資源簡(jiǎn)介

1.1　數(shù)列的概念
第1課時(shí)　數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng). 2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng). 3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng). 4.掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，發(fā)展邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　數(shù)列的概念
問題1.觀察以下幾列數(shù)：
①古埃及“阿默斯”畫了一個(gè)階梯，上面的數(shù)字依次為：7，49，343，2 401，16 807；
②戰(zhàn)國(guó)時(shí)期莊周引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭.這句話中隱藏著一列數(shù)：1，，，，，…；
③從學(xué)號(hào)1開始，記下本班的每一個(gè)同學(xué)參加高考的時(shí)間：2 023，2 023，…，2 023；
④小明為了記住剛設(shè)置的手機(jī)密碼，只聽他不停地說：7，0，2，5，7，0，2，5，…；
⑤－的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數(shù)：－，，－，，….
你能找到上述例子中的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？
提示：共同點(diǎn)：都是按照確定的順序進(jìn)行排列的.不同點(diǎn)：從項(xiàng)數(shù)上來看：①③項(xiàng)數(shù)有限，②④⑤項(xiàng)數(shù)無限；從項(xiàng)的變化上來看：①每一項(xiàng)在依次變大，②每一項(xiàng)在依次變小，③項(xiàng)沒有發(fā)生變化，④項(xiàng)呈現(xiàn)周期性的變化，⑤項(xiàng)的大小交替變化.
1.數(shù)列與數(shù)列的項(xiàng)
(1)數(shù)列：按照一定順序排成的一列數(shù)叫作數(shù)列.
(2)數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)叫作數(shù)列的首項(xiàng)或叫作數(shù)列的第1項(xiàng)，排在第二位的數(shù)叫作數(shù)列的第2項(xiàng)，…，排在第n位的數(shù)叫作數(shù)列的第n項(xiàng).
2.數(shù)列的一般形式
數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}.
3.數(shù)列的分類
項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列；項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列稱為無窮數(shù)列.
(1)下列說法中正確的是(　　)
A.數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}
B.數(shù)列1，0，－1，－2與數(shù)列－2，－1，0，1是相同的數(shù)列
C.數(shù)列－1，3，6，－5的第三項(xiàng)為6
D.數(shù)列可以看成是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N＋的函數(shù)
(2)下列數(shù)列：
①1，2，22，23，…，263；
②1，0.5，0.52，0.53，…；
③0，10，20，30，…，1 000；
④2，4，6，8，10，…；
⑤－1，1，－1，1，－1，…；
⑥7，7，7，7，…；
⑦，，，，….
其中有窮數(shù)列是　　　　，無窮數(shù)列是　　　　(填序號(hào)).
答案：(1)C　(2)①③　②④⑤⑥⑦
解析：(1)由數(shù)列定義知，A，B不正確；D不正確的原因是數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.
(2)根據(jù)數(shù)列的概念知有窮數(shù)列是①③，無窮數(shù)列是②④⑤⑥⑦.
1.數(shù)列{an}表示數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一個(gè)集合，與集合表示有本質(zhì)的區(qū)別. 2.判斷數(shù)列是有窮或無窮數(shù)列，只需要看項(xiàng)的個(gè)數(shù)是有限還是無限即可.
對(duì)點(diǎn)練1.數(shù)列{1，2，3，…，n}和數(shù)列{1，2，3，…}都是正整數(shù)數(shù)列，項(xiàng)數(shù)分別是多少？
解：第一個(gè)數(shù)列是有窮數(shù)列，共n項(xiàng)；第二個(gè)數(shù)列是無窮數(shù)列.
任務(wù)二　數(shù)列的表示方法
問題2.我們發(fā)現(xiàn)任務(wù)一問題導(dǎo)思中的①②③⑤，項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間存在某種聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系嗎？
提示：對(duì)于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈；
對(duì)于②，an＝，n∈N＋；
對(duì)于③，an＝2 023，n∈；
對(duì)于⑤，an＝，n∈N＋.
1.數(shù)列的表示方法
(1)分類：解析式法、表格法、圖象法.
(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an可以用關(guān)于n的一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就稱為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如表：
定義域 正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 數(shù)列的通項(xiàng)公式
值域 自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成的集合
表示方法 (1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法
寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：
(1)，－，，－，…；
(2)，2，，8，…；
(3)9，99，999，9 999，…；
(4)－2，0，－2，0，….
解：(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù)的一半，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，
所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋.
(2)數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，，，，…，
所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋.
(3)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0，100，1 000，10 000，…，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，n∈N＋.
(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是－2，偶數(shù)項(xiàng)是0，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1，n∈N＋.
由數(shù)列的前n項(xiàng)求通項(xiàng)公式的解題策略 1.用觀察法求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略 2.對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用(－1)k處理符號(hào)問題. 3.對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.
