資源簡介

§3　指數函數
3.1　指數函數的概念
3.2　指數函數的圖象和性質(一)
學習目標 1.理解指數函數的概念.　2.會畫指數函數的圖象并能簡單應用，培養直觀想象的核心素養.
任務一　指數函數的概念
問題1.(1)拿一張報紙，將這張報紙連續對折，折疊次數x與對應的層數y之間、折疊次數x與對折后的面積S(設原面積為1)之間的對應關系是什么？
(2)上述兩個函數關系式共同點是什么？
提示：(1)第x次折疊后對應的層數y＝2x(x∈N＋)，對折后的面積S＝(x∈N＋).
(2)兩函數關系式都是指數的形式，自變量x在指數位置，底數是常數.
指數函數的概念
指數函數的定義 當給定正數a，且a≠1時，對于任意的實數x，都有唯一確定的正數y＝ax與之對應.因此，y＝ax是一個定義在實數集上的函數，稱為指數函數
指數函數的基本性質 (1)指數函數的定義域為R，函數值大于0； (2)圖象過定點(0，1)
[微思考]　指數函數的解析式有什么特征？
提示：指數函數解析式的四個特征：
(1)定義域必須是實數集R.(2)底數a的范圍必須是a＞0，且a≠1.(3)自變量是x，x位于指數位置上，且指數位置上只有x這一項.(4)指數式只有一項，并且指數式的系數為1.
(1)(多選題)給出下列函數，不是指數函數的是(　　)
A.y＝2·3x B.y＝(－2)x
C.y＝3x D.y＝x3
(2)若函數y＝(a2－3a＋3)ax是指數函數，則a等于　　　　.
答案：(1)ABD　(2)2
解析：(1)對于A，3x的系數是2，故A不是指數函數；對于B，底數－2＜0，故B不是指數函數；對于C，3x的系數是1，冪的指數是自變量x，且只有3x一項，故C是指數函數；對于D，y＝x3的底數為自變量，指數為常數，故D不是指數函數.故選ABD.
(2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指數函數，可得所以a＝2.
判斷一個函數是否為指數函數的方法
1.看形式：判斷其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)這一結構形式.
2.明特征：看是否具備指數函數解析式具有的所有特征.只要有一個特征不具備，該函數就不是指數函數.
對點練1.(1)若函數y＝ax＋4－2a是指數函數，則有(　　)
A.a＝2 B.a＝3
C.a＝2或a＝3 D.a＞2，且a≠3
(2)若函數f(x)＝·ax是指數函數，則f的值為(　　)
A.2 B.3
C. D.4
答案：(1)A　(2)A
解析：(1)因為y＝ax＋4－2a是指數函數，所以a2－5a＋7＝1，a2－5a＋6＝0，＝0，且4－2a＝0，所以a＝2.故選A.
(2)因為函數f(x)＝·ax是指數函數，所以a－3＝1且a＞0且a≠1，解得a＝8，
所以f(x)＝8x，所以f＝＝2.故選A.
任務二　指數函數的圖象和性質
問題2.用列表、描點、連線的畫圖步驟，先完成下列表格，再畫出指數函數y＝2x與y＝3x的圖象.觀察圖象的位置、公共點和變化趨勢，它們有哪些共性？
x －2 －1 0 1 2
y＝2x
y＝3x
提示：表格依次填寫：　　1　2　4　　　1　3　9
y＝2x和y＝3x的圖象如圖所示.
從y＝2x和y＝3x的圖象上看：都在R上是增函數，公共點(0，1)，且值域是(0，＋∞).
問題3.用列表、描點、連線的畫圖步驟，先完成下列表格，再畫出指數函數y＝與y＝的圖象.
觀察圖象的位置、公共點和變化趨勢，它們有哪些共性？
x －2 －1 0 1 2
y＝
y＝
提示：表格依次填寫：4　2　1　　　9　3　1　　
y＝和y＝的圖象如圖所示.
從y＝和y＝的圖象上看：都在R上是減函數，公共點(0，1)，且值域是(0，＋∞).
問題4.觀察y＝2x和y＝3x的圖象以及y＝和y＝的圖象，它們各具有什么簡單性質？
提示：y＝2x和y＝3x的圖象，在(0，＋∞)上都是增函數.x＜0時，函數y＝3x的圖象在函數y＝2x的圖象下方；x＞0時，函數y＝3x的圖象在函數y＝2x的圖象上方.y＝和y＝的圖象在(0，＋∞)上都是減函數.x＜0時，函數y＝的圖象在函數y＝的圖象上方；x＞0時，函數y＝的圖象在函數y＝的圖象下方.
指數函數的圖象和簡單性質
a＞1 0＜a＜1
圖 象
簡單 性質 定義域為R，值域為(0，＋∞)，過定點(0，1).
在R上是增函數.當x值趨近于正無窮大時，函數值趨近于正無窮大；當x值趨近于負無窮大時，函數值趨近于0 在R上是減函數.當x值趨近于正無窮大時，函數值趨近于0；當x值趨近于負無窮大時，函數值趨近于正無窮大
