資源簡介

2.2　直線的方程
2.2.1　直線的點斜式方程
學習目標 1.了解由斜率公式推導直線方程的點斜式的過程，發展邏輯推理的核心素養. 2.掌握直線的點斜式方程與斜截式方程，培養直觀想象的核心素養. 3.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關的問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　直線的點斜式方程
問題1.給定一個點P0(x0，y0)和斜率k(或傾斜角)就能確定一條直線.怎么確定P0(x0，y0)和斜率k之間的關系？
提示：y－y0＝k(x－x0)
當斜率不存在時，直線方程為x＝x0；當斜率為0時，直線方程為y＝y0.
點斜式
已知條件 點P(x0，y0)和斜率k
圖式
方程形式 y－y0＝k(x－x0)
適用條件 斜率存在
寫出下列直線的點斜式方程.
(1)經過點A(－3，－1)，斜率為；
(2)經過點B(，1)，傾斜角是120°；
(3)經過點C(0，5)且與x軸垂直.
解：(1)y＋1＝(x＋3).
(2)傾斜角為120°，則斜率為－，
所以該直線方程為y－1＝－(x－).
(3)因為直線垂直于x軸，斜率不存在，所以該直線的方程為x＝0.
求直線的點斜式方程 1.求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0). 2.點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外. 注意：斜率不存在時，過點P(x0，y0)的直線與x軸垂直，直線上所有點的橫坐標相等，都為x0，故直線方程為x＝x0.
對點練1.已知直線的方程為y＋2＝－x－1，則(　　)
A.該直線過點(－1，2)，斜率為－1
B.該直線過點(－1，2)，斜率為1
C.該直線過點(－1，－2)，斜率為－1
D.該直線過點(－1，－2)，斜率為1
答案：C
解析：直線的方程可化為點斜式y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直線過點(－1，－2)，斜率為－1.
對點練2.分別求出經過點P(3，4)，且滿足下列條件的直線方程，并畫出圖形.
(1)斜率k＝2；(2)與x軸平行；(3)與x軸垂直.
解：(1)由點斜式方程得y－4＝2(x－3).
(2)與x軸平行時，k＝0，
所以y－4＝0×(x－3)，即y＝4.
(3)與x軸垂直，斜率不存在，方程為x＝3.
任務二　直線的斜截式方程
問題2.直線l上給定一個點P0(0，b)和斜率k，求直線l的方程.
提示：y＝kx＋b
斜截式
已知條件 斜率k和直線在y軸上的截距b
圖示
方程形式 y＝kx＋b
適用條件 斜率存在
根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；
(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；
(3)傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3.
解：(1)由直線方程的斜截式可知，所求直線方程為y＝2x＋5.
(2)因為傾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程為y＝－x－2.
(3)因為直線的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.
因為直線與y軸的交點到原點的距離為3，
所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，
所以所求直線的斜截式方程為y＝x＋3或y＝x－3.
求直線的斜截式方程的策略 1.求直線的斜截式方程只要分別求出直線的斜率和在y軸上的截距，代入方程即可； 2.當斜率和截距未知時，可結合已知條件，先求出斜率和截距，再寫出直線的斜截式方程.
對點練3.寫出下列直線的斜截式方程：
(1)直線斜率是3，在y軸上的截距是－3；
(2)直線傾斜角是60°，在y軸上的截距是5；
(3)直線在x軸上的截距為4，在y軸上的截距為－2.
解：(1)由直線方程的斜截式可知，所求方程為y＝3x－3.
(2)因為k＝tan 60°＝，所以所求直線的斜截式方程為y＝x＋5.
(3)因為直線在x軸上的截距為4，在y軸上的截距為－2，
所以直線過點(4，0)和(0，－2)，所以k＝＝，
所以所求直線的斜截式方程為y＝x－2.
任務三　直線過定點問題
直線y＝ax－3a＋2(a∈R)必過定點　　　　.
答案：(3，2)
解析：將直線方程變形為y－2＝a(x－3)，由直線方程的點斜式可知，直線過定點(3，2).
揭秘“直線過定點”的問題 含有一個參數的直線方程，一般過定點.求定點的方法有兩種： 1.將直線方程化成點斜式，由點斜式方程觀察得到定點； 2.將x，y看成參數的系數，變形整理后，對參數取任意的值，式子都成立，從而轉化為方程組，求x，y的值，由x，y確定的點就是“定點”，如本題，原方程可化為(x－3)a＋2－y＝0.上式對任意的a都成立，所以所以直線過定點(3，2).
