資源簡介

§3　對數函數
3.1　對數函數的概念
3.2　對數函數y＝log2x的圖象和性質
學習目標 1.通過具體實例，了解對數函數的概念以及對數函數與指數函數間的關系，培養數學抽象的核心素養. 2.了解指數函數與對數函數互為反函數，并會求指數函數或對數函數的反函數.　3.掌握對數函數y＝log2x的圖象和性質，提升邏輯推理的核心素養.
任務一　對數函數的概念
問題1.將y＝2x化為對數式得到什么結果？根據這一結果，對于區間(0，＋∞)內的每一個y的值，是否都有唯一的實數x與之對應？x能否看作關于y的函數？
提示：x＝log2y；任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的實數x與之對應；x能看作關于y的函數.
1.對數函數的概念
一般將函數y＝logax(a＞0，且a≠1)稱為對數函數，其中x為自變量，a為底數.
2.對數函數的基本性質
(1)定義域是(0，＋∞)；(2)圖象過定點(1，0).
3.特殊的對數函數
常用對 數函數 以10為底的對數函數y＝lg x
自然對 數函數 以無理數e為底的對數函數y＝ln x
[微思考]　對數函數的解析式有何特征？
提示：①對數函數的系數為1；②自變量x在真數的位置上，且真數只能是一個x；③底數a的取值范圍是a＞0，且a≠1.
(1)(多選題)下列函數表達式中，是對數函數的有 (　　)
A.y＝logπx B.y＝lox
C.y＝log4x2 D.y＝log2(x＋1)
(2)若函數y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x為自變量的對數函數，則實數a＝　　　　.
答案：(1)AB　(2)3
解析：(1)根據對數函數的定義知，y＝logπx，y＝lox是對數函數，故A、B正確；而y＝log4x2，y＝log2(x＋1)不符合對數函數的定義，故C、D錯誤.故選AB.
(2)因為函數y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x為自變量的對數函數，所以解得a＝3.
判斷一個函數是對數函數的依據
對點練1.(1)已知對數函數的圖象過點M(9，－2)，則此對數函數的解析式為(　　)
A.y＝log2x B.y＝log3x
C.y＝lox D.y＝lox
(2)(多選題)下列函數中為對數函數的是(　　)
A.y＝lo(－x)
B.y＝loga
C.y＝ln x
D.y＝lox(a是常數)
答案：(1)C　(2)CD
解析：(1)設對數函數為y＝logax，M代入可得－2＝loga9，所以a－2＝9，＝9，a＝，則對數函數的解析式為y＝lox.故選C.
(2)對于A，真數是－x，故A不是對數函數；對于B，y＝loga，不符合對數函數的定義，故B不是對數函數；對于C，ln x的系數為1，真數是x，故C是對數函數；對于D，底數a2＋a＋2＝＋＞1，真數是x，故D是對數函數.故選CD.
任務二　反函數
問題2.在同一坐標系下，畫出函數y＝2x與y＝log2x的圖象，觀察這兩個函數的圖象間有怎樣的關系.
提示：y＝2x與y＝log2x的圖象如圖，y＝2x與y＝log2x的圖象關于y＝x對稱.
指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數是對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)；
對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函數是指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1).
即它們互為反函數.
[微思考]　y＝ax與y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數，這兩個函數的定義域和值域有什么關系呢？
提示：y＝ax與y＝logax(a＞0，且a≠1)的定義域和值域互換.
(鏈教材P111例2、例3)寫出下列函數的反函數：
(1)y＝10x；(2)y＝；(3)y＝log2x；(4)y＝lox.
解：(1)因為指數函數y＝10x的底數是10，所以它的反函數是對數函數y＝lg x.
(2)因為指數函數y＝，所以它的反函數是對數函數y＝lox.
(3)因為對數函數y＝log2x的底數是2，所以它的反函數是指數函數y＝2x.
(4)因為對數函數y＝lox的底數是，所以它的反函數是指數函數y＝.