簡單 性質 對于函數y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： 當x＜0時，0＜ax＜bx＜1； 當x＝0時，ax＝bx＝1； 當x＞0時，ax＞bx＞1 對于函數y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)： 當x＜0時，ax＞bx＞1； 當x＝0時，ax＝bx＝1； 當x＞0時，0＜ax＜bx＜1
(1)對任意實數a＜1，且a≠0，關于x的函數y＝(1－a)x＋4圖象必過定點(　　)
A.(0，4) B.(0，1)
C.(0，5) D.(1，5)
(2)函數①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
答案：(1)C　(2)C
解析：(1)因為a＜1，且a≠0，所以1－a＞0，且1－a≠1，故函數y＝(1－a)x是指數函數，過定點(0，1)，則y＝(1－a)x＋4過定點(0，5).故選C.
(2)由題圖，易知直線x＝1與函數圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而＞＞＞，故選C.
解決指數函數圖象問題的注意點
1.熟記當底數a＞1和0＜a＜1時，圖象的大體形狀.
2.在y軸右側，指數函數的圖象“底大圖高”.
對點練2.(1)已知0＜m＜n＜1，則指數函數①y＝mx，②y＝nx的圖象為(　　)
(2)已知實數a，b滿足等式2 024a＝2 025b，給出下列五個關系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，可能成立的關系式有(　　)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
答案：(1)C　(2)C
解析：(1)由于0＜m＜n＜1，故排除A，B；作直線x＝1與兩個曲線相交(圖略)，交點在下面的是函數y＝mx的圖象，在上面的是函數y＝nx的圖象.故選C.
(2)在同一坐標系中畫出函數y＝2 024x與y＝2 025x的圖象如圖所示，結合圖象可知：若2 024a＝2 025b＞1，如圖①所示，則0＜b＜a，①可能成立；若2 024a＝2 025b＝1，則0＝b＝a，⑤可能成立；若2 024a＝2 025b＜1，如圖②所示，則a＜b＜0，②可能成立.綜上，可能成立的關系式有3個.故選C.
任務三　指數函數圖象的簡單應用
如圖所示，函數f(x)＝的圖象是(　　)
答案：B
解析：因為y＝＝所以x＝1時，y＝0，x≠1時，y＞0.故選B.
[變式探究]
(變設問)在平面直角坐標系中，若直線y＝m與函數f(x)＝的圖象只有一個交點，則實數m的取值范圍是　　　　　　　　；若有兩個交點，則實數m的取值范圍是　　　　　　　　.
答案：{m｜m≥2，或m＝0}　
解析：根據函數f(x)＝的圖象，若直線y＝m與函數f(x)＝的圖象只有1個交點，則m≥2或m＝0，即實數m的取值范圍是{m｜m≥2，或m＝0}.若有兩個交點時0＜m＜2，即實數m的取值范圍是.
處理函數圖象問題的策略
1.抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0，1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的y的值，即可得函數圖象所過的定點.
2.巧用圖象變換：函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)和翻折變換.
對點練3.(1)(多選題)若函數y＝ax－2b－1(a＞0且a≠1)的圖象過第一、三、四象限，則(　　)
A.0＜a＜1 B.a＞1
C.b＞0 D.b＜0
(2)對a，b∈R，記max＝則函數f(x)＝max{｜x＋1｜，()x}的最小值為　　　　.
答案：(1)BC　(2)1
解析：(1)由題意可知：函數大致圖象如圖所示，若0＜a＜1，則y＝ax－2b－1的圖象必過第二象限，不符合題意，所以a＞1.當a＞1時，要使y＝ax－2b－1的圖象過第一、三、四象限，則a0－2b－1＜0，解得b＞0.故選BC.
