資源簡介

章末綜合提升
素養一、數學抽象
　　數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中，數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統.對圓錐曲線定義的理解是學科素養中的數學抽象.
題型一　圓錐曲線的定義
已知定點F1，F2，其中F1(－4，0)，F2(4，0)，動點P滿足｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，則動點P的軌跡是(　　)
A.橢圓 B.圓
C.直線 D.線段
答案：D
解析：因為｜F1F2｜＝8，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜，
所以點P的軌跡是線段F1F2，故選D.
素養二、數學運算
　　在數學運算核心素養的形成過程中，能夠通過運算促進數學思維發展，養成程序化思考問題的習慣，形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.
題型二　圓錐曲線的標準方程
(1)已知直線y＝x＋1經過拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點，若點M在該拋物線上，則x0＝(　　)
A.±1 B.±
C.±2 D.±2
(2)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：(1)C　(2)B
解析：(1)因為直線y＝x＋1經過拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點，
所以焦點坐標為(0，1)，
所以p＝2，
因為點M在該拋物線上，
所以x0＝±＝±2，
故選C.
(2)根據雙曲線C的漸近線方程為y＝x，
可知＝.①
又橢圓＋＝1的焦點坐標為(3，0)和(－3，0)，
所以a2＋b2＝9.②
根據①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程為－＝1.
題型三　圓錐曲線的幾何性質
(1)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點是橢圓＋＝1的一個焦點，則p＝(　　)
A.2 B.3
C.4 D.8
(2)已知F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為　　　　.
答案：(1)D　(2)2
解析：(1)因為拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為，
所以由已知得橢圓＋＝1的一個焦點為，
所以3p－p＝，又p＞0，所以p＝8.
(2)點B為雙曲線的通徑位于第一象限的端點，其坐標為，點A的坐標為(a，0)，因為AB的斜率為3，
所以＝3，即＝＝e＋1＝3，所以e＝2.
題型四　弦長及中點弦問題
已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點.
(1)若直線l的傾斜角為60°，求｜AB｜的值；
(2)若｜AB｜＝9，求線段AB的中點M到準線的距離.
解：(1)因為直線l的傾斜角為60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F，所以直線l的方程為y＝.
聯立
消去y得4x2－20x＋9＝0，
解得x1＝，x2＝，
故｜AB｜＝×＝2×4＝8.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由拋物線定義，知｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點M的橫坐標是3，又準線方程是x＝－，所以M到準線的距離等于3＋＝.
素養三、直觀想象
　　直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段.本章內容中的最值問題就是利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.
題型五　求曲線方程
已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為　　　　　　　　.
答案：x2－＝1(x≤－1)
解析：如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據兩圓外切的條件，得｜MC1｜－｜AC1｜＝｜MA｜，｜MC2｜－｜BC2｜＝｜MB｜，因為｜MA｜＝｜MB｜，所以｜MC1｜－｜AC1｜＝｜MC2｜－｜BC2｜，即｜MC2｜－｜MC1｜＝｜BC2｜－｜AC1｜＝2，所以點M到兩定點C2，C1的距離的差是常數且小于｜C1C2｜＝6.根據雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支，其中a＝1，c＝3，則b2＝8，故點M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1).
題型六　拋物線中的最值問題
已知P是拋物線x2＝4y上的動點，點P在x軸上的射影是點Q，點A的坐標是(8，7)，則｜PA｜＋｜PQ｜的最小值為　　　　.
答案：9
解析：拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y＝－1，延長PQ交準線于點M，如圖所示.根據拋物線的定義知，｜PF｜＝｜PM｜＝｜PQ｜＋1.所以｜PA｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PM｜－1＝｜PA｜＋｜PF｜－1≥｜AF｜－1＝10－1＝9.
素養四、邏輯推理
　　在邏輯推理核心素養的形成過程中，學生能夠發現問題和提出問題；能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；在判斷直線與圓錐曲線位置關系中利用判斷法進行推斷.
題型七　直線與圓錐曲線的位置關系
已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點，且焦距為2.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設過點P(－2，0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點，求直線l的斜率k的取值范圍.
