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§4　指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.　2.理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等增長含義，提升直觀想象的核心素養(yǎng).　3.在實(shí)際情境中，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　函數(shù)模型的增長差異
　　觀察函數(shù)y＝x，y＝2x，y＝log2x在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象，思考以下兩個(gè)問題：
問題1.三個(gè)函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象有什么特點(diǎn)？
提示：三個(gè)函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象都是上升的，即單調(diào)遞增.
問題2.當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，三個(gè)函數(shù)中哪個(gè)函數(shù)的增長速度最快？哪個(gè)最慢？
提示：三個(gè)函數(shù)的增長速度差異很大，其中y＝2x增長速度最快，y＝log2x增長速度最慢.
1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象的特征
　　函數(shù) 特征　　 y＝ax (a＞1) y＝logbx (b＞1) y＝xc (x＞0，c＞0)
在(0，＋∞) 上的增減性 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù)
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn)
圖象的變化 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與y軸“平行” 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸“平行” 在(0，＋∞)上，隨x的增大，圖象平穩(wěn)上升
2.y＝ax(a＞1)，y＝logbx(b＞1)，y＝xc(x＞0，c＞0)不同增長情況比較
隨著自變量x的增大，y＝ax的函數(shù)值增長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xc的函數(shù)值增長；而y＝xc的函數(shù)值增長又遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝logbx的函數(shù)值增長，即盡管它們在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，但增長速度不在一個(gè)檔次上，在(0，＋∞)上總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，logbx＜xc＜ax.
3.三種函數(shù)的增長趨勢
當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快.
當(dāng)b＞1時(shí)，對數(shù)函數(shù)y＝logbx是增函數(shù)，并且當(dāng)b越小時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快.
當(dāng)x＞0，c＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xc是增函數(shù)，并且當(dāng)x＞1時(shí)，c越大其函數(shù)值的增長就越快.
當(dāng)?shù)讛?shù)a＞1時(shí)，由于指數(shù)函數(shù)y＝ax的值增長非常快，人們稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸”.
[微提醒]　(1)當(dāng)描述增長速度變化很快時(shí)，常常選用指數(shù)函數(shù)模型.(2)當(dāng)要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長很大時(shí)，常常選用對數(shù)函數(shù)模型.
(1)下列函數(shù)中，隨著自變量x的增大，增長速度最快的是(　　)
A.y＝2 025x B.y＝
C.y＝log2 025x D.y＝2 025x
(2)(多選題)根據(jù)三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是(　　)
A.f(x)的增長速度始終不變
B.f(x)的增長速度越來越快
C.g(x)的增長速度越來越快
D.h(x)的增長速度越來越慢
答案：(1)A　(2)ACD
解析：(1)比較一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快.故選A.
(2)由下圖可知A、C、D正確.故選ACD.
常見的函數(shù)模型及其增長特點(diǎn)
1.指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a＞1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇加快，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.
2.對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a＞1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩.
3.冪函數(shù)模型：冪函數(shù)y＝xn(n＞0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.
對點(diǎn)練1.(1)下面對函數(shù)f(x)＝lox，g(x)＝與h(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減情況的敘述正確的是(　　)
A.f(x)的衰減速度逐漸變慢，g(x)的衰減速度逐漸變快，h(x)的衰減速度逐漸變慢
B.f(x)的衰減速度逐漸變快，g(x)的衰減速度逐漸變慢，h(x)的衰減速度逐漸變快
C.f(x)的衰減速度逐漸變慢，g(x)的衰減速度逐漸變慢，h(x)的衰減速度逐漸變慢
D.f(x)的衰減速度逐漸變快，g(x)的衰減速度逐漸變快，h(x)的衰減速度逐漸變快
(2)(多選題)三個(gè)變量y1，y2，y3隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
則下列說法合理的是(　　)
A.y1關(guān)于x呈指數(shù)增長
B.y2關(guān)于x呈指數(shù)增長
C.y3關(guān)于x呈直線上升
D.y2的增長速度最快
答案：(1)C　(2)BCD
解析：(1)由函數(shù)f(x)＝lox，g(x)＝與h(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象(右圖)以及性質(zhì)知函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)的衰減速度均逐漸變慢.故選C.