(2)在同一坐標系內作出函數y＝｜x＋1｜，y＝()x的圖象，如圖，觀察圖象知，當x＜0時，()x＞｜x＋1｜，當x＝0時，()x＝｜x＋1｜，當x＞0時，()x＜｜x＋1｜，因此f(x)＝函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在[0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)min＝f(0)＝1.
任務 再現 1.指數函數的概念.2.指數函數的圖象和性質以及圖象的簡單應用
方法 提煉 待定系數法、數形結合法
易錯 警示 易忽視底數a的限制條件；易忽視對于a是否大于1進行討論
1.下列各函數中，是指數函數的是(　　)
A.y＝ B.y＝－4x
C.y＝3x－1 D.y＝
答案：D
解析：由指數函數的定義知y＝是指數函數.故選D.
2.若函數y＝(x是自變量)是指數函數，則a的取值范圍是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) B.∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.［，＋∞)
答案：C
解析：因為函數y＝(x是自變量)是指數函數，所以解得a＞且a≠1，所以實數a的取值范圍是∪(1，＋∞).故選C.
3.甲同學在同一坐標系畫函數y＝2x，y＝3x，y＝的圖象(如圖)，其中多余的一個是(　　)
A.① B.②
C.③ D.④
答案：B
解析：因為y＝＝2－x與y＝2x的圖象關于y軸對稱，且當x＞0時，y＝3x的圖象在y＝2x圖象的上方，所以①③④存在.故選B.
4.函數f(x)＝ax－3＋2x(a＞0，a≠1)的圖象恒過的定點為　　　　.
答案：
解析：令x－3＝0，解得x＝3，且f(3)＝7，所以函數f(x)的圖象恒過的定點為.
課時分層評價25　指數函數的概念　指數函數的圖象和性質(一)
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.若指數函數f(x)的圖象過點，則f(x)的解析式為(　　)
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x
C.f(x)＝ D.f(x)＝
答案：B
解析：設f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因為函數f(x)的圖象過點，則f(4)＝a4＝81，解得a＝3，所以f(x)＝3x.故選B.
2.(多選題)若函數f(x)＝ax是指數函數，則實數m的值為(　　)
A.－3 B.1
C.－1 D.－2
答案：AB
解析：因為函數f(x)＝ax是指數函數，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3.故選AB.
3.函數y＝與y＝4x的圖象(　　)
A.關于x軸對稱 B.關于直線y＝x對稱
C.關于原點對稱 D.關于y軸對稱
答案：D
解析：因為＝＝4x，且函數y＝與y＝4x的圖象如圖所示，所以函數y＝與y＝4x的圖象關于y軸對稱.故選D.
4.要得到函數y＝22x－1的圖象，只需將指數函數y＝4x的圖象(　　)
A.向左平移1個單位 B.向右平移1個單位
C.向左平移個單位 D.向右平移個單位
答案：D
解析：因為22x－1＝＝，所以為了得到函數y＝22x－1的圖象，只需將指數函數y＝4x的圖象向右平移個單位.故選D.
5.函數y＝xa(x≥0)和函數y＝ax(x≥0)在同一坐標系下的圖象可能是(　　)
答案：C
解析：y＝xa(x≥0)的圖象必過(0，0)，y＝ax(x≥0)的圖象必過(0，1)，故D錯誤；對于A，由y＝ax圖象知a＞1，由y＝xa圖象可知0＜a＜1，故A錯誤；對于B，由y＝ax圖象知0＜a＜1，由y＝xa圖象可知a＞1，故B錯誤；對于C，由y＝ax圖象知0＜a＜1，由y＝xa圖象可知0＜a＜1，故C正確.故選C.
6.(多選題)函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(　　)
A.0＜a＜1 B.a＞1
C.b＜0 D.b＞0
答案：AC
解析：由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出函數f(x)＝ax－b在定義域上單調遞減，所以0＜a＜1，函數f(x)＝ax－b的圖象是在y＝ax的圖象的基礎上向左平移得到的，所以b＜0.故選AC.
7.已知函數f(x)＝則f(f(－3))＝　　　　.
答案：