對(duì)點(diǎn)練2.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：
(1)－，，－，，…；
(2)，，，，…；
(3)7，77，777，7 777，….
解：(1)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的分母都是序號(hào)數(shù)乘以比序號(hào)數(shù)大1的數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋.
(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號(hào)大1的數(shù)，分子都是比序號(hào)大1的數(shù)的平方減1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋.
(3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)椤?，×99，×999，×9 999，即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)，
即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，
所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝×(10n－1)，n∈N＋.
任務(wù)三　數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用
已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(1)求a10；
(2)判斷是否為該數(shù)列中的項(xiàng).若是，它為第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說明理由；
(3)求證：0＜an＜1.
解：(1)根據(jù)題意可得a10＝＝.
(2)令an＝，即＝，解得n＝3，所以為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，為第3項(xiàng).
(3)證明：由題知an＝＝1－，
因?yàn)閚∈N＋，所以3n＋1＞3，所以0＜＜1，
所以0＜1－＜1，即0＜an＜1.
1.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法 數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng). 2.判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法 先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng).
對(duì)點(diǎn)練3.(2025·江西部分學(xué)校高二聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(1)求a4；
(2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？為什么？
(3)在區(qū)間(，)內(nèi)是否有該數(shù)列中的項(xiàng)？若有，求出有幾項(xiàng)；若沒有，請(qǐng)說明理由.
解：(1)因?yàn)閍n＝＝＝，
所以a4＝＝.
(2)由(1)知an＝，令＝，解得n＝.
因?yàn)閚∈N*，所以＝無正整數(shù)解，即不是該數(shù)列中的項(xiàng).
(3)由(1)知an＝，
令，
則＜n＜.
因?yàn)閚∈N*，所以n＝3.
所以在區(qū)間(，)內(nèi)有該數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng).
1.(多選)下列數(shù)列是無窮數(shù)列的是(　　)
A.1，，，，…
B.－1，－2，－3，－4，…
C.－1，－，－，－，…
D.1，，，…，
答案：ABC
2.下列說法正確的是(　　)
A.數(shù)列中不能重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)數(shù)
B.1，2，3，4與4，3，2，1是同一數(shù)列
C.1，1，1，1不是數(shù)列
D.若兩個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)均相同，則這兩個(gè)數(shù)列相同
答案：D
解析：由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)數(shù)，如1，1，1，1，故A，C不正確；B中兩數(shù)列首項(xiàng)不相同，因此不是同一數(shù)列，故B不正確；由數(shù)列的定義可知，D正確.
3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋n，則下面哪一個(gè)數(shù)是這個(gè)數(shù)列的一項(xiàng)(　　)
A.18　　　 B.21　　　
C.25　　　 D.30
答案：D
解析：因?yàn)閍n＝n2＋n＝(n＋)2－，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝32＋3＝12，當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝42＋4＝20，當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝52＋5＝30，當(dāng)n＝6時(shí)，a6＝62＋6＝42，故選D.
4.在數(shù)列{an}中，an＝51－n，則a3等于　　　　.
答案：
解析：由已知得a3＝51－3＝.
課時(shí)測(cè)評(píng)1　數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式
(時(shí)間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.(多選)下列說法正確的是(　　)
A.數(shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4
B.數(shù)列{an}中，若a1＝3，則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3
C.數(shù)列1，2，3，…就是數(shù)列{n}
D.數(shù)列中的項(xiàng)不能是三角形
答案：ACD
解析：由數(shù)列的相關(guān)概念可知，數(shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4，故A正確；同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯(cuò)誤；按一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，所以數(shù)列1，2，3，…就是數(shù)列{n}，故C正確；數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù)，不能是其他形式，故D正確.
2.(2025·吉林長(zhǎng)春期中)數(shù)列－，3，－3，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(　　)
A.an＝(－1)n(n∈N＋)
B.an＝(－1)n(n∈N＋)
C.an＝(－1)n＋1(n∈N＋)
D.an＝(－1)n＋1(n∈N＋)
答案：B
解析：把數(shù)列的前4項(xiàng)統(tǒng)一形式為－，，－，，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(n∈N＋).
3.(多選)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝25－2n，在下列各數(shù)中，是{an}的項(xiàng)的是(　　)
A.1　　　　 B.－1　　　　
C.3　　　　 D.2
答案：ABC
解析：25－2n不可能是偶數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證，1，－1，3均是{an}中的項(xiàng).
4.已知數(shù)列－1，，－，…，(－1)n，…，則它的第5項(xiàng)為(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：D
解析：易知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·，當(dāng)n＝5時(shí)，該項(xiàng)為(－1)5·＝－.故選D.