(2)y1隨x增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，…，增長的速度相對緩慢，不是指數(shù)增長，故A錯(cuò)誤；y2隨x增大而增大，增加量依次是85，1530，27 540，495 720，…，增長的速度越來越快，呈指數(shù)增長，且增長速度最快，故B，D正確；y3隨x增大而增大，增加量依次是25，25，25，…，呈均勻增加狀態(tài)，呈直線上升，故C正確.故選BCD.
任務(wù)二　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型的增長比較
函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；
(2)結(jié)合函數(shù)圖象，比較f(8)，g(8)，f(2 025)，g(2 025)的大小.
解：(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.
(2)因?yàn)間(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，
g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，
f(10)＞g(10).
所以1＜x1＜2，9＜x2＜10.
所以x1＜8＜x2＜2 025.
從圖象上知，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＜g(x)；
當(dāng)x＞x2時(shí)，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
所以f(2 025)＞g(2 025)＞g(8)＞f(8).
指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長的比較
判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)增長快慢時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).
對點(diǎn)練2.函數(shù)f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示.
(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；
(2)以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較.
解：(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lg x.
(2)由已知，以x1，x2為分界點(diǎn)，
當(dāng)0＜x＜x1時(shí)，g(x)＞f(x)；
當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＞g(x)；
當(dāng)x＞x2時(shí)，g(x)＞f(x)；
當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x).
任務(wù)三　函數(shù)增長模型的選取
某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎金不超過利潤的25％.現(xiàn)有三個(gè)獎勵模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？
解：作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(如圖).
觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5和y＝0.25x的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎勵時(shí)才符合公司的要求.
不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)
1.線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律.
2.指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇上升的變化規(guī)律.
3.對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度逐漸平緩的變化規(guī)律.
對點(diǎn)練3.為凈化湖水的水質(zhì)，某市環(huán)保局于2024年年底在管轄區(qū)湖水中投入一些水生植物，這些植物在水中的蔓延速度越來越快，2025年經(jīng)兩次實(shí)地測量得到表中的數(shù)據(jù)：
月份x/月 1 2 3 4 5
植物面積y/m2 24 36
現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)模型y＝kax(k＞0，a＞1)與y＝mx2＋n(m＞0)可供選擇.
(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；
(2)若市環(huán)保局在2024年年底投放了11 m2的水生植物，試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適.并說明理由.
解：(1)對于函數(shù)模型y＝kax，由已知得
所以y＝×.
對于函數(shù)模型y＝mx2＋n，由已知得所以y＝x2＋.
(2)若用模型y＝×，則當(dāng)x＝0時(shí)，y1＝，
若用模型y＝x2＋，則當(dāng)x＝0時(shí)，y2＝.
易知，使用模型y＝×更為合適.
任務(wù) 再現(xiàn) 三種函數(shù)模型的增長差異
方法 提煉 數(shù)形結(jié)合法和轉(zhuǎn)化的思想方法
易錯(cuò) 警示 實(shí)際問題要注意函數(shù)的定義域并作答
1.(多選題)當(dāng)a＞1時(shí)，有下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是(　　)
A.指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快
B.指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快
C.對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快
D.對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快
答案：AD
解析：由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，知A，D正確，B，C錯(cuò)誤.故選AD.
2.下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是(　　)
A.y＝6x B.y＝log6x
C.y＝x2 D.y＝6x
答案：B
解析：指數(shù)函數(shù)y＝6x先慢后爆炸性增長，對數(shù)函數(shù)y＝log6x增長速度越來越慢，冪函數(shù)y＝x2增長速度越來越快，一次函數(shù)y＝6x勻速增長.故選B.
3.四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向前運(yùn)動，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關(guān)于時(shí)間x(x＞1)的函數(shù)關(guān)系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它們一直運(yùn)動下去，最終在最前面的物體具有的函數(shù)關(guān)系是(　　)
A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝2x
C.f3(x)＝log2x D.f4(x)＝2x
答案：D
解析：由增長速度可知，當(dāng)自變量充分大時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值最大.故選D.
4.已知函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝2x，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)與g(x)的大小關(guān)系為　　　　.
答案：f(x)＞g(x)
解析：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝2x的圖象，如圖所示，由于函數(shù)f(x)＝3x的圖象在函數(shù)g(x)＝2x圖象的上方，則f(x)＞g(x).
課時(shí)分層評價(jià)32　指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較
(時(shí)間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.下列函數(shù)中，隨著x(x＞1)的增大，函數(shù)值的增長速度最快的是(　　)
A.y＝8lg x　 B.y＝x8
C.y＝　 D.y＝9×8x
答案：D
解析：當(dāng)x＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長最快，冪函數(shù)其次，對數(shù)函數(shù)最慢，故函數(shù)y＝9×8x的增長速度最快.故選D.