對點練4.求證：不論m為何值，直線l：y＝(m－1)x＋2m＋1總過第二象限.
證明：直線l的方程可化為y－3＝(m－1)(x＋2)，
所以直線l過定點(－2，3).
由于點(－2，3)在第二象限，故直線l總過第二象限.
1.直線y＝2x－3在y軸上的截距是(　　)
A.3 B.2
C.－2 D.－3
答案：D
解析：對于直線y＝2x－3，當x＝0時，y＝－3，因此直線y＝2x－3在y軸上的截距為－3.
2.若直線l的傾斜角為45°，且經過點(2，0)，則直線l的方程是(　　)
A.y＝x＋2 B.y＝x－2
C.y＝x－ D.y＝x－2
答案：B
解析：由題得直線l的斜率k＝tan 45°＝1，由點斜式求得直線l的方程為y－0＝x－2，即y＝x－2，故選B.
3.方程y＝k(x－2)表示(　　)
A.過點(－2，0)的所有直線
B.過點(2，0)的所有直線
C.過點(2，0)且不垂直于x軸的所有直線
D.過點(2，0)且除去x軸的所有直線
答案：C
解析：易驗證直線通過點(2，0)，又直線斜率存在，故直線不垂直于x軸.
4.已知直線l的傾斜角為60°，且在y軸上的截距為－2，則此直線的方程為(　　)
A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2
C.y＝－x－2 D.y＝x－2
答案：D
解析：因為α＝60°，所以k＝tan 60°＝，
所以直線l的方程為y＝x－2.
5.若直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限，則有(　　)
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
答案：B
解析：因為直線經過第一、三、四象限，
所以圖形如圖所示，由圖知，k＞0，b＜0.
課時測評16　直線的點斜式方程
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.傾斜角為60°且在x軸上的截距為的直線方程為(　　)
A.y＝－x＋3 B.y＝－x－3
C.y＝x＋3 D.y＝x－3
答案：D
解析：斜率為tan 60°＝，利用點斜式直接寫出方程，即y＝x－3.
2.已知直線的點斜式方程是y－2＝－(x－1)，那么此直線的傾斜角為(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案：C
解析：因為直線的點斜式方程是y－2＝－(x－1)，所以直線的斜率為－.設直線的傾斜角為α，則tan α＝－且0°≤α＜180°，所以α＝120°，故選C.
3.(多選)給出下列四個結論，正確的是(　　)
A.方程k＝與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線
B.直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1
C.直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y1
D.所有的直線都有點斜式和斜截式方程
答案：BC
解析：A不正確，方程k＝不含點(－1，2)；B正確；C正確；D只有k存在時成立.
4.已知直線l的方程為y＋＝(x－1)，則l在y軸上的截距為(　　)
A.9 B.－9
C. D.－
答案：B
解析：由y＋＝(x－1)，得y＝x－9，
所以l在y軸上的截距為－9.
5.已知直線kx－y＋1－3k＝0，當k變化時，所有的直線恒過定點(　　)
A.(1，3) B.(－1，－3)
C.(3，1) D.(－3，－1)
答案：C
解析：直線kx－y＋1－3k＝0變形為y－1＝k(x－3)，
由直線的點斜式可得直線恒過定點(3，1).
6.已知直線l經過點P(－2，5)，且斜率為－，則直線l的方程為　　　　　　　　.
答案：y＝－x＋
解析：由點斜式得y－5＝－(x＋2)，
即y＝－x＋.
7.已知直線y＝x＋1繞著其上一點P(3，4)逆時針旋轉90°后得直線l，則直線l的點斜式方程為　　　　　　　.
答案：y－4＝－(x－3)
解析：直線y＝x＋1的斜率k＝1，所以傾斜角為45°.
由題意知，直線l的傾斜角為135°，
所以直線l的斜率k'＝tan 135°＝－1，又點P(3，4)在直線l上，
所以直線l的點斜式方程為y－4＝－(x－3).
8.在y軸上的截距為－6，且與y軸相交成30°角的直線的斜截式方程是　　　　　　　.
答案：y＝x－6或y＝－x－6
解析：因為直線與y軸相交成30°角，
所以直線的傾斜角為60°或120°，
所以直線的斜率為或－，
又因為在y軸上的截距為－6，
所以直線的斜截式方程為y＝x－6或y＝－x－6.