解析：因為f(x)＝所以f(－3)＝2－3＝，則f(f(－3))＝f＝＝.
8.若函數y＝2x＋m的圖象不經過第二象限，則實數m的取值范圍是　　　　.
答案：(－∞，－1]
解析：指數函數y＝2x的圖象過點(0，1)，則函數y＝2x＋m的圖象過點(0，1＋m)，若圖象不經過第二象限，則1＋m≤0，即m≤－1，所以實數m的取值范圍是(－∞，－1].
9.函數f(x)＝的圖象與平行線y＝m，y＝n，m≠n有且僅有三個交點，則實數m＋n的取值范圍是　　　　.
答案：(1，2)
解析：f(x)＝的圖象如圖所示，不妨設m＞n，因為f(x)＝的圖象與平行線y＝m，y＝n，m≠n有且僅有三個交點，所以由圖可知m＝1，0＜n＜1，所以1＜m＋n＜2，即實數m＋n的取值范圍是(1，2).
10.(10分)已知函數y＝ax－1(a＞0且a≠1)的圖象經過點.
(1)求實數a的值；
(2)作出此函數的圖象.
解：(1)將點代入y＝ax－1，得a2－1＝，即a＝，所以a＝.
(2)由(1)知y＝，
將函數y＝的圖象向右平移1個單位長度即可得到函數y＝的圖象，如圖，
即為函數y＝的圖象.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.下列函數中，滿足對任意x1，x2∈R恒有f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)的是(　　)
A.f(x)＝2x2 B.f(x)＝
C.f(x)＝4x3 D.f(x)＝2x－2
答案：B
解析：對于A，若f(x)＝2x2，由f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)得2＝16，取x1＝x2＝1，得2＝16，故A不成立；對于B，f(x)＝滿足對任意x1，x2∈R恒有f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)，故B正確；對于C，若f(x)＝4x3，由f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)得4＝4·4·4，取x1＝x2＝1，得4＝64，故C不成立；對于D，若f(x)＝2x－2，由f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)得＝4··，取x1＝x2＝1，得＝1，故D不成立.故選B.
12.(多選題)已知函數f(x)＝(a＞0，且a≠1)，則下列結論正確的是(　　)
A.函數f(x)恒過定點(0，1)
B.函數f(x)的值域為
C.函數f(x)在區間上單調遞增
D.若直線y＝2a與函數f(x)的圖象有兩個公共點，則實數a的取值范圍是
答案：BC
解析：已知函數f(x)＝(a＞0，且a≠1)，則x∈R，對于A，f(0)＝＝0，函數f(x)恒過定點，故A錯誤；對于B，x∈R，則ax－1＞－1，所以≥0，函數f(x)的值域為，故B正確；對于C，當0＜a＜1時，則y＝ax單調遞減，又x≥0，所以ax≤1，所以f(x)＝＝－ax＋1，顯然此時f(x)在上單調遞增；當a＞1時，則y＝ax單調遞增，又x≥0，所以ax≥1，所以f(x)＝＝ax－1，顯然此時f(x)在上單調遞增，故C正確；對于D，y＝｜ax－1｜的圖象由y＝ax的圖象向下平移一個單位，再將x軸下方的圖象翻折到x軸上方得到，分a＞1和0＜a＜1兩種情況分別作圖，如圖所示：
當a＞1時，2a＞2，顯然不合題意；當0＜a＜1時，此時0＜2a＜1滿足有兩個公共點，即0＜a＜，故D錯誤.故選BC.
13.(開放題)已知函數f(x)滿足： x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)；當x＞0時，f(x)＜1.則滿足這兩個條件的一個函數為　　　　.
答案：f(x)＝(答案不唯一)
解析：由 x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)，知f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)滿足該條件；又當x＞0時，f(x)＜1，可得0＜a＜1，故f(x)可以為f(x)＝(答案不唯一).
14.(10分)已知函數f(x)＝ax，g(x)＝bx，若f(1)＋g(1)＝5，f(1)－g(1)＝1.
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)若f(m)＝g(n)，試比較m，n的大小.