2.有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表，則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是(　　)
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
A.y＝ B.y＝·2x
C.y＝log2x D.y＝2x－3
答案：B
解析：f(3)－f(2)＝1.16，f(4)－f(3)＝2.75，f(5)－f(4)＝5.69，f(6)－f(5)＝10.3，通過所給數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大而增大，且增長的速度越來越快，A、C選項(xiàng)函數(shù)增長的速度越來越慢，D選項(xiàng)函數(shù)增長的速度不變，B選項(xiàng)函數(shù)增長的速度越來越快，所以B正確.故選B.
3.三個(gè)變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
則關(guān)于x分別呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、直線型函數(shù)變化的變量依次為(　　)
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
答案：C
解析：通過指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、直線型函數(shù)的增長規(guī)律比較可知，對數(shù)型函數(shù)的增長速度越來越慢，變量y3隨x的變化符合此規(guī)律；指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，變量y2隨x的變化符合此規(guī)律；直線型函數(shù)的增長速度穩(wěn)定不變，變量y1隨x的變化符合此規(guī)律.故選C.
4.有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車，其行駛時(shí)間均為x h，行駛的路程分別滿足關(guān)系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，則5 h以后跑在最前面的為(　　)
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
答案：D
解析：由于4個(gè)函數(shù)均為增函數(shù)，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，結(jié)合指數(shù)增長越來越快可知，5 h以后丁車在最前面.故選D.
5.下面對函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝(與h(x)＝－在區(qū)間(0，＋∞)上的遞減情況說法正確的是(　　)
A.f(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度比較平穩(wěn)
B.f(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度越來越快
C.f(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度比較平穩(wěn)
D.f(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越快
答案：C
解析：觀察函數(shù)f(x)＝x、g(x)＝()x、h(x)＝－在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象如圖所示.函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(0，1)上遞減較快，但遞減速度逐漸變慢；函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上遞減較慢，且越來越慢.同樣，函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上遞減較慢，且遞減速度越來越慢.函數(shù)h(x)的圖象遞減速度比較平穩(wěn).故選C.
6.(多選題)已知函數(shù)y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是(　　)
A.在上，隨著x的逐漸增大，y1的增長速度越來越快于y2
B.在上，隨著x的逐漸增大，y2的增長速度越來越快于y1
C.當(dāng)x∈時(shí)，y1的增長速度一直快于y3
D.當(dāng)x∈時(shí)，y2的增長速度有時(shí)快于y1
答案：BD
解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1＝x2，y2＝2x，y3＝x的圖象，如圖所示.對于A、B，在上，隨著x的逐漸增大，y2的增長速度越來越快于y1，故A錯(cuò)誤，B正確；對于C，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y1的增長速度不是一直快于y3，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y2的增長速度有時(shí)快于y1，故D正確.故選BD.
7.(開放題)下列選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，最為有前途的生意對應(yīng)的函數(shù)是　　　　.
①y＝10×1.05x，②y＝20＋x1.5，③y＝30＋lg(x－1)，④y＝50.
答案：①
解析：由于指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，其增長速度隨著時(shí)間的推移是越來越快，所以y＝10×1.05x對應(yīng)的是最為有前途的生意.
8.當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，試探究3x，ln x，x的增長差異，用“＞”把它們的大小關(guān)系連接起來為　　　　　　　　　.
答案：3x＞x＞ln x
解析：令y1＝3x，y2＝x，y3＝ln x，易知三個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，所以，當(dāng)x∈時(shí)，3＜3x＜3e，1＜＜x＜3，0＜ln x＜1，故3x＞3＞x＞1＞ln x.
9.已知A，B，C三個(gè)物體同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動，其路程y關(guān)于時(shí)間x(x＞0)的函數(shù)關(guān)系式分別為yA＝2x－1，yB＝log2(x＋1)，yC＝，則下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是　　　.
①當(dāng)x＞1時(shí)，A總走在最前面；
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，C總走在最前面；
③當(dāng)x＞1時(shí)，B總走在C的前面.