反函數的性質特征
1.同底的指數函數、對數函數互為反函數.
2.反函數的性質
(1)對稱性：互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y＝x對稱.
(2)坐標關系：若函數y＝f(x)圖象上有一點(a，b)，則點(b，a)必在其反函數圖象上，反之若點(b，a)在反函數圖象上，則點(a，b)必在原函數圖象上.
對點練2.(1)若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數，且滿足f(2)＝1，則f(x)＝(　　)
A.log2x B.
C.log0.5x D.2x
(2)已知函數y1＝f(x)的圖象與函數y＝的圖象關于直線y＝x對稱，則當x＝3時，y1＝　　　　.
答案：(1)A　(2)－1
解析：(1)函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數為y＝logax，即f(x)＝logax，又f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2，則f(x)＝log2x.故選A.
(2)因為函數y1＝f(x)的圖象與函數y＝的圖象關于直線y＝x對稱，即互為反函數，則y1＝lox，當x＝3時，y1＝lo3＝－1.
任務三　對數函數y＝log2x的圖象和性質
問題3.請同學們利用列表、描點、連線的畫圖步驟，先完成下列表格，再在同一平面直角坐標系下畫出對數函數y＝log2x和y＝lox的函數圖象.
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 …
y＝log2x … …
y＝lox … …
提示：①－2　－1　0　1　2　3
2　1　0　－1?。??。?
②描點、連線
問題4.觀察你作出的y＝log2x的圖象，圖象有什么特征呢？
提示：(1)圖象位于y軸右側；(2)在(0，＋∞)上單調遞增；(3)當x→0時，y→－∞.
對數函數y＝log2x與y＝lox的圖象與性質
函數 y＝log2x y＝lox
圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
單調性 在定義域(0，＋∞)上是增函數 在定義域(0，＋∞)上是減函數
共點性 圖象過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0
函數 值特點 當x∈(0，1)時，y∈(－∞，0) 當x∈(0，1)時，y∈(0，＋∞)
當x∈[1，＋∞)時，y∈[0，＋∞) 當x∈[1，＋∞)時，y∈(－∞，0]
[微提醒]　(1)函數圖象只出現在y軸右側，注意圖象永遠不和y軸相交.(2)y＝log2x和y＝lox的圖象關于x軸對稱.
(1)(鏈教材P112例4)比較log2(a2＋a＋1)與lo的大??；
(2)(鏈教材P113例5)求使不等式lo(x＋1)＞lo(3－x2)成立的實數x的集合.
解：(1)lo＝－log2＝log2，
又因為a2＋a＋1＝＋≥，
所以log2(a2＋a＋1)≥log2，
所以log2(a2＋a＋1)≥lo.
(2)原不等式可化為log2(x＋1)＜log2(3－x2)，因為函數y＝log2x(x＞0)為單調增函數，
故原不等式可化為解得－1＜x＜1，
故使不等式成立的x的集合為{x｜－1＜x＜1}.
函數y＝log2x單調性的應用
　　函數y＝log2x在(0，＋∞)上是單調遞增的，利用單調性可以比較對數值的大小，解不等式，求函數值域.
對點練3.(1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，則(　　)
A.a＝b＜c B.a＜b＜c
C.a＝c＞b D.a＞c＞b
(2)不等式log2(2－x)≤log2(3x＋10)的解集為　　　　.
答案：(1)C　(2)[－2，2)
解析：(1)因為b＝log46＝log2，c＝log49＝lo32＝log23，所以a＝c；又因為y＝log2x在(0，＋∞)上單調遞增，又＜3，所以log2＜log23，所以a＝c＞b.故選C.
(2)由log2(2－x)≤log2(3x＋10)可得0＜2－x≤3x＋10，解得－2≤x＜2，故答案為：[－2，2).
任務四　函數y＝log2x性質的綜合應用
已知函數f(x)＝2－log2x，x∈[1，4].
