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第2課時　等比數列前n項和的性質及其應用
學習目標 1.理解并能應用等比數列前n項和的性質解題，培養邏輯推理、數學運算的核心素養. 2.能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題，提升數學建模、數學運算的核心素養.
任務一　等比數列前n項和公式的性質
1.片段和的性質：數列{an}為公比不為－1的等比數列(或公比為－1，且n不是偶數)，Sn為其前n項和，則Sn，－Sn，－仍構成等比數列，公比是qn.
2.S偶與S奇的關系性質：若{an}是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則：
當n為偶數時，＝q；當n為奇數時，＝q.
3.和比公式：當q＝1時，＝；當q≠1時，＝.
4.若{an}是公比為q的等比數列，則Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm(n，m∈N*).
[微提醒]　等比數列片段和性質的成立是有條件的，即Sn≠0.
(1)等比數列{an}的前n項和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4的值為(　　 )
A.28 B.32
C.21 D.28或－21
(2)已知等比數列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比q＝(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
(3)記Sn為等比數列的前n項和.若8S6＝7S3，則的公比為　　　　.
答案：(1)A　(2)D　(3)－
解析：(1)因為{an}為等比數列，所以S2，S4－S2，S6－S4也為等比數列，即7，S4－7，91－S4成等比數列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28，或S4＝－21.因為S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，所以S4＝28.故選A.
(2)由題意，得
解得
所以q＝＝＝2.故選D.
(3)法一：若q＝1，則由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，則a1＝0，不合題意.所以q≠1.因為8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－.
法二：由法一知q≠1，因為8S6＝7S3，所以＝，所以由性質＝，得＝＝，所以8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－.
處理等比數列前n項和有關問題的常用方法 1.若等比數列{an}共有2n項，要抓住＝q和S偶＋S奇＝這一隱含特點；若等比數列{an}共有2n＋1項，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝這一隱含特點.要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元. 2.靈活運用等比數列前n項和的有關性質.
對點練1.(1)(2023·新課標Ⅱ卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝(　　)
A.120 B.85
C.－85 D.－120
(2) 已知項數為奇數的等比數列{an}的首項為1，奇數項之和為21，偶數項之和為10，則這個等比數列的項數為(　　)
A.5 B.7
C.9 D.11
答案：(1)C　(2)A
解析：(1)法一：設等比數列{an}的公比為q，首項為a1，若q＝1，則S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，與題意不符，所以q≠1.由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故選C.
法二：設等比數列的公比為q，因為S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否則S4＝0，從而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數列，所以有＝S2，解得S2＝－1，或S2＝，當S2＝－1時，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即為－1，－4，－16，S8＋21，易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85；當S2＝時，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＝S2＞0，與S4＝－5矛盾，舍去.故選C.
(2)設等比數列{an}的公比為q，則an＝a1·qn－1＝qn－1，又數列{an}的項數為奇數，且其奇數項之和為21，偶數項之和為10，則q＝＝2，故Sn＝21＋10＝ 2n－1＝31 n＝5.故選A.
任務二　等比數列前n項和的實際應用