答案：①②
解析：對于①，指數(shù)函數(shù)的變化是先慢后快，當(dāng)x＝1時(shí)，yA＝y(tǒng)B＝y(tǒng)C＝1，所以當(dāng)x＞1時(shí)，A總走在最前面，判斷正確；對于②，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝2x－1，y＝log2(x＋1)，y＝的簡圖，由圖可得當(dāng)0＜x＜1時(shí)，2x－1＜log2(x＋1)＜，故0＜x＜1時(shí)，C總走在最前面，判斷正確；對于③，當(dāng)x＝63時(shí)，yB＝log2(63＋1)＝6，yC＝＞＝6，故yB＜yC，即C走在B的前面，判斷錯(cuò)誤.故答案為：①②.
10.(10分)已知函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3，設(shè)兩個(gè)函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并說明理由.
解：依題意知，x1和x2是使兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值.
當(dāng)x＜x1時(shí)，2x＞x3，即f(x)＞g(x)；
當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＜g(x)；
當(dāng)x＞x2時(shí)，f(x)＞g(x).
因?yàn)閒(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，
所以x1∈[1，2]，即a＝1.
又因?yàn)閒(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)＜g(8)，
f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，f(9)＜g(9)，
f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，f(10)＞g(10)，
所以x2∈[9，10]，即b＝9.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：其中隨著x的增大，增長速度越來越快的變量是(　　)
x 1 2 3 4 5 6 7
y1 1 2 3 4 5 6 7
y2 3 3 3 3 3 3 3
y3 0 1 1.6 2 2.3 2.6 28
y4 1 4 16 64 256 1 024 4 096
A.y1 B.y2
C.y3 D.y4
答案：D
解析：觀察數(shù)表知，隨著x的增大，y1的值勻速增長；y2值恒為定值；y3的值逐漸增大，增長速度時(shí)快時(shí)慢，隨著x的增大，y4的值越來越大，增長速度越來越快，所以隨著x的增大，增長速度越來越快的變量是y4.故選D.
12.(多選題)假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報(bào)如圖所示.橫軸為投資時(shí)間，縱軸為每天的回報(bào)，根據(jù)以上信息，若使回報(bào)最多，則下列說法中正確的是(　　)
A.投資3天以內(nèi)(含3天)，采用方案一
B.投資4天，不采用方案三
C.投資6天，采用方案一
D.投資12天，采用方案二
答案：ABC
解析：若投資3天以內(nèi)(含3天)，由圖易知方案一每天的回報(bào)最多，故采用方案一；若投資4天，方案三回報(bào)最少，故不采用；若投資6天，方案一的回報(bào)約為40×6＝240(元)，方案二的回報(bào)約為10＋20＋…＋60＝210(元)，故采用方案一；若投資12天，易知采用方案三回報(bào)最多.故選ABC.
13.已知函數(shù)f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa(a＞0，且a≠1)，給出下列結(jié)論：
①當(dāng)a＞1時(shí)， x∈(0，＋∞)，函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方；
② x0∈(0，＋∞)，當(dāng)x＞x0時(shí)，恒有h(x)＞g(x)；
③ a∈(0，1)，方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解.
其中正確結(jié)論的序號是　　　　.
答案：②③
解析：對于①，取a＝＞e0＝1，則f(x)＝，f(e)＝＝e，g(x)＝lox，g(e)＝loe＝eln e＝e，此時(shí)f＝g，不滿足函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方，故①錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在x∈(1，＋∞)上，g(x)＝logax的圖象在x軸下方，h(x)＝xa的圖象在x軸上方，此時(shí)滿足條件；當(dāng)a＞1時(shí)，對數(shù)函數(shù)g(x)＝logax和冪函數(shù)h(x)＝xa，在區(qū)間(0，＋∞)上，隨著x的增大，g(x)＝logax增長得越來越慢，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xa，但由于xa的增長快于logax的增長，則總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就會有h(x)＞g(x)成立，故②正確；對于③，0＜a＜1，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的大致圖象，如圖：函數(shù)f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的圖象兩兩都分別有交點(diǎn)，所以方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解，故③正確.所以正確結(jié)論的序號是②③.
14.(10分)設(shè)y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x.令x1＝2n，x2＝2n＋1.
(1)請分別化簡下列各式：①log2x2－log2x1；②－；③－；
(2)結(jié)合(1)中的化簡結(jié)果，談?wù)勀銓?shù)函數(shù)y1、冪函數(shù)y2、指數(shù)函數(shù)y3變化的看法.