(1)求函數f(x)的值域；
(2)設g(x)＝[f(x)]2－f(x2)，求g(x)的最值及相應的x的值.
解：(1)因為f(x)＝2－log2x在[1，4]上是減函數，
又f(1)＝2－log21＝2，f(4)＝2－log24＝2－2＝0，
所以函數f(x)的值域是[0，2].
(2)因為g(x)＝[f(x)]2－f(x2)＝4－4log2x＋(log2x)2－(2－log2x2)
＝(log2x)2－2log2x＋2＝(log2x－1)2＋1.
又函數g(x)的定義域滿足得1≤x≤2，所以g(x)的定義域是[1，2]，
所以0≤log2x≤1.所以當log2x＝0，即x＝1時，g(x)有最大值g(1)＝2；
當log2x＝1，即x＝2時，g(x)有最小值g(2)＝1.
解答與對數函數y＝log2x有關的復合函數最值問題時的關注點
1.針對函數的解析式合理變形化簡，并注意復合函數的定義域.
2.分清楚對數函數的底數，根據底數的大小確定其單調性.
3.注意換元法、整體思想等在解題中的運用.
對點練4.根據函數f(x)＝log2x的圖象和性質解決以下問題.
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范圍；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值.
解：函數y＝log2x的圖象如圖所示.
(1)因為y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數，f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，解得a＞2.
所以a的取值范圍為(2，＋∞).
(2)因為2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27，
所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23.
所以函數y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值為log23，最大值為3log23.
任務 再現 1.對數函數以及反函數的概念.2.對數函數y＝log2x的圖象與性質
方法 提煉 待定系數法、數形結合法
易錯 警示 忽視對數函數中隱含的條件：真數大于0，底數大于0且不等于1
1.(多選題)下列函數為對數函數的是(　　)
A.f(x)＝log(m－1)x(m＞1，且m≠2)
B.f(x)＝lg x3
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝ln x＋e
答案：AC
解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函數為對數函數，對于A，由m＞1，且m≠2，可知m－1＞0，且m－1≠1，故A符合題意；對于B，不符合題意；對于C，符合題意；對于D，不符合題意.故選AC.
2.f(x)＝log2x的反函數是(　　)
A.y＝ax B.y＝2x
C.y＝logx2 D.y＝4x
答案：B
解析：根據指數函數與對數函數的關系，可得函數f(x)＝log2x的反函數為y＝2x.故選B.
3.設a＝3－0.2，b＝log20.2，c＝log23，則(　　)
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
答案：D
解析：因為0＜a＝3－0.2＜30＝1，b＝log20.2＜log21＝0，c＝log23＞log22＝1，所以c＞a＞b.故選D.
4.若log2(x＋1)≤0，則實數x的取值范圍是　　　　.
答案：(－1，0]
解析：log2(x＋1)≤0 0＜x＋1≤1，解得－1＜x≤0，故實數x的取值范圍為(－1，0].
課時分層評價29　對數函數的概念　對數函數y＝log2x的圖象和性質
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.若函數f(x)＝logax是對數函數，則a的值是(　　)
A.1或2 B.1
C.2 D.a＞0且a≠1
答案：C
解析：因為函數f(x)＝(a2－3a＋3)logax是對數函數，所以a2－3a＋3＝1，a＞0且a≠1，解得a＝1或a＝2，所以a＝2.故選C.
2.若某對數函數的圖象過點(4，2)，則該對數函數的解析式為(　　)
A.y＝log2x
B.y＝2log4x
C.y＝log2x，或y＝2log4x
D.不確定
答案：A
解析：設函數為y＝logax(a＞0，且a≠1)，依題可知，2＝loga4，解得a＝2.故選A.
3.若對數函數f(x)的圖象經過點(4，－2)，則它的反函數g(x)的解析式為(　　)
A.g(x)＝2x　 B.g(x)＝
C.g(x)＝4x　 D.g(x)＝x2
答案：B
解析：設f(x)＝logax，函數圖象過點(4，－2)，即f(4)＝loga4＝－2，即a＝，f(x)＝lox，它的反函數g(x)的解析式為g(x)＝.故選B.
