資源簡介

2.6　直線與圓、圓與圓的位置關系
2.6.1　直線與圓的位置關系
學習目標 1.能根據給定直線、圓的方程，會用代數法和幾何法判斷直線與圓的位置關系，培養直觀想象、數學運算的核心素養. 2.掌握直線與圓相切時的切線方程和相交時的弦長問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　直線與圓的位置關系的判斷
問題.如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？
提示：轉化為它們的方程組成的方程組有無實數解、有幾個實數解.
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 2個 1個 0個
判斷 方法 幾何法：設圓心到直線的距離為d＝ d＜r d＝r d＞r
代數法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判別式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當m為何值時，圓與直線：
(1)有兩個公共點；
(2)只有一個公共點；
(3)沒有公共點.
解：法一：將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
則Δ＝4m(3m＋4).
當Δ＞0，即m＞0或m＜－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；
當Δ＝0時，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；
當Δ＜0時，即－＜m＜0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點.
法二：已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圓心為C(2，1)，半徑r＝2.
圓心C(2，1)到直線mx－y－m－1＝0的距離
d＝＝.
當d＜2，即m＞0或m＜－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；
當d＝2，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；
當d＞2時，即－＜m＜0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點.
對點練1.設m＞0，則直線l：(x＋y)＋1＋m＝0與圓O：x2＋y2＝m的位置關系為(　　)
A.相切 B.相交
C.相切或相離 D.相交或相切
答案：C
解析：圓心到直線l的距離為d＝，圓的半徑為r＝，因為d－r＝－＝(m－2＋1)＝－1)2≥0，所以d≥r，故直線l和圓O相切或相離.
對點練2.若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數a的取值范圍是　　　　.
答案：[－3，1]
解析：因為直線與圓有公共點，
則(x－a)2＋(x＋1)2＝2，
即x2＋(1－a)x＋＝0有解，
所以Δ＝(1－a)2－4×≥0.所以－3≤a≤1.
故實數a的取值范圍是[－3，1].
任務二　直線與圓相切問題
(1)已知直線x＋y＝0與圓(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，則b＝(　　)
A.－3 B.1
C. D.－3或1
(2)若過點P(0，1)作直線l與圓C：(x－3)2＋y2＝1相切，則切線長為　　　　　，直線l的方程為　　　　　　.
答案：(1)D　(2)3　y＝1或3x＋4y－4＝0
解析：(1)圓(x－1)2＋(y－b)2＝2的圓心坐標為(1，b)，半徑為.根據題意，得＝，
即｜1＋b｜＝2，解得b＝1或b＝－3，故選D.
(2)如圖，過點P作圓C的一條切線，切點為Q，連接PC，CQ，則三角形PCQ為直角三角形，且∠CQP＝90°.
而｜CP｜2＝32＋12＝10，｜CQ｜＝r＝1.
所以｜PQ｜2＝｜PC｜2－｜CQ｜2＝10－1＝9，
則｜PQ｜＝3.
依題意可設直線l：y＝kx＋1.
即kx－y＋1＝0.
圓心C(3，0)到直線l的距離為d＝＝1，整理得4k2＋3k＝0，解得k＝－或k＝0，故直線l的方程為y＝1或3x＋4y－4＝0.
1.求過已知點的圓的切線的方法 (1)如果已知點在圓上，那么圓心和已知點的連線和切線垂直，從而求得切線的斜率，用直線的點斜式方程可求得切線方程. (2)如果已知點在圓外，過這點的切線將有兩條，但在設斜率解題時可能求出的切線只有一條，這是因為有一條過這點的切線的斜率不存在. 2.求切線長最小值的兩種方法 (1)(代數法)直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統一成一個，轉化成函數求最值. (2)(幾何法)把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題.
對點練3.已知圓C：x2＋y2－4x＝0與直線l切于點P(1，)，則直線l的方程為(　　)
A.x－y＋2＝0 B.x－y＋4＝0
C.x＋y－4＝0 D.x＋y－2＝0
答案：A