解：(1)①將x1＝2n，x2＝2n＋1代入可得log2x2－log2x1＝log22n＋1－log22n＝n＋1－n＝1；
②將x1＝2n，x2＝2n＋1代入可得－＝－＝－22n＝4×22n－22n＝3·22n＝3·4n；
③將x1＝2n，x2＝2n＋1代入可得－＝－＝－.
(2)結(jié)合(1)中的化簡結(jié)果可知，
對數(shù)函數(shù)y1、冪函數(shù)y2、指數(shù)函數(shù)y3都會隨著x的增大而增大，但是它們的增長速度不同，
當(dāng)自變量x的增量相同時(shí)可知，對數(shù)函數(shù)y1的增長速度越來越慢，冪函數(shù)y2、指數(shù)函數(shù)y3的增長速度越來越快，且y3的增長速度大于y2.
15.(5分)(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.函數(shù)y＝lox減小的速度越來越慢
B.在指數(shù)函數(shù)y＝ax中，當(dāng)x＞0時(shí)，底數(shù)a越大，其增長速度越快
C.不存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x＞m時(shí)，1.1x＞x100
D.當(dāng)a＞1，k＞0時(shí)，在區(qū)間內(nèi)，對任意的x，總有l(wèi)ogax＜kx＜ax成立
答案：AB
解析：對于A，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)y＝lox減小的速度越來越慢，故A正確；對于B，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，指數(shù)函數(shù)y＝ax中，當(dāng)x＞0時(shí)，底數(shù)a越大，其增長速度越快，故B正確；對于C，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，隨x的增大，y＝1.1x的增長速度是非常快的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過冪函數(shù)y＝x100的增長速度，因此一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x＞m時(shí)，1.1x＞x100，故C不正確；對于D，取a＝2，k＝4，由圖知，在區(qū)間內(nèi)，對任意的x，logax＜kx＜ax不成立，故D不正確.故選AB.
16.(15分)1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.科學(xué)家在研究了各行星離太陽的距離(單位：AU，AU是天文學(xué)中計(jì)量天體之間距離的一種單位)的排列規(guī)律后，預(yù)測在火星和木星之間應(yīng)該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星(后被命名為谷神星)存在，并按離太陽的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：
行星 編號(x) 1 (金星) 2 (地球) 3 (火星) 4 (　　) 5 (木星) 6 (土星)
離太陽的 距離(y) 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01
(1)為了描述行星離太陽的距離y與行星編號x之間的關(guān)系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的一種函數(shù)模型(直接給出結(jié)論)；
①y＝ax＋b；②y＝a×2x＋b；③y＝alog2x＋b.
(2)根據(jù)你的選擇，依表中前三組數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷奈呛锨闆r；(誤差小于0.2的為吻合)
(3)請用你求得的模型，計(jì)算谷神星離太陽的距離.
解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示：
根據(jù)圖象可知，模型②符合題意.
(2)將，，分別代入y＝a×2x＋b，
得解得a＝0.15，b＝0.4，
所以y＝0.15×2x＋0.4(x∈N＋).
當(dāng)x＝5時(shí)，y＝0.15×25＋0.4＝5.2，誤差5.21－5.2＝0.01＜0.2，吻合；
當(dāng)x＝6時(shí)，y＝0.15×26＋0.4＝10，誤差10.01－10＝0.01＜0.2，吻合.
所以模型與數(shù)據(jù)吻合.
(3)當(dāng)x＝4時(shí)，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星離太陽的距離為2.8 AU.
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§4　指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較
　
第四章　對數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.　
2.理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等增長含義，提升直觀想象的核心素養(yǎng).　
3.在實(shí)際情境中，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　函數(shù)模型的增長差異
　　觀察函數(shù)y＝x，y＝2x，y＝log2x在區(qū)間(0，＋∞)上的
圖象，思考以下兩個(gè)問題：
問題1.三個(gè)函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象有什么特點(diǎn)？
提示：三個(gè)函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象都是上升的，
即單調(diào)遞增.
問題2.當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，三個(gè)函數(shù)中哪個(gè)函數(shù)的增長速度最快？哪個(gè)最慢？
提示：三個(gè)函數(shù)的增長速度差異很大，其中y＝2x增長速度最快，y＝log2x增長速度最慢.
