資源簡介

2.2.3　直線的一般式方程
2.2.4　直線的方向向量與法向量
學習目標 1.掌握直線的一般式方程. 2.理解關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示直線. 3.會進行直線方程的五種形式之間的轉化，提升邏輯推理、直觀想象和數學運算的核心素養. 4.掌握直線的方向向量及法向量，并能解決相關問題.
任務一　直線的一般式方程
問題.直線y＝2x＋1可以化成二元一次方程嗎？方程2x－y＋3＝0表示一條直線嗎？
提示：y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化為二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化為y＝2x＋3，可以表示直線.
1.直線的一般式方程
關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.
我們把方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)稱為直線的一般式方程，簡稱一般式.
2.二元一次方程與直線的關系
在平面直角坐標系中，任意一個二元一次方程都是直角坐標平面上一條確定的直線；反之，直角坐標平面上的任意一條直線都可以用一個確定的二元一次方程表示.
根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：
(1)斜率是，且經過點A(5，3)；
(2)經過A(－1，5)，B(2，－1)兩點；
(3)在x軸、y軸上的截距分別為－3，－1；
(4)經過點B(4，2)，且平行于x軸.
解：(1)由點斜式，得直線方程為y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由兩點式，得直線方程為＝，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直線方程為＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
求直線一般式方程的策略 　　在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉化為一般式.
對點練1.(1)根據下列各條件寫出直線的方程，并化成一般式方程.
①斜率是－，且經過點A(8，－6)的直線方程為　　　　　　　　；
②在x軸和y軸上的截距分別是和－3的直線方程為　　　　　　　　；
③經過點P1(3，－2)，P2(5，－4)的直線方程為　　　　　　　　.
(2)直線2x－y－2＝0繞它與y軸的交點A按逆時針方向旋轉90°所得的直線方程是(　　)
A.x－2y＋4＝0 B.x＋2y－4＝0
C.x－2y－4＝0 D.x＋2y＋4＝0
答案：(1)①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0　③x＋y－1＝0　(2)D
解析：直線2x－y－2＝0與y軸的交點為A(0，－2)，
因為所求直線過點A且斜率為－，
所以所求直線的方程為y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0.
任務二　直線的方向向量和法向量
1.我們把與直線l平行的非零向量v都稱為l的方向向量，斜率為k的直線的方向向量為(1，k)的非零實數倍；
2.與直線l：Ax＋By＋C＝0垂直的非零向量n＝(A，B)稱為直線l的一個法向量.
(1)關于直線l：x－y＋2＝0，下列說法中正確的是(　　)
A.直線l的傾斜角為60°
B.向量v＝(，1)是直線l的一個方向向量
C.直線l經過點(1，－)
D.向量n＝(1，)是直線l的一個法向量
(2)過點(－1，2)且以直線2x－3y－7＝0的法向量為方向向量的直線的一般式方程是　　　　　　.
答案：(1)B　(2)3x＋2y－1＝0
解析：(1)因為直線l：x－y＋2＝0，所以斜率k＝，所以傾斜角為α＝，一個方向向量為，因此v＝(，1)是直線l的一個方向向量.
(2)直線2x－3y－7＝0的斜率為，則所求直線的斜率為－，所以所求的直線方程為y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
1.直線Ax＋By＋C＝0，斜率k＝－(B≠0)，一個方向向量為(B，－A)； 2.已知直線上一點P(x0，y0)以及直線的法向量n＝(A，B)，則直線的方程為A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0).
對點練2.(1)過點(0，1)且以直線x＋2y－3＝0的法向量為方向向量的直線的一般式方程為　　　　　　　；
(2)若直線2x－3y＋5＝0的法向量是直線(a－2)x＋3ay＋4＝0的方向向量，則實數a＝　　　　.
答案：(1)2x－y＋1＝0　(2)－
解析：(1)直線x＋2y－3＝0的法向量(1，2)為所求直線的方向向量，則所求直線的斜率為2，故可得所求的直線方程為y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
(2)由題意，直線2x－3y＋5＝0的法向量為n＝(2，－3)，直線(a－2)x＋3ay＋4＝0的方向向量為v＝(3a，2－a)，可得n∥v，所以2(2－a)－(－3)×3a＝0，解得a＝－.
任務三　直線的一般式方程的應用
設直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直線l在x軸上的截距為－3，求m的值；
(2)已知直線l的斜率為1，求m的值.
解：(1)令y＝0，則x＝，
所以＝－3.
解得m＝－或m＝3，又2m－6≠0，所以m≠3，所以m＝－.
