資源簡介

第3課時　數列求和
學習目標 數列求和問題是學習的重點與難點，也是高考考查的熱點，解答此類問題的基本原則是轉化為等差數列或等比數列的前n項和問題.本節課在熟練掌握等差數列和等比數列的求和公式的基礎上，進一步掌握分組轉化法求和、裂項相消法求和、錯位相減法求和等方法.
應用一　分組轉化法求和
已知等差數列{an}的前四項和為10，且a2，a3，a7成等比數列，
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝an＋2n，求數列的前n項和Sn.
解：(1)設等差數列{an}的公差為d，
由題意，得
解得
所以an＝或an＝－2＋3(n－1)＝3n－5.
(2)當an＝時，bn＝＋2n，
此時Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2；
當an＝3n－5時，bn＝(3n－5)＋2n，
此時Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2.
分組轉化法求和的常見類型
對點練1.設數列{an}的前n項和為Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋.
(1)求通項公式an；
(2)求數列{｜an－n－2｜}的前n項和.
解：(1)由題意得又當n≥2時，an＝2Sn－1＋1，
故an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，且＝3，
所以數列{an}是公比為3的等比數列，所以數列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N＋.
(2)設bn＝｜3n－1－n－2｜，n∈N＋，b1＝2，b2＝1.
當n≥3時，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
設數列{bn}的前n項和為Tn，則T1＝2，T2＝3.
當n≥3時，Tn＝3＋－＝，且n＝2時符合上式，
所以Tn＝
應用二　裂項相消法求和
已知{an}是公差不為零的等差數列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數列.
(1)求數列{an}的通項；
(2)設數列{an}的前n項和為Sn，求數列的前n項和Tn.
解：(1)設公差為d，d≠0，由a1＝1，且a1，a3，a9成等比數列，
則＝，解得d＝1或d＝0(舍去)，
an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，故{an}的通項為an＝n.
(2)因為an＝n，則Sn＝＝
所以＝＝＝2(－)，
所以Tn＝2(1－＋－＋…＋－)
＝2(1－)＝2(－)＝2()＝.
裂項相消法求和常見的裂項技巧 1.＝－)； 2.＝－)； 3.＝－)； 4.＝＝－.
對點練2.已知數列{an}各項均為正數，其前n項和為Sn，且滿足4Sn＝(an＋1)2.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數列的前n項和Tn.
解：(1)因為4Sn＝(an＋1)2，
所以4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，
當n≥2時，由4Sn＝(an＋1)2①可得，4Sn－1＝(an－1＋1)2②，
①－②并整理得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因為an＞0，所以an＋an－1≠0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
所以{an}是以a1＝1為首項，以d＝2為公差的等差數列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1；
綜上所述，an＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝＝＝，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝.綜上所述，Tn＝.
應用三　錯位相減法求和
數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn(n＝1，2，3，…).
(1)證明：數列是等比數列；
(2)求數列的前n項和Tn.
解：(1)證明：因為(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn，即an＋1＝·Sn，
因為an＋1＝Sn＋1－Sn＝·Sn，可得Sn＋1＝·Sn，所以＝2·，
又a1＝1，可得＝1，
所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列.
(2)由(1)可得＝2n－1，所以Sn＝(2n－1)·2n－1，
則Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，①
2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，②
①－②得，－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n
＝1＋2×－(2n－1)·2n
＝(3－2n)·2n－3，
所以Tn＝(2n－3)·2n＋3.
錯位相減法求解數列的前n項和 1.適用條件：若數列{an}為等差數列，數列為等比數列，求解數列的前n項和Sn. 2.注意事項 (1)在寫出Sn和qSn的表達式時，應注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn； (2)作差后，應注意減式中所剩各項的符號要變號； (3)作差后，作差部分應為n－1項的等比數列求和.
對點練3.已知正項數列{an}的前n項和為Sn，數列{an}滿足4Sn＝＋2an.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若數列滿足b1＝a1－1，3bn＋1＝bn，且cn＝anbn，求數列的前n項和Mn.
解：(1)當n＝1時，4a1＝＋2a1，因為a1＞0，所以a1＝2，
由4Sn＝＋2an①，可得4Sn＋1＝＋2an＋1，②
②－①得，4an＋1＝－＋2an＋1－2an，整理得－－2an＋1－2an＝0，
所以(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，因為an＞0，所以an＋1－＝2，