從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游業.根據規劃，本年度投入1 000萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業收入估計為500萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加.
(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達式；
(2)至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入？
參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0.
解：(1)由本年度投入1 000萬元，以后每年投入將比上年減少，可知年投入為等比數列，且首項為1 000，公比為1－＝，則第n年的投入為1 000(1－)n－1萬元，
故n年內的總投入為an＝＝5 000－5 000()n.
由本年度當地旅游業收入估計為500萬元，今后旅游業收入每年會比上年增加，知旅游業年收入也為等比數列，且首項為500，公比為1＋＝，則第n年的收入為500(1＋)n－1萬元，
故n年內的旅游業總收入為bn＝＝2 000()n－2 000.
(2)由題意可知bn－an＞0，
即2 000()n－2 000－5 000＋5 000()n＞0，
化簡得2()n＋5()n－7＞0.
設()n＝x，代入上式并整理得5x2－7x＋2＞0，
解得x＜，或x＞1(舍去)，即()n＜，
不等式兩邊同時取常用對數得nlg ＜lg ，
所以n＞＝＝＝≈4.1，
由此得n≥5，n∈N*.
故至少經過5年旅游業的總收入才能超過總投入.
應用等比數列前n項和公式解決實際應用問題的步驟 第一步：構建數列模型； 第二步：由題意確定數列為等比數列，并由題干提取的條件得基本量； 第三步：利用等比數列的前n項和公式進行計算. 注意：(1)數列項數的確定，特別是涉及年份的問題，要能正確確認起始年份.(2)正確判斷問題是求數列的第n項，還是求數列的前n項和.
對點練2.(1)明代數學家吳敬所著的《九章算法比類大全》中，有一道數學命題叫“寶塔裝燈”，內容為：“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”(“倍加增”指燈的數量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數列遞增)，根據此詩，可以得出塔的頂層有(　　)
A.3盞燈 B.192盞燈
C.195盞燈 D.200盞燈
(2)一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80％. 這個熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？　　　　(填“能”或“不能”)
答案：(1)A　(2)不能
解析：(1)設每層燈的盞數為等比數列{an}，首項a1為頂層燈的盞數，公比q＝2，所以S7＝＝a1(27－1)＝381，解得a1＝3，即頂層有3盞燈.故選A.
(2)用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意，得＝an，因此，數列{an}是首項a1＝25，公比q＝的等比數列.熱氣球在前n分鐘內上升的總高度為Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×＜125.故這個熱氣球上升的高度不能超過125 m.
任務三　等差、等比數列的綜合運算
設{an}是等差數列，其前n項和為Sn(n∈N*)；{bn}是等比數列，公比大于0，其前n項和為Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.
(1)求Sn和Tn；
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整數n的值.
解：(1)設等比數列{bn}的公比為q(q＞0).
由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.
因為q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1.
所以Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1.
設等差數列{an}的公差為d.
由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.①
由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，②
聯立①②得a1＝1，d＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n.
所以Sn＝1＋2＋…＋n＝.
(2)由(1)，有
T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.
由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得
＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，
整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4.
所以n的值為4.
