資源簡介

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蘇科版·九年級上冊
1.2.3 一元二次方程的
解法——公式法
第一章
一元二次方程
章節導讀
學 習 目 標
1
2
熟記求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟
根據根的判別式判斷一元二次方程的根的情況
新知探究
思
考
1. 解方程：ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )。
解：∵a ≠ 0，
∴方程兩邊可同時除以a，
x2 + x + = 0，
x2 + x = ，
x2 + 2·x· + = + ，
= ，
∵a ≠ 0，
∴4a2 > 0，
接下來，我們要對的正負性進行判斷
的正負取決于b2 - 4ac的正負
新知探究
思
考
② 若b2 - 4ac < 0，則方程無實數根。
① 若b2 - 4ac ≥ 0，則x + = ± = ± = ±，
x = ，∴x1 = ，x2 = ；
前面有“±”，可直接去掉a的絕對值符號
1. 解方程：ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )。
新知探究
思
考
2. 通過上面的解方程，你發現了什么？
解：一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根是由a、b、c確定的，
若b2 - 4ac ≥ 0，則x = ；
若b2 -4ac < 0，則方程無實數根。
新知探究
求根公式：
x = ( b2 - 4ac ≥ 0 )，
叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的求根公式。
公式法的定義：
解一元二次方程時，把各項系數的值直接代入求根公式，
若b2 - 4ac ≥ 0，就可以求得方程的根，
這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
知識要點
典例分析
典例1 解方程：x2 + 3x + 1 = 0。
解：① 確定a、b、c的值：a = 1，b = 3，c = 1，
② 求出b2 - 4ac的值：
b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × 1 = 5 > 0，
③ 套公式：x = = ，
∴x1 = ，x2 = 。
方法技巧
解題關鍵：
嚴格按照步驟計算。
典例分析
典例2 解方程：3x2 = 4x - 1。
解：① 把方程化成一般形式：3x2 - 4x + 1 = 0，
② 確定a、b、c的值：a = 3，b = -4，c = 1，
③ 求出b2 - 4ac的值：b2 - 4ac = ( - 4 )2 - 4 × 3 × 1 = 4 > 0，
④ 套公式：x = = = ，∴x1 = 1，x2 = 。
注意：
不是一般形式，不可以直接確定a、b、c的值
新知探究
用公式法解一元二次方程的一般步驟：
① 把方程化成一般形式 ( 建議二次項系數為正，且方程中無分數 )；
② 確定a、b、c的值 ( 注意符號 )；
③ 求出b2 - 4ac的值；
④ 若b2 - 4ac ≥ 0，則把a、b、c的值代入求根公式；
若b2 - 4ac < 0，則方程無實數根。
求根公式的前提條件：① a ≠ 0；② b2 - 4ac ≥ 0。
知識要點
典例分析
典例3 解方程：-x2 + 2x - 5 = 0。
解：①方程兩邊同時乘以-1：x2 - 2x + 5 = 0，
② 確定a、b、c的值：a = 1，b = -2，c = 5，
③ 求出b2 - 4ac的值：b2 - 4ac = ( -2 )2 - 4 × 1 × 5 = 0，
④ 套公式：x = = ，∴x1 = x2 = 。
二次項系數不為正，可先化為正 ：方程兩邊同時乘以-1
典例分析
典例4 解方程：x2 + 3x + 5 = 0。
方程中含有分數，可先去分母 ：方程兩邊同時乘以2
解：① 方程兩邊同時乘以2：x2 + 6x + 10 = 0，
② 確定a、b、c的值：a = 1，b = 6，c = 10，
③ 求出b2 - 4ac的值：b2 - 4ac = 62 - 4 × 1 × 10 = -4 < 0，
∴方程無實數根。
新知探究
探究活動
通過下列表格，對一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情況進行總結。
方程 b2 - 4ac 方程的根
x2 + 3x + 1 = 0 > 0 x1 = ，x2 =
3x2 = 4x - 1 > 0 x1 = 1，x2 =
-x2 + 2x - 5 = 0 = 0 x1 = x2 =
x2 + 3x + 5 = 0 < 0 無實數根
兩個不相等
的實數根
兩個相等
的實數根
無實數根
新知探究
根的判別式：
我們把Δ = b2 - 4ac叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的判別式。
一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情況：