解：(1)由2c＝2得c＝1，則 a2＝b2＋c2＝b2＋1，
把代入橢圓C的方程得＋＝1，
解得b2＝1，a2＝2，
故橢圓C的標準方程為＋y2＝1.
(2)由題意設直線l的方程為y＝k(x＋2).
當k＝0時，顯然滿足題意.
當k≠0時，聯立
整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
令Δ＝(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，
解得－＜k＜.
所以斜率k的取值范圍為.
題型八　圓錐曲線中的證明問題
已知拋物線G：x2＝2py(p＞0)上一點R(m，4)到其焦點的距離為.
(1)求p與m的值；
(2)若斜率為－2的直線l與拋物線G交于P，Q兩點，點M為拋物線G上一點，其橫坐標為1，記直線PM的斜率為k1，直線QM的斜率為k2，試問：k1＋k2是否為定值？并證明你的結論.
解：(1)根據拋物線定義，點R(m，4)到焦點的距離等于它到準線的距離.
即4＋＝，解得p＝，
所以拋物線方程為x2＝y.
因為點R(m，4)在拋物線上，所以m2＝4，所以m＝±2.
(2)設直線l的方程為y＝－2x＋b，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯立得x2＋2x－b＝0，
當Δ＞0，即4＋4b＞0，即b＞－1時，直線l與拋物線有兩個交點，此時x1＋x2＝－2.
因為點M的坐標為(1，1)，且＝y1，＝y2，
所以k1＝＝＝x1＋1，k2＝＝＝x2＋1，
所以k1＋k2＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝(x1＋x2)＋2＝－2＋2＝0，
所以k1＋k2為定值0.
素養五、數學建模
　　數學建模是面對實際問題的情境分析化歸問題的數學模型，將實際問題轉化為數學問題，然后解決數學問題，再用數學結果解釋實際問題.
題型九　圓錐曲線中的實際問題
(鏈接湘教版教材P165T7)如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，現要把此處生產的蔬菜沿道路AA1或AA2運送到農貿市場A1A2A3A4中去，已知AA1＝10 km，AA2＝15 km，∠A1AA2＝60°，能否在農貿市場中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路AA1運送蔬菜較近，而另一側的點沿道路AA2運送蔬菜較近？如果能，說出這條界線是一條什么曲線，并求出該曲線的方程.
解：以A1A2所在直線為x軸，線段A1A2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系Oxy，如圖所示.
在△AA1A2中，由余弦定理可得＝＋－2｜AA1｜｜AA2｜cos60°＝102＋152－10×15＝175，
可得＝5.
設M是邊界上任一點，則滿足＋＝＋，
所以－＝－＝15－10＝5＜5＝.
由雙曲線定義可知，點M所在的界線是以A1，A2為焦點，實軸長為2a＝5的雙曲線靠近A2的一支，并且在農貿市場A1A2A3A4內的部分.
由a＝，c＝可得b2＝c2－a2＝－＝，
所以雙曲線方程為－＝1，即－＝1.
(2024·新課標Ⅱ卷)已知曲線C：x2＋y2＝16(y＞0)，從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，P'為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為(　　)
A.＋＝1(y＞0) B.＋＝1(y＞0)
C.＋＝1(y＞0) D.＋＝1(y＞0)
答案：A
解析：設點M(x，y)，則P(x，y0)，P'(x，0)，因為M為PP'的中點，所以y0＝2y，即P(x，2y)，又P在圓x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即＋＝1(y＞0)，即點M的軌跡方程為＋＝1(y＞0).故選A.
溯源：(湘教版選擇性必修一P150例1)如圖，在圓x2＋y2＝9上任取一點P，過點P向x軸作垂線段PD，D為垂足.求線段PD的中點M的軌跡方程.
點評：高考題中圓的方程與教材例題中圓的方程僅有半徑不同，其他完全一致，都是考查相關點法求方程.