5.數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通項(xiàng)公式為(　　)
A.an＝(10n－1)，n∈N＋
B.an＝(10n－1)，n∈N＋
C.an＝(1－)，n∈N＋
D.an＝(10n－1)，n∈N＋
答案：C
解析：因?yàn)閿?shù)列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通項(xiàng)公式為1－，而數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一項(xiàng)都是上面數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的，所以an＝(1－)，n∈N＋.
6.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝則a2a3＝(　　)
A.70 B.28
C.20 D.8
答案：C
解析：由通項(xiàng)公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20.
7.已知數(shù)列2，，2，…的通項(xiàng)公式為an＝，則a4＝　　　　，a5＝　　　　.
答案：　
解析：將a1＝2，a2＝代入通項(xiàng)公式，得
所以an＝，所以a4＝＝，a5＝＝.
8.數(shù)列－1，1，－2，2，－3，3，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為　　　　.
答案：an＝
解析：注意到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)即可得
an＝
9.(10分)寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)4，6，8，10，…；
(2)，，，，，…；
(3)－1，，－，，….
解：(1)各項(xiàng)是從4開始的偶數(shù)，所以an＝2n＋2，n∈N＋.
(2)每一項(xiàng)分子比分母少1，而分母可寫成21，22，23，24，25，…，分子分別比分母少1，故所求數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫為an＝，n∈N＋.
(3)通過觀察，數(shù)列中的數(shù)正、負(fù)交替出現(xiàn)，且先負(fù)后正，則選擇(－1)n.又第1項(xiàng)可改寫成分?jǐn)?shù)－，則每一項(xiàng)的分母依次為3，5，7，9，…，可寫成(2n＋1)的形式.分子為3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可寫成n(n＋2)的形式.
所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·，n∈N＋.
10.(10分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.
(1)寫出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；
(2)－49是不是該數(shù)列的一項(xiàng)？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？68呢？
解：(1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是該數(shù)列的第7項(xiàng)；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，
均不合題意，所以68不是該數(shù)列的項(xiàng).
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.設(shè)an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，則a2等于(　　)
A. B.＋
C.＋＋ D.＋＋＋
答案：C
解析：因?yàn)閍n＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，
所以a2＝＋＋.
12.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n－，an的最小值為　　　　.
答案：1－
解析：因?yàn)閍n＝n－＝＝－，易知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1，即最小值為1－.
13.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形，則f(6)＝　　　　.
答案：61
解析：f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
當(dāng)n＝6時(shí)，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
14.(13分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋n＋110.
(1)20是不是{an}中的一項(xiàng)？
(2)當(dāng)n取何值時(shí)，an＝0.
解：(1)令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，所以(n＋9)(n－10)＝0，
所以n＝10或n＝－9(舍)，
所以20是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，且為數(shù)列{an}中的第10項(xiàng).
(2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，
所以(n－11)(n＋10)＝0，所以n＝11或n＝－10(舍)，
所以當(dāng)n＝11時(shí)，an＝0.
15.(5分)如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為(　　)
A.an＝n，n∈N＋ B.an＝，n∈N＋
C.an＝，n∈N＋ D.an＝n2，n∈N＋
答案：C
解析：因?yàn)镺A1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….
16.(17分)在數(shù)列{an}中，an＝.
(1)求證：此數(shù)列的各項(xiàng)都在區(qū)間(0，1)內(nèi)；
(2)區(qū)間內(nèi)有沒有數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？
解：(1)證明：因?yàn)閍n＝＝1－(n∈N＋)，
所以0＜an＜1，
故數(shù)列的各項(xiàng)都在區(qū)間(0，1)內(nèi).
(2)令，則＜n2＜2，n∈N＋，
解得n＝1，即在區(qū)間內(nèi)有且只有1項(xiàng)數(shù)列中的項(xiàng)，為a1.
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第1課時(shí)　數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式
　
第1章　1.1　數(shù)列的概念
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
4.掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，發(fā)展邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　數(shù)列的概念
問題導(dǎo)思
新知構(gòu)建
1.數(shù)列與數(shù)列的項(xiàng)
(1)數(shù)列：按照__________排成的一列數(shù)叫作數(shù)列.
(2)數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在________的數(shù)叫作數(shù)列的首項(xiàng)或叫作數(shù)列的第1項(xiàng)，排在________的數(shù)叫作數(shù)列的第2項(xiàng)，…，排在_______的數(shù)叫作數(shù)列的第n項(xiàng).
2.數(shù)列的一般形式
數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡(jiǎn)記為______.