等差、等比數列有關綜合問題的關注點 1.化歸思想：將非等差、等比數列轉化構造成等差、等比數列，以便于利用其公式和性質解題. 2.等差(比)數列公式和性質的靈活應用. 3.當題中有多個數列出現時，既要研究單一數列項與項之間的關系，又要關注各數列之間的相互聯系.
對點練3.已知Sn是無窮等比數列{an}的前n項和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中項，6是2S2和3S3的等比中項.
(1)求S2和S3；
(2)求數列{an}的前n項和；
(3)求數列{Sn}的前n項和.
解：(1)根據已知條件得
整理得
(2)因為q≠1，所以
解得
所以Sn＝＝－.
(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn＝n－·＝n＋［1－(－)n］.
1.(2025·福建龍巖檢測)在等比數列{an}中，前n項和為Sn，S5＝10，S10＝50，則a16＋a17＋…＋a20＝(　　)
A.22 B.210
C.640 D.2 560
答案：C
解析：S20－S15＝a16＋a17＋…＋a20，由等比數列的片段和性質知，S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比數列，設公比為q，則q＝＝4，即S20－S15＝S5q3＝10×43＝640.故選C.
2.已知一個等比數列的項數是偶數，其奇數項之和為1 012，偶數項之和為2 024，則這個數列的公比為(　　)
A.8 B.－2
C.4 D.2
答案：D
解析：由＝q，可知q＝＝2.故選D.
3.某住宅小區計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數是前一天的2倍，則需要的最少天數n(n∈N*)等于　　　　.
答案：6
解析：由題意知，第n天植樹2n棵，則前n天共植樹2＋22＋…＋2n＝(－2)棵，令－2≥100，則≥102，又26＝64，27＝128，且{}單調遞增，所以n≥6，即n的最小值為6.
4.(雙空題)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且滿足4a1，2a2，a3成等差數列，則數列{an}的公比q＝　　　　　　　，如果a1＝1，則S4＝　　　　.
答案：2　15
解析：由4a1，2a2，a3成等差數列，可得4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，又因為a1＝1，則S4＝＝15.
課時測評12　等比數列前n項和的性質及其應用
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9小題，每小題5分，共45分)
1.已知等比數列{an}的公比q≠－1，設{an}的前n項和、前2n項和、前3n項和分別是A，B，C，則(　　)
A.A＋B＝C
B.3B－3A＝C
C.B2＝AC
D.B(B－A)＝A(C－A)
答案：D
解析：由等比數列的性質得，A，B－A，C－B成等比數列，故(B－A)2＝A(C－B)，整理得B2－AB＝AC－A2，即B(B－A)＝A(C－A).故選D.
2.一個項數為偶數的等比數列，它的偶數項和是奇數項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數列的項數為(　　)
A.6 B.8
C.10 D.12
答案：B
解析：設等比數列的項數為2n，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則q＝＝2，又它的首項為1，所以通項為an＝，中間兩項的和為an＋＝＋2n＝24，解得n＝4，所以項數為8.故選B.
3.有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現在有1個這種細菌和200個這種病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要(　　)
A.6秒鐘 B.7秒鐘
C.8秒鐘 D.9秒鐘
答案：C
解析：根據題意，每秒鐘細菌殺死的病毒數成等比數列，設需要n秒細菌可將病毒全部殺死，則1＋2＋22＋23＋…＋≥200，所以≥200，所以2n≥201，結合n∈N*，解得n≥8，即至少需要8秒細菌將病毒全部殺死.故選C.
4.設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S4＝2S8，則的值是(　　 )
A.－4 B.－
C. D.4
答案：B
解析：法一：已知等比數列{an}的前n項和為Sn，S4＝2S8，由等比數列的性質得，S4，S8－S4，S12－S8成等比數列，且公比不為－1，即2S8，－S8，S12－S8成等比數列，所以＝＝－，則2S12－2S8＝S8，所以2S12＝3S8，所以S12＝S8，所以＝＝－.故選B.
法二：由S4＝2S8，令S8＝k(k≠0)，則S4＝2k，因為S4，S8－S4，S12－S8成等比數列，即2k，－k，k成等比數列，所以S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝2k－k＋k＝k，所以＝＝－.故選B.
5.(多選)“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話出自《莊子·天下篇》，其意思為“一根一尺長的木棰每天截取一半，永遠都取不完”.設第一天這根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，則下列結論正確的是(　　 )