(多選)(2020·新高考Ⅰ卷)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B.若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為
C.若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±x
D.若m＝0，n＞0，則C是兩條直線
答案：ACD
解析：對于A，若m＞n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，因為m＞n＞0，所以0＜＜，即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若m＝n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若mn＜0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，此時曲線C表示雙曲線，由mx2＋ny2＝0可得y＝± x，即曲線C的漸近線方程為y＝±x，故C正確；對于D，若m＝0，n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為y＝±，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確.故選ACD.
溯源：(湘教版選擇性必修一P171T2)根據下列條件判斷方程＋＝1表示什么曲線.
(1)k＜4；(2)4＜k＜9.
點評：該高考題考查圓錐曲線方程的定義，根據所給條件，逐一分析對應的方程形式，結合橢圓、圓、雙曲線方程的定義進行判斷，與教材習題命題角度類似，屬于改編題.
(2023·全國乙卷理)已知點A(1，)在拋物線C：y2＝2px上，則A到C的準線的距離為　　　　.
答案：
解析：由題意可得()2＝2p×1，則2p＝5，拋物線的方程為y2＝5x，準線方程為x＝－，點A到C的準線的距離為1－(－)＝.
溯源：(湘教版選擇性必修一P148T3)(1)設拋物線y2＝8x上一點P到y軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離為　　　　；
(2)設拋物線y＝4x2上一點M到焦點的距離為1，則點M的坐標為　　　　.
點評：這兩題考查相同的知識點，兩題的相似度極高，都是考查拋物線上的點滿足的性質，區別在于教材上的練習題與真題的條件和設問正好反過來.
(多選)(2023·新課標Ⅱ卷)設O為坐標原點，直線y＝－(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則(　　)
A.p＝2
B.｜MN｜＝
C.以MN為直徑的圓與l相切
D.△OMN為等腰三角形
答案：AC
解析：對于A，直線y＝－(x－1)過點(1，0)，所以拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F(1，0)，所以＝1，p＝2，2p＝4，拋物線C的方程為y2＝4x，故A正確；對于B，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化簡得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B錯誤；對于C，設MN的中點為A，M，N，A到直線l的距離分別為d1，d2，d，因為d＝(d1＋d2)＝(｜MF｜＋｜NF｜)＝｜MN｜，即A到直線l的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線l相切，故C正確；對于D，直線y＝－(x－1)，所以y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－×＝，所以｜OM｜＝＝，｜ON｜＝＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，故D錯誤.故選AC.
溯源：(湘教版選擇性必修一P145例4)已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為(1，0)，一條斜率為1的直線l經過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求｜AB｜.
點評：這兩題相似度很高，是源于教材的典型的高考題，都是考查直線與拋物線的位置關系問題.
單元檢測卷(三)　圓錐曲線與方程
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.拋物線x2＋3y＝0的準線方程為(　　)
A.x＝ B.x＝－
C.y＝ D.y＝－
答案：C
解析：拋物線x2＋3y＝0即x2＝－3y的準線方程為y＝.故選C.
2.若點P到直線x＝－1的距離比到點(2，0)的距離小1，則點P的軌跡是(　　)
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
答案：D
解析：點P到直線x＝－1的距離比到點(2，0)的距離小1，即點P到直線x＝－2的距離與到點(2，0)的距離相等，根據拋物線的定義可知，P的軌跡是拋物線.
3.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率是(　　)
A.2 B.
C. D.
答案：C
解析：由題可知，y＝x與y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，則a＝b.由離心率的計算公式，可得e2＝＝＝2，e＝.
4.設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為B.若｜BF2｜＝｜F1F2｜＝2.則該橢圓的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋y＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
答案：A
解析：因為｜BF2｜＝｜F1F2｜＝2，所以a＝2c＝2.所以a＝2，c＝1，所以b＝.所以橢圓的方程為＋＝1.
5.過點(1，0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，則弦AB的長為(　　)
A.2 B.2
C.2 D.2
答案：B
解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2).
由題意知AB的方程為y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.
由得x2－4x＋1＝0，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝1.
所以｜AB｜＝
＝＝＝2.
6.設O為坐標原點，直線x＝a與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點.若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為(　　)
A.4 B.8
C.16 D.32
答案：B
解析：直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線y＝±x分別交于D，E兩點，則｜DE｜＝｜yD－yE｜＝2b，所以S△ODE＝·a·2b＝ab，即ab＝8.