解：(1)由解得f(1)＝3，g(1)＝2，即a＝3，b＝2.
所以f(x)＝3x，g(x)＝2x.
(2)由f(m)＝g(n)，得3m＝2n，
當m＝0時，有2n＝1，所以n＝0，此時m＝n；
當m＞0時，2m＜3m＝2n，此時m＜n；
當m＜0時，2m＞3m＝2n，此時m＞n.
15.(5分)(新情境)中國清朝數學家李善蘭在1859年翻譯《代數學》中首次將“function”譯做：“函數”，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”.函數在數學上的定義：給定一個非空的數集A，對A施加對應法則f，記作f(A)，得到另一數集B，也就是B＝f(A).那么這個關系式就叫函數關系式，簡稱函數.已知集合A＝{－2，1，2，4}，B＝{0，2，4，16}，給出下列四個對應法則，請由函數定義判斷，其中能構成從A到B的函數的是(　　)
A.y＝2x B.y＝｜x｜
C.y＝x2 D.y＝2｜－x｜
答案：D
解析：對于A，對于數集A中的－2，根據y＝2x可得y＝－4，而B＝{0，2，4，16}中無－4，故A錯誤；對于B，對于數集A中的1，根據y＝｜x｜可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中無1，故B錯誤；對于C，對于數集A中的1，根據y＝x2可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中無1，故C錯誤；對于D，對于數集A中的－2和2，根據y＝2｜－x｜可得y＝4，對于數集A中的1，根據y＝2｜－x｜可得y＝2，對于數集A中的4，根據y＝2｜－x｜可得y＝16，{2，4，16} B，故D正確.故選D.
16.(15分)(一題多問)已知函數f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1).
(1)若f(x)的圖象如圖①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的圖象如圖②所示，求實數a，b的取值范圍；
(3)在(1)中，若｜f(x)｜＝m有且僅有一個實數解，求出實數m的取值范圍.
解：(1)因為f(x)的圖象過點(2，0)，(0，－2)，
所以解得a＝，b＝－3.
(2)由f(x)為減函數可知實數a的取值范圍為(0，1)，
因為f(0)＝1＋b＜0，即b＜－1，
所以實數b的取值范圍為(－∞，－1).
(3)由題中圖①可知y＝｜f(x)｜的圖象如圖，
由圖可知，若｜f(x)｜＝m有且僅有一個實數解，則m＝0或m≥3.
所以實數m的取值范圍為{m｜m＝0，或m≥3}.
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3.1　指數函數的概念
3.2　指數函數的圖象和性質(一)
　
第三章　§3 指數函數
學習目標
1.理解指數函數的概念.　
2.會畫指數函數的圖象并能簡單應用，培養直觀想象的核心素養.
任務一　指數函數的概念
問題導思
(2)上述兩個函數關系式共同點是什么？
提示：兩函數關系式都是指數的形式，自變量x在指數位置，底數是常數.
指數函數的概念
新知構建
指數函數
的定義 當給定正數a，且a≠1時，對于任意的實數x，都有__________的正數y＝ax與之對應.因此，_______是一個定義在實數集上的函數，稱為指數函數
指數函數的
基本性質 (1)指數函數的定義域為____，函數值大于___；
(2)圖象過定點(0，1)
唯一確定
y＝ax
R
0
指數函數的解析式有什么特征？
提示：指數函數解析式的四個特征：
(1)定義域必須是實數集R.(2)底數a的范圍必須是a＞0，且a≠1.(3)自變量是x，x位于指數位置上，且指數位置上只有x這一項.(4)指數式只有一項，并且指數式的系數為1.
微思考
(1)(多選題)給出下列函數，不是指數函數的是
A.y＝2·3x B.y＝(－2)x
C.y＝3x D.y＝x3
√
典例
1
√
√
對于A，3x的系數是2，故A不是指數函數；對于B，底數－2＜0，故B不是指數函數；對于C，3x的系數是1，冪的指數是自變量x，且只有3x一項，故C是指數函數；對于D，y＝x3的底數為自變量，指數為常數，故D不是指數函數.故選ABD.
(2)若函數y＝(a2－3a＋3)ax是指數函數，則a等于______.
2