解析：圓C：x2＋y2－4x＝0可化為(x－2)2＋y2＝4，顯然過點P(1，)的直線x＝1不與圓C相切.直線PC的斜率為＝－，則所求直線的斜率為，利用直線的點斜式方程可得y－＝(x－1)，整理得x－y＋2＝0.故選A.
對點練4.由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為(　　)
A.1 B.2
C. D.3
答案：C
解析：設圓心為C，切點為A，點P為符合題意的直線y＝x＋1上的點，因為在圓心C，切點A，切線上的點P構成的直角三角形中，切線長｜PA｜＝，所以切線長的最小值在直線y＝x＋1上的點與圓心(3，0)的距離｜PC｜最小時取得.
因為圓心(3，0)到直線y＝x＋1的距離d＝＝2，圓的半徑為1，所以切線長的最小值為＝＝.
任務三　直線與圓相交的弦長問題
已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內有一點P(－1，2)，AB為過點P且傾斜角為α的弦.
(1)當α＝135°時，求AB的長；
(2)當弦AB被點P平分時，求直線AB的方程.
解：(1)法一：(幾何法)如圖所示，過點O作OC⊥AB.
由已知條件得直線AB的斜率為k＝tan 135°＝－1，所以直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
因為圓心為(0，0)，所以｜OC｜＝＝.
因為r＝2，所以｜BC｜＝＝.
所以｜AB｜＝2｜BC｜＝.
法二：(代數法)當α＝135°時，直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，
即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8.
得2x2－2x－7＝0.
所以x1＋x2＝1，x1x2＝－.
所以｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝＝.
(2)如圖，當弦AB被點P平分時，OP⊥AB，因為kOP＝－2，
所以kAB＝.
所以直線AB的方程為y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
1.求圓的弦長的兩種方法 圓的 性質利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l之間的關系r2＝d2＋解題交點 坐標若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長
2.與弦長相關的問題 利用弦長、弦心距、半徑的關系構造方程或方程組，解出其中的未知量.
對點練5.圓x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直線l：x－y－5＝0所得的弦長等于(　　)
A. B.
C.1 D.5
答案：A
解析：圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋2)2＝2，則圓的半徑為，圓心(2，－2)到直線l的距離d＝＝，所以直線l被圓截得的弦長為2＝2＝.
對點練6.直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2，則直線的斜率為(　　)
A. B.±
C. D.±
答案：D
解析：因為直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2，所以圓心C(2，3)到直線的距離d＝＝1，所以＝＝1，解得k＝±，故選D.
1.直線l：x－y＝1與圓C：x2＋y2－4x＝0的位置關系是(　　)
A.相離 B.相切
C.相交 D.無法確定
答案：C
解析：圓C的圓心為C(2，0)，半徑為2，圓心C到直線l的距離d＝＝＜2，所以圓C與直線l相交.
2.若直線y＝kx＋2與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由題意得圓心(2，3)到直線的距離d＝＜1，解得0＜k＜.
3.若點P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程為(　　)
A.x＋y－1＝0 B.2x＋y－3＝0
C.2x－y－5＝0 D.x－y－3＝0
答案：D
解析：圓心是點C(1，0)，kCP＝＝－1，由CP⊥AB，得kAB＝－＝1，
所以直線AB的方程為y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故選D.
4.已知圓M與直線x＝2相切，圓心在直線x＋y＝0上，且直線x－y－2＝0被圓M截得的弦長為2，求圓的方程.
解：因為圓心在直線x＋y＝0上，所以設圓心M(a，－a)，因為圓M與直線x＝2相切，且直線x－y－2＝0被圓M截得的弦長為2，
所以所以圓的方程為x2＋y2＝4.
課時測評24　直線與圓的位置關系
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.已知直線ax＋by＋c＝0(abc≠0)與圓x2＋y2＝1相切，則三條邊長分別為｜a｜，｜b｜，｜c｜的三角形(　　)
A.是銳角三角形 B.是直角三角形
C.是鈍角三角形 D.不存在
答案：B