問題導(dǎo)思
1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象的特征
新知構(gòu)建
　　函數(shù)
特征　　 y＝ax
(a＞1) y＝logbx
(b＞1) y＝xc
(x＞0，c＞0)
在(0，＋∞)
上的增減性 ________ ________ ________
增長速度 __________ 越來越慢 相對平穩(wěn)
圖象的變化 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與_____“平行” 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與_____“平行” 在(0，＋∞)上，隨x的增大，圖象平穩(wěn)上升
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
越來越快
y軸
x軸
2.y＝ax(a＞1)，y＝logbx(b＞1)，y＝xc(x＞0，c＞0)不同增長情況比較
隨著自變量x的增大，y＝ax的函數(shù)值增長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xc的函數(shù)值增長；而y＝xc的函數(shù)值增長又遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝logbx的函數(shù)值增長，即盡管它們在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，但增長速度不在一個(gè)檔次上，在(0，＋∞)上總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，_________________.
logbx＜xc＜ax
3.三種函數(shù)的增長趨勢
當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，并且當(dāng)a______時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快.
當(dāng)b＞1時(shí)，對數(shù)函數(shù)y＝logbx是增函數(shù)，并且當(dāng)b______時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快.
當(dāng)x＞0，c＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xc是增函數(shù)，并且當(dāng)x＞1時(shí)，c______其函數(shù)值的增長就越快.
當(dāng)?shù)讛?shù)a＞1時(shí)，由于指數(shù)函數(shù)y＝ax的值增長非常快，人們稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸”.
越大
越小
越大
微提醒
(1)當(dāng)描述增長速度變化很快時(shí)，常常選用指數(shù)函數(shù)模型. (2)當(dāng)要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長很大時(shí)，常常選用對數(shù)函數(shù)模型.
√
典例
1
比較一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快.故選A.
(2)(多選題)根據(jù)三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是
A.f(x)的增長速度始終不變 B.f(x)的增長速度越來越快
C.g(x)的增長速度越來越快 D.h(x)的增長速度越來越慢
√
√
√
由下圖可知A、C、D正確.故選ACD.
常見的函數(shù)模型及其增長特點(diǎn)
1.指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a＞1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇加快，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.
2.對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a＞1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩.
3.冪函數(shù)模型：冪函數(shù)y＝xn(n＞0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.
規(guī)律方法
√

(2)(多選題)三個(gè)變量y1，y2，y3隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：
則下列說法合理的是
A.y1關(guān)于x呈指數(shù)增長 B.y2關(guān)于x呈指數(shù)增長
C.y3關(guān)于x呈直線上升 D.y2的增長速度最快
√
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
√
√
y1隨x增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，…，增長的速度相對緩慢，不是指數(shù)增長，故A錯(cuò)誤；y2隨x增大而增大，增加量依次是85，1530，27 540，495 720，…，增長的速度越來越快，呈指數(shù)增長，且增長速度最快，故B，D正確；y3隨x增大而增大，增加量依次是25，25，25，…，呈均勻增加狀態(tài)，呈直線上升，故C正確.故選BCD.
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
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任務(wù)二　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型的增長比較
函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；
解：C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.
典例
2
(2)結(jié)合函數(shù)圖象，比較f(8)，g(8)，f(2 025)，g(2 025)的大小.
解：因?yàn)間(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，
g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，
f(10)＞g(10).
所以1＜x1＜2，9＜x2＜10.
所以x1＜8＜x2＜2 025.
從圖象上知，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＜g(x)；
當(dāng)x＞x2時(shí)，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
所以f(2 025)＞g(2 025)＞g(8)＞f(8).
指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長的比較
判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)增長快慢時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).
規(guī)律方法
對點(diǎn)練2.函數(shù)f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示.
(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；
解：C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝
lg x.
(2)以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較.
解：由已知，以x1，x2為分界點(diǎn)，
當(dāng)0＜x＜x1時(shí)，g(x)＞f(x)；
當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＞g(x)；
當(dāng)x＞x2時(shí)，g(x)＞f(x)；
當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x).
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任務(wù)三　函數(shù)增長模型的選取
某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎金不超過利潤的25％.現(xiàn)有三個(gè)獎勵模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？
解：作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(如圖).
觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10，1 000]上，模型y＝0.25x，
y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有
模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5和y＝0.25x的下方，
這說明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎勵時(shí)才符合公司
的要求.
典例
3
不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)
1.線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律.
2.指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇上升的變化規(guī)律.
3.對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度逐漸平緩的變化規(guī)律.