(2)由直線l化為斜截式方程得
y＝x＋，則＝1，
解得m＝－2或m＝－1.又m2－2m－3≠0，所以m≠3且m≠－1，所以m＝－2.
已知含參數的直線的一般式方程求參數的值或取值范圍的步驟
對點練3.(變條件)對于本例中的直線l的方程，若直線l與y軸平行，則m的值為　　　　.
答案：
解析：因為直線l與y軸平行，
所以解得m＝.
對點練4.如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經過第　　　　象限.
答案：三
解析：由題意知A·B·C≠0，
直線方程變形為y＝－x－.
因為A·C＜0，B·C＜0，所以A·B＞0，
所以其斜率k＝－＜0，
又y軸上的截距b＝－＞0.
所以直線過第一、二、四象限，不經過第三象限.
1.直線＋＝1化成一般式方程為(　　)
A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3)
C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12
答案：C
解析：直線＋＝1化成一般式為4x＋3y－12＝0.
2.若直線2x－y－4＝0在x軸和y軸上的截距分別為a和b，則a－b的值為(　　)
A.6 B.2
C.－2 D.－6
答案：A
解析：令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4，則a＝2，b＝－4，所以a－b＝6.
3.傾斜角為60°，在y軸上的截距為－1的直線方程是(　　)
A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0
C.x－3y－1＝1 D.x＋3y－1＝0
答案：A
解析：由題意知，直線斜率k＝tan 60°＝，在y軸上的截距為－1，所以直線的斜截式方程是y＝x－1，化為一般式為x－y－1＝0.
4.若直線l經過點A(－1，4)，B(3，2)，則直線的一個法向量n為(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因為＝，
A.當n＝，則·n＝4＋4＝8≠0，不滿足；
B.當n＝，則·n＝16＋4＝20≠0，不滿足；
C.當n＝，則·n＝16－4＝12≠0，不滿足；
D.當n＝，則·n＝4－4＝0，滿足.
故選D.
5.求直線的斜率是，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積是6的一般式方程.
解：設直線l的方程為y＝x＋b.令x＝0，得y＝b.
令y＝0，得x＝－b，所以＝6，解得b＝±3.
所以直線l的方程為y＝x±3，化為一般式為3x－4y±12＝0.
課時測評18　直線的一般式方程　直線的方向向量與法向量
(時間：60分鐘　滿分：100分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.若直線x＋ay－1＝0的傾斜角為45°，則a＝(　　)
A.－ B.
C.－1 D.1
答案：C
解析：直線x＋ay－1＝0化為斜截式可得y＝－x＋.由題意可得－＝tan 45°＝1，所以a＝－1.
2.已知直線l經過點P(1，2)和點Q(－2，－2)，則直線l的單位方向向量為(　　)
A. (－3，－4) B.
C. D. ±
答案：D
解析：由題意得，直線l的一個方向向量為＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，
則｜｜＝＝5，因此直線l的單位方向向量為±＝±(－3，－4)＝±，
故選D.
3.直線l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐標系中的圖象大致是(　　)
答案：C
解析：將l1與l2的方程化為l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由圖知l1∥l2，而a≠b，故A錯；
B中，由l1的圖象可知，a＜0，b＞0，由l2的圖象知b＞0，a＞0，兩者矛盾，故B錯；
C中，由l1的圖象可知，a＞0，b＞0，由l2的圖象可知，a＞0，b＞0，故C正確；
D中，由l1的圖象可知，a＞0，b＜0，由l2的圖象可知a＞0，b＞0，兩者矛盾，故D錯.
4.已知直線ax＋by－1＝0在y軸上的截距為－1，且它的傾斜角是直線x－y－＝0的傾斜角的2倍，則a，b的值分別為(　　)
A.－，－1 B.，－1
C.－，1 D.，1
答案：A
解析：原方程化為＋＝1，
所以＝－1，所以b＝－1.
又因為ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，
且x－y－＝0的傾斜角為60°，
所以k＝tan 120°＝－，所以a＝－，故選A.
5.(多選)下列說法中正確的是(　　)
A.平面內任一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)表示
B.當C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)表示的直線過原點
C.當A＝0，B≠0，C≠0時，方程Ax＋By＋C＝0表示的直線與x軸平行
D.任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化
答案：ABC
解析：A說法正確，因為在平面直角坐標系中，每一條直線都有傾斜角α，當α≠90°時，直線的斜率k存在，其方程可寫成y＝kx＋b，它可變形為kx－y＋b＝0，與Ax＋By＋C＝0比較，A＝k，B＝－1，C＝b；當α＝90°時，直線的斜率不存在，其方程可寫成x＝x1，與Ax＋By＋C＝0比較，A＝1，B＝0，C＝－x1，顯然A，B不同時為0，所以此說法是正確的.B說法正確，當C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)即Ax＋By＝0，顯然有A·0＋B·0＝0，即直線過原點O(0，0).C說法正確，當A＝0，B≠0，C≠0時，方程Ax＋By＋C＝0可化為y＝－，它表示的直線與x軸平行.D說法顯然錯誤.
