資源簡介

§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函數性質判定方程解的存在性
學習目標 1.結合學過的函數圖象，了解函數的零點與方程的解的關系，培養數學抽象的核心素養.　2.結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理.　3.會借助函數零點存在定理判斷函數的零點所在的大致區間，提升數學運算的核心素養.　4.能借助函數單調性及圖象判斷零點個數，提升數學運算、直觀想象的核心素養.
任務一　函數的零點
問題1.觀察下列三組方程與函數：
方程 函數
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
利用函數圖象探究方程的根和函數圖象與x軸的交點之間的關系.
提示：方程x2－2x－3＝0的根為－1，3，函數y＝x2－2x－3的圖象與x軸交于點(－1，0)，(3，0)；
方程x2－2x＋1＝0有兩個相等的實數根，為1，函數y＝x2－2x＋1的圖象與x軸有唯一交點(1，0)；
方程x2－2x＋3＝0沒有實數根，函數y＝x2－2x＋3的圖象與x軸無交點.
問題2.問題1中的方程的根是函數圖象與x軸交點的坐標嗎？
提示：不是，根不是點，根是函數圖象與x軸交點的橫坐標.
1.定義：使得f(x0)＝0的數x0稱為方程f(x)＝0的解，也稱為函數f(x)的零點.
2.函數的零點、函數的圖象與x軸的交點、對應方程的解的關系：
[微思考]　函數的零點是一個點嗎？
提示：不是，函數的零點是一個使f(x)＝0的實數x，也是函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.
(1)函數y＝x2＋3x＋2的零點是(　　)
A.(1，0)，(2，0) B.1，2
C.(－1，0)，(－2，0) D.－1，－2
(2)已知函數f(x)＝則函數f(x)的所有零點的和為　　　　.
答案：(1)D　(2)－
解析：(1)令y＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1，x＝－2，由零點定義可得函數y＝x2＋3x＋2的零點是－1，－2.故選D.
(2)當x≥－4時，由f(x)＝0可得x2－2｜x｜－3＝0，所以(｜x｜－3)(｜x｜＋1)＝0，所以｜x｜＝3，故x＝±3，當x＜－4時，由f(x)＝0可得2x＋13＝0，故x＝－，則f(x)的零點有－，－3，3，則所有零點的和為－.
求函數零點的方法
1.代數法：求方程f(x)＝0的實數根，其實數根即為函數f(x)的零點；若方程f(x)＝0無實數根，則函數f(x)不存在零點.
2.幾何法：與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點.
對點練1.(1)下列圖象表示的函數中沒有零點的是(　　)
(2)已知函數f(x)＝則函數f(x)的零點為(　　)
A.，0 B.－2，0
C. D.0
答案：(1)A　(2)D
解析：(1)觀察圖象可知只有A選項中的圖象與x軸沒有交點，其他B、C、D選項中的圖象與x軸有交點，這意味著只有A選項中的函數沒有零點.故選A.
(2)當x≤1時，令2x－1＝0，得x＝0.當x＞1時，令1＋log2x＝0，得x＝，此時無解.綜上所述，函數的零點為0.故選D.
任務二　函數零點存在定理
問題3.給出下列四個函數圖象，根據圖象分析判斷后回答問題：
(1)如果函數f(x)在區間[a，b]上的圖象連續不斷，且f(a)·f(b)＜0，那么f(x)在區間(a，b)內是否一定有零點？有多少個零點？
(2)如果函數f(x)在區間[a，b]上的圖象不連續，但f(a)·f(b)＜0，那么f(x)在區間(a，b)內是否一定有零點？
(3)如果函數f(x)在區間[a，b]上的圖象連續不斷，但f(a)·f(b)＞0，那么f(x)在區間(a，b)內是否一定沒有零點？
提示：(1)一定有，至少有一個.如題圖①②.(2)不一定.如題圖③.(3)不一定.如題圖④.
零點存在定理
條件 函數y＝f(x)在閉區間[a，b]上的圖象是一條連續的曲線，并且在區間端點的函數值一正一負，即f(a)·f(b)＜0
結論 在開區間(a，b)內，函數y＝f(x)至少有一個零點，即在區間(a，b)內相應的方程f(x)＝0至少有一個解
[微思考]
1.函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，f(a)f(b)＜0時，能否判斷函數在區間(a，b)上的零點個數？
提示：只能判斷有無零點，不能判斷零點的個數.