所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(當且僅當a＝b時取等號)，即cmin＝4，所以雙曲線的焦距2c的最小值為8，故選B.
7.已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，｜AF｜·｜BF｜＝16，則p的值為(　　)
A.2 B.4
C.2 D.8
答案：C
解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F.
準線方程為x＝－，設A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
所以直線AB的方程為y＝x－.
代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0.
所以x1＋x2＝3p，x1x2＝.
由拋物線的定義可知，｜AF｜＝x1＋，
｜BF｜＝x2＋.
所以｜AF｜·｜BF｜＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝＋p2＋
＝2p2＝16.
解得p＝2.
8.已知雙曲線－＝1(b＞0)的左、右焦點分別是F1，F2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(，y0)在雙曲線上，則·＝(　　)
A.－12 B.－2
C.0 D.4
答案：C
解析：由漸近線方程為y＝x，知雙曲線是等軸雙曲線，所以雙曲線方程是x2－y2＝2.于是兩焦點分別是F1(－2，0)和F2(2，0)且P(，1)或P(，－1).不妨取點P(，1)，則＝(－2－，－1)，＝(2－，－1).所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.]
二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9.已知橢圓的長軸長為10，其焦點到中點的距離為4，則這個橢圓的標準方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：BD
解析：因為橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以當橢圓焦點在x軸時，橢圓方程為＋＝1；當橢圓焦點在y軸時，橢圓方程為＋＝1.
10.對于雙曲線C1：－y2＝1與雙曲線C2：y2－＝1的下列說法正確的是(　　)
A.它們的實軸長和虛軸長相同
B.它們的焦距相同
C.它們的漸近線相同
D.若它們的離心率分別為e1，e2，那么＋＝1
答案：BCD
解析：A中，C1的實軸長、虛軸長分別為4和2，而C2的實軸長和虛軸長分別為2和4，故A錯誤；
B中，C1，C2的焦距均為2c＝2＝2，故B正確；
C中，C1，C2的漸近線方程均為y＝±x，故C正確；
D中，C1的離心率e1＝，C2的離心率e2＝，則＋＝＋＝1，故D正確.故應選BCD.
11.已知平面上兩點M(－5，0)和N(5，0)，若直線上存在點P使｜PM｜－｜PN｜＝6，則稱該直線為“單曲型直線”.下列直線中是“單曲型直線”的有(　　)
A.3y＝x＋1 B.y＝2
C.y＝x D.y＝2x＋1
答案：AB
解析：因為｜PM｜－｜PN｜＝6，所以點P在以M，N為焦點的雙曲線的右支上，即P的軌跡方程為－＝1(x＞0).根據題意得，“單曲型直線”與雙曲線的右支存在交點，下面依次聯立方程，消去y，判斷所得方程有無正根即可.對于A，聯立消y得15x2－2x－145＝0，因為Δ＝(－2)2－4×15×(－145)＞0，且x1x2＜0，所以3y＝x＋1是“單曲型直線”.對于B，聯立消y得x2＝，所以y＝2是“單曲型直線”.對于C，聯立整理得0＝1，顯然不成立，所以y＝x不是“單曲型直線”.對于D，聯立消y得20x2＋36x＋153＝0，因為Δ＝362－4×20×153＜0，所以y＝2x＋1不是“單曲型直線”.綜上，是“單曲型直線”的有AB.
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上)
12.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點與拋物線x＝y2的焦點重合，若雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為　　　　　　　　　.
答案：5x2－y2＝1
解析：拋物線x＝y2的方程化為標準形式為y2＝4x.焦點坐標為(1，0)，則得a2＋b2＝1.又e＝＝，易求得a2＝，b2＝，所以該雙曲線的方程為5x2－y2＝1.
13.已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，P是橢圓上一點，且滿足｜PF2｜＝｜F1F2｜，則｜PF1｜＝　 　　.△PF1F2的面積等于　　 　.
答案：4　8
解析：由＋＝1知，a＝5，b＝4.