9.(10分)已知所求直線的斜率是直線y＝－x＋1的斜率的－，求分別滿足下列條件的直線方程.
(1)經過點(，－1).
(2)在y軸上的截距是－5.
解：(1)因為直線y＝－x＋1的斜率k＝－.
所以所求直線的斜率k1＝－＝.
因為直線過點(，－1)，所以所求直線方程為y＋1＝(x－)，即x－3y－6＝0.
(2)因為直線在y軸上的截距為－5，所求直線的斜率k1＝－＝，
所以所求直線方程為y＝x－5.
10.(13分)直線l過點(2，2)，且與x軸和直線y＝x圍成的三角形的面積為2，求直線l的方程.
解：當直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝2，經檢驗符合題目的要求.
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2＝k(x－2)，
令y＝0，得x＝.
由三角形的面積為2，得×2＝2.
解得k＝.
可得直線l的方程為y－2＝(x－2)，
綜上可知，直線l的方程為x＝2或y－2＝(x－2).
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標系內的圖象只可能是(　　)
答案：D
解析：對于A選項，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；對于B選項，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；對于C選項，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；對于D選項，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，故選D.
12.已知直線l的斜率k＝－2，直線l與直線y＝x＋6在y軸上的截距相等，則直線l的方程為　　　　.
答案：y＝－2x＋6
解析：因為直線l的斜率k＝－2.又因為直線y＝x＋6在y軸上的截距為6，所以直線l在y軸上的截距為6，
所以直線l的方程為y＝－2x＋6.
13.已知直線l在y軸上的截距等于它的斜率，則直線l一定經過點　　　　.
答案：(－1，0)
解析：由題意可設方程為y＝ax＋a，即y－0＝a(x＋1)，
由點斜式方程可知，直線過定點(－1，0).
14.(15分)已知直線l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求證：直線l恒過一個定點；
(2)當－3＜x＜3時，直線上的點都在x軸上方，求實數k的取值范圍.
解：(1)證明：由y＝kx＋2k＋1，
得y－1＝k(x＋2).
由直線方程的點斜式可知，直線恒過定點(－2，1).
(2)設函數f(x)＝kx＋2k＋1，顯然其圖象是一條直線(如圖所示)，
若使當－3＜x＜3時，直線上的點都在x軸上方，
需滿足
解得－≤k≤1.
所以實數k的取值范圍是.
15.(17分)已知直線l：y＝ax＋.
(1)求證：無論a為何值，直線l必經過第一象限；
(2)若直線l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.
解：(1)證明：因為y＝ax＋＝a(x－)＋，
所以直線l恒過定點.
因為點位于第一象限，所以直線l必經過第一象限.
(2)設A，
則直線OA的斜率kOA＝＝3.
若直線l不經過第二象限，則直線l的斜率kl≥3，即a≥3.
所以實數a的取值范圍為[3，＋∞).
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第2章　 2.2　直線的方程
2.2.1　直線的點斜式方程
學習目標
1. 了解由斜率公式推導直線方程的點斜式的過程，發展邏輯推理的核心素養.
2. 掌握直線的點斜式方程與斜截式方程，培養直觀想象的核心素養.
3. 會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關的問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　直線的點斜式方程
問題1.給定一個點P0(x0，y0)和斜率k(或傾斜角)就能確定一條直線.怎么確定P0(x0，y0)和斜率k之間的關系？
提示：y－y0＝k(x－x0)
問題導思
當斜率不存在時，直線方程為x＝x0；當斜率為0時，直線方程為y＝y0.
新知構建
點斜式
已知條件 點P(x0，y0)和_______
圖式
方程形式 y－y0＝__________
適用條件 斜率存在
斜率k
k(x－x0)
典例1
規律方法
求直線的點斜式方程
1.求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0).
2.點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外.
注意：斜率不存在時，過點P(x0，y0)的直線與x軸垂直，直線上所有點的橫坐標相等，都為x0，故直線方程為x＝x0.
對點練1.已知直線的方程為y＋2＝－x－1，則
A.該直線過點(－1，2)，斜率為－1
B.該直線過點(－1，2)，斜率為1
C.該直線過點(－1，－2)，斜率為－1
D.該直線過點(－1，－2)，斜率為1
直線的方程可化為點斜式y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直線過點(－1，－2)，斜率為－1.