2.函數y＝f(x)在區間(a，b)上有零點，是不是一定有f(a)·f(b)＜0？
提示：不一定，如f(x)＝x2在區間(－1，1)上有零點0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1＞0.
(鏈教材P131例1)(1)(多選題)若函數f(x)的圖象在R上連續不斷，且滿足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，則下列說法錯誤的是(　　)
A.f(x)在區間(0，1)上一定有零點，在區間(1，2)上一定沒有零點
B.f(x)在區間(0，1)上一定沒有零點，在區間(1，2)上一定有零點
C.f(x)在區間(0，1)上一定有零點，在區間(1，2)上可能有零點
D.f(x)在區間(0，1)上可能有零點，在區間(1，2)上一定有零點
(2)若m為函數f(x)＝log2x＋x－2的零點，則m所在區間為(　　)
A. B.(1，2)
C. D.
答案：(1)ABD　(2)B
解析：(1)由題知f(0)f(1)＜0，函數f(x)的圖象在R上連續不斷，所以根據零點存在定理可得，f(x)在區間(0，1)上一定有零點，又f(1)f(2)＞0，因此無法判斷f(x)在區間(1，2)上是否有零點.故選ABD.
(2)由于f(x)＝log2x＋x－2在(0，＋∞)上單調遞增，又f＝log2＋－2＝－＜0，
f(1)＝log21＋1－2＝－1＜0，f(2)＝log22＝1＞0，故f(x)＝log2x＋x－2在(1，2)上有唯一零點，即m∈(1，2).故選B.
確定函數f(x)的零點所在區間的常用方法
1.解方程法：當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區間上.
2.利用零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若f(a)f(b)＜0，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點.
3.數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.
對點練2.(1)已知x0是函數f(x)＝－x＋3的一個零點，則x0∈(　　)
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
(2)根據表格中的數據，可以判斷方程ex－x－2＝0的一個根所在的區間是(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
答案：(1)C　(2)C
解析：(1)根據題意知函數f(x)＝－x＋3在區間(1，＋∞)上單調遞減，因為f(1)＞f(2)＞f(3)＞0，f(4)＜0，f(x)＝－x＋3在(1，＋∞)上是連續不斷的，所以根據零點存在定理即可得存在x0∈(3，4)，使得f(x0)＝0.故選C.
(2)設f(x)＝ex－x－2，由表格中的數據得，f(－1)＝－0.63＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，f(3)＝15.09＞0，所以f(1)f(2)＜0，又f(x)的圖象是連續不斷的，所以f(x)在(1，2)內有零點.故選C.
任務三　判斷函數零點的個數
判斷下列函數零點的個數：
(1)f(x)＝x2－x＋；
(2)(一題多解)f(x)＝ln x＋x2－3.
解：(1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，
得Δ＝－4×＝－＜0，
所以方程x2－x＋＝0沒有實數根，即f(x)零點的個數為0.
(2)法一：函數對應的方程為ln x＋x2－3＝0，所以原函數零點的個數即為函數y＝ln x與y＝3－x2的圖象交點個數.
在同一直角坐標系下，作出兩函數的圖象(如圖).由圖象知，函數y＝3－x2與y＝ln x的圖象只有一個交點.從而方程ln x＋x2－3＝0只有一個根，即函數y＝ln x＋x2－3有一個零點.
法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的圖象在(1，2)上是不間斷的，
所以f(x)在(1，2)上必有零點，又f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增的，所以零點只有一個.
[變式探究]
(變條件)將本例(2)中的函數改為“f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2”，試判斷零點的個數.
解：法一：因為f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋lg 2－2＞0，
所以由零點存在定理可知函數f(x)在(0，1)上必定存在零點.
又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數，
故函數f(x)有且只有一個零點.
法二：在同一坐標系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖：
由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x的圖象有且只有一個交點，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點.
判斷函數零點個數的常用方法
1.利用方程的解，轉化為解方程，有幾個不同的實數解就有幾個零點.
2.畫出函數y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數，從而判定零點的個數.
3.結合單調性，利用函數零點存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)內零點的個數.
4.轉化成兩個函數圖象的交點個數問題.
對點練3.(1)已知定義在R上的函數f(x)的圖象是連續不斷的，且有如下部分對應值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.1 15.6 －3.9 10.9 －52.5 －232.1
判斷函數的零點個數至少有(　　)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
(2)設函數f(x)＝則f(x)的零點個數為(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：(1)C　(2)D
解析：(1)在R上的函數f(x)的圖象是連續不斷的，由數值表知f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，因此函數f(x)在區間(2，3)，(3，4)，(4，5)上分別至少有1個零點，所以函數f(x)的零點個數至少為3個.故選C.