A.a6＝ B.＝8
C.a5＋a6＝ D.a1＋a2＋…＋a6＝
答案：BD
解析：依題意可知，a1，a2，a3，…成等比數列，且首項與公比均為，所以an＝×()n－1＝()n，則a6＝＝，＝＝8，a5＋a6＝()5＋()6＝，a1＋a2＋…＋a6＝＋()2＋…＋()6＝＝.故選BD.
6.(多選)已知各項均為正數且單調遞減的等比數列{an}滿足a3，a4，2a5成等差數列，其前n項和為Sn，且S5＝31，則下列結論正確的是(　　)
A.an＝()n－5 B.an＝2n＋1
C.Sn＝32－ D.Sn＝2n＋4－16
答案：AC
解析：由a3，a4，2a5成等差數列，得3a4＝a3＋2a5，設{an}的公比為q，則2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1(舍去)，所以S5＝＝31，解得a1＝16.所以數列{an}的通項公式為an＝16·()n－1＝()n－5，Sn＝＝32－，故選AC.
7.若等比數列{an}的公比為，且a1＋a3＋…＋a99＝60，則{an}的前100項和為　　　　.
答案：80
解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，則S100＝X＋Y，由等比數列前n項和性質知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝60＋20＝80.
8.設正項等比數列{an}的前n項和為Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，則公比q＝　　　　.
答案：
解析：由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比數列，所以＝q10＝.又{an}為正項等比數列，所以q＝.
9.《九章算術》中有一個“兩鼠穿墻”的問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問幾何日相逢？各穿幾何？”其大意為：“今有一堵墻厚5尺，兩只老鼠從墻的兩邊沿一條直線相對打洞穿墻，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.問大、小老鼠幾天后相遇？各自打洞幾尺？”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則Sn＝　　　　　　尺.
答案：2n－＋1
解析：由題意可知，大老鼠每天打洞的長度構成以1為首項，2為公比的等比數列，前n天打洞長度之和為＝2n－1，小老鼠每天打洞的長度構成以1為首項，為公比的等比數列，前n天打洞長度之和為＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.
10.(13分)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S3＝7，S6＝63.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn＝an＋log2an，求數列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)由題意知S6≠2S3，q≠1，
由等比數列的前n項和等距分段的性質知，
q3＝＝＝8，故q＝2，
所以S3＝＝7，代入q＝2可得a1＝1，
所以an＝.
(2)由(1)知bn＝＋n－1，
所以Tn＝(1＋2＋…＋)＋[1＋2＋…＋(n－1)]
＝＋
＝2n＋－1.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.(多選)已知各項均為正的等比數列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若S2＝1，S6＝91，則(　　)
A.S8＝729 B.S8＝820
C.q＝3 D.q＝9
答案：BC
解析：因為{an}為等比數列，所以S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…也成等比數列，因為S2＝1，S6＝91，所以(S4－1)2＝1×(91－S4)，即－S4－90＝(S4－10)(S4＋9)＝0，因為an＞0，所以Sn＞0，所以S4＝10，因為S4－S2＝10－1＝9，所以S8－S6＝1×93＝729，所以S8＝729＋91＝820，故A錯誤，B正確；因為q2＝＝9，且an＞0，所以q＝3，故C正確，D錯誤.故選BC.
12.(多選)(2025·福建漳州高二期中)如圖所示，圖①是邊長為1的正方形，以正方形的一邊為斜邊作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩個直角邊為邊分別作正方形，得到圖②.重復以上步驟，得到圖3……記圖①中正方形的個數為a1，圖②中正方形的個數為a2，圖③中正方形的個數為a3……圖○n中正方形的個數為an，則下列說法正確的有(　　)
A.a5＝63
B.圖⑤中的最小正方形的邊長為
C.a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2 036
D.若an＝255，即圖○n中所有正方形的面積之和為8