所以數列{an}是首項為2，公差為2的等差數列，所以an＝2n.
(2)因為b1＝a1－1＝2－1＝1，＝，
所以數列是首項為1，公比為的等比數列，所以bn＝()n－1，
于是cn＝anbn＝2n×()n－1，Mn＝2×1＋4×＋6×()2＋…＋2n×()n－1，③
Mn＝2×＋4×()2＋6×()3＋…＋2n×()n，④
③－④得，Mn＝2＋2×＋2×()2＋2×()3＋…＋2×()n－1－2n×()n
＝2×－2n×()n
＝2×－2n×()n，
所以Mn＝－(＋n)×()n－1.
1.Sn＝＋＋＋…＋＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由Sn＝＋＋＋…＋，
得Sn＝1×()2＋2×()3＋3×()4＋…＋n×()n＋1，
兩式相減得Sn＝＋()2＋()3＋()4＋…＋()n－n×()n＋1
＝－n()n＋1＝1－－n()n＋1＝，
所以Sn＝.故選B.
2.已知等差數列{an}中，a5＝5，a8＝8，則數列的前n項和為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，
因為a5＝5，a8＝8，所以所以an＝n，
則＝＝－，所以數列的前n項和為－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.故選B.
3.2020年疫情期間，某醫院30天每天因患新冠肺炎而入院就診的人數依次構成數列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且滿足an＋2－an＝1－(－1)n，則該醫院30天內因患新冠肺炎就診的人數共有　　　　　.
答案：255
解析：由于an＋2－an＝1－(－1)n，當n為偶數時，an＋2－an＝0，因此前30項中的偶數項構成常數列，各項都等于a2＝2，共有15項，和為15×2＝30；
當n為奇數時，an＋2－an＝2，又a1＝1，所以前30項中的奇數項構成首項為1，公差為2的等差數列，共有15項，和為15×1＋×2＝225.
故30天的總人數為30＋225＝255.
4.已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋).
(1)記bn＝an＋1，證明：數列{bn}為等比數列，并求數列{bn}的通項公式；
(2)記數列{bn}前n項和為Tn，證明：＋＋…＋＜.
證明：(1)由an＋1＝2an＋1可得
an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以{bn}是以首項a1＋1＝2，公比為2的等比數列，
所以bn＝an＋1＝2n.
(2)易得Tn＝＝2(2n－1)，
于是＝＝－＝，
所以＋＋…＋＝
＝，
因為＞0，所以
＋＋…＋＜.
課時測評13　數列求和
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.已知等差數列{an}滿足a5－2a1＝7，a3＝5，則數列的前10項的和為(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因為 所以an＝2n－1.
所以＝＝－)，數列的前10項的和等于×［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝×(1－)＝.故選D.
2.已知an＝(n∈N＋)，則a1＋a2＋a3＋…＋a80＝(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
答案：B
解析：因為an＝＝－(n∈N＋)，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a80＝－1＋－＋…＋－＝9－1＝8，故選B.
3.已知{an}的前n項和為Sn，a1＝1，當n≥2時，an＋2Sn－1＝n，則S2 019的值為(　　)
A.1 008 B.1 009
C.1 010 D.1 011
答案：C
解析：由題意，當n≥2時，可得Sn－1＝Sn－an，
因為an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n，
即2Sn＝an＋n，
當n≥2時，2Sn－1＝an－1＋n－1，兩式相減，可得2an＝an－an－1＋1，即an＋an－1＝1，
所以a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，a6＋a7＝1，…，
所以S2 019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝1＋×1＝1 010.故選C.
4.已知數列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N＋)，則數列{an}的前10項的和為(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由題意得，2n＋1an＋1＝2nan＋1，所以{2nan}是以1為首項，1為公差的等差數列，
所以2nan＝1＋(n－1)＝n，得an＝.記數列{an}的前n項和為Sn，
則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，
作差得Sn＝＋＋＋…＋－，
得Sn＝－，即Sn＝2－，
所以S10＝2－＝2－＝2－＝.故選C.
5.(多選)已知數列{an}為等差數列，a1＝1，且a2，a4，a8是一個等比數列中的相鄰三項，記bn＝an·，則{bn}的前n項和可以是(　　)
A.n B.2n
C.2n＋1－2 D.(n－1)2n＋1＋2
答案：BD
解析：設等差數列{an}的公差為d，由a2，a4，a8是一個等比數列中的相鄰三項，
得＝a2a8，即(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，整理得d2－d＝0，即d＝0或d＝1.
所以an＝1或an＝1＋1×(n－1)＝n.
當an＝1時，bn＝an·＝2.
當an＝n時，bn＝an·＝n·2n.若bn＝2，則{bn}的前n項和為2n；
若bn＝n·2n，設{bn}的前n項和為Sn，
則Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
所以2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，
則Sn＝(n－1)2n＋1＋2.故選BD.
6.計算：＋＋＋…＋＝　　　　　.