(2)當x＞0時，令｜log2x｜－1＝0，所以x＝2或x＝，f(x)有2個零點；當x≤0時，令2x＋x＝0，即2x＝－x，結合函數y＝2x，y＝－x的圖象可知二者在x≤0時有1個交點，即此時f(x)有1個零點.綜上可知，f(x)的零點個數為3.故選D.
任務四　根據函數零點的個數求參數的取值范圍
(1)已知f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－a有兩個零點，則實數a的取值范圍為　　　　.
(2)若函數f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數a的所有可能取值構成的集合為　　　　.
答案：(1)　(2)
解析：(1)令g(x)＝f(x)－a＝0，則f(x)＝a，因為g(x)有兩個零點，所以y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個交點，作出y＝f(x)的圖象，如圖所示.由圖可得實數a的取值范圍為[0，＋∞).
(2)當a＝0時，函數f(x)＝－x－1為一次函數，則－1是函數的零點，即函數僅有一個零點；當a≠0時，函數f(x)＝ax2－x－1為二次函數，由f(x)有且僅有一個零點，可得一元二次方程ax2－x－1＝0有兩個相等實根，所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.綜上，實數a的所有可能取值構成的集合為.
由函數零點(方程根)的情況求參數范圍的常用方法
1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍.
2.分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決.
3.數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
對點練4.(1)已知函數f(x)＝方程f(x)＝k有3個實數解，則實數k的取值范圍是(　　)
A.－4＜k≤－3 B.－4＜k＜－3
C.－3＜k＜0 D.k＞0
(2)若函數f(x)＝｜ex－1｜－b有一個零點，則實數b的取值集合是　　　　　.
答案：(1)A　(2){0}∪
解析：(1)f(x)的圖象如下圖所示，因為方程f(x)＝k有3個實數解，所以y＝f(x)與y＝k的圖象有3個不同的交點，由圖可知－4＜k≤－3.故選A.
(2)函數f(x)＝｜ex－1｜－b有一個零點，即y＝｜ex－1｜與y＝b的圖象有1個交點，作出y＝｜ex－1｜與y＝b的大致圖象如下圖所示，由圖可知實數b的取值集合是{0}∪.
任務 再現 1.函數零點的定義.2.零點存在定理及其應用
方法 提煉 轉化法、解方程法、數形結合法、零點存在定理法
易錯 警示 零點不是點，而是數，是圖象與x軸交點的橫坐標
1.函數f(x)＝log2x的零點是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：A
解析：令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1，故零點為1.故選A.
2.方程lg x－4＝－x的解所在的區間為(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案：D
解析：構造函數f(x)＝lg x＋x－4，因為f(3)＝lg 3－1＜0，f(4)＝lg 4＞0，故f(3)f(4)＜0，所以函數f(x)在(3，4)內有零點，因為函數f(x)是增函數，所以函數有唯一零點，故原方程的解所在區間為(3，4).故選D.
3.二次函數y＝x2＋x＋m有零點的充要條件是(　　)
A.m≥ B.m≤
C.m＞ D.m＜
答案：B
解析：由二次函數y＝x2＋x＋m有零點，即方程x2＋x＋m＝0在R上有實數根，則滿足Δ＝1－4m≥0，解得m≤，即二次函數y＝x2＋x＋m有零點的充要條件為m≤.故選B.
4.已知函數y＝f(x)在區間[0，5]上的圖象是一段連續的曲線，且有如下的對應值表：
x 0 1 2 3 4 5
y －1 2.2 4.6 －3.16 －1 8.8
設函數y＝f(x)在區間[0，5]上零點的個數為n，則n的最小值為　　　　.
答案：3
解析：由題意得f(0)·f(1)＜0，f(2)·f(3)＜0，f(4)·f(5)＜0，故由零點存在定理知函數y＝f(x)在區間[0，5]上零點的個數至少為3，故n的最小值為3.
課時分層評價33　利用函數性質判定方程解的存在性
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.二次函數y＝2x2＋x－1的零點是(　　)
A.，－1 B.－，1
C.，(1，0) D.，(－1，0)
答案：A
解析：二次函數y＝2x2＋x－1的零點就是2x2＋x－1＝0的解，解得x＝，或x＝－1.故選A.