4.設P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，則(　　)
A.R＜Q＜P B.P＜R＜Q
C.Q＜R＜P D.R＜P＜Q
答案：C
解析：因為P＝2log23＝log232＝log29＞log28＝3，Q＝log23＜log24＝2，R＝log25＜log28＝3，R＝log25＞log24＝2，所以Q＜R＜P.故選C.
5.方程lo(x2－9)＝lo(4x－4)的解為(　　)
A.x＝1或x＝5 B.x＝－1
C.x＝1 D.x＝5
答案：D
解析：依題意得解得x＝5.故選D.
6.若點P(16，2)，Q(t，log23)都在同一個對數函數的圖象上，則t等于(　　)
A.3 B.6
C.9 D.12
答案：C
解析：設對數函數為y＝logax(a＞0，且a≠1)，代入點P(16，2)可得loga16＝2，則a2＝16，解得a＝4，所以y＝log4x，代入點Q(t，log23)可得log4t＝log23，則log2t＝log23，可得log2t＝2log23＝log29，所以t＝9.故選C.
7.設y＝logax(a＞0，且a≠1)，若圖象經過和，則k＝　　　　.
答案：－
解析：因為
8.函數f(x)＝log2x在區間[a，2a](a＞0)上最大值與最小值之差為　　　　.
答案：1
解析：因為f(x)＝log2x在區間[a，2a]上單調遞增，所以f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝log22＝1.
9.(開放題)已知集合M＝{x｜log2(x－a)＜1}，若2 M，寫出一個滿足題意的實數a的值為　　　　　.
答案：2(本題答案不唯一，只要所寫數值滿足a∈(－∞，0]∪[2，＋∞)即可)
解析：由log2(x－a)＜1得0＜x－a＜2，即a＜x＜a＋2，所以M＝(a，a＋2)，因為2 M，所以a≥2或a＋2≤2，得a∈(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以一個滿足題意的實數a的值為2(答案不唯一).
10.(10分)已知函數f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x).
(1)若函數f(x)的定義域為[3，63]，求函數f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范圍.
解：(1)因為y＝log2x是其定義域上的增函數，
所以函數f(x)＝log2(x＋1)在[3，63]上單調遞增，
所以f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)因為f(x)－g(x)＞0，即log2(1＋x)＞log2(1－x)，所以1＋x＞1－x＞0，解得0＜x＜1.
即x的取值范圍是(0，1).
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.(多選題)若函數f(x)＝lox，則下列說法正確的是(　　)
A.函數定義域為R
B.0＜x＜1時，f(x)＞0
C.f(x)＞1的解集為
D.f＝0
答案：BD
解析：由題意知，f(x)＝lox，對于A，函數定義域為(0，＋∞)，故A錯誤；對于B，f(x)＝lox在(0，＋∞)上單調遞減，當0＜x＜1時，f(x)＝lox＞lo1＝0，故B正確；對于C，f(x)＝lox在(0，＋∞)上單調遞減，f(x)＞1，即lox＞lo，解得x∈，故C錯誤；對于D，f＝f(1)＝lo1＝0，故D正確.故選BD.
12.函數f(x)＝的圖象與函數g(x)＝log2x圖象交點個數是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：C
解析：在同一個平面直角坐標系中畫出f(x)和g(x)的圖象，如圖，由圖象可知f(x)與g(x)的交點個數是3.故選C.
13.(開放題)寫出滿足條件“函數y＝f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(xy)＝f(x)＋f(y)”的一個函數f(x)＝　　　　.
答案：log2x(答案不唯一)
解析：f(xy)＝f(x)＋f(y)是對數函數模型，f(x)＝log2x滿足條件.(答案不唯一)
14.(10分)已知函數f(x)＝logax＋b(a＞0，且a≠1)的圖象經過點(2，0)和(16，3).