答案：BCD
解析：將大小相同的正方形看作同一“層”，易知自下而上每一“層”正方形的個數是以1為首項，2為公比的等比數列，根據等比數列的前n項和公式可知an＝2n－1.對于A，a5＝25－1＝31，故A錯誤；對于B，自下而上每一“層”的正方形的邊長是以1為首項，為公比的等比數列，所以第n“層”正方形的邊長bn＝()n－1，所以b5＝()5－1＝，故B正確；對于C，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝21－1＋22－1＋23－1＋…＋210－1＝21＋22＋23＋…＋210－10＝－10＝2 036，故C正確；對于D，由an＝2n－1＝255，解得n＝8，因為第n“層”正方形的面積和為2n－1［()n－1］2＝1，所以在圖⑧中所有正方形的面積之和為8，故D正確.故選BCD.
13.已知Sn為正項等比數列{an}的前n項和，若S6－3S3＝4，則S9－S6的最小值為　　　　.
答案：32
解析：由等比數列的性質，知S3，S6－S3，S9－S6成等比數列.又S6－3S3＝4，所以S9－S6＝＝＝4S3＋＋16≥2＋16＝32，當且僅當S3＝2時，等號成立，所以S9－S6的最小值為32.
14.(15分)(2025·浙江金華十校聯考)在一次招聘會上，A，B兩家分司分別給出它們的工資標準如下：
公司A：第一年月工資3 000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元；
公司B：第一年月工資為3 720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎上增加5％.
設某人年初同時通過A，B兩家公司的招聘程序.
(1)若此人分別在公司A、公司B連續工作n(n∈N*)年，則第n年的月工資分別為多少？
(2)若此人打算連續在其中一家公司工作10年，僅將工資收入總量作為考量因素，則他應選擇哪家公司？(1.0510≈1.6)
解：(1)若此人選擇在公司A連續工作n(n∈N*)年，
則他第n年的月工資是3 000＋(n－1)×300＝300n＋2 700(元).
若此人選擇在公司B連續工作n(n∈N*)年，則他第n年的月工資是3 720×(1＋0.05)n－1元.
(2)若此人選擇在其中一家公司連續工作10年，則在公司A、公司B得到的工資收入總量分別為：
公司A：12×[3 000＋(3 000＋1×300)＋…＋(3 000＋9×300)]＝12×3 000×10＋12×300×＝522 000(元)；
公司B：12×3 720×(1＋1.051＋1.052＋…＋1.059)＝12×3 720×≈535 680(元).
因為535 680＞522 000，所以應選擇公司B.
15.(5分)(新情境)螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖①所示.如圖②所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q，作第3個正方形MNPQ，以此方法一直繼續下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖②陰影部分，設直角三角形AEH的面積為b1，直角三角形EMQ的面積為b2，后續各直角三角形的面積依次為b3，…，bn，則數列{bn}的前n項和Sn＝　　　　　　　.
答案：4－4×
解析：由題意，設由外到內依次各正方形的邊長分別為a1，a2，a3，…，an，則a1＝4，a2＝＝a1，a3＝＝a2＝a1，…，an＝＝ ＝，于是數列{an}是以4為首項，為公比的等比數列，則an＝4×.由題意可得，S△AHE＝，即b1＝，b2＝，…，bn＝，
于是bn＝＝×，所以{bn}是以為首項，為公比的等比數列，Sn＝×＝4×＝4－4×.
16.(17分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差數列，{bn}是公比為2的等比數列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1)證明：a1＝b1；
(2)求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的個數.
解：(1)證明：設等差數列{an}的公差為d，
所以
解得b1＝a1＝，所以原命題得證.
(2)由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1 b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10，
所以滿足條件的解k＝2，3，4，…，10，故集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素個數為10－2＋1＝9.
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第一章　1.3 等比數列
1.3.3　等比數列的前n項和
第2課時　等比數列前n項和的性質及其應用
學習目標
1. 理解并能應用等比數列前n項和的性質解題，培養邏輯推理、數學運算的核心素養.
2. 能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題，提升數學建模、數學運算的核心素養.
任務一　等比數列前n項和公式的性質
新知構建
qn
q
qnSm