3.數(shù)列的分類
__________的數(shù)列稱為有窮數(shù)列；__________的數(shù)列稱為無窮數(shù)列.
一定順序
第一位
第二位
第n位
{an}
項(xiàng)數(shù)有限
項(xiàng)數(shù)無限
(1)下列說法中正確的是
A.數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}
B.數(shù)列1，0，－1，－2與數(shù)列－2，－1，0，1是相同的數(shù)列
C.數(shù)列－1，3，6，－5的第三項(xiàng)為6
D.數(shù)列可以看成是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N＋的函數(shù)
典例1
由數(shù)列定義知，A，B不正確；D不正確的原因是數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.
√
①③
②④⑤⑥⑦
根據(jù)數(shù)列的概念知有窮數(shù)列是①③，無窮數(shù)列是②④⑤⑥⑦.
規(guī)律方法
1.數(shù)列{an}表示數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一個(gè)集合，與集合表示有本質(zhì)的區(qū)別.
2.判斷數(shù)列是有窮或無窮數(shù)列，只需要看項(xiàng)的個(gè)數(shù)是有限還是無限即可.
對(duì)點(diǎn)練1．?dāng)?shù)列{1，2，3，…，n}和數(shù)列{1，2，3，…}都是正整數(shù)數(shù)列，項(xiàng)數(shù)分別是多少？
解：第一個(gè)數(shù)列是有窮數(shù)列，共n項(xiàng)；第二個(gè)數(shù)列是無窮數(shù)列.
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任務(wù)二　數(shù)列的表示方法
問題導(dǎo)思
新知構(gòu)建
1.數(shù)列的表示方法
(1)分類：解析式法、表格法、圖象法.
(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an可以用關(guān)于n的一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就稱為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如表：
定義域 ______________(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 數(shù)列的通項(xiàng)公式
值域 自變量從1開始，按照________________________時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成的集合
表示方法 (1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)________；(3)________
正整數(shù)集N*
從小到大的順序依次取值
列表法
圖象法
典例2
(3)9，99，999，9 999，…；
解：各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0，100，1 000，10 000，…，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，n∈N＋.
(4)－2，0，－2，0，….
解：這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是－2，偶數(shù)項(xiàng)是0，
所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1，n∈N＋.
規(guī)律方法
由數(shù)列的前n項(xiàng)求通項(xiàng)公式的解題策略
1.用觀察法求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略
規(guī)律方法
2.對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用(－1)k處理符號(hào)問題.
3.對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.
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任務(wù)三　數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用
典例3
規(guī)律方法
1.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法
數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).
2.判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法
先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng).
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隨堂評(píng)價(jià)
√
√
√
2.下列說法正確的是
A.數(shù)列中不能重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)數(shù)
B.1，2，3，4與4，3，2，1是同一數(shù)列
C.1，1，1，1不是數(shù)列
D.若兩個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)均相同，則這兩個(gè)數(shù)列相同
√
由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)數(shù)，如1，1，1，1，故A，C不正確；B中兩數(shù)列首項(xiàng)不相同，因此不是同一數(shù)列，故B不正確；由數(shù)列的定義可知，D正確.
3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋n，則下面哪一個(gè)數(shù)是這個(gè)數(shù)列的
一項(xiàng)
A.18　　　 B.21　　　
C.25　　　 D.30
√
4.在數(shù)列{an}中，an＝51－n，則a3等于_____.

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課時(shí)測(cè)評(píng)
由數(shù)列的相關(guān)概念可知，數(shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4，故A正確；同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯(cuò)誤；按一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，所以數(shù)列1，2，3，…就是數(shù)列{n}，故C正確；數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù)，不能是其他形式，故D正確.
√
1.(多選)下列說法正確的是
A.數(shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4
B.數(shù)列{an}中，若a1＝3，則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3
C.數(shù)列1，2，3，…就是數(shù)列{n}
D.數(shù)列中的項(xiàng)不能是三角形
√
√
√
√
3.(多選)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝25－2n，在下列各數(shù)中，是{an}的項(xiàng)
的是
A.1　　　　 B.－1　　　　
C.3　　　　 D.2
25－2n不可能是偶數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證，1，－1，3均是{an}中的項(xiàng).
√
√
√
√
√
由通項(xiàng)公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20.



8.數(shù)列－1，1，－2，2，－3，3，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為
_______________________________.
√
13.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形，則f(6)＝_____.
61
f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
當(dāng)n＝6時(shí)，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
14.(13分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋n＋110.
(1)20是不是{an}中的一項(xiàng)？
解：令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，所以(n＋9)(n－10)＝0，
所以n＝10或n＝－9(舍)，
所以20是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，且為數(shù)列{an}中的第10項(xiàng).
(2)當(dāng)n取何值時(shí)，an＝0.
解：令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，
所以(n－11)(n＋10)＝0，所以n＝11或n＝－10(舍)，
所以當(dāng)n＝11時(shí)，an＝0.
√
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