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)若函數y＝[f(x)]2－f(x)，求y的最小值.
解：(1)由題意得
所以f(x)＝log2x－1.
(2)y＝[f(x)]2－f(x)＝(log2x－1)2－log2x＋1＝(log2x)2－3log2x＋2.
令log2x＝t，則y＝t2－3t＋2＝－，
故當t＝，即log2x＝，x＝2時，ymin＝－，
所以y的最小值為－.
15.(5分)(多選題)已知a，b∈R，且滿足＜＜1，則(　　)
A.log2b＞log2a B.log2a＞log2b
C.log2a2＞log2b2 D.log2b2＞log2a2
答案：BC
解析：由題設知a＞b＞0，故B正確，A錯誤，且a2＞b2＞0，所以log2a2＞log2b2，故C正確，D錯誤.故選BC.
16.(15分)已知函數f(x)＝.
(1)畫出函數y＝f(x)的圖象；
(2)寫出函數y＝f(x)的單調區間；
(3)當x∈時，函數y＝f(x)的值域為[0，1]，求實數m的取值范圍.
解：(1)先作出y＝lox的圖象，再把y＝lox的圖象在x軸下方的部分往上翻折，得到f(x)＝的圖象，如圖.
(2)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
由圖可知，f(x)的單調遞增區間為(1，＋∞)，單調遞減區間為(0，1).
(3)由f(x)＝的圖象可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，
由題意結合圖象知，1≤m≤2.
故實數m的取值范圍是[1，2].
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3.1　對數函數的概念
3.2　對數函數y＝log2x的圖象和性質
　
第四章　§3　對數函數
學習目標
1.通過具體實例，了解對數函數的概念以及對數函數與指數函數間的關系，培養數學抽象的核心素養.
2.了解指數函數與對數函數互為反函數，并會求指數函數或對數函數的反函數.　
3.掌握對數函數y＝log2x的圖象和性質，提升邏輯推理的核心素養.
任務一　對數函數的概念
問題1.將y＝2x化為對數式得到什么結果？根據這一結果，對于區間(0，＋∞)內的每一個y的值，是否都有唯一的實數x與之對應？x能否看作關于y的函數？
提示：x＝log2y；任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的實數x與之對應；x能看作關于y的函數.
問題導思
1.對數函數的概念
一般將函數y＝_______(a＞0，且a≠1)稱為對數函數，其中___為自變量，___為底數.
2.對數函數的基本性質
(1)定義域是___________；(2)圖象過定點________.
新知構建
logax
x
a
(0，＋∞)
(1，0)
3.特殊的對數函數
常用對
數函數 以____為底的對數函數_________
自然對
數函數 以_________為底的對數函數_________
10
y＝lg x
無理數e
y＝ln x
對數函數的解析式有何特征？
提示：①對數函數的系數為1；②自變量x在真數的位置上，且真數只能是一個x；③底數a的取值范圍是a＞0，且a≠1.
微思考
√
典例
1
√
(2)若函數y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x為自變量的對數函數，則實數a＝______.
3

判斷一個函數是對數函數的依據
規律方法
√
√
√
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任務二　反函數
問題2.在同一坐標系下，畫出函數y＝2x與y＝log2x的圖象，觀察這兩個函數的圖象間有怎樣的關系.
提示：y＝2x與y＝log2x的圖象如圖，y＝2x與y＝log2x的圖象關于y＝x對稱.
問題導思
指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數是對數函數____________________
_________；
對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函數是指數函數__________________
_________.
即它們______反函數.
新知構建
y＝logax(a＞0，
且a≠1)
y＝ax(a＞0，
且a≠1)
互為
y＝ax與y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數，這兩個函數的定義域和值域有什么關系呢？
提示：y＝ax與y＝logax(a＞0，且a≠1)的定義域和值域互換.
微思考
(鏈教材P111例2、例3)寫出下列函數的反函數：
(1)y＝10x；
解：因為指數函數y＝10x的底數是10，所以它的反函數是對數函數y＝lg x.
