的運算性質.2.整體代換法求分數指數冪
方法
提煉 轉化法、整體代換法
易錯
警示 在運用分數指數冪的運算性質化簡時，其結果不能同時含有根式和分數指數，也不能既含有分母又含有負指數
隨堂評價
√
√
3.若2m＝5，4n＝3，則43n－m的值是
A.0.9 B.1.08
C.2 D.4
√


返回
課時分層評價
√
√
√

√

√
√
√

√
√

1
100
14
11.在算式2中＋2國＋2精＋2神＝29中，“中、國、精、神”分別代表四個不同的數字，且依次從大到小，則“國”字所對應的數字為
A.4 B.3
C.2 D.1
√
由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，可得“國”字所對應的數字為3.故選B.
√

√



√

(2)已知2a·3b＝2c·3d＝6，求證：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1).
解：證明：因為2a·3b＝6，所以2a－1·3b－1＝1，
所以(2a－1·3b－1)d－1＝1，
即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1，①
又因為2c·3d＝6，所以2c－1·3d－1＝1，
所以(2c－1·3d－1)b－1＝1，
即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1，②
由①②可得，2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，
所以(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1).
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