解析：由題意，知＝1，則｜c｜＝，即c2＝a2＋b2，故三條邊長分別為｜a｜，｜b｜，｜c｜的三角形是直角三角形.
2.直線m：x＋y－1＝0被圓M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　)
A.4 B.2
C.2 D.4
答案：B
解析：因為x2＋y2－2x－4y＝0，所以(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圓M的圓心坐標為(1，2)，半徑為，又點(1，2)到直線x＋y－1＝0的距離d＝＝，
所以直線m被圓M截得的弦長等于2＝2.
3.與3x＋4y＝0垂直，且與圓(x－1)2＋y2＝4相切的一條直線是(　　)
A.4x－3y＝6 B.4x－3y＝－6
C.4x＋3y＝6 D.4x＋3y＝－6
答案：B
解析：設與直線3x＋4y＝0垂直的直線方程為l：4x－3y＋m＝0，直線l與圓(x－1)2＋y2＝4相切，
則圓心(1，0)到直線l的距離為半徑2，即＝2，
所以m＝6或m＝－14，
所以直線方程為4x－3y＋6＝0或4x－3y－14＝0，故選B.
4.圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－8＝0的最大距離是(　　)
A.18 B.6
C.5 D.4
答案：C
解析：由題意得，圓的標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝18，則圓的半徑r＝3，圓心(2，2)到直線x＋y－8＝0的距離d＝＝2，故圓上的點到直線的最大距離是3＋2＝5.
5.已知圓C：x2＋y2－ax＋2y－4＝0關于直線l：x＋y－1＝0對稱，圓C交x軸于A，B兩點，則｜AB｜＝(　　)
A.4 B.2
C.2 D.
答案：A
解析：圓C：x2＋y2－ax＋2y－4＝0的圓心(，－1)，
圓C：x2＋y2－ax＋2y－4＝0關于直線l：x＋y－1＝0對稱，
可得：－1－1＝0，解得a＝4，所以圓的方程為：x2＋y2－4x＋2y－4＝0，圓心(2，－1)，半徑為3.
圓C交x軸于A，B兩點，令y＝0，可得x2－4x－4＝0，解得x1＝2＋2，x2＝2－2，
｜AB｜＝｜x1－x2｜＝4.
6.若點P(1，2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為　　　　　　　.
答案：x＋2y－5＝0
解析：設切線斜率為k，則由已知得：k·kOP＝－1.
所以k＝－，所以切線方程為x＋2y－5＝0.
7.過點P(2，1)作圓x2＋(y－2)2＝1的切線，則切線長為　　　　.
答案：2
解析：點P(2，1)到圓心(0，2)的距離為
＝，
所以切線長為＝2.
8.直線x－y＋1＝0與直線2x－2y－1＝0是圓C的兩條切線，則圓C的面積是　　　　.
答案：π
解析：易知直線x－y＋1＝0與直線2x－2y－1＝0平行，若兩條直線是圓C的兩條切線，則兩直線之間的距離為圓的直徑.直線x－y＋1＝0，即2x－2y＋2＝0與直線2x－2y－1＝0間的距離d＝＝，則圓的半徑r＝，則圓C的面積S＝πr2＝π.
9.(10分)已知圓C與y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且直線y＝x截圓所得弦長為2，求圓C的方程.
解：因為圓C與y軸相切，且圓心C在直線x－3y＝0上，
故設圓C的方程為(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因為直線y＝x截圓得弦長為2，
則有＋()2＝9b2，
解得b＝±1，故所求圓C的方程為
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10.(13分)已知過點A(－1，0)的動直線l與圓C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；
(2)當｜PQ｜＝2時，求直線l的方程.
解：(1)證明：因為l與m垂直，且km＝－，所以kl＝3，故直線l的方程為y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.
因為圓心坐標為(0，3)，滿足直線l的方程，所以當l與m垂直時，l必過圓心C.
(2)當直線l與x軸垂直時，易知x＝－1符合題意.
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
因為｜PQ｜＝2，
所以｜CM｜＝＝1，
則由｜CM｜＝＝1，得k＝，
所以直線l：4x－3y＋4＝0.
故直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.(多選)與圓C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y軸上的截距相等的直線方程為(　　)
A.x＋y＝0 B.x－y＝0
C.x＝0 D.x＋y＝4
答案：ABD
解析：圓C的方程可化為(x－2)2＋y2＝2.可分為兩種情況討論：
①直線在x，y軸上的截距均為0，易知直線斜率必存在，設直線方程為y＝kx，則＝，解得k＝±1；
②直線在x，y軸上的截距均不為0，則可設直線方程為＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，則＝，解得a＝4(a＝0舍去).