2.函數f(x)＝x3＋2x－50的零點所在區間為(　　)
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
答案：C
解析：對于f(x)＝x3＋2x－50，則f(x)為R上的增函數，而f(1)＝－47，f(2)＝－38，f(3)＝－15，f(4)＝30，f(5)＝107，由于f(3)f(4)＜0，根據零點存在定理，知函數f(x)＝x3＋2x－50的零點所在區間為(3，4).故選C.
3.下列函數不存在零點的是(　　)
A.y＝x－ B.y＝
C.y＝logax2(a＞0且a≠1) D.y＝
答案：D
解析：令y＝0，得選項A和C中的函數的零點均為1和－1；選項B中函數的零點為－和1；只有選項D中函數無零點.故選D.
4.函數f(x)＝log2x＋x2＋m在區間(2，4)上存在零點，則實數m的取值范圍是(　　)
A.(－∞，－18) B.(5，＋∞)
C.(5，18) D.(－18，－5)
答案：D
解析：函數f(x)＝log2x＋x2＋m在區間(2，4)上單調遞增，且f(x)在區間(2，4)上存在零點，所以f(2)＜0，f(4)＞0，所以m＋5＜0，18＋m＞0，所以－18＜m＜－5.故選D.
5.已知函數f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點分別為a，b，c，則(　　)
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
答案：D
解析：由函數零點可知：2x＋x＝0 2x＝－x，log2x＋x＝0 log2x＝－x，x3＋x＝0 x3＝－x，利用數形結合，構造三個函數y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x3，它們與y＝－x的交點橫坐標就是對應的三個零點a，b，c.由圖可知b＞c＞a.故選D.
6.(多選題)若函數f(x)的圖象在R上連續不斷，且滿足f(0)＜0，f(2)＞0，f(3)＞0，則下列說法正確的有(　　)
A.f(x)在區間(0，2)上一定有零點
B.f(x)在區間(0，2)上一定沒有零點
C.f(x)在區間(2，3)上可能有零點
D.f(x)在區間(2，3)上一定有零點
答案：AC
解析：由題知f(0)·f(2)＜0，所以根據函數零點存在定理可得f(x)在區間(0，2)上一定有零點，又f(2)·f(3)＞0，因此無法判斷f(x)在區間(2，3)上是否有零點.故選AC.
7.已知函數f(x)＝＋a的零點為1，則實數a的值為　　　　.
答案：－
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
8.函數y＝2｜x｜－x－2的零點個數為　　　　.
答案：2
解析：令y＝2｜x｜－x－2＝0，即2｜x｜＝x＋2，在同一平面直角坐標系中畫出y＝2｜x｜與y＝x＋2的圖象如圖所示.由圖可知y＝2｜x｜與y＝x＋2有且僅有2個交點，即方程2｜x｜＝x＋2有且僅有2個不同實數解，所以函數y＝2｜x｜－x－2有2個零點.
9.(雙空題)已知函數f(x)＝3x＋x－5的零點x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N＋，則a＝　　　　，b＝　　　　.
答案：1　2
解析：因為函數f(x)＝3x＋x－5，所以f(1)＝31＋1－5＝－1＜0，f(2)＝32＋2－5＝6＞0，所以f(1)f(2)＜0，且函數f(x)在R上是增函數，所以f(x)的零點x0在區間[1，2]內.所以a＝1，b＝2.
10.(10分)已知函數f(x)＝
(1)求函數f(x)的零點；
(2)g(x)＝f(x)－a，若函數g(x)有四個零點，求實數a的取值范圍.
解：(1)函數f(x)＝
當x＞0時，由｜ln x｜＝0，解得x＝1，
當x≤0時，由x2＋4x＋1＝0，解得x＝－2＋或x＝－2－，
可得函數的零點為1，－2＋或－2－.
(2)g(x)＝f(x)－a，若函數g(x)有四個零點，
即f(x)＝a有四個不等實根，畫出函數y＝f(x)的圖象，
由圖象可得當0＜a≤1時，y＝f(x)的圖象和直線y＝a有四個交點，
故函數g(x)有四個零點時，實數a的取值范圍是(0，1].
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，a＜b，α＜β，并且α，β是函數f(x)的兩個零點，則實數a，b，α，β的大小關系是(　　)
A.a＜α＜b＜β B.a＜α＜β＜b
C.α＜a＜b＜β D.α＜a＜β＜b
答案：C
解析：因為α，β是函數f(x)的兩個零點，所以f(α)＝f(β)＝0.又f(a)＝f(b)＝－2＜0，結合二次函數的圖象(如圖所示)可知α＜a＜b＜β.故選C.