典例
2
(3)y＝log2x；
解：因為對數函數y＝log2x的底數是2，所以它的反函數是指數函數y＝2x.
反函數的性質特征
1.同底的指數函數、對數函數互為反函數.
2.反函數的性質
(1)對稱性：互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y＝x對稱.
(2)坐標關系：若函數y＝f(x)圖象上有一點(a，b)，則點(b，a)必在其反函數圖象上，反之若點(b，a)在反函數圖象上，則點(a，b)必在原函數圖象上.
規律方法
√
函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數為y＝logax，即f(x)＝logax，又f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2，則f(x)＝log2x.故選A.
－1

返回
任務三　對數函數y＝log2x的圖象和性質
問題導思
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 …
y＝log2x … …
… …
－2
－1
0
1
2
3
2
1
0
－1
－2
－3
提示：描點、連線
問題4.觀察你作出的y＝log2x的圖象，圖象有什么特征呢？
提示：(1)圖象位于y軸右側；(2)在(0，＋∞)上單調遞增；(3)當x→0時，y→－∞.
新知構建
函數 y＝log2x
圖象

定義域 ___________
值域 R
(0，＋∞)
函數 y＝log2x
單調性 在定義域(0，＋∞)上是____函數 在定義域(0，＋∞)上是____函數
共點性 圖象過定點________，即x＝1時，y＝0
函數
值特點 當x∈(0，1)時，y∈___________ 當x∈(0，1)時，y∈___________
當x∈[1，＋∞)時，y∈____________ 當x∈[1，＋∞)時，y∈____________
增
減
(1，0)
(－∞，0)
(0，＋∞)
[0，＋∞)
(－∞，0]
微提醒
典例
3
函數y＝log2x單調性的應用
　　函數y＝log2x在(0，＋∞)上是單調遞增的，利用單調性可以比較對數值的大小，解不等式，求函數值域.
規律方法
對點練3.(1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，則
A.a＝b＜c B.a＜b＜c
C.a＝c＞b D.a＞c＞b
√
(2)不等式log2(2－x)≤log2(3x＋10)的解集為__________.
[－2，2)
由log2(2－x)≤log2(3x＋10)可得0＜2－x≤3x＋10，解得－2≤x＜2，故答案為：[－2，2).
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任務四　函數y＝log2x性質的綜合應用
已知函數f(x)＝2－log2x，x∈[1，4].
(1)求函數f(x)的值域；
解：因為f(x)＝2－log2x在[1，4]上是減函數，
又f(1)＝2－log21＝2，f(4)＝2－log24＝2－2＝0，
所以函數f(x)的值域是[0，2].
典例
4
解答與對數函數y＝log2x有關的復合函數最值問題時的關注點
1.針對函數的解析式合理變形化簡，并注意復合函數的定義域.
2.分清楚對數函數的底數，根據底數的大小確定其單調性.
3.注意換元法、整體思想等在解題中的運用.
規律方法
對點練4.根據函數f(x)＝log2x的圖象和性質解決以下問題.
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范圍；
解：函數y＝log2x的圖象如圖所示.
因為y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數，f(a)＞f(2)，
即log2a＞log22，解得a＞2.
所以a的取值范圍為(2，＋∞).
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值.
解：因為2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27，
所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23.
所以函數y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值為log23，最大值為3log23.
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課堂小結
任務
再現 1.對數函數以及反函數的概念.2.對數函數y＝log2x的圖象與性質
方法
提煉 待定系數法、數形結合法
易錯
警示 忽視對數函數中隱含的條件：真數大于0，底數大于0且不等于1
隨堂評價
1.(多選題)下列函數為對數函數的是
A.f(x)＝log(m－1)x(m＞1，且m≠2)
B.f(x)＝lg x3
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝ln x＋e
√
√
形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函數為對數函數，對于A，由m＞1，且m≠2，可知m－1＞0，且m－1≠1，故A符合題意；對于B，不符合題意；對于C，符合題意；對于D，不符合題意.故選AC.