6.已知直線mx－2y－3m＝0(m≠0)在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則m＝　　　　.
答案：－
解析：直線方程可化為＋＝1，所以－×4＝3，解得m＝－.
7.已知直線l的斜率是直線2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y軸上的截距是直線2x－3y＋12＝0在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為　　　　　　　.
答案：x－3y＋24＝0
解析：由2x－3y＋12＝0知，斜率為，在y軸上截距為4.根據題意，直線l的斜率為，在y軸上截距為8，所以直線l的方程為x－3y＋24＝0.
8.設A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且｜PA｜＝｜PB｜.若直線PA的斜率為，那么直線PB的斜率為　　　　；若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程為　　　　　　　.
答案：－　x＋y－5＝0
解析：由條件可知PA與PB兩直線的傾斜角互補，
故kPB＝－kPA＝－；
因為PA的直線為x－y＋1＝0，所以kPA＝1，kPB＝－1.
又x＝2時，y＝3，即P點坐標為(2，3)，
故PB的方程為y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.
9.(10分)設直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.
解：(1)當直線l過原點時，直線l在x軸和y軸上的截距均為0，
所以a＝2，此時直線l的方程為3x＋y＝0；
當直線l不過原點時，a≠2，直線l在x軸和y軸上的截距分別為，a－2，
所以＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)，
所以直線l的方程為x＋y＋2＝0.
綜上所述，直線l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，
因為l不經過第二象限，
所以解得a≤－1.
綜上可知，實數a的取值范圍是(－∞，－1].
10.(10分)已知在△ABC中，點A的坐標為(1，3)，AB，AC邊上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各邊所在直線的方程.
解：設AB，AC邊上的中線分別為CD，BE，其中D，E分別為AB，AC的中點，
因為點B在中線BE：y－1＝0上，
所以設B點坐標為(x，1).
又因為A點坐標為(1，3)，D為AB的中點，
所以由中點坐標公式得D點坐標為.
又因為點D在中線CD：x－2y＋1＝0上，
所以－2×2＋1＝0，解得x＝5，
所以B點坐標為(5，1).
同理可求出C點的坐標是(－3，－1).
故可求出△ABC三邊AB，BC，AC所在直線的方程分別為x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
11.(5分)已知兩直線的方程分別為l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它們在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則(　　)
A.b＞0，d＜0，a＜c B.b＞0，d＜0，a＞c
C.b＜0，d＞0，a＞c D.b＜0，d＞0，a＜c
答案：C
解析：由題圖可知直線l1、l2的斜率都大于0，即k1＝－＞0，k2＝－＞0且k1＞k2，所以a＜0，c＜0且a＞c.
又l1的縱截距－＜0，l2的縱截距－＞0，所以b＜0，d＞0，故選C.
12.(5分)已知兩條直線l1：ax－2y－3＝0，l2：4x＋6y－3＝0，若l1的一個法向量恰為l2的一個方向向量，則a＝　　　　.
答案：3
解析：因為直線l1：ax－2y－3－0的一個法向量恰為l2：4x＋6y－3＝0的一個方向向量，所以l1⊥l2，所以a×4＋(－2)×6＝0，解得a＝3.
13.(13分)如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABEF與ACGH，求直線FH的一般式方程.
解：過點H，F分別作y軸的垂線，垂足分別為M，N(圖略).
因為四邊形ACGH為正方形，
所以Rt△AMH≌Rt△COA，
因為MA＝OC＝1，MH＝OA＝2，
所以OM＝OA＋AM＝3，
所以點H的坐標為(2，3)，同理可得F(－2，4)，
所以直線FH的方程為＝，
化為一般式方程為x＋4y－14＝0.
14.(17分)已知直線l：＋＝1.
(1)若直線的斜率小于2，求實數m的取值范圍；
(2)若直線分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O是坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程.
解：(1)因為直線l過點(m，0)，(0，4－m)，則斜率k＝＜2，解得m＞0或m＜－4且m≠4.
所以實數m的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，4)∪(4，＋∞).
(2)由m＞0，4－m＞0得0＜m＜4.
則△AOB的面積S＝m(4－m)＝－(m－2)2＋2.
當m＝2時，S有最大值為2，此時直線l的方程為x＋y－2＝0.