等比數列片段和性質的成立是有條件的，即Sn≠0.
微提醒
典例1
(1)等比數列{an}的前n項和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4的值為
A.28 B.32
C.21 D.28或－21
因為{an}為等比數列，所以S2，S4－S2，S6－S4也為等比數列，即7，S4－7，91－S4成等比數列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28，或S4＝－21.因為S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，所以S4＝28.故選A.
√
(2)已知等比數列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比q＝
A.5 B.4
C.3 D.2

√

規律方法
對點練1.(1)(2023·新課標Ⅱ卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝
A.120 B.85
C.－85 D.－120

√

(2) 已知項數為奇數的等比數列{an}的首項為1，奇數項之和為21，偶數項之和為10，則這個等比數列的項數為
A.5 B.7
C.9 D.11

返回
√
任務二　等比數列前n項和的實際應用
典例2
規律方法
應用等比數列前n項和公式解決實際應用問題的步驟
第一步：構建數列模型；
第二步：由題意確定數列為等比數列，并由題干提取的條件得基本量；
第三步：利用等比數列的前n項和公式進行計算.
注意：(1)數列項數的確定，特別是涉及年份的問題，要能正確確認起始年份.(2)正確判斷問題是求數列的第n項，還是求數列的前n項和.
對點練2.(1)明代數學家吳敬所著的《九章算法比類大全》中，有一道數學命題叫“寶塔裝燈”，內容為：“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”(“倍加增”指燈的數量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數列遞增)，根據此詩，可以得出塔的頂層有
A.3盞燈 B.192盞燈
C.195盞燈 D.200盞燈
√
(2)一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80％. 這個熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？________(填“能”或“不能”)
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不能

任務三　等差、等比數列的綜合運算
典例3
規律方法
等差、等比數列有關綜合問題的關注點
1.化歸思想：將非等差、等比數列轉化構造成等差、等比數列，以便于利用其公式和性質解題.
2.等差(比)數列公式和性質的靈活應用.
3.當題中有多個數列出現時，既要研究單一數列項與項之間的關系，又要關注各數列之間的相互聯系.
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隨堂評價
1.(2025·福建龍巖檢測)在等比數列{an}中，前n項和為Sn，S5＝10，S10＝50，則a16＋a17＋…＋a20＝
A.22 B.210
C.640 D.2 560
√
2.已知一個等比數列的項數是偶數，其奇數項之和為1 012，偶數項之和為2 024，則這個數列的公比為
A.8 B.－2
C.4 D.2
√
3.某住宅小區計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數是前一天的2倍，則需要的最少天數n(n∈N*)等于____.
6
4.(雙空題)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且滿足4a1，2a2，a3成等差數列，則數列{an}的公比q＝_____，如果a1＝1，則S4＝_____.
2
15
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課時測評
1.已知等比數列{an}的公比q≠－1，設{an}的前n項和、前2n項和、前3n項和分別是A，B，C，則
A.A＋B＝C
B.3B－3A＝C
C.B2＝AC
D.B(B－A)＝A(C－A)
由等比數列的性質得，A，B－A，C－B成等比數列，故(B－A)2＝A(C－B)，整理得B2－AB＝AC－A2，即B(B－A)＝A(C－A).故選D.
√
2.一個項數為偶數的等比數列，它的偶數項和是奇數項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數列的項數為
A.6 B.8
C.10 D.12
√
3.有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現在有1個這種細菌和200個這種病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要
A.6秒鐘 B.7秒鐘
C.8秒鐘 D.9秒鐘
√

√

√
√

√
√

80
8.設正項等比數列{an}的前n項和為Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，則公比q＝_____.


11.(多選)已知各項均為正的等比數列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若S2＝1，S6＝91，則
A.S8＝729
B.S8＝820
C.q＝3
D.q＝9
√
√
√
√
√


13.已知Sn為正項等比數列{an}的前n項和，若S6－3S3＝4，則S9－S6的最小值為______.
32
14.(15分)(2025·浙江金華十校聯考)在一次招聘會上，A，B兩家分司分別給出它們的工資標準如下：
公司A：第一年月工資3 000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元；
公司B：第一年月工資為3 720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎上增加5％.
設某人年初同時通過A，B兩家公司的招聘程序.
(1)若此人分別在公司A、公司B連續工作n(n∈N*)年，則第n年的月工資分別為
多少？
解：若此人選擇在公司A連續工作n(n∈N*)年，
則他第n年的月工資是3 000＋(n－1)×300＝300n＋2 700(元).
若此人選擇在公司B連續工作n(n∈N*)年，則他第n年的月工資是3 720×(1＋0.05)n－1元.
15.(5分)(新情境)螺旋線這個名詞來源于希臘文，
它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是
以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，
如圖①所示.如圖②所示陰影部分也是一個美麗
的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q，作第3個正方形MNPQ，以此方法一直繼續下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖②陰影部分，設直角三角形AEH的面積為b1，直角三角形EMQ的面積為b2，后續各直角三角形的面積依次為b3，…，bn，則數列{bn}的前n項和Sn＝___________.


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