答案：
解析：＋＋＋…＋
＝×(1－)＋×(－)＋…＋×(－)
＝×(1－)＝.
7.在數列{an}中，若a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝2，記Sn是數列{an}的前n項和，則S100＝　　　　　.
答案：2 550
解析：因為a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝2，
所以當n為奇數時，an＋2－an＝2，即數列{an}的奇數項為公差為2的等差數列，當n為偶數時，an＋2＋an＝2.
所以a1＋a3＋a5＋…＋a99＝50×1＋×2＝2 500，
(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＋…＋(a98＋a100)＝2×25＝50，
所以S100＝2 500＋50＝2 550.
8.設等差數列{an}的公差為非零常數d，且a1＝1，若a1，a2，a4成等比數列，則公差d＝　　　　　；數列的前100項和S100＝　　　　　.
答案：1　
解析：因為a1，a2，a4成等比數列，所以＝a1a4，即(1＋d)2＝1×(1＋3d)，
又d≠0，解得d＝1.所以an＝n，＝＝－，
所以S100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝.
9.(10分)已知等差數列{an}的公差d不為0，a1＝1，a2是a1與a6的等比中項.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)記bn＝，求數列{bn}的前n項和Sn.
解：(1)由已知得＝a1·a6，所以(a1＋d)2＝a1·(a1＋5d)，
化簡得d2＝3d，因為d≠0，所以d＝3，
所以an＝3n－2.
(2)由(1)知bn＝＝－)，
所以Sn＝［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝(1－)＝.
10.(10分)在等比數列{an}中，a2＝4，a5＝32.
(1)求an；
(2)設bn＝3log2an，cn＝bn·an，求數列{cn}的前n項和Tn.
解：(1)設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，由已知a2＝4，a5＝32，可得所以an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)知bn＝3log2an＝3log22n＝3n，cn＝3n·2n，
所以Tn＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3n·2n，①
2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3n·2n＋1，②
①－②得，－Tn＝3×21＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－3n·2n＋1
＝3×(21＋22＋23＋…＋2n)－3n·2n＋1
＝3×－3n·2n＋1
＝3×(2n＋1－21)－3n·2n＋1
＝3(1－n)·2n＋1－6，
所以Tn＝3(n－1)·2n＋1＋6.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.(多選)若數列{an}的前n項和是Sn，且Sn＝2an－2，數列{an}滿足bn＝log2an，則下列選項正確的為(　　)
A.數列{an}是等差數列
B.an＝2n
C.數列{}的前n項和為
D.數列的前n項和為Tn，則Tn＜1
答案：BD
解析：當n＝1時，a1＝2，當n≥2時，由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2，
兩式相減得，an＝2an－1，又a2＝2a1，所以數列{an}是以2為首項，以2為公比的等比數列，
所以an＝2n，＝4n，數列{}的前n項和為S'n＝＝，
則bn＝log2an＝log22n＝n，所以＝＝－，
所以Tn＝－＋－＋－＋…＋－＝1－＜1，故選BD.
12.定義為n個正數p1，p2，…，pn的“均倒數”，若已知數列{an}的前n項的“均倒數”為，又bn＝，則＋＋…＋＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：設數列{an}的前n項和為Sn，由題意可得＝，則：Sn＝2n2，
當n＝1時，a1＝S1＝2，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4n－2，
且a1＝4×1－2＝2，據此可得an＝4n－2，
故bn＝＝2n－1，＝
＝－)，
則＋＋…＋＝［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝×＝，故選D.
13.在遞減等差數列{an}中，a1a3＝－4，若a1＝13，則數列的前n項和的最大值為　　　　　.
答案：
解析：由題意知數列{an}為等差遞減數列，則公差d＜0，
因為a1a3＝－4，所以a1(a1＋2d)＝(a1＋d)2－4，即＋2a1d＝＋2a1d＋d2－4，
解得d＝－2或d＝2(舍去)，故數列{an}的通項公式為
an＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)×(－2)＝15－2n，
所以＝＝×(－)，設的前n項和為Sn，
則Sn＝×(－＋－＋…＋－)＝×(－＋)，
當n≤6時，Sn＞0且單調遞增，當n≥7時Sn＜0，
所以n＝6時，Sn取得最大值，即S6＝×(－＋1)＝.
14.(13分)已知數列{an}，其前n項和為Sn滿足：a1＝1，對任意的n∈N＋都有an＞0，且＝2Sn＋an＋1.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設數列的前n項和為Tn，不等式Tn＞loga(1－a)對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍.
解：(1)對任意的n∈N＋都有an＞0，a1＝1且＝2Sn＋an＋1.
當n＝1時，可得＝2＋a2，整理得－a2－2＝0，
因為a2＞0，解得a2＝2；
當n≥2時，由＝2Sn＋an＋1可得＝2Sn－1＋an，
上述兩個等式相減得－＝an＋1＋an，
即(an＋1＋an)·(an＋1－an)＝an＋1＋an，
顯然an＋1＋an＞0，所以an＋1－an＝1且a2－a1＝1，