12.(多選題)設函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－a恰有2個零點，則a的值可能為(　　)
A. B.
C. D.3
答案：AC
解析：令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a.則函數g(x)＝f(x)－a恰有2個零點可轉化為函數y＝f(x)和y＝a有2個交點，作出f(x)的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當a∈(1，3)時，g(x)＝f(x)－a恰有2個零點.故選AC.
13.(開放題)請寫出一個同時滿足以下三個條件的函數解析式　　　　　　　　.
①圖象在(1，2)上是連續不斷的曲線；②f(1)f(2)＞0；③在(1，2)上至少存在一個零點.
答案：f(x)＝(答案不唯一)
解析：當f(x)＝時，滿足f(1)f(2)＞0，且在(1，2)上有一個零點.
14.(10分)已知函數f(x)＝是奇函數，且g(x)＝f(x)－2的一個零點為1.
(1)求m，n的值及f(x)解析式；
(2) 已知函數h(x)＝ln(x＋1)－kln(x＋1)的一個零點為2，求函數h(x)的其余零點.
解：(1)因為函數g(x)的一個零點是1，
所以g(1)＝0 f(1)＝2，
f(x)是奇函數，所以f(－1)＝－2，
所以
f(x)＝＝x＋，
定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞).
x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函數，滿足題意，
故m＝1，n＝0，f(x)＝x＋.
(2)h(x)＝ln(x＋1)，因為函數h(x)的一個零點為2，所以－k＝0，解得k＝1.
所以h(x)＝ln(x＋1)，
令h(x)＝0，得－1＝0或ln(x＋1)＝0，
解得x＝0，2，4.
所以函數g(x)的其余零點為0，4.
15.(5分)函數f(x)＝至多有　　　　個零點.
答案：1
解析：當x＞a，令x2－a＝0，當a＞0時，解得x＝±，但x＞a，所以只有x＝可能是零點，＞a.當x≤a，令x－2a＝0，解得x＝2a，又x≤a，所以只有2a≤a，即a≤0時，x＝2a可能是零點.綜上，當a＞0，至多1個零點；當a≤0，至多1個零點.即函數f(x)＝至多有1個零點.
16.(15分)(新定義)對于函數f(x)，若f(x)＝x，則稱實數x為f(x)的“不動點”，若f(f(x))＝x，則稱實數x為f(x)的“穩定點”，函數f(x)的“不動點”和“穩定點”組成的集合分別記為A和B，即A＝{x｜f(x)＝x}，B＝{x｜f(f(x))＝x}.
(1)對于函數f(x)＝2x－1，分別求出集合A和B；
(2)設f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1，3}，求集合B.
解：(1)由f(x)的“不動點”和“穩定點”的集合為A＝{x｜f(x)＝x}，B＝{x｜f(f(x))＝x}，
令f(x)＝x，可得2x－1＝x，解得x＝1；
令f(f(x))＝x，可得2(2x－1)－1＝x，解得x＝1，
所以集合A＝{1}，B＝{1}.
(2)由函數f(x)＝x2＋ax＋b，
因為A＝{－1，3}，可得
即
解得a＝－1，b＝－3，
所以f(x)＝x2－x－3，
可得f(f(x))＝f(x2－x－3)＝(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，
整理得(x2－x－3)2－x2＝0，
即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，
所以(x－)(x＋)(x＋1)(x－3)＝0，解得x＝±或x＝－1或x＝3，
所以集合B＝{－，－1，3，}.
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1.1　利用函數性質判定方程解的存在性
　
第五章　§1　方程解的存在性及方程的近似解
學習目標
1.結合學過的函數圖象，了解函數的零點與方程的解的關系，培養數學抽象的核心素養.　
2.結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理.
3.會借助函數零點存在定理判斷函數的零點所在的大致區間，提升數學運算的核心素養.
4.能借助函數單調性及圖象判斷零點個數，提升數學運算、直觀想象的核心素養.
任務一　函數的零點
問題1.觀察下列三組方程與函數：
問題導思
方程 函數
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
利用函數圖象探究方程的根和函數圖象與x軸的交點之間的關系.
提示：方程x2－2x－3＝0的根為－1，3，函數y＝x2－2x－3的圖象與x軸交于點(－1，0)，(3，0)；
方程x2－2x＋1＝0有兩個相等的實數根，為1，函數y＝x2－2x＋1的圖象與x軸有唯一交點(1，0)；
方程x2－2x＋3＝0沒有實數根，函數y＝x2－2x＋3的圖象與x軸無交點.