√
對點練2.分別求出經過點P(3，4)，且滿足下列條件的直線方程，并畫出圖形.
(1)斜率k＝2；
解：由點斜式方程得y－4＝2(x－3).
(2)與x軸平行；
解：與x軸平行時，k＝0，
所以y－4＝0×(x－3)，即y＝4.
(3)與x軸垂直.
解：與x軸垂直，斜率不存在，方程為x＝3.
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任務二　直線的斜截式方程
問題2.直線l上給定一個點P0(0，b)和斜率k，求直線l的方程.
提示：y＝kx＋b
問題導思
新知構建
斜截式
已知條件 斜率k和直線在y軸上的截距b
圖示
方程形式 __________
適用條件 斜率存在
y＝kx＋b
典例2
規律方法
求直線的斜截式方程的策略
1.求直線的斜截式方程只要分別求出直線的斜率和在y軸上的截距，代入方程即可；
2.當斜率和截距未知時，可結合已知條件，先求出斜率和截距，再寫出直線的斜截式方程.
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任務三　直線過定點問題
典例3
直線y＝ax－3a＋2(a∈R)必過定點_______.
(3，2)
將直線方程變形為y－2＝a(x－3)，由直線方程的點斜式可知，直線過定點(3，2).
規律方法

對點練4.求證：不論m為何值，直線l：y＝(m－1)x＋2m＋1總過第二象限.
證明：直線l的方程可化為y－3＝(m－1)(x＋2)，
所以直線l過定點(－2，3).
由于點(－2，3)在第二象限，故直線l總過第二象限.
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隨堂評價
1.直線y＝2x－3在y軸上的截距是
A.3 B.2
C.－2 D.－3
√
對于直線y＝2x－3，當x＝0時，y＝－3，因此直線y＝2x－3在y軸上的截距為－3.
√
由題得直線l的斜率k＝tan 45°＝1，由點斜式求得直線l的方程為y－0＝x－2，即y＝x－2，故選B.
3.方程y＝k(x－2)表示
A.過點(－2，0)的所有直線
B.過點(2，0)的所有直線
C.過點(2，0)且不垂直于x軸的所有直線
D.過點(2，0)且除去x軸的所有直線
√
易驗證直線通過點(2，0)，又直線斜率存在，故直線不垂直于x軸.
√
5.若直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限，則有
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
因為直線經過第一、三、四象限，
所以圖形如圖所示，由圖知，k＞0，b＜0.
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√
課時測評
√
√
√
√
√
5.已知直線kx－y＋1－3k＝0，當k變化時，所有的直線恒過定點
A.(1，3) B.(－1，－3)
C.(3，1) D.(－3，－1)
√
直線kx－y＋1－3k＝0變形為y－1＝k(x－3)，
由直線的點斜式可得直線恒過定點(3，1).
7.已知直線y＝x＋1繞著其上一點P(3，4)逆時針旋轉90°后得直線l，則直線l的點斜式方程為________________.
直線y＝x＋1的斜率k＝1，所以傾斜角為45°.
由題意知，直線l的傾斜角為135°，
所以直線l的斜率k'＝tan 135°＝－1，又點P(3，4)在直線l上，
所以直線l的點斜式方程為y－4＝－(x－3).
y－4＝－(x－3)
8.在y軸上的截距為－6，且與y軸相交成30°角的直線的斜截式方程是___
_____________________.
y＝
11.直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標系內的圖象只可能是
√
對于A選項，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；對于B選項，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；對于C選項，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；對于D選項，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，故選D.
12.已知直線l的斜率k＝－2，直線l與直線y＝x＋6在y軸上的截距相等，則直線l的方程為____________.
因為直線l的斜率k＝－2.又因為直線y＝x＋6在y軸上的截距為6，所以直線l在y軸上的截距為6，
所以直線l的方程為y＝－2x＋6.
y＝－2x＋6
13.已知直線l在y軸上的截距等于它的斜率，則直線l一定經過點________.
由題意可設方程為y＝ax＋a，即y－0＝a(x＋1)，
由點斜式方程可知，直線過定點(－1，0).
(－1，0)
14.(15分)已知直線l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求證：直線l恒過一個定點；
解：證明：由y＝kx＋2k＋1，
得y－1＝k(x＋2).
由直線方程的點斜式可知，直線恒過定點(－2，1).
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