所以c＝3.
即F1(－3，0)，F2(3，0)，
所以｜PF2｜＝｜F1F2｜＝6.
又由橢圓的定義，知｜PF1｜＋｜PF2｜＝10，
所以｜PF1｜＝10－6＝4，
于是＝·｜PF1｜·h
＝×4× ＝8.
14.過點E的直線與拋物線y2＝2px(p＞0)交于A，B兩點，F是拋物線的焦點.若A為線段EB的中點且｜AF｜＝3，則p＝　　　　.
答案：4
解析：設A，B兩點的坐標分別是為(x1，y1)，(x2，y2)，由焦半徑公式，得｜AF｜＝x1＋，又｜AF｜＝3，所以x1＝3－，由中點坐標公式，得 所以x2＝6－，y2＝2y1，所以＝4，2p(6－)＝4＝4×2px1＝4×2p，結合p＞0可得p＝4.
四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點P，求拋物線的方程和雙曲線的方程.
解：依題意，設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，
因為點P在拋物線上，所以6＝2p×，所以p＝2，
所以所求拋物線的方程為y2＝4x.
因為雙曲線的左焦點在拋物線的準線x＝－1上，
所以c＝1，即a2＋b2＝1，
又點P在雙曲線上，所以－＝1，
解方程組
得(舍去).
所以所求雙曲線的方程為4x2－y2＝1.
16.(15分)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦距為2，斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B.
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)若k＝1，求｜AB｜的最大值.
解：(1)由題意得2c＝2，所以c＝.
又e＝＝，所以a＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以橢圓M的標準方程為＋y2＝1.
(2)設直線AB的方程為y＝x＋m，
由消去y，
可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，則Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2＞0，即m2＜4.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，則｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝.
易得當m2＝0時，｜AB｜max＝，
故｜AB｜的最大值為.
17.(15分)已知拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，又知此拋物線上一點P(4，m)到焦點的距離為6.
(1)求此拋物線的方程；
(2)若此拋物線方程與直線y＝kx－2相交于不同的兩點A，B且AB中點橫坐標為2，求k的值.
解：(1)由題意設拋物線方程為y2＝2px，p＞0，其準線方程為x＝－，
因為P(4，m)到焦點的距離等于P到其準線的距離，
所以4＋＝6，所以p＝4，
所以此拋物線的方程為y2＝8x.
(2)由消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
設直線y＝kx－2與拋物線相交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則有解得k＞－1，且k≠0，且x1＋x2＝＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去).所以所求k的值為2.
18.(17分)已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且｜CD｜＝｜AB｜.
(1)求C1的離心率；
(2)設M是C1與C2的公共點.若｜MF｜＝5，求C1與C2的標準方程.
解：(1)由已知可設C2的方程為y2＝4cx，其中c＝.
不妨設A，C在第一象限，由題設得A，B的縱坐標分別為，－；C，D的縱坐標分別為2c，－2c，
故｜AB｜＝，｜CD｜＝4c.
由｜CD｜＝｜AB｜得4c＝，即3×＝2－2，解得＝－2(舍去)或＝.
所以C1的離心率為.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.
設M(x0，y0)，則＋＝1，＝4cx0，故＋＝1.①
由于C2的準線為x＝－c，所以｜MF｜＝x0＋c，而｜MF｜＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.
所以C1 的標準方程為＋＝1，C2的標準方程為y2＝12x.
19.(17分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經過點P(2，)，離心率為.
(1)求E的方程；
(2)過點P斜率為k1，k2的兩條直線分別交橢圓E于A，B兩點，且滿足k1＋k2＝0.證明：直線AB的斜率為定值.
解：(1)依題意，e＝＝＝，
所以＝，
又橢圓E過點P(2，)，
所以＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4，
所以橢圓E的方程為＋＝1.
(2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AP的方程為y＝k(x－2)＋，
由
消去y得(2k2＋1)x2－(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
所以x1＋xp＝x1＋2＝，
所以x1＝，
又因為直線PA，PB的斜率互為相反數，
所以x2＝，
kAB＝
＝
＝＝，
所以直線AB的斜率為定值.