問題2.問題1中的方程的根是函數圖象與x軸交點的坐標嗎？
提示：不是，根不是點，根是函數圖象與x軸交點的橫坐標.
1.定義：使得__________的數x0稱為方程f(x)＝0的解，也稱為函數f(x)的______.
2.函數的零點、函數的圖象與x軸的交點、對應方程的解的關系：
新知構建
f(x0)＝0
零點
x軸
f(x)＝0
函數的零點是一個點嗎？
提示：不是，函數的零點是一個使f(x)＝0的實數x，也是函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.
微思考
(1)函數y＝x2＋3x＋2的零點是
A.(1，0)，(2，0) B.1，2
C.(－1，0)，(－2，0) D.－1，－2
√
典例
1
令y＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1，x＝－2，由零點定義可得函數y＝x2＋3x＋2的零點是－1，－2.故選D.

求函數零點的方法
1.代數法：求方程f(x)＝0的實數根，其實數根即為函數f(x)的零點；若方程f(x)＝0無實數根，則函數f(x)不存在零點.
2.幾何法：與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點.
規律方法
對點練1.(1)下列圖象表示的函數中沒有零點的是
√
觀察圖象可知只有A選項中的圖象與x軸沒有交點，其他B、C、D選項中的圖象與x軸有交點，這意味著只有A選項中的函數沒有零點.故選A.
√
返回
任務二　函數零點存在定理
問題3.給出下列四個函數圖象，根據圖象分析判斷后回答問題：
(1)如果函數f(x)在區間[a，b]上的圖象連續不斷，且f(a)·f(b)＜0，那么f(x)在區間(a，b)內是否一定有零點？有多少個零點？
提示：一定有，至少有一個.如題圖①②.
問題導思
(2)如果函數f(x)在區間[a，b]上的圖象不連續，但f(a)·f(b)＜0，那么f(x)在區間(a，b)內是否一定有零點？
提示：不一定.如題圖③.
(3)如果函數f(x)在區間[a，b]上的圖象連續不斷，但f(a)·f(b)＞0，那么f(x)在區間(a，b)內是否一定沒有零點？
提示：不一定.如題圖④.
零點存在定理
新知構建
條件 函數y＝f(x)在閉區間[a，b]上的圖象是一條______的曲線，并且在區間端點的函數值一正一負，即_______________
結論 在開區間(a，b)內，函數y＝f(x)____________零點，即在區間(a，b)內相應的方程f(x)＝0至少有一個解
連續
f(a)·f(b)＜0
至少有一個
1.函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，f(a)f(b)＜0時，能否判斷函數在區間(a，b)上的零點個數？
提示：只能判斷有無零點，不能判斷零點的個數.
2.函數y＝f(x)在區間(a，b)上有零點，是不是一定有f(a)·f(b)＜0？
提示：不一定，如f(x)＝x2在區間(－1，1)上有零點0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1＞0.
微思考
(鏈教材P131例1)(1)(多選題)若函數f(x)的圖象在R上連續不斷，且滿足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，則下列說法錯誤的是
A.f(x)在區間(0，1)上一定有零點，在區間(1，2)上一定沒有零點
B.f(x)在區間(0，1)上一定沒有零點，在區間(1，2)上一定有零點
C.f(x)在區間(0，1)上一定有零點，在區間(1，2)上可能有零點
D.f(x)在區間(0，1)上可能有零點，在區間(1，2)上一定有零點
√
典例
2
√
√
由題知f(0)f(1)＜0，函數f(x)的圖象在R上連續不斷，所以根據零點存在定理可得，f(x)在區間(0，1)上一定有零點，又f(1)f(2)＞0，因此無法判斷f(x)在區間(1，2)上是否有零點.故選ABD.
√
確定函數f(x)的零點所在區間的常用方法
1.解方程法：當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區間上.
2.利用零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若f(a)f(b)＜0，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點.
3.數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.
規律方法
√

(2)根據表格中的數據，可以判斷方程ex－x－2＝0的一個根所在的區間是
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
√
設f(x)＝ex－x－2，由表格中的數據得，f(－1)＝－0.63＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，f(3)＝15.09＞0，所以f(1)f(2)＜0，又f(x)的圖象是連續不斷的，所以f(x)在(1，2)內有零點.故選C.
返回
任務三　判斷函數零點的個數
典例
3
(2)(一題多解)f(x)＝ln x＋x2－3.