判斷一個函數是否為指數函數的方法
1.看形式：判斷其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)這一結構形式.
2.明特征：看是否具備指數函數解析式具有的所有特征.只要有一個特征不具備，該函數就不是指數函數.
規律方法
√

√
返回
任務二　指數函數的圖象和性質
問題2.用列表、描點、連線的畫圖步驟，先完成下列表格，再畫出指數函數y＝2x與y＝3x的圖象.觀察圖象的位置、公共點和變化趨勢，它們有哪些共性？
問題導思
x －2 －1 0 1 2
y＝2x
y＝3x
提示：y＝2x和y＝3x的圖象如圖所示.
從y＝2x和y＝3x的圖象上看：都在R上是增函數，
公共點(0，1)，且值域是(0，＋∞).


1
2
4


1
3
9
x －2 －1 0 1 2


4
2
1


9
3
1


指數函數的圖象和簡單性質
新知構建
a＞1 0＜a＜1
圖
象

簡單
性質 定義域為R，值域為___________，過定點________.
在R上是________.當x值趨近于正無窮大時，函數值趨近于__________；當x值趨近于負無窮大時，函數值趨近于___ 在R上是減函數.當x值趨近于正無窮大時，函數值趨近于___；當x值趨近于負無窮大時，函數值趨近于__________
(0，＋∞)
(0，1)
增函數
正無窮大
0
0
正無窮大
a＞1 0＜a＜1
簡單
性質 對于函數y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)：
當x＜0時，0＜ax＜bx＜1；
當x＝0時，ax＝bx＝1；
當x＞0時，ax＞bx＞1 對于函數y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)：
當x＜0時，ax＞bx＞1；
當x＝0時，ax＝bx＝1；
當x＞0時，0＜ax＜bx＜1
(1)對任意實數a＜1，且a≠0，關于x的函數y＝(1－a)x＋4圖象必過定點
A.(0，4) B.(0，1)
C.(0，5) D.(1，5)
√
典例
2
因為a＜1，且a≠0，所以1－a＞0，且1－a≠1，故函數y＝(1－a)x是指數函數，過定點(0，1)，則y＝(1－a)x＋4過定點(0，5).故選C.
√
解決指數函數圖象問題的注意點
1.熟記當底數a＞1和0＜a＜1時，圖象的大體形狀.
2.在y軸右側，指數函數的圖象“底大圖高”.
規律方法
對點練2.(1)已知0＜m＜n＜1，則指數函數①y＝mx，②y＝nx的圖象為
√
由于0＜m＜n＜1，故排除A，B；作直線x＝1與兩個曲線相交(圖略)，交點在下面的是函數y＝mx的圖象，在上面的是函數y＝nx的圖象.故選C.
(2)已知實數a，b滿足等式2 024a＝2 025b，給出下列五個關系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，可能成立的關系式有
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
√
在同一坐標系中畫出函數y＝2 024x與y＝2 025x
的圖象如圖所示，結合圖象可知：若2 024a＝
2 025b＞1，如圖①所示，則0＜b＜a，①可能
成立；若2 024a＝2 025b＝1，則0＝b＝a，⑤
可能成立；若2 024a＝2 025b＜1，如圖②所示，則a＜b＜0，②可能成立.綜上，可能成立的關系式有3個.故選C.
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任務三　指數函數圖象的簡單應用
典例
3
√

{m｜m≥2，或m＝0}


處理函數圖象問題的策略
1.抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0，1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的y的值，即可得函數圖象所過的定點.
2.巧用圖象變換：函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)和翻折變換.
規律方法
對點練3.(1)(多選題)若函數y＝ax－2b－1(a＞0且a≠1)的圖象過第一、三、四象限，則
A.0＜a＜1 B.a＞1
C.b＞0 D.b＜0
√
√
由題意可知：函數大致圖象如圖所示，若0＜a＜1，則y＝ax
－2b－1的圖象必過第二象限，不符合題意，所以a＞1.當a
＞1時，要使y＝ax－2b－1的圖象過第一、三、四象限，則
a0－2b－1＜0，解得b＞0.故選BC.
1

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課堂小結
任務
再現 1.指數函數的概念.2.指數函數的圖象和性質以及圖象的簡單應用
方法
提煉 待定系數法、數形結合法
易錯
警示 易忽視底數a的限制條件；易忽視對于a是否大于1進行討論
隨堂評價
√
√

√
4.函數f(x)＝ax－3＋2x(a＞0，a≠1)的圖象恒過的定點為__________.