規(guī)律方法
對點(diǎn)練3.為凈化湖水的水質(zhì)，某市環(huán)保局于2024年年底在管轄區(qū)湖水中投入一些水生植物，這些植物在水中的蔓延速度越來越快，2025年經(jīng)兩次實(shí)地測量得到表中的數(shù)據(jù)：
現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)模型y＝kax(k＞0，a＞1)與y＝mx2＋n(m＞0)可供選擇.
(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；
月份x/月 1 2 3 4 5
植物面積y/m2 24 36
月份x/月 1 2 3 4 5
植物面積y/m2 24 36
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課堂小結(jié)
任務(wù)
再現(xiàn) 三種函數(shù)模型的增長差異
方法
提煉 數(shù)形結(jié)合法和轉(zhuǎn)化的思想方法
易錯(cuò)
警示 實(shí)際問題要注意函數(shù)的定義域并作答
隨堂評價(jià)
1.(多選題)當(dāng)a＞1時(shí)，有下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是
A.指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快
B.指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快
C.對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快
D.對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快
√
√
由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，知A，D正確，B，C錯(cuò)誤.故選AD.
2.下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是
A.y＝6x B.y＝log6x
C.y＝x2 D.y＝6x
√
指數(shù)函數(shù)y＝6x先慢后爆炸性增長，對數(shù)函數(shù)y＝log6x增長速度越來越慢，冪函數(shù)y＝x2增長速度越來越快，一次函數(shù)y＝6x勻速增長.故選B.
3.四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向前運(yùn)動，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關(guān)于時(shí)間x(x＞1)的函數(shù)關(guān)系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它們一直運(yùn)動下去，最終在最前面的物體具有的函數(shù)關(guān)系是
A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝2x
C.f3(x)＝log2x D.f4(x)＝2x
√
由增長速度可知，當(dāng)自變量充分大時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值最大.故選D.
4.已知函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝2x，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)與g(x)的大小關(guān)系為__________.
f(x)＞g(x)
在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝2x的圖象，
如圖所示，由于函數(shù)f(x)＝3x的圖象在函數(shù)g(x)＝2x圖象
的上方，則f(x)＞g(x).
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課時(shí)分層評價(jià)
√
當(dāng)x＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長最快，冪函數(shù)其次，對數(shù)函數(shù)最慢，故函數(shù)y＝9×8x的增長速度最快.故選D.
√
f(3)－f(2)＝1.16，f(4)－f(3)＝2.75，f(5)－f(4)＝5.69，f(6)－f(5)＝10.3，通過所給數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大而增大，且增長的速度越來越快，A、C選項(xiàng)函數(shù)增長的速度越來越慢，D選項(xiàng)函數(shù)增長的速度不變，B選項(xiàng)函數(shù)增長的速度越來越快，所以B正確.故選B.
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
3.三個(gè)變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表：
則關(guān)于x分別呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、直線型函數(shù)變化的變量依次為
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
√
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
通過指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、直線型函數(shù)的增長規(guī)律比較可知，對數(shù)型函數(shù)的增長速度越來越慢，變量y3隨x的變化符合此規(guī)律；指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，變量y2隨x的變化符合此規(guī)律；直線型函數(shù)的增長速度穩(wěn)定不變，變量y1隨x的變化符合此規(guī)律.故選C.
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
4.有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車，其行駛時(shí)間均為x h，行駛的路程分別滿足關(guān)系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，則5 h以后跑在最前面的為
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
√
由于4個(gè)函數(shù)均為增函數(shù)，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，結(jié)合指數(shù)增長越來越快可知，5 h以后丁車在最前面.故選D.
√

√
√

7.(開放題)下列選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，最為有前途的生意對應(yīng)的函數(shù)是______.
①y＝10×1.05x，②y＝20＋x1.5，③y＝30＋lg(x－1)，④y＝50.
由于指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，其增長速度隨著時(shí)間的推移是越來越快，所以y＝10×1.05x對應(yīng)的是最為有前途的生意.
①

①②

10.(10分)已知函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3，設(shè)兩個(gè)函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并說明理由.
解：依題意知，x1和x2是使兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值.
當(dāng)x＜x1時(shí)，2x＞x3，即f(x)＞g(x)；
當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＜g(x)；
當(dāng)x＞x2時(shí)，f(x)＞g(x).
因?yàn)閒(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，
所以x1∈[1，2]，即a＝1.