解：法一：函數對應的方程為ln x＋x2－3＝0，所以原函數零點的個數即為函數y＝ln x與y＝3－x2的圖象交點個數.
在同一直角坐標系下，作出兩函數的圖象(如圖).由
圖象知，函數y＝3－x2與y＝ln x的圖象只有一個交點.
從而方程ln x＋x2－3＝0只有一個根，即函數y＝ln x＋
x2－3有一個零點.
法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的圖象在(1，2)上是不間斷的，
所以f(x)在(1，2)上必有零點，又f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增的，所以零點只有一個.
變式探究
(變條件)將本例(2)中的函數改為“f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2”，試判斷零點的個數.
解：法一：因為f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋lg 2－2＞0，
所以由零點存在定理可知函數f(x)在(0，1)上必定存在零點.
又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數，
故函數f(x)有且只有一個零點.
法二：在同一坐標系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖：
由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x的
圖象有且只有一個交點，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點.
判斷函數零點個數的常用方法
1.利用方程的解，轉化為解方程，有幾個不同的實數解就有幾個零點.
2.畫出函數y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數，從而判定零點的個數.
3.結合單調性，利用函數零點存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)內零點的個數.
4.轉化成兩個函數圖象的交點個數問題.
規律方法
對點練3.(1)已知定義在R上的函數f(x)的圖象是連續不斷的，且有如下部分對應值表：
判斷函數的零點個數至少有
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
√
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.1 15.6 －3.9 10.9 －52.5 －232.1
在R上的函數f(x)的圖象是連續不斷的，由數值表知f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，因此函數f(x)在區間(2，3)，(3，4)，(4，5)上分別至少有1個零點，所以函數f(x)的零點個數至少為3個.故選C.
√
返回
任務四　根據函數零點的個數求參數的取值范圍
典例
4

令g(x)＝f(x)－a＝0，則f(x)＝a，因為g(x)有兩個零點，所
以y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個交點，作出y＝f(x)的圖象，
如圖所示.由圖可得實數a的取值范圍為[0，＋∞).
(2)若函數f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數a的所有可能取值構成的集合為___________.


由函數零點(方程根)的情況求參數范圍的常用方法
1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍.
2.分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以 解決.
3.數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
規律方法
√
f(x)的圖象如下圖所示，因為方程f(x)＝k有3個實數解，
所以y＝f(x)與y＝k的圖象有3個不同的交點，由圖可知
－4＜k≤－3.故選A.
(2)若函數f(x)＝｜ex－1｜－b有一個零點，則實數b的取值集合是________
__________.
{0}∪


返回
課堂小結
任務
再現 1.函數零點的定義.2.零點存在定理及其應用
方法
提煉 轉化法、解方程法、數形結合法、零點存在定理法
易錯
警示 零點不是點，而是數，是圖象與x軸交點的橫坐標
隨堂評價
1.函數f(x)＝log2x的零點是
A.1 B.2
C.3 D.4
√
令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1，故零點為1.故選A.
2.方程lg x－4＝－x的解所在的區間為
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
√
構造函數f(x)＝lg x＋x－4，因為f(3)＝lg 3－1＜0，f(4)＝lg 4＞0，故f(3)f(4)＜0，所以函數f(x)在(3，4)內有零點，因為函數f(x)是增函數，所以函數有唯一零點，故原方程的解所在區間為(3，4).故選D.
√

4.已知函數y＝f(x)在區間[0，5]上的圖象是一段連續的曲線，且有如下的對應值表：
設函數y＝f(x)在區間[0，5]上零點的個數為n，則n的最小值為______.
x 0 1 2 3 4 5
y －1 2.2 4.6 －3.16 －1 8.8
3
由題意得f(0)·f(1)＜0，f(2)·f(3)＜0，f(4)·f(5)＜0，故由零點存在定理知函數y＝f(x)在區間[0，5]上零點的個數至少為3，故n的最小值為3.
返回
課時分層評價
√
2.函數f(x)＝x3＋2x－50的零點所在區間為
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
√
對于f(x)＝x3＋2x－50，則f(x)為R上的增函數，而f(1)＝－47，f(2)＝－38，f(3)＝－15，f(4)＝30，f(5)＝107，由于f(3)f(4)＜0，根據零點存在定理，知函數f(x)＝x3＋2x－50的零點所在區間為(3，4).故選C.