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第2章　 2.2　直線的方程
2.2.3　直線的一般式方程
2.2.4　直線的方向向量與法向量
學習目標
1. 掌握直線的一般式方程.
2. 理解關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示直線.
3. 會進行直線方程的五種形式之間的轉化，提升邏輯推理、直觀想象和數學運算的核心素養.
4. 掌握直線的方向向量及法向量，并能解決相關問題.
任務一　直線的一般式方程
問題.直線y＝2x＋1可以化成二元一次方程嗎？方程2x－y＋3＝0表示一條直線嗎？
提示：y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化為二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化為y＝2x＋3，可以表示直線.
問題導思
1.直線的一般式方程
關于x，y的二元一次方程都表示__________.
我們把方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)稱為直線的一般式方程，簡稱一般式.
2.二元一次方程與直線的關系
在平面直角坐標系中，任意一個二元一次方程都是直角坐標平面上一條確定的直線；反之，直角坐標平面上的任意一條直線都可以用一個確定的二元一次方程表示.
新知構建
一條直線
典例1
規律方法
求直線一般式方程的策略
　　在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉化為一般式.
x＋2y＋4＝0
2x－y－3＝0
x＋y－1＝0
(2)直線2x－y－2＝0繞它與y軸的交點A按逆時針方向旋轉90°所得的直線方程是
A.x－2y＋4＝0 B.x＋2y－4＝0
C.x－2y－4＝0 D.x＋2y＋4＝0
√
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任務二　直線的方向向量和法向量
1.我們把與直線l______的非零向量v都稱為l的方向向量，斜率為k的直線的方向向量為(1，k)的____________；
2.與直線l：Ax＋By＋C＝0垂直的非零向量n＝__________稱為直線l的一個法向量.
新知構建
平行
非零實數倍
(A，B)
典例2
√
(2)過點(－1，2)且以直線2x－3y－7＝0的法向量為方向向量的直線的一般式方程是______________.
3x＋2y－1＝0
規律方法
對點練2.(1)過點(0，1)且以直線x＋2y－3＝0的法向量為方向向量的直線的一般式方程為________________；
2x－y＋1＝0
直線x＋2y－3＝0的法向量(1，2)為所求直線的方向向量，則所求直線的斜率為2，故可得所求的直線方程為y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
(2)若直線2x－3y＋5＝0的法向量是直線(a－2)x＋3ay＋4＝0的方向向量，則實數a＝_____.

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任務三　直線的一般式方程的應用
典例3
規律方法
已知含參數的直線的一般式方程求參數的值或取值范圍的步驟
對點練3.(變條件)對于本例中的直線l的方程，若直線l與y軸平行，則m的值為______.


對點練4.如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經過第_____象限.

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三
隨堂評價
√
2.若直線2x－y－4＝0在x軸和y軸上的截距分別為a和b，則a－b的值為
A.6 B.2
C.－2 D.－6
√
令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4，則a＝2，b＝－4，所以a－b＝6.
√
√

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課時測評
√
√

3.直線l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐標系中的圖象大致是
√
將l1與l2的方程化為l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由圖知l1∥l2，而a≠b，故A錯；
B中，由l1的圖象可知，a＜0，b＞0，
由l2的圖象知b＞0，a＞0，兩者矛盾，
故B錯；
C中，由l1的圖象可知，a＞0，b＞0，由l2的圖象可知，a＞0，b＞0，故C正確；
D中，由l1的圖象可知，a＞0，b＜0，由l2的圖象可知a＞0，b＞0，兩者矛盾，故D錯.
√
5.(多選)下列說法中正確的是
A.平面內任一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)表示
B.當C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)表示的直線過原點
C.當A＝0，B≠0，C≠0時，方程Ax＋By＋C＝0表示的直線與x軸平行
D.任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化
√
√
√
6.已知直線mx－2y－3m＝0(m≠0)在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則m＝______.
x－3y＋24＝0
x＋y－5＝0
11.(5分)已知兩直線的方程分別為l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它們在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則
A.b＞0，d＜0，a＜c
B.b＞0，d＜0，a＞c
C.b＜0，d＞0，a＞c
D.b＜0，d＞0，a＜c
√
12.(5分)已知兩條直線l1：ax－2y－3＝0，l2：4x＋6y－3＝0，若l1的一個法向量恰為l2的一個方向向量，則a＝_____.
因為直線l1：ax－2y－3－0的一個法向量恰為l2：4x＋6y－3＝0的一個方向向量，所以l1⊥l2，所以a×4＋(－2)×6＝0，解得a＝3.
3
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