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章末綜合提升
　
第3章 圓錐曲線與方程
體 系 構 建
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分 層 探 究
素養一、數學抽象
　　數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中，數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統.對圓錐曲線定義的理解是學科素養中的數學抽象.
題型一　圓錐曲線的定義
已知定點F1，F2，其中F1(－4，0)，F2(4，0)，動點P滿足｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，則動點P的軌跡是
A.橢圓 B.圓
C.直線 D.線段
典例1
√
因為｜F1F2｜＝8，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜，
所以點P的軌跡是線段F1F2，故選D.
素養二、數學運算
　　在數學運算核心素養的形成過程中，能夠通過運算促進數學思維發展，養成程序化思考問題的習慣，形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.
典例2
√
√

典例3
√

2

典例4
素養三、直觀想象
　　直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段.本章內容中的最值問題就是利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.
題型五　求曲線方程
已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓
C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為__________________.
典例5

題型六　拋物線中的最值問題
已知P是拋物線x2＝4y上的動點，點P在x軸上的射影是點Q，點A的坐標是(8，7)，則｜PA｜＋｜PQ｜的最小值為____.
拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y＝－1，延長PQ交準線于點M，如圖所示.根據拋物線的定義知，｜PF｜＝｜PM｜＝｜PQ｜＋1.所以｜PA｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PM｜－1＝｜PA｜＋｜PF｜－1≥｜AF｜－1＝10－1＝9.
典例6
9
素養四、邏輯推理
　　在邏輯推理核心素養的形成過程中，學生能夠發現問題和提出問題；能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；在判斷直線與圓錐曲線位置關系中利用判斷法進行推斷.
典例7
典例8
素養五、數學建模
　　數學建模是面對實際問題的情境分析化歸問題的數學模型，將實際問題轉化為數學問題，然后解決數學問題，再用數學結果解釋實際問題.
題型九　圓錐曲線中的實際問題
(鏈接湘教版教材P165T7)如圖，某綠色蔬菜種
植基地在A處，現要把此處生產的蔬菜沿道路AA1或
AA2運送到農貿市場A1A2A3A4中去，已知AA1＝10 km，
AA2＝15 km，∠A1AA2＝60°，能否在農貿市場中確
定一條界線，使位于界線一側的點沿道路AA1運送蔬菜較近，而另一側的點沿道路AA2運送蔬菜較近？如果能，說出這條界線是一條什么曲線，并求出該曲線的方程.
典例9
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考 教 銜 接
真題1
√
溯源：(湘教版選擇性必修一P150例1)如圖，在圓x2＋y2＝9上任取一點P，過點P向x軸作垂線段PD，D為垂足.求線段PD的中點M的軌跡方程.
點評：高考題中圓的方程與教材例題中圓的方程僅有半徑不同，其他完全一致，都是考查相關點法求方程.
真題2
√
√
√
真題3

溯源：(湘教版選擇性必修一P148T3)(1)設拋物線y2＝8x上一點P到y軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離為__________；
(2)設拋物線y＝4x2上一點M到焦點的距離為1，則點M的坐標為_________.
點評：這兩題考查相同的知識點，兩題的相似度極高，都是考查拋物線上的點滿足的性質，區別在于教材上的練習題與真題的條件和設問正好反
過來.
真題4
√
√

溯源：(湘教版選擇性必修一P145例4)已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為(1，0)，一條斜率為1的直線l經過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求｜AB｜.
點評：這兩題相似度很高，是源于教材的典型的高考題，都是考查直線與拋物線的位置關系問題.
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單 元 檢 測 卷
√
√
2.若點P到直線x＝－1的距離比到點(2，0)的距離小1，則點P的軌跡是
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
點P到直線x＝－1的距離比到點(2，0)的距離小1，即點P到直線x＝－2的距離與到點(2，0)的距離相等，根據拋物線的定義可知，P的軌跡是拋
物線.
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A中，C1的實軸長、虛軸長分別為4和2，而C2的實軸長和虛軸長分別為2和4，故A錯誤；

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√
4

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