所以，數列{an}為等差數列，且首項為1，公差也為1，因此，an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)因為an＝n，則＝
＝－)，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋
＝(1－)＋－)＋－)＋…＋－)＋－)
＝(1＋－－)＝－＋)，
因為Tn＋1－Tn＝＞0，
所以數列{Tn}單調遞增，則(Tn)min＝T1＝.
要使不等式Tn＞loga(1－a)對任意正整數n恒成立，只要＞loga(1－a).
由題意可得解得0＜a＜1，由loga(1－a)＜可得loga(1－a)＜1，
所以1－a＞a，解得a＜.綜上所述，實數a的取值范圍是(0，).
15.(5分)《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：2＝，3＝，4＝ ，5＝ ，…，則按照以上規律，若(n＋1)＝具有“穿墻術”，Tn為數列的前n項和，則T9的值為　　　　　.
答案：
解析：因為2＝2＝＝，
3＝3＝＝，
4＝4＝＝ ，
5＝5＝＝ ，
以此類推，由(n＋1)＝可知an＝(n＋1)2－1，
事實上
(n＋1) ＝(n＋1) ＝
＝
＝
＝ ，
所以＝＝＝－)，
因此，T9＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)＝.
16.(17分)已知函數f(x)＝log3(ax＋b)的圖象經過點A(2，1)和B(5，2)，記an＝3f(n)，n∈N＋.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn；
(3)在(2)的條件下，判斷數列{Tn}的單調性，并給出證明.
解：(1)由題意得
所以f(x)＝log3(2x－1)，an＝＝2n－1，n∈N＋；
(2)由(1)得bn＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋　①，
Tn＝＋＋…＋＋＋　②，
①－②得，Tn＝＋＋＋…＋＋－
＝＋(＋＋＋…＋＋)－
＝－－，
所以Tn＝3－－＝3－.
(3)數列{Tn}為遞增數列，因為Tn＝3－，令f(n)＝，n∈N＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝－＝＜0，
即f(n＋1)＜f(n).
所以f(n)＝，n∈N＋隨n的增大而減小，則數列{Tn}為遞增數列.
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第一章　1.3 等比數列
1.3.3　等比數列的前n項和
第3課時　數列求和
學習目標
數列求和問題是學習的重點與難點，也是高考考查的熱點，解答此類問題的基本原則是轉化為等差數列或等比數列的前n項和問題.本節課在熟練掌握等差數列和等比數列的求和公式的基礎上，進一步掌握分組轉化法求和、裂項相消法求和、錯位相減法求和等方法.
應用一　分組轉化法求和
典例1
規律方法
分組轉化法求和的常見類型
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應用二　裂項相消法求和
典例2
規律方法
對點練2.已知數列{an}各項均為正數，其前n項和為Sn，且滿足4Sn＝(an＋1)2.
(1)求數列{an}的通項公式；
解：因為4Sn＝(an＋1)2，
所以4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，
當n≥2時，由4Sn＝(an＋1)2①可得，4Sn－1＝(an－1＋1)2②，
①－②并整理得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因為an＞0，所以an＋an－1≠0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
所以{an}是以a1＝1為首項，以d＝2為公差的等差數列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1；
綜上所述，an＝2n－1.
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應用三　錯位相減法求和
典例3
規律方法
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隨堂評價
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3.2020年疫情期間，某醫院30天每天因患新冠肺炎而入院就診的人數依次構成數列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且滿足an＋2－an＝1－(－1)n，則該醫院30天內因患新冠肺炎就診的人數共有_______.

255
4.已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋).
(1)記bn＝an＋1，證明：數列{bn}為等比數列，并求數列{bn}的通項公式；
證明：由an＋1＝2an＋1可得
an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以{bn}是以首項a1＋1＝2，公比為2的等比數列，
所以bn＝an＋1＝2n.
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課時測評

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√
3.已知{an}的前n項和為Sn，a1＝1，當n≥2時，an＋2Sn－1＝n，則S2 019的值為
A.1 008 B.1 009
C.1 010 D.1 011
√
由題意，當n≥2時，可得Sn－1＝Sn－an，
因為an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n，
即2Sn＝an＋n，
當n≥2時，2Sn－1＝an－1＋n－1，兩式相減，可得2an＝an－an－1＋1，即an＋an－1＝1，
√

√

√



7.在數列{an}中，若a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝2，記Sn是數列{an}的前n項和，則S100＝________.

2 550


1
√
√

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