12.過圓O：x2＋y2＝5外一點P(2，)作圓O的切線，切點分別為A，B，則｜AB｜＝(　　)
A.2 B.
C. D.3
答案：C
解析：根據題意，圓O：x2＋y2＝5的圓心為(0，0)，半徑r＝，
若P(2，)，則｜PO｜＝＝3，
圓O：x2＋y2＝5外一點P(2，)作圓O的切線，切點分別為A，B，
則｜PA｜＝｜PB｜＝＝2，
設OP交AB于D，在△AOP中，由等面積法可知OA·AP＝AD·OP，
故AD＝＝，
所以AB＝2AD＝.
13.過直線l：y＝x－2上任意點P作圓C：x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，當切線長最小時，切線長為　　　　，同時△PAB的面積為　　　　.
答案：1　
解析：依題意作出圖象，如圖.
因為直線l過點P且與圓x2＋y2＝1相切于點A，所以PA⊥OA，所以PA＝＝ ，要使得PA最小，則OP要最小.由題可得，OP的最小值就是點O到直線l：y＝x－2的距離
d＝＝.
此時，PAmin＝＝＝1，
故∠OPA＝.
由切線的對稱性可得∠BPA＝，PB＝1，
所以S△PAB＝×1×1＝.
14.(15分)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直線l1過定點A(1，0).
(1)若l1與圓C相切，求l1的方程；
(2)若l1的傾斜角為，l1與圓C相交于點P，Q兩點，求線段PQ的中點M的坐標；
(3)若l1與圓C相交于點P，Q兩點，求△CPQ的面積的最大值，并求此時直線l1的方程.
解：(1)①若直線l1的斜率不存在，則直線x＝1，圓的圓心坐標(3，4)，半徑為2，符合題意.
②若直線l1斜率存在，設直線l1為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由題意知，圓心(3，4)到已知直線l1的距離等于半徑2，即：＝2，
解得k＝.所求直線方程是：x＝1，或3x－4y－3＝0.
(2)直線l1的方程為x－y－1＝0，因為PQ⊥CM，
所以線段CM所在的直線方程為y－4＝－(x－3)，
即x＋y－7＝0.
聯立所以M點的坐標是(4，3).
(3)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設直線l1的方程為kx－y－k＝0，則圓心到直線l1的距離d＝.又S△CPQ＝d×2＝d＝＝，
所以當d＝時，S取得最大值2，所以d＝＝，解得k＝1或k＝7.
所以直線l1的方程為y＝x－1或y＝7x－7.
15.(17分)在平面直角坐標系Oxy中，O為坐標原點，點A(0，3)，設圓C的半徑為1，圓心C(a，b)在直線l：y＝2x－4上.
(1)若圓心C也在直線y＝－x＋5上，求圓C的方程；
(2)在上述的條件下，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
(3)若圓C上存在點M，使｜MA｜＝｜MO｜，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.
解：(1)由得圓心C(3，2).
因為圓C的半徑為1，
所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1.
(2)由題意知切線的斜率一定存在，
設所求圓C的切線方程為y＝kx＋3，
即kx－y＋3＝0.
由＝1得k＝0或k＝－，
所以所求圓C的切線方程為y＝3或y＝－x＋3.
即y＝3或3x＋4y－12＝0.
(3)設M(x，y)，
由｜MA｜＝｜MO｜
得＝.
整理得y＝，
故點M在直線m：y＝上，
所以點M既在圓C上又在直線m上，
即圓C和直線m有公共點，
所以≤1，
所以≤a≤.
綜上所述，a的取值范圍為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)(共52張PPT)
　
第2章　 2.6　直線與圓、圓與圓的位置關系
2.6.1　直線與圓的位置關系
學習目標
1. 能根據給定直線、圓的方程，會用代數法和幾何法判斷直線與圓的位置關系，培養直觀想象、數學運算的核心素養.
2. 掌握直線與圓相切時的切線方程和相交時的弦長問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　直線與圓的位置關系的判斷
問題.如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？
提示：轉化為它們的方程組成的方程組有無實數解、有幾個實數解.
問題導思
新知構建
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 ___個 ___個 ___個
判斷
方法 ______ ______ ______
_______ _______ _______
2
1
0
d＜r
d＝r
d＞r
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
典例1
規律方法
√
對點練2.若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數a的取值范圍是__________.