① 當Δ > 0時，方程有兩個不相等的實數根；
② 當Δ = 0時，方程有兩個相等的實數根；
③ 當Δ < 0時，方程無實數根。
知識要點
注意：
兩個相等的實數根不是一個實數根哦！！！
典例分析
典例5 判斷下列一元二次方程的根的情況：
( 1 ) x2 + 2x - 5 = 0； ( 2 ) 2x2 - 5x + 6 = 0；
( 3 ) x2 + 1 = 2x； ( 4 ) x2 + kx + k - 1 = 0。
解：( 1 )∵a = 1，b = 2，c = -5，
∴Δ = b2 - 4ac = 22 - 4 × 1 × ( -5 ) = 24 > 0，
∴方程有兩個不相等的實數根；
( 2 )∵a = 2，b = -5，c = 6，
∴Δ = b2 - 4ac = ( -5 )2- 4 × 2 × 6 = -23 < 0，
∴方程無實數根；
分析：先求出Δ的值，
再根據Δ的值的正負判斷。
典例分析
( 3 ) x2 - 2x + 1 = 0，
∵a = 1，b = -2，c = 1，
∴Δ = b2 - 4ac = ( - 2 )2 - 4 × 1 × 1 = 0，
∴方程有兩個相等的實數根；
( 4 ) ∵a = 1，b = k，c = k - 1，
∴Δ = b2 - 4ac = k2 - 4 × 1 × ( k - 1) = ( k - 2 )2 ≥ 0，
∴方程有兩個實數根。
典例5 判斷下列一元二次方程的根的情況：
( 1 ) x2 + 2x - 5 = 0； ( 2 ) 2x2 - 5x + 6 = 0；
( 3 ) x2 + 1 = 2x； ( 4 ) x2 + kx + k - 1 = 0。
題型探究
【例1】解方程：3x2 - 6x - 2 = 0。
公式法解方程
題型一
解：a = 3，b = -6，c = -2，
Δ = b2 - 4ac = ( -6 )2 - 4 × 3 × ( -2 ) = 60 > 0，
x = = = ，
∴x1 = 1 + ，x2 = 1 - 。
題型探究
【例2】以x = 為根的一元二次方程可能是（　　）
A．x2 - 4x - c = 0 B．x2 + 4x - c = 0
C．x2 - 4x + c = 0 D．x2 + 4x + c = 0
根據求根公式反推一元二次方程
題型二
解：四個選項的a都等于1，不妨設方程為x2 + bx + m = 0，
根據求根公式：x = = ，
∴b = -4，m = -c，
∴方程可能是x2 - 4x - c = 0。
A
題型探究
【例3】已知關于x的方程，x2 - ( k + 1 ) x + k = 0，則下列說法正確的是（　　）
A．不存在k的值，使得方程有兩個相等的實數解
B．至少存在一個k的值，使得方程沒有實數解
C．無論k為何值，方程總有兩個實數根
D．無論k為何值，方程有兩個不相等的實數根
判別式法判斷一元二次方程的根的情況
題型三
解：∵a = 1，b= - ( k + 1 )，c = k，
∴Δ = b2 - 4ac = [- ( k + 1 )]2 - 4k = ( k - 1 )2 ≥ 0，
∴方程有兩個實數根。
C
題型探究
【例4】如果關于x的一元二次方程k2x2 - ( 2k + 1 ) x + 1 = 0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍。
根據一元二次方程的根的情況求參
題型四
解：∵一元二次方程k2x2 - ( 2k + 1 ) x + 1 = 0有兩個不相等的實數根，
a = k2 ≠ 0，b = - ( 2k + 1 )，c = 1，
∴Δ = b2 - 4ac > 0且k2 ≠ 0，
∴[ - ( 2k + 1 )]2 - 4k2 > 0且k2 ≠ 0，解得：k > 且k ≠ 0。
課堂小結
求根公式：
x = ( b2 - 4ac ≥ 0 )，叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的求根公式。
公式法的定義：
解一元二次方程時，把各項系數的值直接代入求根公式，
若b2 - 4ac ≥ 0，就可以求得方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
課堂小結
用公式法解一元二次方程的一般步驟：
① 把方程化成一般形式 ( 建議二次項系數為正，且方程中無分數 )；
② 確定a、b、c的值 ( 注意符號 )；
③ 求出b2 - 4ac的值；
④ 若b2 - 4ac ≥ 0，則把a、b、c的值代入求根公式；
若b2 - 4ac < 0，則方程無實數根。
求根公式的前提條件：① a ≠ 0；② b2 - 4ac ≥ 0。
課堂小結
根的判別式：
我們把Δ = b2 - 4ac叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的判別式。
一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情況：
① 當Δ > 0時，方程有兩個不相等的實數根；
② 當Δ = 0時，方程有兩個相等的實數根；
③ 當Δ < 0時，方程無實數根。
感謝聆聽!

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