又因?yàn)閒(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)＜g(8)，
f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，f(9)＜g(9)，
f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，f(10)＞g(10)，
所以x2∈[9，10]，即b＝9.
11.四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：其中隨著x的增大，增長速度越來越快的變量是
A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
√
x 1 2 3 4 5 6 7
y1 1 2 3 4 5 6 7
y2 3 3 3 3 3 3 3
y3 0 1 1.6 2 2.3 2.6 28
y4 1 4 16 64 256 1 024 4 096
觀察數(shù)表知，隨著x的增大，y1的值勻速增長；y2值恒為定值；y3的值逐漸增大，增長速度時(shí)快時(shí)慢，隨著x的增大，y4的值越來越大，增長速度越來越快，所以隨著x的增大，增長速度越來越快的變量是y4.故選D.
x 1 2 3 4 5 6 7
y1 1 2 3 4 5 6 7
y2 3 3 3 3 3 3 3
y3 0 1 1.6 2 2.3 2.6 28
y4 1 4 16 64 256 1 024 4 096
12.(多選題)假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報(bào)如圖所示.橫軸為投資時(shí)間，縱軸為每天的回報(bào)，根據(jù)以上信息，若使回報(bào)最多，則下列說法中正確的是
A.投資3天以內(nèi)(含3天)，采用方案一
B.投資4天，不采用方案三
C.投資6天，采用方案一
D.投資12天，采用方案二
√
√
√
若投資3天以內(nèi)(含3天)，由圖易知方案一每天的回
報(bào)最多，故采用方案一；若投資4天，方案三回報(bào)
最少，故不采用；若投資6天，方案一的回報(bào)約為
40×6＝240(元)，方案二的回報(bào)約為10＋20＋…＋
60＝210(元)，故采用方案一；若投資12天，易知采用方案三回報(bào)最多.故選ABC.
13.已知函數(shù)f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa(a＞0，且a≠1)，給出下列結(jié)論：
①當(dāng)a＞1時(shí)， x∈(0，＋∞)，函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方；
② x0∈(0，＋∞)，當(dāng)x＞x0時(shí)，恒有h(x)＞g(x)；
③ a∈(0，1)，方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解.
其中正確結(jié)論的序號是__________.
②③

軸下方，h(x)＝xa的圖象在x軸上方，此時(shí)滿足條件；當(dāng)
a＞1時(shí)，對數(shù)函數(shù)g(x)＝logax和冪函數(shù)h(x)＝xa，在區(qū)間
(0，＋∞)上，隨著x的增大，g(x)＝logax增長得越來越慢，
盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xa，但由于
xa的增長快于logax的增長，則總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就會有h(x)＞g(x)成立，故②正確；對于③，0＜a＜1，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的大致圖象，如圖：函數(shù)f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的圖象兩兩都分別有交點(diǎn)，所以方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解，故③正確.所以正確結(jié)論的序號是②③.
(2)結(jié)合(1)中的化簡結(jié)果，談?wù)勀銓?shù)函數(shù)y1、冪函數(shù)y2、指數(shù)函數(shù)y3變化的看法.
解：結(jié)合(1)中的化簡結(jié)果可知，
對數(shù)函數(shù)y1、冪函數(shù)y2、指數(shù)函數(shù)y3都會隨著x的增大而增大，但是它們的增長速度不同，
當(dāng)自變量x的增量相同時(shí)可知，對數(shù)函數(shù)y1的增長速度越來越慢，冪函數(shù)y2、指數(shù)函數(shù)y3的增長速度越來越快，且y3的增長速度大于y2.
√
√

16.(15分)1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.科學(xué)家在研究了各行星離太陽的距離(單位：AU，AU是天文學(xué)中計(jì)量天體之間距離的一種單位)的排列規(guī)律后，預(yù)測在火星和木星之間應(yīng)該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星(后被命名為谷神星)存在，并按離太陽的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：
行星編號(x) 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星)
離太陽的距離(y) 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01
(1)為了描述行星離太陽的距離y與行星編號x之間的關(guān)系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的一種函數(shù)模型(直接給出結(jié)論)；
①y＝ax＋b；②y＝a×2x＋b；③y＝alog2x＋b.
解：散點(diǎn)圖如圖所示：
根據(jù)圖象可知，模型②符合題意.
(3)請用你求得的模型，計(jì)算谷神星離太陽的距離.
解：當(dāng)x＝4時(shí)，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星離太陽的距離為2.8 AU.
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