√
4.函數f(x)＝log2x＋x2＋m在區間(2，4)上存在零點，則實數m的取值范 圍是
A.(－∞，－18) B.(5，＋∞)
C.(5，18) D.(－18，－5)
√
函數f(x)＝log2x＋x2＋m在區間(2，4)上單調遞增，且f(x)在區間(2，4)上存在零點，所以f(2)＜0，f(4)＞0，所以m＋5＜0，18＋m＞0，所以－18＜m＜－5.故選D.
5.已知函數f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點分別為a，b，c，則
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
√
由函數零點可知：2x＋x＝0 2x＝－x，log2x＋x＝0 log2x
＝－x，x3＋x＝0 x3＝－x，利用數形結合，構造三個函
數y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x3，它們與y＝－x的交點橫坐標
就是對應的三個零點a，b，c.由圖可知b＞c＞a.故選D.
6.(多選題)若函數f(x)的圖象在R上連續不斷，且滿足f(0)＜0，f(2)＞0，f(3)＞0，則下列說法正確的有
A.f(x)在區間(0，2)上一定有零點
B.f(x)在區間(0，2)上一定沒有零點
C.f(x)在區間(2，3)上可能有零點
D.f(x)在區間(2，3)上一定有零點
√
由題知f(0)·f(2)＜0，所以根據函數零點存在定理可得f(x)在區間(0，2)上一定有零點，又f(2)·f(3)＞0，因此無法判斷f(x)在區間(2，3)上是否有零點.故選AC.
√
8.函數y＝2｜x｜－x－2的零點個數為______.
令y＝2｜x｜－x－2＝0，即2｜x｜＝x＋2，在同一平面直角坐
標系中畫出y＝2｜x｜與y＝x＋2的圖象如圖所示.由圖可知y
＝2｜x｜與y＝x＋2有且僅有2個交點，即方程2｜x｜＝x＋2有
且僅有2個不同實數解，所以函數y＝2｜x｜－x－2有2個零點.
2
9.(雙空題)已知函數f(x)＝3x＋x－5的零點x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N＋，則a＝______，b＝______.
因為函數f(x)＝3x＋x－5，所以f(1)＝31＋1－5＝－1＜0，f(2)＝32＋2－5＝6＞0，所以f(1)f(2)＜0，且函數f(x)在R上是增函數，所以f(x)的零點x0在區間[1，2]內.所以a＝1，b＝2.
1
2
(2)g(x)＝f(x)－a，若函數g(x)有四個零點，求實數a的取值范圍.
解：g(x)＝f(x)－a，若函數g(x)有四個零點，
即f(x)＝a有四個不等實根，畫出函數y＝f(x)的圖象，
由圖象可得當0＜a≤1時，y＝f(x)的圖象和直線y＝a有四個交點，
故函數g(x)有四個零點時，實數a的取值范圍是(0，1].
11.已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，a＜b，α＜β，并且α，β是函數f(x)的兩個零點，則實數a，b，α，β的大小關系是
A.a＜α＜b＜β B.a＜α＜β＜b
C.α＜a＜b＜β D.α＜a＜β＜b
√
因為α，β是函數f(x)的兩個零點，所以f(α)＝f(β)＝0.又f(a)
＝f(b)＝－2＜0，結合二次函數的圖象(如圖所示)可知α＜
a＜b＜β.故選C.
√
√
令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a.則函數g(x)＝f(x)－a恰有
2個零點可轉化為函數y＝f(x)和y＝a有2個交點，作出f(x)
的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當a∈(1，3)時，g(x)
＝f(x)－a恰有2個零點.故選AC.
13.(開放題)請寫出一個同時滿足以下三個條件的函數解析式____________
____________.
①圖象在(1，2)上是連續不斷的曲線；②f(1)f(2)＞0；③在(1，2)上至少存在一個零點.
(答案不唯一)
1

16.(15分)(新定義)對于函數f(x)，若f(x)＝x，則稱實數x為f(x)的“不動點”，若f(f(x))＝x，則稱實數x為f(x)的“穩定點”，函數f(x)的“不動點”和“穩定點”組成的集合分別記為A和B，即A＝{x｜f(x)＝x}，B＝{x｜f(f(x))＝x}.
(1)對于函數f(x)＝2x－1，分別求出集合A和B；
解：由f(x)的“不動點”和“穩定點”的集合為A＝{x｜f(x)＝x}，B＝{x｜f(f(x))＝x}，
令f(x)＝x，可得2x－1＝x，解得x＝1；
令f(f(x))＝x，可得2(2x－1)－1＝x，解得x＝1，
所以集合A＝{1}，B＝{1}.
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