2.f(x)＝log2x的反函數是
A.y＝ax B.y＝2x
C.y＝logx2 D.y＝4x
√
根據指數函數與對數函數的關系，可得函數f(x)＝log2x的反函數為y＝2x.故選B.
3.設a＝3－0.2，b＝log20.2，c＝log23，則
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
√
因為0＜a＝3－0.2＜30＝1，b＝log20.2＜log21＝0，c＝log23＞log22＝1，所以c＞a＞b.故選D.
4.若log2(x＋1)≤0，則實數x的取值范圍是__________.
(－1，0]
log2(x＋1)≤0 0＜x＋1≤1，解得－1＜x≤0，故實數x的取值范圍為 (－1，0].
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課時分層評價
√
因為函數f(x)＝(a2－3a＋3)logax是對數函數，所以a2－3a＋3＝1，a＞0且a≠1，解得a＝1或a＝2，所以a＝2.故選C.
2.若某對數函數的圖象過點(4，2)，則該對數函數的解析式為
A.y＝log2x
B.y＝2log4x
C.y＝log2x，或y＝2log4x
D.不確定
√
設函數為y＝logax(a＞0，且a≠1)，依題可知，2＝loga4，解得a＝2.故 選A.
√

4.設P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，則
A.R＜Q＜P B.P＜R＜Q
C.Q＜R＜P D.R＜P＜Q
√
因為P＝2log23＝log232＝log29＞log28＝3，Q＝log23＜log24＝2，R＝log25＜log28＝3，R＝log25＞log24＝2，所以Q＜R＜P.故選C.
√

6.若點P(16，2)，Q(t，log23)都在同一個對數函數的圖象上，則t等于
A.3 B.6
C.9 D.12
√


8.函數f(x)＝log2x在區間[a，2a](a＞0)上最大值與最小值之差為_______.
因為f(x)＝log2x在區間[a，2a]上單調遞增，所以f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝log22＝1.
1
9.(開放題)已知集合M＝{x｜log2(x－a)＜1}，若2 M，寫出一個滿足題意的實數a的值為___________________________________________________
______________.
由log2(x－a)＜1得0＜x－a＜2，即a＜x＜a＋2，所以M＝(a，a＋2)，因為2 M，所以a≥2或a＋2≤2，得a∈(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以一個滿足題意的實數a的值為2(答案不唯一).
2(本題答案不唯一，只要所寫數值滿足a∈(－∞，0]∪
[2，＋∞)即可)
10.(10分)已知函數f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x).
(1)若函數f(x)的定義域為[3，63]，求函數f(x)的最值；
解：因為y＝log2x是其定義域上的增函數，
所以函數f(x)＝log2(x＋1)在[3，63]上單調遞增，
所以f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范圍.
解：因為f(x)－g(x)＞0，即log2(1＋x)＞log2(1－x)，所以1＋x＞1－x＞0，解得0＜x＜1.
即x的取值范圍是(0，1).
√
√

√
在同一個平面直角坐標系中畫出f(x)和g(x)的圖象，如圖，
由圖象可知f(x)與g(x)的交點個數是3.故選C.
13.(開放題)寫出滿足條件“函數y＝f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(xy)＝f(x)＋f(y)”的一個函數f(x)＝_________________.
log2x(答案不唯一)
f(xy)＝f(x)＋f(y)是對數函數模型，f(x)＝log2x滿足條件.(答案不唯一)
√
√
由題設知a＞b＞0，故B正確，A錯誤，且a2＞b2＞0，所以log2a2＞log2b2，故C正確，D錯誤.故選BC.
(2)寫出函數y＝f(x)的單調區間；
解：f(x)的定義域為(0，＋∞)，
由圖可知，f(x)的單調遞增區間為(1，＋∞)，單調遞減區間為(0，1).
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