返回
[－3，1]
任務二　直線與圓相切問題
典例2
√

(2)若過點P(0，1)作直線l與圓C：(x－3)2＋y2＝1相切，則切線長為_____，直線l的方程為______________________.
y＝1或3x＋4y－4＝0
3

規律方法
1.求過已知點的圓的切線的方法
(1)如果已知點在圓上，那么圓心和已知點的連線和切線垂直，從而求得切線的斜率，用直線的點斜式方程可求得切線方程.
(2)如果已知點在圓外，過這點的切線將有兩條，但在設斜率解題時可能求出的切線只有一條，這是因為有一條過這點的切線的斜率不存在.
2.求切線長最小值的兩種方法
(1)(代數法)直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統一成一個，轉化成函數求最值.
(2)(幾何法)把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題.
√
√

返回
任務三　直線與圓相交的弦長問題
典例3
規律方法
1.求圓的弦長的兩種方法
2.與弦長相關的問題
利用弦長、弦心距、半徑的關系構造方程或方程組，解出其中的未知量.
圓的
性質
交點
坐標 若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長
√

√

返回
隨堂評價
1.直線l：x－y＝1與圓C：x2＋y2－4x＝0的位置關系是
A.相離 B.相切
C.相交 D.無法確定
√
√
3.若點P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程為
A.x＋y－1＝0 B.2x＋y－3＝0
C.2x－y－5＝0 D.x－y－3＝0
√
返回
課時測評
1.已知直線ax＋by＋c＝0(abc≠0)與圓x2＋y2＝1相切，則三條邊長分別為｜a｜，｜b｜，｜c｜的三角形
A.是銳角三角形 B.是直角三角形
C.是鈍角三角形 D.不存在
√
√

3.與3x＋4y＝0垂直，且與圓(x－1)2＋y2＝4相切的一條直線是
A.4x－3y＝6 B.4x－3y＝－6
C.4x＋3y＝6 D.4x＋3y＝－6
√

√
√

6.若點P(1，2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為________________.
x＋2y－5＝0
7.過點P(2，1)作圓x2＋(y－2)2＝1的切線，則切線長為_____.
2
8.直線x－y＋1＝0與直線2x－2y－1＝0是圓C的兩條切線，則圓C的面積是_____.

11.(多選)與圓C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y軸上的截距相等的直線方程為
A.x＋y＝0 B.x－y＝0
C.x＝0 D.x＋y＝4
√
√
√

√

13.過直線l：y＝x－2上任意點P作圓C：x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，當切線長最小時，切線長為______，同時△PAB的面積為______.


1

返回

展開更多......

收起↑