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課時分層評價
√
√
√
√
√
5.函數y＝xa(x≥0)和函數y＝ax(x≥0)在同一坐標系下的圖象可能是
y＝xa(x≥0)的圖象必過(0，0)，y＝ax(x≥0)的圖象必過(0，1)，故D錯誤；對于A，由y＝ax圖象知a＞1，由y＝xa圖象可知0＜a＜1，故A錯誤；對于B，由y＝ax圖象知0＜a＜1，由y＝xa圖象可知a＞1，故B錯誤；對于C，由y＝ax圖象知0＜a＜1，由y＝xa圖象可知0＜a＜1，故C正確.故選C.
√
6.(多選題)函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是
A.0＜a＜1
B.a＞1
C.b＜0
D.b＞0
√
由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出函數f(x)＝ax－b在定義域上單調遞減，所以0＜a＜1，函數f(x)＝ax－b的圖象是在y＝ax的圖象的基礎上向左平移得到的，所以b＜0.故選AC.
√

8.若函數y＝2x＋m的圖象不經過第二象限，則實數m的取值范圍是____________.
指數函數y＝2x的圖象過點(0，1)，則函數y＝2x＋m的圖象過點(0，1＋m)，若圖象不經過第二象限，則1＋m≤0，即m≤－1，所以實數m的取值范圍是(－∞，－1].
(－∞，－1]

(1，2)
√
√
√

13.(開放題)已知函數f(x)滿足： x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)；當x＞0時，f(x)＜1.則滿足這兩個條件的一個函數為_______________________.

(2)若f(m)＝g(n)，試比較m，n的大小.
解：由f(m)＝g(n)，得3m＝2n，
當m＝0時，有2n＝1，所以n＝0，此時m＝n；
當m＞0時，2m＜3m＝2n，此時m＜n；
當m＜0時，2m＞3m＝2n，此時m＞n.
15.(5分)(新情境)中國清朝數學家李善蘭在1859年翻譯《代數學》中首次將“function”譯做：“函數”，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”.函數在數學上的定義：給定一個非空的數集A，對A施加對應法則f，記作f(A)，得到另一數集B，也就是B＝f(A).那么這個關系式就叫函數關系式，簡稱函數.已知集合A＝{－2，1，2，4}，B＝{0，2，4，16}，給出下列四個對應法則，請由函數定義判斷，其中能構成從A到B的函數的是
A.y＝2x B.y＝｜x｜
C.y＝x2 D.y＝2｜－x｜
√
對于A，對于數集A中的－2，根據y＝2x可得y＝－4，而B＝{0，2，4，16}中無－4，故A錯誤；對于B，對于數集A中的1，根據y＝｜x｜可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中無1，故B錯誤；對于C，對于數集A中的1，根據y＝x2可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中無1，故C錯誤；對于D，對于數集A中的－2和2，根據y＝2｜－x｜可得y＝4，對于數集A中的1，根據y＝2｜－x｜可得y＝2，對于數集A中的4，根據y＝2｜－x｜可得y＝16，{2，4，16} B，故D正確.故選D.
(2)若f(x)的圖象如圖②所示，求實數a，b的取值范圍；
解：由f(x)為減函數可知實數a的取值范圍為(0，1)，
因為f(0)＝1＋b＜0，即b＜－1，
所以實數b的取值范圍為(－∞，－1).
(3)在(1)中，若｜f(x)｜＝m有且僅有一個實數解，求出實數m的取值范圍.
解：由題中圖①可知y＝｜f(x)｜的圖象如圖，
由圖可知，若｜f(x)｜＝m有且僅有一個實數解，
則m＝0或m≥3.
所以實數m的取值范圍為{m｜m＝0，或m≥3}.
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